群的概念定義設(shè)G是一個非空集合,“*”是G是上的一個代數(shù)運算,對所有的a,b∈G,有a*b∈G如果G的運算還滿足:G1)結(jié)合律:即對所有的a,b,c∈G,有(a*b)*c=*(b求c)(G2)G中存在元素e,使得對每個a∈G,有et=(米e=(G3)對G中每個元素a,存在元素b∈G,使得a*b=b米=e則稱G關(guān)于運算“*”構(gòu)成一個群(group),記為(G,群的概念1■注1:(G2)中的元素e稱為群G的單位元(unitelement)或恒等元(identity).群G的單位元是唯一的注2:(G3中的元素b稱為元素a的逆元(Inverse).元素a的逆元是唯一的,記為a1.即有a*a1=a1=e■注1:(G2)中的元素e稱為群G的單位元(unitel2有限群交換群如果群G的運算還滿足:(G4)交換律:即對所有的a,b∈G,有a*b=b*a則稱G是一個交換群(commutativegroup,或阿貝爾群(abeliangroup)G中元素的個數(shù)稱為群G的階order),記為G.如果Gl是有限數(shù),則稱G是有限群(finitegroup),否則稱G是無限群(infinitegroup).例:整數(shù)加群(Z,+);有理數(shù)加群(Q+);實數(shù)加群(R,+);復(fù)數(shù)加群(C,+)令Q*=Q-{0},(Q,×)是群;Q+={q∈Qlq>0},(Q,×)是群.有限群3群的概念例1設(shè)G={1,-1,i,-i},則(G,×)是一個有限交換元素a群的概念4例2設(shè)m∈Z+,Zm={0,1,,m-1},則(Zn,⊕)是個有限交換群.稱為模m剩余類加群單位元是e=0;a∈Zn的逆元a1=m-a特別地:取m=5,有Zs={0,1,2,3,4},04逆元a042例2設(shè)m∈Z+,Zm={0,1,,m-1},則(Zn,⊕)是5密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件6密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件7密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件8密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件9密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件10密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件11密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件12密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件13密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件14密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件15密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件16密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件17密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件18密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件19密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件20密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件21密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件22密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件23密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件24密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件25密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件26密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件27密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件28密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件29密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件30密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件31密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件32密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件33密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件34密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件35密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件36密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件37密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件38密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件39密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件40密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件41密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件42密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件43密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件44密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件45密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件46群的概念定義設(shè)G是一個非空集合,“*”是G是上的一個代數(shù)運算,對所有的a,b∈G,有a*b∈G如果G的運算還滿足:G1)結(jié)合律:即對所有的a,b,c∈G,有(a*b)*c=*(b求c)(G2)G中存在元素e,使得對每個a∈G,有et=(米e=(G3)對G中每個元素a,存在元素b∈G,使得a*b=b米=e則稱G關(guān)于運算“*”構(gòu)成一個群(group),記為(G,群的概念47■注1:(G2)中的元素e稱為群G的單位元(unitelement)或恒等元(identity).群G的單位元是唯一的注2:(G3中的元素b稱為元素a的逆元(Inverse).元素a的逆元是唯一的,記為a1.即有a*a1=a1=e■注1:(G2)中的元素e稱為群G的單位元(unitel48有限群交換群如果群G的運算還滿足:(G4)交換律:即對所有的a,b∈G,有a*b=b*a則稱G是一個交換群(commutativegroup,或阿貝爾群(abeliangroup)G中元素的個數(shù)稱為群G的階order),記為G.如果Gl是有限數(shù),則稱G是有限群(finitegroup),否則稱G是無限群(infinitegroup).例:整數(shù)加群(Z,+);有理數(shù)加群(Q+);實數(shù)加群(R,+);復(fù)數(shù)加群(C,+)令Q*=Q-{0},(Q,×)是群;Q+={q∈Qlq>0},(Q,×)是群.有限群49群的概念例1設(shè)G={1,-1,i,-i},則(G,×)是一個有限交換元素a群的概念50例2設(shè)m∈Z+,Zm={0,1,,m-1},則(Zn,⊕)是個有限交換群.稱為模m剩余類加群單位元是e=0;a∈Zn的逆元a1=m-a特別地:取m=5,有Zs={0,1,2,3,4},04逆元a042例2設(shè)m∈Z+,Zm={0,1,,m-1},則(Zn,⊕)是51密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件52密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件53密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件54密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件55密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件56密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件57密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件58密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件59密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件60密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件61密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件62密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件63密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件64密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件65密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件66密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件67密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件68密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件69密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件70密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件71密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件72密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件73密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件74密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件75密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件76密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件77密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件78密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件79密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件80密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件81密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件82密碼學(xué)基礎(chǔ)群剖析剖析課件