二輪復(fù)習(xí)之特征方程法求遞推數(shù)的通項(xiàng)公式（基礎(chǔ)篇）

高中數(shù)學(xué)人教版

高三60

常見數(shù)列通項(xiàng)公的求法（構(gòu)造法、特征法等）讓學(xué)生數(shù)列的掌各種不同數(shù)列的通項(xiàng)的求法特別是在一些綜性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。構(gòu)造法、特征法構(gòu)造法、特征法教學(xué)過程各種數(shù)列問題在多情形下，就是對數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，希望能對大家有幫助。nn二復(fù)習(xí)預(yù)一、等差數(shù)列的項(xiàng)公式：a=

或a=說明：等差數(shù)列通常可稱為P列）的單調(diào)性：d遞增數(shù)列，0常數(shù)列，為遞減數(shù)列。等差中項(xiàng)的概念定義果a

Ab等差數(shù)列么A做a

b的等差中項(xiàng)中

aaAb成等差數(shù)2

。等差數(shù)列的前n

和的求和公式

n

二、等比數(shù)列通公式：a=（=13、前項(xiàng)和式S=

或a=；1（一階線性遞推）設(shè)已知數(shù){}項(xiàng)滿足,a

其求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。采用數(shù)學(xué)歸納法以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法：針對問題中的推關(guān)系式作出一個(gè)方程,之為特征方程；借助這個(gè)特征方程的根快速求解項(xiàng)公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述11考2設(shè)上述遞推關(guān)系的特征方程的根為

，則當(dāng)x時(shí)，為常數(shù)列，即a;當(dāng)xa時(shí)b，其{}n1

為公比的等比數(shù)，即

c1

b1

.證

明：

因

為

0,1,

由

特

征

方

程

得

x

d1

作

換

元

an0

則b

n

d1

cdca()cb0n當(dāng)

xa時(shí)b0，數(shù)c1

為公比的等比數(shù)，bc1

;當(dāng)

x時(shí)b0{}0數(shù)列，故aanN.1n

（證畢）例題1

已知數(shù)列

中，1

，.n3131(q【規(guī)范答推公

可轉(zhuǎn)化a

2(a)即

t故推公為a，則n

b4且nan

.所以

是b首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，1則

,所以a

【總結(jié)與思考】推公式為a

pa其中p，q均為常數(shù)(pq解法：把原遞推式轉(zhuǎn)化為：

a

p

)其t，再利用換法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。1例題2設(shè)數(shù)列

：aan

(n2)，a.【規(guī)范解答】b，則a將annnn

代入遞推式，得

A(

A2)n(3A

取ba（１）nnn

,bb1

代入（１）得n【總與思考（若f()為

的二式則可2Bn;(2)由n

,

nn3兩式相減得

a

轉(zhuǎn)化為bpbn

求之.111例題3

已知數(shù)列

a中，,)6

，。得：)得：)nn【規(guī)范解答】

12a)兩邊乘以2323

令

22，bb,應(yīng)用例解法得b)33

所以

a

b1))23

【總結(jié)與思考】入輔助數(shù)列

b

（其nn

nn

p1bqq

再應(yīng)用類型3方法解決。，求，求例題4

已知數(shù)列

a中，a,a1

21aaa。3ns或st3ns或st3313121【規(guī)范解答】

a

2133

可轉(zhuǎn)化為

saa

即

s)asta13

13這里不妨選用

1（當(dāng)然也可選用，大家可以試試則

a

(a)nnn

11a的等比數(shù)列,所以a),應(yīng)用類型3的方法，分別令

1,2,3,

，代入上式得

(

個(gè)等式累加之，即1a)0)133

)

又所以1

731(。44【總結(jié)與思考】遞推公式為

a

pa

qa

（其中p，q均為常數(shù)p解法：先把原遞公式轉(zhuǎn)化為

其中，t滿足，再應(yīng)用面類型3方法求解。st03203233例題5

已知數(shù)列

滿足a1

a

aN)

，求數(shù)列

的通項(xiàng)公式。解法一（待定系——迭加法）

a

，得a

2(a)

，且a2則數(shù)列

1an

是首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是3a

2)。把3a21

，2a(b)，22ab)，133133a

b)()

。把以上各式相加得222a)333

)

]

21)nb213

。2[3)3

2]()3()()3

ba

。解法二（特征根

a

3

a

0(n0,n

，a,ab1

的特征方程是3

2

0。x

,

n1

A)

。又由1

，于是AbaAB3()故

2aba)()3

【總結(jié)與思考對于由遞推公式

a

a12

給出的數(shù)列ax

px數(shù)列的特征方程。若

,x是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)xx時(shí)，數(shù)列a的通項(xiàng)為n122nn1

Bxn其中，B由a（即2把

a,x和n代入Ax11n1

Bxn得到關(guān)于B的方程組；當(dāng)列1

的通項(xiàng)為aAx的方程組

，其中，B由aa（即把,axx和n，代入a(ABn)n12112n

，得到關(guān)于A、B00課小結(jié)設(shè)已知數(shù){

}

的項(xiàng)滿足aa

其c0,這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)式。采用數(shù)學(xué)歸納法以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法：針對問題中的推關(guān)系式作出一個(gè)方程,之為特征方程；借助這個(gè)特征方程的根快速求解項(xiàng)公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述定理1設(shè)上述遞推關(guān)系的特征方程的根為

，則當(dāng)x時(shí)為常數(shù)列，即當(dāng)xa時(shí)ab，10nn0其{}c

為公比的等比數(shù)，bc

a

.證