課程研究報(bào)告（課程設(shè)計(jì)）電與磁的對(duì)偶性姓名 學(xué)號(hào) 課程名稱 專業(yè) 同組同學(xué)得分 評(píng)語(yǔ):批閱教師簽字： 2011年月日電與磁的對(duì)偶性摘要：電荷及電流產(chǎn)生的電磁場(chǎng)和磁荷及磁流產(chǎn)生的電磁場(chǎng)之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。只要將其結(jié)果表示式中各個(gè)對(duì)應(yīng)參量用對(duì)偶原理的關(guān)系置換以后，所獲得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷與磁流

產(chǎn)生的電磁場(chǎng)。關(guān)鍵詞：電荷、磁荷、對(duì)偶、電磁場(chǎng)題目?jī)?nèi)容：假設(shè)自然界存在磁荷和磁流，磁荷產(chǎn)生磁場(chǎng)與電荷產(chǎn)生電場(chǎng)滿足相同的規(guī)律，磁流產(chǎn)生電場(chǎng)與電流產(chǎn)生磁場(chǎng)滿足相同的規(guī)律，導(dǎo)出在這一前提下電磁場(chǎng)的Maxwell方程組表達(dá)式，證明電荷、電流激發(fā)的電磁場(chǎng)滿足的方程與磁荷和磁流激發(fā)電磁場(chǎng)滿足的方程互為對(duì)偶方程。1、 無(wú)源區(qū)麥克斯韋方程組：如果把其中的兩個(gè)按如下方式寫成一組：VDE二0VVDE二0<VxE<VxE二一卩aH

dtat1）得到兩組完全相同的方程組，它們關(guān)于E和戸（除了有一負(fù)號(hào)）是對(duì)稱的。這種對(duì)稱性使得對(duì)其中一組作ETH、HT-E、￡T卩代換，得到另外一組方程。(2)VDE二0(2)aH

at它們?nèi)匀皇躯溈怂鬼f方程組，并與原方程相同。數(shù)學(xué)上成這種具有相同形式的兩組方程為對(duì)偶方程容易證明兩組對(duì)偶的互為對(duì)偶的方程，其解也具有對(duì)偶性。2、廣義麥克斯韋方程（有源區(qū)）在有源區(qū)，麥克斯韋方程組不是對(duì)稱的，其原因是自然界還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)類似于電荷的磁荷，也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)類似于“電流”的“磁流”，其激發(fā)的電磁場(chǎng)與電荷荷電流激發(fā)的電磁場(chǎng)相互對(duì)偶，則推

廣后所得到的麥克斯韋方程就具有對(duì)偶性。設(shè)理想的磁荷密度為p、磁流密度為廠，并滿足守恒定律,mm即VJ(r,t)+—p(r)=0m dtm進(jìn)一步假設(shè)磁荷在激發(fā)磁場(chǎng)方面與電荷在激發(fā)電場(chǎng)相一致磁流幾番電場(chǎng)與電流激發(fā)磁場(chǎng)一致。根據(jù)這一假設(shè)，推廣的麥克斯韋方程組和邊界條件是：VDE二匕,VxEVDE二匕,VxE二-J—p型s m dtVDH=￡m,VxH二J+s空、 P e dtee(d—d)=p,ex「e—ei"|=——jn 2 1 esn 2en<B—B)=p,ex「H—H!=—Jn 2 1 msn 2 1esnmsnmses3)(4)式中下表ms表示表示“磁量源”，下表es表示“電量源”，J是磁流密度，其量綱為V/m2；p是磁荷密度，其量綱為ms mWb/m3。等式右邊用負(fù)號(hào)，表示磁流與電場(chǎng)之間是左手螺旋關(guān)系式(3)為廣義麥克斯韋方程組。當(dāng)然遐想的“磁荷”和“磁流”不可能是隨意的，必須建立在合理的理論基礎(chǔ)之上。3、 廣義麥克斯韋方程的對(duì)偶性廣義麥克斯韋方程組仍然是線性方程，滿足疊加定理。因此總場(chǎng)是電荷、電流、磁荷、磁流各自獨(dú)立所產(chǎn)生場(chǎng)的疊加，如果用下表e和m分別為來(lái)自電荷、電流和磁荷、磁流的貢獻(xiàn)，總場(chǎng)為E=E+毛,H=H+H。它們分別滿足的方程和邊界條件是：emem

VDE==一卩at■evoh=0,VxH=了+￡eaE5a)ateOd -VDE==一卩at■evoh=0,VxH=了+￡eaE5a)ateOd -D)=p,eOb-B)=pe2 e1 esn2 1esms5b)exe2esVOE=0,VxE=J—ymmaHat■eVQHaE6a)m2-Dm1at)=p,eOb—B)=pm2 m1esmsrx[em2—J,exms=06b)￡Ty

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yT￡r_JTJmpTpmr —HT—Eem[ETEem根據(jù)對(duì)偶方程的解也具有對(duì)偶的性質(zhì)得到如下結(jié)論：設(shè)空間存在方程（5）描述的電磁場(chǎng)問(wèn)題，其解為E，百；那么在同ee一空間中方程方程（6）描述的電磁場(chǎng)問(wèn)題，其解E，百也存mm在，且與E，百對(duì)偶。因此E，百不必直接求解而可以通ee m m過(guò)對(duì)偶變換r —HT—r —HT—Eem[ETEem￡Ty

yT￡m獲得，反之亦然。pTpm［例題］：根據(jù)對(duì)偶原理，利用電偶極子激發(fā)的場(chǎng)求出磁偶極子激發(fā)的場(chǎng)。解：在靜電場(chǎng)中，位于坐標(biāo)原點(diǎn)的電偶極子0=Tql激發(fā)的靜電ez

場(chǎng)是1）卞2Pcos0一psin0E=ee+ee1）r4兀gr3 04兀gr3通過(guò)對(duì)偶變量替換，得到磁偶極子r=ep激發(fā)的磁場(chǎng)為:2）——一2Pcos0——psin2）H=em +em r4兀ur3 04兀ur3將式（2將式（2）與小電流圓環(huán)激發(fā)的磁場(chǎng)進(jìn)行比較得到p=e卩iAs。mz4、電位與磁位的對(duì)偶類似的，對(duì)應(yīng)于矢量電位A類似的，對(duì)應(yīng)于矢量電位A有矢量磁位:F;對(duì)應(yīng)于標(biāo)量電位cp有標(biāo)量磁位p，即對(duì)應(yīng)于有標(biāo)量磁位p，即對(duì)應(yīng)于：＜mH=—VxAe卩蘆 6AE=Vp-m

e 6tE=—VxAmg mH=Vp-^Ammm6t當(dāng)電源量和磁源量同時(shí)存在時(shí)，總場(chǎng)量應(yīng)為它們分別產(chǎn)生的場(chǎng)量之和：—L6A ——E=-Vp- -—VxA6tgmH=Vp-6Am+作者：謝處方饒克謹(jǐn)

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