§6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)與圖象6.1探究ω對(duì)y=sinωx的圖象的影響6.2探究φ對(duì)y=sin(x+φ)的圖象的影響自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、問題提出【問題思考】明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪出了筒車的工作原理.如圖1-6-1,將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形,設(shè)經(jīng)過ts后,筒車M從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P.設(shè)點(diǎn)P距水面的高度為H.圖1-6-11.H由哪些量決定?提示:H由以下量決定:筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h,筒車的半徑r,筒車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω,筒車的初始位置P0以及所經(jīng)過的時(shí)間t.2.如何將點(diǎn)P距離水面的高度H表示為時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)?提示:以O(shè)為原點(diǎn),以與水平面平行的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)t=0時(shí),筒車位于點(diǎn)P0,以O(shè)t為始邊,OP0為終邊的角為φ,經(jīng)過t

s后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(t,y),于是,以O(shè)x為始邊,OP為終邊的角為ωt+φ,并且有y=rsin(ωt+φ).所以筒車P距離水面的高度H與時(shí)間t的關(guān)系是H=rsin(ωt+φ)+h.二、探索ω(ω>0)對(duì)函數(shù)y=sinωx的圖象的影響【問題思考】1.函數(shù)y=sinx,y=sin2x和y=sinx的周期分別是什么?提示:2π,π,4π.2.當(dāng)y=sinx,y=sin2x和y=sinx這三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相同時(shí),在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),x的取值有什么關(guān)系?提示:當(dāng)這三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相同時(shí),在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),y=sin

2x中x的取值是y=sin

x中x取值的

,y=sinx中x的取值是y=sin

x中x取值的2倍.3.函數(shù)y=sinωx的圖象是否可以通過y=sinx的圖象得到?提示:可以,只要將y=sin

x的圖象沿著x軸“伸長”或“縮短”即可.三、探索φ(φ≠0)對(duì)函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象的影響【問題思考】1.如何由y=f(x)的圖象變換得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象?提示:向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位長度.3.函數(shù)y=sin(x+φ)與函數(shù)y=sinx的周期相同,由x+φ=0,得x=-φ,即函數(shù)y=sinx圖象上的點(diǎn)(0,0)平移到了點(diǎn)(-φ,0).函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象,可以看作將函數(shù)y=sinx圖象上的所有點(diǎn)向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|個(gè)單位長度得到.答案:y=-sin2x四、函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0)的性質(zhì)【問題思考】1.表1-6-1

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

伸縮、平移變換反思感悟?qū)ζ揭谱儞Q應(yīng)先觀察函數(shù)名是否相同,若函數(shù)名不同,則先化為同名函數(shù),再觀察x的系數(shù),當(dāng)x的系數(shù)不為1時(shí),應(yīng)提取系數(shù)確定平移的單位長度和方向,方向遵循左加右減,且從ωx→ωx+φ的平移量為

個(gè)單位長度.探究二

函數(shù)y=sin(ωx+φ)的性質(zhì)(1)用五點(diǎn)法畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象;(2)討論函數(shù)f(x)的周期性、奇偶性、值域、單調(diào)性及其圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心.解:(1)列表:描點(diǎn)、連線,如答圖1-6-1.答圖1-6-1反思感悟1.用“五點(diǎn)(畫圖)法”作圖時(shí),五點(diǎn)的確定,應(yīng)先令ωx+φ分別為0,,2π,解出x,從而確定這五點(diǎn),畫出簡(jiǎn)圖.2.研究函數(shù)性質(zhì)可以類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì),注意換元法的應(yīng)用.探究三

求ω的值或范圍分析:利用正弦函數(shù)的遞減區(qū)間,確定函數(shù)的遞減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)f(x)=sin

ωx(ω>0)在區(qū)間