第六章狹義相對論第六章狹義相對論1

天下皆知美之為美，斯惡已；皆知善之為善，斯不善矣。故有無相生，難易相成，長短相形，高下相傾，音聲相和，前后相隨。

——《道德經(jīng)》

云駛月運(yùn),舟行岸移。

——《圓覺經(jīng)》運(yùn)動具有相對性的觀念由來已久。天下皆知美之為美，斯惡已；皆知善之為善，斯不善矣。故有2§1相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)§2相對論的基本原理§3相對論的時空理論§4相對論理論的四維形式§5電動力學(xué)的相對論不變性§6相對論力學(xué)§1相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)3§1相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)一、相對論產(chǎn)生的歷史背景二、經(jīng)典時空觀(絕對時空觀)三、電磁規(guī)律對伽利略的變換是非協(xié)變的四、邁克爾遜—莫雷實(shí)驗(yàn)§1相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)一、相對論產(chǎn)生的歷史背景4一、相對論產(chǎn)生的歷史背景描述機(jī)械運(yùn)動：牛頓力學(xué)描述熱運(yùn)動：熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)描述電磁運(yùn)動：電動力學(xué)開爾文：物理學(xué)的大廈已經(jīng)建成。兩朵烏云：黑體輻射邁克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)一、相對論產(chǎn)生的歷史背景描述機(jī)械運(yùn)動：牛頓力學(xué)邁克爾遜-莫雷5

Galileo指出：相互作勻速相對運(yùn)動的不同（空間）坐標(biāo)系中力學(xué)定律具有相同的形式，這稱為Galileo相對性原理。

相對運(yùn)動沿x軸方向時，Galileo變換：經(jīng)典力學(xué)規(guī)律具有Galileo變換協(xié)變性。如Newton運(yùn)動定律，動量守恒定律等具有相同的形式。１．經(jīng)典時空觀與Galileo變換Galileo指出：相互作勻速相對運(yùn)動的不同（空間）6

經(jīng)典時空觀認(rèn)為，所有慣性參照系等價。物理規(guī)律在Galileo變換下協(xié)變是經(jīng)典時空觀的核心內(nèi)容?？疾霱axwell方程，在真空中，對于S參照系變換到S’參照系

可見，Maxwell方程不滿足Galileo變換協(xié)變性要求。

電磁規(guī)律與Galileo相對性原理矛盾，可能原因有兩種：電磁規(guī)律并不是對于所有參照系成立。如果是這樣，所有慣性系平權(quán)的結(jié)論被打破，必定存在一個“絕對參照系”。經(jīng)典時空觀是錯誤的。2．電磁理論與經(jīng)典時空觀經(jīng)典時空觀認(rèn)為，所有慣性參照系等價。物理規(guī)律在Gal7歷史上認(rèn)為電磁波象機(jī)械波那樣，傳播需要媒質(zhì)，并把它稱為“以太”?！敖^對參照系”就是相對“以太”靜止的參照系。因此尋找“以太”或證明相對于“以太”的運(yùn)動稱為當(dāng)時物理學(xué)的一個重大課題。1、Michelson-Morley實(shí)驗(yàn)（1887年）

調(diào)整兩臂長度使兩束光有效光程相等。以u表光相對于地球的速度，v表地球相對于以太的運(yùn)動速度u僅表大小，丟棄負(fù)根，

二、相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)歷史上認(rèn)為電磁波象機(jī)械波那樣，傳播需要媒質(zhì)，并把它稱為“以太8

設(shè)地球相對于以太的運(yùn)動速度v沿MM1方向，光線MM1M（q=0，p）的傳播時間

光線MM2M的傳播時間（q=p/2，-p/2）

光程差將實(shí)驗(yàn)裝置轉(zhuǎn)動900，干涉條紋將移動

利用多次反射可使有效臂長達(dá)到10m左右，若用波長5000?的光做實(shí)驗(yàn)，觀測到干涉條紋移動上限僅為0.01個，由此,地球相對于以太的運(yùn)動速度上限不超過4.74km/s。設(shè)地球相對于以太的運(yùn)動速度v沿MM1方向，光線MM19結(jié)論：實(shí)驗(yàn)結(jié)果支持“不存在以太”的結(jié)論。（即不存在電磁規(guī)律成立的“絕對參照系”）問題：在宇宙學(xué)中，真空能量不為零，表明真空也是一種物質(zhì)，難道以太又復(fù)活了？結(jié)論：實(shí)驗(yàn)結(jié)果支持“不存在以太”的結(jié)論。（即不存在電磁規(guī)律成10三、電磁規(guī)律對伽利略的變換是非協(xié)變的

例如:有兩個慣性系Σ系和Σ′系，假定在Σ′系中有兩個相對靜止的電荷。質(zhì)量：m1，m2電量：e1，e2三、電磁規(guī)律對伽利略的變換是非協(xié)變的例如:有兩個慣性11

由此可見,電磁規(guī)律不滿足力學(xué)的相對性原理,即在不同的慣性參照系中,物理電磁規(guī)律的形式是不一樣的。由此可見,電磁規(guī)律不滿足力學(xué)的相對性原理,即在不同的12理論計(jì)算證明,光的速度與參照系無關(guān),與媒質(zhì)的運(yùn)動無關(guān)。理論計(jì)算證明,光的速度與參照系無關(guān),與媒質(zhì)的運(yùn)動無關(guān)。13§2相對論的基本原理

洛侖茲變換一、相對論的基本原理二、間隔不變性三、洛侖茲變換§2相對論的基本原理

洛侖茲變換一、相對論的基本原理14“在我本人的思想發(fā)展中，邁克耳遜的結(jié)果并未引起很大的反響。我甚至記不得，在我寫關(guān)于這個題目的第一篇論文時(1905年)，究竟是否知道它。對此的解釋是：根據(jù)一般的理由，我堅(jiān)信絕對運(yùn)動是不存在的，而我所考慮的問題僅僅是這種情況如何能夠同我們的電動力學(xué)知識協(xié)調(diào)起來。因此人們可以理解，為什么在我本人的努力中，邁克耳遜實(shí)驗(yàn)沒有起什么作用，至少是沒有起決定性的作用?！?/p>

----愛因斯坦1954年給達(dá)文波特的信“在我本人的思想發(fā)展中，邁克耳遜的結(jié)果并未引起很大的反響。我15一、相對論的基本原理1、相對性原理所有慣性參照系都是等價的，物理規(guī)律對于所有的慣性參考系都可以表為相同的形式。（堅(jiān)信絕對運(yùn)動是不存在的)2、光速不變原理真空中的光速相對于任何慣性系沿任一方向恒為c，并與光源運(yùn)動無關(guān)。（麥克斯韋方程組與參考系無關(guān)）

一、相對論的基本原理1、相對性原理16同時，物理學(xué)的另一個支柱量子論也誕生了，愛因斯坦同樣是量子論的創(chuàng)始人之一，但他本人難以接受量子論的“相對性”，即哥本哈根詮釋（對立互補(bǔ)原理）。由于物質(zhì)具有波粒二象性，根據(jù)對立互補(bǔ)原理一個實(shí)驗(yàn)可以展示出物質(zhì)的粒子行為，或波動行為；但不能同時展示出兩種行為。

-----玻爾光速不變原理與經(jīng)典時空觀將產(chǎn)生矛盾同時，物理學(xué)的另一個支柱量子論也誕生了，愛因斯坦同樣是量子論17為此，愛因斯坦和玻爾進(jìn)行了長達(dá)半個世紀(jì)的辯論，直到現(xiàn)在，勝負(fù)未分！為此，愛因斯坦和玻爾進(jìn)行了長達(dá)半個世紀(jì)的辯論，直到現(xiàn)在，勝負(fù)18同時的相對性即在一個參考系觀測到同時發(fā)生的兩件事，在另一個參考系觀測卻不是同時發(fā)生的。同時的相對性即在一個參考系觀測到同時發(fā)生的兩件事，在另一個參19

設(shè)慣性系S’以速度v相對于慣性系S運(yùn)動，初時刻原點(diǎn)重合，且一位于原點(diǎn)的光源發(fā)出一閃光，對于慣性系S，一秒后位于半徑為c的球面上的接收器P1、P2和P

同時收到信號；對于慣性系而言，如果光速仍然為c，位于P2的接收器將晚于P1接受接受到信號。即，在慣性系S中觀察到同時發(fā)生的兩事件在慣性系S’中變?yōu)椴煌瑫r。設(shè)慣性系S’以速度v相對于慣性系S運(yùn)動，初時刻原點(diǎn)重合20

設(shè)初時刻光源發(fā)出閃光為第一事件，在兩慣性系中均以（0，0，0，0)表示；第二事件為在P點(diǎn)收到信號，在慣性系S和S’中分別用（x，y，z，t)和（x’，y’，z’，t’）表示。

由光速不變原理，二、間隔不變性設(shè)初時刻光源發(fā)出閃光為第一事件，在兩慣性系中均以（0，021

上面的兩個事件用光信號聯(lián)系（相關(guān)事件）。一般地講，兩個事件不一定是以光信號聯(lián)系的（如機(jī)械運(yùn)動從一個位置到另一個位置），甚至兩個事件根本沒有聯(lián)系（不相關(guān)兩事件）。一般情形下，

相對性原理要求慣性參照系變換必須是線性的。對于兩個事件（仍設(shè)第一事件發(fā)生于零時刻坐標(biāo)原點(diǎn)處），對慣性系S’定義作慣性系變換，有

顯然，F(xiàn)’為零時要求F也為零。在前面推導(dǎo)中，F(xiàn)’為零時，為零。這要求

上面的兩個事件用光信號聯(lián)系（相關(guān)事件）。22

空間中無特殊方向，兩個慣性系等價。所以，也應(yīng)有

正如坐標(biāo)系平移和旋轉(zhuǎn)變換，慣性系變換應(yīng)該是連續(xù)的（注意空間反演變換不是連續(xù)變換），舍去負(fù)根。所以對于任意兩事件，總有

若第一事件不是發(fā)生在零時刻，也不是發(fā)生在坐標(biāo)原點(diǎn)。在慣性系S，定義兩事件間隔

在慣性系S’，兩事件間隔為空間中無特殊方向，兩個慣性系等價。所以，也應(yīng)有正如23兩事件在不同慣性系中間隔不變

間隔是將事件和空間距離統(tǒng)一起來。間隔不變性使時間和空間建立了聯(lián)系。

例：參照系S’相對于S以速度v沿x軸方向運(yùn)動。在S’上有一靜止光源S和一反射鏡M，兩者相距z0。從S發(fā)出閃光經(jīng)M反射回到S。求兩參照系上觀察到的閃光發(fā)出和接收的時間和間隔。

在S’上觀察到的時間為

間隔為

在S上觀察，由幾何關(guān)系可得光信號傳播路程為

解：兩事件在不同慣性系中間隔不變間隔是將事件和空間距離統(tǒng)一起24兩事件間隔

由間隔不變性

由變換的連續(xù)性可見，

選兩坐標(biāo)系（零時刻原點(diǎn)相同）的x和x’軸都沿S’相對于S的運(yùn)動方向。設(shè)第一事件發(fā)生在零時刻，在坐標(biāo)原點(diǎn)處，第二事件在S中以（x，y，z，t）表示，在S’中以（x’，y’，z’，t’）表示。三、Lorentz變換變換是線性的，可設(shè)為

兩事件間隔由間隔不變性由變換的連續(xù)性可見，選兩坐標(biāo)25由間隔不變性

比較系數(shù)，有

注意到x和x’軸同向，t和t’正向相同，有

所以對S’原點(diǎn)應(yīng)用變換式中第一式由間隔不變性比較系數(shù)，有注意到x和x’軸同向，t和t’26Lorentz變換作變換可得反變換Lorentz變換作變換27

S’相對于S的運(yùn)動速度為0.8c，在S上觀察，1秒后閃光信號同時被P1和P2接收到，求P1和P2收到信號在S’上的時刻和位置。

P1收到信號在S上的空時坐標(biāo)，（c,0,0,1）。該事件在S’上的空時坐標(biāo)為

即

P2收到信號在S上的空時坐標(biāo)為（-c,0,0,1），由Lorentz變換，該事件在S’上的空時坐標(biāo)為（-3c,0,0,3）。解：Ex.2S’相對于S的運(yùn)動速度為0.8c，在28對P1和P2收到信號這兩個事件，有可見，在相對論，兩事件時間、空間距離、同時性等是相對的，但間隔是絕對的。

對P1和P2收到信號這兩個事件，有可見，在相對論，兩事件時間29一、相對論的時空結(jié)構(gòu)二、因果律和相互作用的最大速度三、同時的相對性四、運(yùn)動時鐘的延緩（鐘慢效應(yīng)）五、運(yùn)動尺度縮短（尺縮效應(yīng)）六、速度變換公式§3相對論的時空理論一、相對論的時空結(jié)構(gòu)§3相對論的時空理論30一、相對論的時空結(jié)構(gòu)1、世界線任何一個物理事件都對應(yīng)4維時空中的一個點(diǎn)?；蛘哒f4維時空中的一個點(diǎn)都對應(yīng)一個事件。那么一個物理過程就對應(yīng)一些連續(xù)的事件。把與這個過程所對應(yīng)的事件全部在4維空間中描繪出來，就形成了一條連續(xù)的曲線，我們把這條曲線叫做世界線。一、相對論的時空結(jié)構(gòu)1、世界線312020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件32人坐在椅子上不動，一只蒼蠅繞著他的頭頂做圓周運(yùn)動人的世界線是一條與t軸重合的豎直線蒼蠅的世界線是一條以t軸為中心的螺旋線人坐在椅子上不動，一只蒼蠅繞著他的頭頂做圓周運(yùn)動人的世界線是33地球的世界線為一個圓柱面地球的世界線為一個圓柱面34

若空間運(yùn)動局限于二維xy面。設(shè)時間軸（ct）垂直于xy面，該三維時空中的一點(diǎn)P表一事件，它在xy面上投影表事件發(fā)生的空間位置，P點(diǎn)的垂直坐標(biāo)等于事件發(fā)生時刻乘以c。構(gòu)成一錐面，稱為光錐。光錐將時空分為三個區(qū)域：

P點(diǎn)在錐面上。P和O兩事件可用光波聯(lián)系，有s2=

0

。這類間隔稱為類光間隔。

P點(diǎn)在光錐內(nèi)。兩事件可用低于光速的物理過程聯(lián)系，有s2>

0

。這類間隔稱為類時間隔。

P點(diǎn)在光錐外。兩事件不能用光波或低于光速的物理過程聯(lián)系，有s2<

0

。這類間隔稱為類空間隔，也稱兩點(diǎn)絕對異地。2、間隔的分類若空間運(yùn)動局限于二維xy面。設(shè)時間軸（ct）垂直于xy面35

在空間運(yùn)動為三維的情形，具有類似的時空結(jié)構(gòu)。

類時間隔的兩事件可能有因果關(guān)系，有因果關(guān)系的兩事件總是通過物質(zhì)運(yùn)動相聯(lián)系,慣性系變換須滿足因果關(guān)系。

設(shè)在慣性系S中事件一（x1，y1，z1，t1）為事件二（x2，y2，z2，t2）的原因，有t2>t1

。變換到另一慣性系S’后，兩事件分別用（x1’，y1’，z1’，t1’）和（x2’，y2’，z2’，t2’）表示。二、因果律和相互作用的最大傳播速度討論：

間隔不變性保證了這種劃分是絕對的。若在某個慣性系中P事件在光錐內(nèi)，則在任何慣性系中仍在光錐內(nèi)。

Lorentz變換保持時間正向不變（a22>0），故上下光錐不能相互變換。即若事件P在上光錐內(nèi)，則在任何慣性系事件P都將在上光錐內(nèi)。所以，類時間隔可分為兩類：絕對未來，（P在上光錐內(nèi)）；絕對過去（P在下光錐內(nèi)）。在空間運(yùn)動為三維的情形，具有類似的時空結(jié)構(gòu)。類時36由Lorentz變換設(shè)聯(lián)系兩事件的物質(zhì)運(yùn)動速度大小為u，則

物質(zhì)的最大傳播速度為光速，

相對論中因果律的保證依賴于物質(zhì)傳播最大速度為光速。

在慣性系S中兩事件（x1，y1，z1，t1）和（x2，y2，z2，t2）有t2>t1

，其間隔是類空的（無因果聯(lián)系），有三、同時的相對性由Lorentz變換設(shè)聯(lián)系兩事件的物質(zhì)運(yùn)動速度大小為u，則37由Lorentz變換

如果x2>

x1

(是允許的），若S’相對于S的運(yùn)動速度足夠大（不需超過光速），能做到

在這樣的慣性系S’中，兩事件發(fā)生的先后順序顛倒（或變?yōu)橥瑫r）。

討論：

具有類空間隔兩事件的時間先后或同時概念無絕對意義。在不同地點(diǎn)同時發(fā)生的兩事件是類空的，不能具有因果聯(lián)系。若兩事件對于S是同時的，在S’中一定不同時。

由Lorentz變換如果x2>x1(是允許的），若S38

任何物理過程需要一定時間，在相對于物體靜止的參照系，完成物理過程需要的時間稱為固有時間。

相對于S’靜止的某物體內(nèi)部相繼發(fā)生兩事件的間隔

在S上看，這兩個事件發(fā)生在不同地點(diǎn)，其間隔

表明運(yùn)動物體發(fā)生自然過程比靜止物體發(fā)生同樣過程需更多時間，運(yùn)動物體發(fā)生自然過程將變慢（延緩）。四、運(yùn)動時鐘的延緩任何物理過程需要一定時間，在相對于物體靜止的參照系，完成39實(shí)驗(yàn)證據(jù)：自然界中存在一些不穩(wěn)定粒子，如p介子衰變?yōu)閙子和m型中微子

靜止p介子壽命～2.6030×10－8s，實(shí)驗(yàn)測得高速運(yùn)動p介子（速度～

0.909c）壽命與理論結(jié)果很好符合。

m子衰變?yōu)殡娮?、m型中微子和電子型反中微子

靜止m子壽命～2.19703×10－6s

，實(shí)驗(yàn)測得運(yùn)動m子（速度～0.9966c）壽命～26.37×10－6s

，理論值～26.69×10－6s

。

兩參照系相對作勻速運(yùn)動時,時間延緩效應(yīng)具有相對性。從S中看相對S’靜止的時鐘變慢，而從S’中看相對S靜止的時鐘也變慢。

實(shí)驗(yàn)證據(jù)：自然界中存在一些不穩(wěn)定粒子，如p介子衰變?yōu)閙子40設(shè)S中有兩個固定的對準(zhǔn)的時鐘C1和C2

（相距l(xiāng)），時鐘C’運(yùn)動速度為v。設(shè)C’經(jīng)過C1時，三只鐘都指向零時刻。在S上看，經(jīng)過時間l/v時鐘C’將經(jīng)過C2。此時，在S上看，C1和C2都指向l/v，而C’指向t，t應(yīng)是其固有時間。在S上看，運(yùn)動時鐘C’變慢。

然而，在S’上（相對于C’

靜止）看到的結(jié)果也應(yīng)該如此,這是否意味著在S’上看，相對于S上的時鐘變快了呢？

回答是否定的。將C1和C2指向零刻度看成兩事件，在S中他們同時發(fā)生，對S’他們不再同時。即當(dāng)C’經(jīng)過C1時，在S’上看C2不會指向零刻度，設(shè)指向d。對S’，C1指向零和C2指向d是同時發(fā)生的兩事件。設(shè)S中有兩個固定的對準(zhǔn)的時鐘C1和C2（相距l(xiāng)），時鐘41

C2指向d這一事件在S中的空時坐標(biāo)為（l，0，0，d），對S’，這一事件發(fā)生在零時刻，

當(dāng)C’經(jīng)過C2時,

C2指向l/v。所以在S’上看，C2走過的時間即C2也變慢。

C1走過的時間與C2相同。

當(dāng)C’經(jīng)過C2時,

設(shè)對于S’，C1指向x。C1指向x這一事件在S中的空時坐標(biāo)為（0，0，0，x），而在S’中的空時坐標(biāo)為（x1’，0，0，t），由Lorentz變換附：C2指向d這一事件在S中的空時坐標(biāo)為（l，0，0，42有加速度情形，時間延緩導(dǎo)致絕對的物理效應(yīng)。即當(dāng)時鐘繞閉合路徑作加速運(yùn)動回到原地時，所經(jīng)歷的總時間小于原地點(diǎn)靜止時鐘經(jīng)歷的時間，這個通常稱為“雙生子佯謬”。有加速度情形，需要用廣義相對論研究。

長度的測量目前也采用自然基準(zhǔn)：規(guī)定在1/299792458秒時間間隔內(nèi)，光在真空中傳播距離為1米。

如圖，在S中看，物體后端經(jīng)過P1前端經(jīng)過P2兩事件同時發(fā)生，P1P2為在S中測得的物體長度。兩事件在S中的空時坐標(biāo)分別為（x1，t1)和（x2，t2)。（注意t1=t2）

由Lorentz變換，

五、運(yùn)動尺度的縮短有加速度情形，時間延緩導(dǎo)致絕對的物理效應(yīng)。即當(dāng)時鐘繞閉合路徑43

（x’2-x’1）為S’中測得的物體長度。物體相對于S’靜止，所以對于測量時間沒有任何限制。上式可寫為

運(yùn)動物體尺度縮短。長度縮短效應(yīng)的相對性

在S’中測量相對于S靜止物體的長度，有

該式與前面結(jié)論不矛盾，該式要求t’2=t’1

。即兩式成立的條件是不同的。（x’2-x’1）為S’中測得的物體長度。物體相對于44

設(shè)S’相對于S以速度v沿x軸方向運(yùn)動，由Lorentz變換，

同理可得速度z方向分量的變換關(guān)系。六、速度變換公式設(shè)S’相對于S以速度v沿x軸方向運(yùn)動，由Lorentz變45相對論速度變換公式其反變換公式為

在非相對論極限下

過渡為經(jīng)典情形下的速度變換公式。

相對論速度變換公式其反變換公式為在非相對論極限下過渡46Ex.1

證明，若在某個參照系物體的速度小于光速，則在對于任何參照系物體的速度都小于光速。

考察物體的在某一時間元的位移，由間隔不變性如果Ex.2

勻速運(yùn)動介質(zhì)中的光速。

設(shè)介質(zhì)運(yùn)動速度為v且沿x軸方向，選相對于介質(zhì)靜止的參照系為S’,在S’上，介質(zhì)中光速沿各方向均為c/n。對于速度，有解：證明:Ex.1證明，若在某個參照系物體的速度小于光速，則在對47若v<<c

逆介質(zhì)運(yùn)動方向的傳播速度

速度也不符合Galileo變換（其實(shí)v<<c

并不是非相對論極限的條件）。這兩式的結(jié)論被Fizeau水流實(shí)驗(yàn)證實(shí)。

若v<<c逆介質(zhì)運(yùn)動方向的傳播速度速度也不符合Ga48§4相對論理論的4維形式一、三維空間的正交變換二、物理量按空間變換性質(zhì)的分類三、洛侖茲變換的4維形式四、4維協(xié)變量五、物理規(guī)律的協(xié)變性§4相對論理論的4維形式一、三維空間的正交變換49一、三維空間的正交變換

二維平面上的轉(zhuǎn)動。坐標(biāo)系Σ′相對于Σ轉(zhuǎn)動了一個θ角。設(shè)平面上一點(diǎn)P的坐標(biāo)在Σ系為（x，y）；在Σ′系的坐標(biāo)為（x′，y′）。θ

θ

x′＝xcosθ＋ysinθ(4.1)y′＝-xsinθ＋ycosθ(4.1)一、三維空間的正交變換二維平面上的轉(zhuǎn)動。坐標(biāo)系Σ′50注意j為求和指標(biāo)，。(4.1a)

其中θ是x

軸與x′軸之間的夾角，也是y軸與y′軸之間的夾角，cosθ=cos(ex,ex′)，sinθ=cos(ex,ey′)。

i=1,2注意j為求和指標(biāo)，。(4.1a)其中θ是x軸與x′軸51x=x′cosθ－y′sinθy=x′sinθ＋y′cosθx=x′cosθ－y′sinθ52這樣的變換稱為正交變換，即設(shè)平面上有一矢量v

，這樣的變換稱為正交變換，即設(shè)平面上有一矢量v，53則(4.3)則(4.3)54其中aij與坐標(biāo)變換矩陣是完全一樣的。矢量長度平方為在三維坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動的情況下，設(shè)Σ系的直角坐標(biāo)為(x，y，z

)

，Σ′系的直角坐標(biāo)為=不變量(4.4)其中aij與坐標(biāo)變換矩陣是完全一樣的。矢量長度平方為在三維坐552020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件56滿足（4.6）式的變換稱為正交變換。（4.6）

（4.5）

滿足（4.6）式的變換稱為正交變換。（4.6）（4.5）57（4.7）

（4.7）58由正交條件可得對變換系數(shù)aij的限制條件。（4.8）

（4.9）由正交條件可得對變換系數(shù)aij的限制條件。（4.8）（4.59把（4.8）代入（4.9）式（4.12）把（4.8）代入（4.9）式（4.12）60δij叫做克隆尼科爾記號（Kronecker記號）。凡是滿足（4.12）式的變換為正交變換。（4.11）δij叫做克隆尼科爾記號（Kronecker記號）。（4.161x=a′x′或x=a′x′或62

其中i是列指標(biāo)，a＇是a的逆矩陣，我們從a＇的表達(dá)式可以看出

a＇=a-1=?

其中i是列指標(biāo)，a＇是a的逆矩陣，我們從a63轉(zhuǎn)置矩陣?

或?qū)懗蒩t（4.14）（4.15）轉(zhuǎn)置矩陣?或?qū)懗蒩t（4.14）（4.15）64其中I是單位矩陣（4.16）其中I是單位矩陣（4.16）65二、物理量按空間變換性質(zhì)的分類1、標(biāo)量

在空間沒有取向關(guān)系，當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動時物理量保持不變，這類物理量稱為標(biāo)量。設(shè)Σ系中：uΣ′系中：u′

u′=u二、物理量按空間變換性質(zhì)的分類1、標(biāo)量662、矢量

在空間有一定的取向性。這種物理量用三個分量表示。當(dāng)空間坐標(biāo)按（4.8）式做轉(zhuǎn)動變換時，該物理量的三個分量按同一方式變換，這種物理量叫做矢量。（4.17）矢量的各個分量的變換與坐標(biāo)變換遵循相同的規(guī)律。

2、矢量（4.17）矢量的各個分量的變換與坐標(biāo)變換遵循相同的67

▽算符也具有矢量的性質(zhì)。它的分量為在Σ系中為Σ′系中為▽算符也具有矢量的性質(zhì)。它的分量為Σ′系中為683、二階張量

有些物理量顯示出更復(fù)雜的空間取向性質(zhì)。這類物理量要用兩個矢量指標(biāo)表示，有9個分量，當(dāng)空間轉(zhuǎn)動時，其分量Tij

按以下方式變換。（4.19）(1)對稱張量3、二階張量（4.19）(1)對稱張量69（2）反稱張量（3）張量的跡(Trace)（2）反稱張量（3）張量的跡(Trace)70①對稱張量的跡=不變量可見當(dāng)坐標(biāo)變換時，二階張量的跡不變。若Tij是對稱張量，且有②反稱張量的跡一定為0叫做無跡張量①對稱張量的跡=不變量可見當(dāng)坐標(biāo)變換時，二階張量的跡不變。若71（4）兩矢量的標(biāo)積為標(biāo)量

v和w的標(biāo)積為=不變量（5）張量與矢量的標(biāo)積為矢量（4）兩矢量的標(biāo)積為標(biāo)量=不變量（5）張量與矢量的標(biāo)積為矢量72可見Tijvj為一矢量，其中的j為求和指標(biāo)，也叫啞指標(biāo)，在求和之后，這些指標(biāo)就不出現(xiàn)。求和指標(biāo)在求和式中不再出現(xiàn)。這叫做指標(biāo)的收縮，廣義相對論中叫做縮并?？梢奣ijvj為一矢量，其中的j為求和指標(biāo)，也叫啞指標(biāo)，在73值得說明的是：（1）以上講的是三維空間中的標(biāo)量、矢量和二階張量的定義，aij為常量。（2）在狹義相對論中的變換均為線性變換。值得說明的是：74三、洛侖茲變換的4維形式三維空間中的轉(zhuǎn)動是滿足距離不變=不變量

=不變量

（4.20）（4.21）三、洛侖茲變換的4維形式三維空間中的轉(zhuǎn)動是滿足距離不變=不變75約定：用拉丁字母表示指標(biāo)時，代表1-3用希臘字母表示指標(biāo)時，代表1-4。=不變量

（4.22）（4.23）約定：=不變量（4.22）（4.23）76線性變換的公式是（4.24）線性變換的公式是（4.24）77可見（4.24）式的變換為正交變換?？梢姡?.24）式的變換為正交變換。782020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件79（4.25）（4.26）(1)（4.25）（4.26）(1)80（2）（4.25）式是沿x方向的特殊洛侖茲變換的變換矩陣。（4.27）（2）（4.25）式是沿x方向的特殊洛侖茲變換的變換矩陣。81這說明4維空間中的洛侖茲變換為正交變換。其實(shí)在線性代數(shù)中，把滿足叫做正交條件。的矩陣叫做正交矩陣。這說明4維空間中的洛侖茲變換為正交變換。叫做正交條件。的矩陣82（3）a的行列式（3）a的行列式83三、4維協(xié)變量

慣性參照系的洛倫茲變換相當(dāng)于4維空間的“轉(zhuǎn)動”（也叫做偽轉(zhuǎn)動boost）。1、4維空間中物理量的分類

標(biāo)量：在洛侖茲變換下不變的物理量稱為洛侖茲標(biāo)量或不變量。

三、4維協(xié)變量慣性參照系的洛倫茲變換相當(dāng)于484

4維矢量：具有四個分量的物理量，如果它在慣性系變換下與坐標(biāo)有相同變換關(guān)系即（4.28）稱為4維矢量。

4維張量：滿足下列變換關(guān)系的量叫做4維張量。（4.29）4維矢量：具有四個分量的物理量，如果它在慣性系變換85

協(xié)變量：物理量在洛侖茲變換下有確定的變換性質(zhì)，稱為協(xié)變量。例如：間隔（4.30）協(xié)變量：物理量在洛侖茲變換下有確定的變換性質(zhì)，稱86（3.10）（4.31）（3.10）（4.31）872、4維速度矢量（簡稱4速）（1）定義4速的兩個原則一是4速的各個分量必須滿足洛侖茲變換；二是低速極限原則。（2）4速的定義（4.32）2、4維速度矢量（簡稱4速）（4.32）88（3）關(guān)于4速的說明①4速是物體的位置坐標(biāo)對固有時的變化率,即是用固有時量度的位移變化率②為什么不把4速定義為？（3）關(guān)于4速的說明②為什么不把4速定義為？89而ux，uy，uz的變換關(guān)系為上節(jié)的（3.18）式(書上P.254)。它們并不按照洛侖茲變換進(jìn)行變換，因而不符合矢量的定義，故3速u不是4維空間中的矢量。而ux，uy，uz的變換關(guān)系為上節(jié)的（3.18）式(書上P.90③4速的三個空間分量不等于三維空間中的速度的三個分量④4速的空間三分量與3速u的三個分量之間的關(guān)系i=1，2，3③4速的三個空間分量不等于三維空間中的速度的三個分量④491

是用固有時量度的位移變化率。dxμ是Σ上的觀察者測得物體運(yùn)動的位移，而dτ是物體上的觀察者拿著鐘表測得的固有時。而（4.33）（4.34）是用固有時量度的位移變化率。dxμ是Σ上的觀察者92（4.35）（4.35）93⑤當(dāng)坐標(biāo)系變換時，4速按下式變換式中的aμν是洛倫茲變換中的系數(shù)。⑤當(dāng)坐標(biāo)系變換時，4速按下式變換式中的aμν是洛倫茲變換中943、4維波矢量設(shè)有一頻率為ω，波矢量為k的平面電磁波在真空中傳播。在另一個參考系Σ′上觀察，該電磁波的頻率和傳播方向都會發(fā)生改變。在Σ系上：k，ωΣ′系上：k′，ω′3、4維波矢量在Σ系上：k，ω95電磁波的相位因子為，其中在Σ′系中，相位因子為

（4.37a）（4.37b）電磁波的相位因子為，其中在Σ′系中，相位因子為（96

一個周期T=２π/ω

，經(jīng)過n個周期后一個周期T=２π/ω，經(jīng)過n個周期后97

Σ系Σ′系事件1：(0,0,0,0)(0,0,0,0)事件2：(0,0,0,

2πn/ω)（x′,y′,z′，t′）

Σ系Σ′系事件1：(0,0)(0,0)事件2：(0,2πn/ω)（x′,t′）Σ系Σ′98

x1=x，x2=y，x3=z，x4=ict而k與iω/c組成另一個4維矢量kμ，k1=kx，k2=ky，k3=kz，k4=

iω/c=不變量=不變量（4.38）（4.39）x1=x，x2=y，x3=z，x499kμ叫做4維波矢量，在洛侖茲變換下，kμ

的變換為=不變量

（4.40）（4.41）kμ叫做4維波矢量，在洛侖茲變換下，kμ的變換為=不變量100

（4.42）（4.42）101（4.42）（4.42）102

設(shè)波矢量k與x軸夾角為θ，k′與x

軸的夾角為θ′，則有設(shè)波矢量k與x軸夾角為θ，k′與x軸的夾103這就是相對論的多普勒效應(yīng)和光行差公式。(4.44)式的推導(dǎo)如下：（4.44）（4.45）這就是相對論的多普勒效應(yīng)和光行差公式。（4.44）（4.45104（1）多普勒效應(yīng)（4.46）(4.45)式的推導(dǎo)：（1）多普勒效應(yīng)（4.46）(4.45)式的推導(dǎo)：105其中v

為光源的運(yùn)動速度，θ為Σ上觀察者看到輻射方向與光源運(yùn)動方向的夾角。當(dāng)v<<c時，γ≈1，（4.46）式變?yōu)榕ｎD力學(xué)中的多普勒公式。

(v<<c)（4.46）其中v為光源的運(yùn)動速度，θ為Σ上觀察者看到輻射方向與光源運(yùn)106

在垂直于光源運(yùn)動方向觀察輻射時，牛頓力學(xué)中的公式給出ω=ω0，而相對論公式（4.46）給出（θ=90°）即在垂直于光源運(yùn)動方向上，觀察到的輻射頻率小于靜止光源的輻射頻率，這種現(xiàn)象叫做橫向多普勒效應(yīng)。在垂直于光源運(yùn)動方向觀察輻射時，牛頓力學(xué)中的公式107

光行差較早為天文觀測所發(fā)現(xiàn)，是1728年布拉得雷（Bradley）發(fā)現(xiàn)的。所謂光行差，就是指光線的視方向與“真實(shí)”方向之間有一夾角。（2）光行差公式光行差較早為天文觀測所發(fā)現(xiàn)，是1728年布拉得雷1082020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件1092020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件1102020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件1112020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件112圖6-9圖6-9113

設(shè)地球相對于太陽參考系Σ的速度為v，在Σ系上看到某恒星發(fā)出的光線的傾角為α=π-θ,在地球上用望遠(yuǎn)鏡觀察該恒星時，傾角變成了α′=π-θ′。由（4.45）得設(shè)地球相對于太陽參考系Σ的速度為v，在Σ系上看到114而由于地球的公轉(zhuǎn)速度v<<c，，所以γ=1，則而由于地球的公轉(zhuǎn)速度v<<c，，所以γ=1，則115五、物理規(guī)律的協(xié)變性

如果一個方程的每一項(xiàng)屬于同類協(xié)變量，在參考系變換下，每一項(xiàng)都按相同的方式變換，結(jié)果保持方程的形式不變。證明如下：設(shè)某方程具有形式（4.47）

五、物理規(guī)律的協(xié)變性如果一個方程的每一項(xiàng)屬于同116在參考系變換下方程形式不變的性質(zhì)稱為協(xié)變性。

相對性質(zhì)原理要求，一切慣性參考系都是等價的。在不同的參考系中，物理規(guī)律應(yīng)該可以表為相同的形式。在參考系變換下方程形式不變的性質(zhì)稱為協(xié)變性。117§5電動力學(xué)的相對論不變性一、4維電流密度矢量二、4維勢矢量三、電磁場張量四、電磁場的不變量§5電動力學(xué)的相對論不變性一、4維電流密度矢量118

一、4維電流密度矢量

實(shí)驗(yàn)表明，帶電粒子的電荷與它的運(yùn)動速度無關(guān)，即是一個洛侖茲標(biāo)量。＝不變量當(dāng)粒子靜止時，設(shè)電荷體密度為ρ0，體元為dV0。若粒子以速度u運(yùn)動，則體元出現(xiàn)收縮，一、4維電流密度矢量實(shí)驗(yàn)表明，帶電粒子的電荷與1191、4維電流密度

J＝ρu＝γuρ0u(5.2)引入電流密度的第4分量，J4＝icρ＝icγuρ0Jμ＝ρ0Uμ(5.4)（5.1）1、4維電流密度（5.1）120Uμ＝γu（u，ic）(4.35)xμ＝(x，ict)(5.5)Jμ＝(J,icρ)(5.6)叫做4電流密度。2、電荷守恒定律的4維形式（5.7）Uμ＝γu（u，ic）(4.35)（5.121（5.8）（5.8）122式中的。叫做4維電流密度的4維散度。（5.8）式中的。叫做4維電流密度的4維散度。（5123二、4維勢矢量1、4維勢矢量的定義（5.9）（5.10）二、4維勢矢量1、4維勢矢量的定義（5.9）（5.10）124□A＝－μ0J（5.11）（5.12）□A＝－μ0J（5.11）（5.12）125把A和統(tǒng)一為4維勢矢量。（5.13）（5.14）把A和統(tǒng)一為4維勢矢量。（5.13）（5.14）126

□A１＝－μ0J１□A2＝－μ0J2□A3＝－μ0J3□□□A１＝－μ0J１□□127洛侖茲條件(5.10)式，可以寫成（5.15）即4維勢的4維散度為零。叫做4維梯度算符。2、4維勢矢量的變換洛侖茲條件(5.10)式，可以寫成（5.15）即4維勢的4維128

設(shè)Σ′相對于Σ沿x方向以速度v運(yùn)動，由（4.25）式得勢的變換關(guān)系設(shè)Σ′相對于Σ沿x方向以速度v運(yùn)動，由（4.129

130

131

（5.16）（5.16）132三、電磁場張量1、電磁場張量（5.17）三、電磁場張量1、電磁場張量（5.17）1332020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件134引入一個反對稱的4維張量（5.18）引入一個反對稱的4維張量（5.18）135

引入的這個反對稱張量具有什么樣的特點(diǎn)呢？它與電磁場的場量E和B之間存在什么樣的關(guān)系呢？（5.19）引入的這個反對稱張量具有什么樣的特點(diǎn)呢？它與電磁136

137

138

1392020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件1402020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件141（1）反對稱矩陣，主對角線上的矩陣元為0；（2）分塊記憶；凡是下標(biāo)中不含4的項(xiàng)，均與B

有關(guān)；（3）只要記住三角形為B3，－B2，B1，即可把與B有關(guān)的矩陣元全部記住。（4）只要記住第四列依依次為，即可把第4行記住，二者是反稱的。（1）反對稱矩陣，主對角線上的矩陣元為0；142

我們把Fμν叫做4維電磁場張量。由于4維梯度算符和4維勢均是協(xié)變的，所以電磁場張量也是協(xié)變的。我們把Fμν叫做4維電磁場張量。由于4維梯度算符1432、麥克斯韋方程組的4維形式（*）2、麥克斯韋方程組的4維形式（*）1442020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件145

考慮到F11＝F22＝F33＝F44＝0，為了把上面的4個式子寫成更加簡潔的形式，在上面4個分別加上等于0的項(xiàng)。即考慮到F11＝F22＝F33＝F44＝0，為了把146因此，可以把上述的4個方程統(tǒng)一寫成（5.21）因此，可以把上述的4個方程統(tǒng)一寫成（5.21）147它相當(dāng)于4個方程它相當(dāng)于4個方程148

（5.22）中，μ，ν，λ均可以從1到4取值，因而它里面包括有64個方程，但是僅有4個方程是獨(dú)立方程。這4個方程的角標(biāo)通常用下面的4組數(shù)表示，以幫助大家記憶。（5.22）（5.22）中，μ，ν，λ均可以從1到4取值，因而149μ1234ν2341λ3412

例如，當(dāng)μ，ν，λ分別等于1，2，3時，對應(yīng)的方程為μ1234150μ，ν，λ等于2，3，4時，對應(yīng)的方程為μ，ν，λ等于2，3，4時，對應(yīng)的方程為1513、電磁場量的變換關(guān)系3、電磁場量的變換關(guān)系152

153（5.24）（5.24）154

當(dāng)v<<c時，γ≈1，（5.24）式自然過渡到非相對論電磁場的變換式。（5.25）（5.16）當(dāng)v<<c時，γ≈1，（5.24）式自然過155矢勢和標(biāo)勢相互轉(zhuǎn)化磁場與電場相互轉(zhuǎn)化電流與電荷相互轉(zhuǎn)化矢勢和標(biāo)勢相互轉(zhuǎn)化156

例。P.272

求以速度v運(yùn)動的帶電為e的粒子的電磁場。解：B′＝0式中r′＝x′為P點(diǎn)的坐標(biāo)。例。P.272求以速度v運(yùn)動的帶電為e157

若在Σ系上觀察，粒子以速度v沿x軸方向運(yùn)動，由（5.23）式的反變換式，僅把（5.23）式中的v換為－v即可，且注意到B′＝0，（5.27）若在Σ系上觀察，粒子以速度v沿x軸方向運(yùn)動158

設(shè)粒子經(jīng)過Σ系原點(diǎn)的時刻記為t＝0，在該時刻同時觀察各點(diǎn)上的場值。由洛侖茲變換式得（5.28）設(shè)粒子經(jīng)過Σ系原點(diǎn)的時刻記為t＝0，在該時刻同時159

（5.29）（5.29）160

161討論：（1）當(dāng)v<<c時，在(1－v2/c2)中略去v2/c2

項(xiàng)得（5.30）（2）當(dāng)v~c時，在與v垂直的方向上，從（5.29）式可以看出，v?x=0.討論：（5.30）（2）當(dāng)v~c時，在與v垂直的方向上1622020屆高中物理競賽電磁學(xué)部分第6章-狹義相對論課件163在與v平行的方向上，v?x＝vx，則在與v平行的方向上，v?x＝vx，則164四、電磁場的兩個不變量1、是不變量四、電磁場的兩個不變量1、是不變量165

1662、B·E是不變量引入4維全反稱的4階單位張量，定義為＝不變量2、B·E是不變量＝不變量167εμνλτ＝＋1，μ,ν,λ,τ均不相同，可以經(jīng)過偶次置換變?yōu)?234。εμνλτ＝－1，μ,ν,λ,τ均不相同，可以經(jīng)過奇次置換變?yōu)?234。εμνλτ

＝０，μ,ν,λ,τ有任意兩個指標(biāo)相同。是４維空間中的４階張量，由張量的變換性質(zhì)εμνλτ＝＋1，μ,ν,λ,τ均不相同，可以經(jīng)過偶次置換變168其中Deta是洛侖茲變換矩陣的行列式，前面已經(jīng)得到Deta＝1，因此（5.33）性質(zhì)：（1）在洛侖茲變換下，εμνλτ的分量變換到自己，即。其中Deta是洛侖茲變換矩陣的行列式，前面已經(jīng)得到Deta＝169（2）若Tλτ

是二階張量，則εμνλτTλτ

仍是二階張量。利用全反稱張量，可以由電磁場張量構(gòu)成另一個不變量（2）若Tλτ是二階張量，則εμνλτTλτ仍是二階張量170＝不變量

＝不變量171§6相對論力學(xué)一、能量—動量4維矢量二、質(zhì)能關(guān)系式三、相對論力學(xué)方程四、洛侖茲力§6相對論力學(xué)一、能量—動量4維矢量172

經(jīng)典力學(xué)規(guī)律是Galileo協(xié)變的，不是Lorentz協(xié)變的。要找出滿足相對論協(xié)變性的力學(xué)規(guī)律，需建立四維力學(xué)物理量。

定義四維動量

m0是物體靜質(zhì)量?？臻g分量

時間分量

討論：一、能量－動量四維矢量

當(dāng)v<<c時，空間分量，這是經(jīng)典動量

當(dāng)v<<c時，時間分量時間分量與能量有關(guān)，四維動量也稱為能量－動量四維矢量。經(jīng)典力學(xué)規(guī)律是Galileo協(xié)變的，不是Lorent173定義（相對論中的）能量

則

相對論中，物體動能

總能量也可表為

討論：

相對論中物體靜止時仍有能量，稱為靜止能量，為m0c2

。在經(jīng)典物理中，能量加上一常數(shù)m0c2無實(shí)用意義；但在相對論中，這個常數(shù)是必須的，是相對論協(xié)變性的要求。

m0c2要具有物理上的能量意義，還必須能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量（已被實(shí)驗(yàn)證實(shí)）

。

考察一粒子A轉(zhuǎn)化為粒子系統(tǒng)B（如p0轉(zhuǎn)化為2g）的過程。在粒子A靜止的參照系，A只有靜止能量，在湮滅過程中，它部分或全部轉(zhuǎn)化為粒子系統(tǒng)B的動能。Ex.定義（相對論中的）能量則相對論中，物體動能總能量也174由四維動量可構(gòu)成不變量

在物體靜止的慣性系

由于靜止能量為m0c2，只取正值

W0=m0c2給出物體靜止時的質(zhì)能關(guān)系。

W0=m0c2也是適用于多個粒子構(gòu)成的復(fù)合體（如原子核、宏觀物體等）。此時應(yīng)理解為質(zhì)心靜止時的總“內(nèi)部能量”，它和復(fù)合體總質(zhì)量M0仍有關(guān)系

W0=M0c2。二、質(zhì)能關(guān)系討論：

復(fù)合體各粒子間一般有相互作用能和相對運(yùn)動動能。質(zhì)心靜止時，總能量并不等于各粒子靜止能量之和，其差值稱為結(jié)合能結(jié)合能指分散個體形成復(fù)合體時，向外輻射的能量。

由四維動量可構(gòu)成不變量在物體靜止的慣性系由于靜止能量為m175

物體質(zhì)量也不等于組成它的各粒子質(zhì)量之和，兩者之差稱為質(zhì)量虧損

顯然有

靜止質(zhì)量是物質(zhì)基本屬性之一。若靜止質(zhì)量發(fā)生變化，物質(zhì)將發(fā)生變化（如氫分子與氧分子結(jié)合為水）。

化學(xué)反應(yīng)中僅涉及電子轉(zhuǎn)移，釋放能量僅是內(nèi)部能量的很小部分；核反應(yīng)中利用了與核質(zhì)量虧損相聯(lián)系的核內(nèi)部運(yùn)動能量；粒子轉(zhuǎn)化過程中有可能把內(nèi)部能量全部釋放出來（如p0介子衰變?yōu)閮蓚€g光子的過程，光子靜止質(zhì)量為零，此過程p0介子的全部能量被釋放并轉(zhuǎn)化為光子動能）。

引入等效質(zhì)量

它描述物體運(yùn)動時具有的質(zhì)量，稱為運(yùn)動質(zhì)量。有這也稱為質(zhì)能關(guān)系

物體質(zhì)量也不等于組成它的各粒子質(zhì)量之和，兩者之差稱為質(zhì)量虧176各粒子靜止質(zhì)量為：mp=139.57MeV/c2，mm=105.66MeV/c2。求

p介子質(zhì)心系中m子的動量、能量和速度。

微觀粒子能量單位常用MeV，質(zhì)量單位常用MeV/c2，動量單位常用MeV/c。電子靜止質(zhì)量

補(bǔ)充：帶電

p介子衰變?yōu)閙子和中微子Ex.1m子和中微子的能量分別為

由動量守恒和能量守恒（這是自然界中精確成立的兩個規(guī)律）

在質(zhì)心系p介子的動量和能量

解：各粒子靜止質(zhì)量為：mp=139.57MeV/c2，mm=177令對于m子，由可解得m子的速度

Newton第二定律不滿足相對論協(xié)變性的要求。定義四維力矢量

三、相對論力學(xué)方程第四分量

令對于m子，由可解得m子的速度Newton第178四維力矢量也可以表為

Km=dpm/dt就是相對論力學(xué)方程，它包含兩個方程可改寫為若定義力為

上式在形式上與經(jīng)典力學(xué)一致。

四維力矢量也可以表為

按照“對應(yīng)原理”，在低速運(yùn)動情形，相對論力學(xué)形式應(yīng)過渡為相應(yīng)的經(jīng)典力學(xué)形式。上面的結(jié)果滿足“對應(yīng)原理”。四維力矢量也可以表為Km=dpm/dt就是相對論力學(xué)方程179電磁場中的帶電粒子運(yùn)動涉及到Lorentz力

現(xiàn)研究Lorentz力是否滿足相對論協(xié)變性的要求。

由電磁場張量定義一個四維矢量

空間分量

Lorentz力公式滿足相對論協(xié)變性要求。且有四維力密度公式

空間分量

就是Lorentz力密度公式。時間分量

可見Lorentz力密度公式和功率密度公式均滿足相對論協(xié)變性的要求。

與功率密度有關(guān)。四、Lorentz力電磁場中的帶電粒子運(yùn)動涉及到Lorentz力現(xiàn)研究Lore180

自然界中存在四種相互作用：電磁相互作用、萬有引力相互作用、強(qiáng)相互作用和弱相互作用。后兩種是短程相互作用，僅存在于10－15m范圍內(nèi)，其量子效應(yīng)很顯著，需用量子論研究。前兩種是長程相互作用，電磁相互作用可完全納入狹義相對論范圍，而萬有引力相互作用需用廣義相對論處理。

帶電粒子運(yùn)動方程因?yàn)?/p>

所以粒子速度大小也保持不變。

解：帶電粒子在均勻恒定磁場中的運(yùn)動。Ex.2自然界中存在四種相互作用：電磁相互作用、萬有引力相互作用181將速度沿平行和垂直于B的方向分解

是常矢量，由于速度大小不變，所以

也是常量。

上面第二式相當(dāng)于非相對論情形粒子的圓周運(yùn)動方程，設(shè)半徑為a圓周運(yùn)動角頻率

在相對論情形，頻率隨粒子運(yùn)動速度增大而增大。

將速度沿平行和垂直于B的方向分解是常矢量，由于速度大小不182第六章狹義相對論第六章狹義相對論183

天下皆知美之為美，斯惡已；皆知善之為善，斯不善矣。故有無相生，難易相成，長短相形，高下相傾，音聲相和，前后相隨。

——《道德經(jīng)》

云駛月運(yùn),舟行岸移。

——《圓覺經(jīng)》運(yùn)動具有相對性的觀念由來已久。天下皆知美之為美，斯惡已；皆知善之為善，斯不善矣。故有184§1相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)§2相對論的基本原理§3相對論的時空理論§4相對論理論的四維形式§5電動力學(xué)的相對論不變性§6相對論力學(xué)§1相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)185§1相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)一、相對論產(chǎn)生的歷史背景二、經(jīng)典時空觀(絕對時空觀)三、電磁規(guī)律對伽利略的變換是非協(xié)變的四、邁克爾遜—莫雷實(shí)驗(yàn)§1相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)一、相對論產(chǎn)生的歷史背景186一、相對論產(chǎn)生的歷史背景描述機(jī)械運(yùn)動：牛頓力學(xué)描述熱運(yùn)動：熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)描述電磁運(yùn)動：電動力學(xué)開爾文：物理學(xué)的大廈已經(jīng)建成。兩朵烏云：黑體輻射邁克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)一、相對論產(chǎn)生的歷史背景描述機(jī)械運(yùn)動：牛頓力學(xué)邁克爾遜-莫雷187

Galileo指出：相互作勻速相對運(yùn)動的不同（空間）坐標(biāo)系中力學(xué)定律具有相同的形式，這稱為Galileo相對性原理。

相對運(yùn)動沿x軸方向時，Galileo變換：經(jīng)典力學(xué)規(guī)律具有Galileo變換協(xié)變性。如Newton運(yùn)動定律，動量守恒定律等具有相同的形式。１．經(jīng)典時空觀與Galileo變換Galileo指出：相互作勻速相對運(yùn)動的不同（空間）188

經(jīng)典時空觀認(rèn)為，所有慣性參照系等價。物理規(guī)律在Galileo變換下協(xié)變是經(jīng)典時空觀的核心內(nèi)容。考察Maxwell方程，在真空中，對于S參照系變換到S’參照系

可見，Maxwell方程不滿足Galileo變換協(xié)變性要求。

電磁規(guī)律與Galileo相對性原理矛盾，可能原因有兩種：電磁規(guī)律并不是對于所有參照系成立。如果是這樣，所有慣性系平權(quán)的結(jié)論被打破，必定存在一個“絕對參照系”。經(jīng)典時空觀是錯誤的。2．電磁理論與經(jīng)典時空觀經(jīng)典時空觀認(rèn)為，所有慣性參照系等價。物理規(guī)律在Gal189歷史上認(rèn)為電磁波象機(jī)械波那樣，傳播需要媒質(zhì)，并把它稱為“以太”?！敖^對參照系”就是相對“以太”靜止的參照系。因此尋找“以太”或證明相對于“以太”的運(yùn)動稱為當(dāng)時物理學(xué)的一個重大課題。1、Michelson-Morley實(shí)驗(yàn)（1887年）

調(diào)整兩臂長度使兩束光有效光程相等。以u表光相對于地球的速度，v表地球相對于以太的運(yùn)動速度u僅表大小，丟棄負(fù)根，

二、相對論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)歷史上認(rèn)為電磁波象機(jī)械波那樣，傳播需要媒質(zhì)，并把它稱為“以太190

設(shè)地球相對于以太的運(yùn)動速度v沿MM1方向，光線MM1M（q=0，p）的傳播時間

光線MM2M的傳播時間（q=p/2，-p/2）

光程差將實(shí)驗(yàn)裝置轉(zhuǎn)動900，干涉條紋將移動

利用多次反射可使有效臂長達(dá)到10m左右，若用波長5000?的光做實(shí)驗(yàn)，觀測到干涉條紋移動上限僅為0.01個，由此,地球相對于以太的運(yùn)動速度上限不超過4.74km/s。設(shè)地球相對于以太的運(yùn)動速度v沿MM1方向，光線MM1191結(jié)論：實(shí)驗(yàn)結(jié)果支持“不存在以太”的結(jié)論。（即不存在電磁規(guī)律成立的“絕對參照系”）問題：在宇宙學(xué)中，真空能量不為零，表明真空也是一種物質(zhì)，難道以太又復(fù)活了？結(jié)論：實(shí)驗(yàn)結(jié)果支持“不存在以太”的結(jié)論。（即不存在電磁規(guī)律成192三、電磁規(guī)律對伽利略的變換是非協(xié)變的

例如:有兩個慣性系Σ系和Σ′系，假定在Σ′系中有兩個相對靜止的電荷。質(zhì)量：m1，m2電量：e1，e2三、電磁規(guī)律對伽利略的變換是非協(xié)變的例如:有兩個慣性193

由此可見,電磁規(guī)律不滿足力學(xué)的相對性原理,即在不同的慣性參照系中,物理電磁規(guī)律的形式是不一樣的。由此可見,電磁規(guī)律不滿足力學(xué)的相對性原理,即在不同的194理論計(jì)算證明,光的速度與參照系無關(guān),與媒質(zhì)的運(yùn)動無關(guān)。理論計(jì)算證明,光的速度與參照系無關(guān),與媒質(zhì)的運(yùn)動無關(guān)。195§2相對論的基本原理

洛侖茲變換一、相對論的基本原理二、間隔不變性三、洛侖茲變換§2相對論的基本原理

洛侖茲變換一、相對論的基本原理196“在我本人的思想發(fā)展中，邁克耳遜的結(jié)果并未引起很大的反響。我甚至記不得，在我寫關(guān)于這個題目的第一篇論文時(1905年)，究竟是否知道它。對此的解釋是：根據(jù)一般的理由，我堅(jiān)信絕對運(yùn)動是不存在的，而我所考慮的問題僅僅是這種情況如何能夠同我們的電動力學(xué)知識協(xié)調(diào)起來。因此人們可以理解，為什么在我本人的努力中，邁克耳遜實(shí)驗(yàn)沒有起什么作用，至少是沒有起決定性的作用?！?/p>

----愛因斯坦1954年給達(dá)文波特的信“在我本人的思想發(fā)展中，邁克耳遜的結(jié)果并未引起很大的反響。我197一、相對論的基本原理1、相對性原理所有慣性參照系都是等價的，物理規(guī)律對于所有的慣性參考系都可以表為相同的形式。（堅(jiān)信絕對運(yùn)動是不存在的)2、光速不變原理真空中的光速相對于任何慣性系沿任一方向恒為c，并與光源運(yùn)動無關(guān)。（麥克斯韋方程組與參考系無關(guān)）

一、相對論的基本原理1、相對性原理198同時，物理學(xué)的另一個支柱量子論也誕生了，愛因斯坦同樣是量子論的創(chuàng)始人之一，但他本人難以接受量子論的“相對性”，即哥本哈根詮釋（對立互補(bǔ)原理）。由于物質(zhì)具有波粒二象性，根據(jù)對立互補(bǔ)原理一個實(shí)驗(yàn)可以展示出物質(zhì)的粒子行為，或波動行為；但不能同時展示出兩種行為。

-----玻爾光速不變原理與經(jīng)典時空觀將產(chǎn)生矛盾同時，物理學(xué)的另一個支柱量子論也誕生了，愛因斯坦同樣是量子論199為此，愛因斯坦和玻爾進(jìn)行了長達(dá)半個世紀(jì)的辯論，直到現(xiàn)在，勝負(fù)未分！為此，愛因斯坦和玻爾進(jìn)行了長達(dá)半個世紀(jì)的辯論，直到現(xiàn)在，勝負(fù)200同時的相對性即在一個參考系觀測到同時發(fā)生的兩件事，在另一個參考系觀測卻不是同時發(fā)生的。同時的相對性即在一個參考系觀測到同時發(fā)生的兩件事，在另一個參201

設(shè)慣性系S’以速度v相對于慣性系S運(yùn)動，初時刻原點(diǎn)重合，且一位于原點(diǎn)的光源發(fā)出一閃光，對于慣性系S，一秒后位于半徑為c的球面上的接收器P1、P2和P

同時收到信號；對于慣性系而言，如果光速仍然為c，位于P2的接收器將晚于P1接受接受到信號。即，在慣性系S中觀察到同時發(fā)生的兩事件在慣性系S’中變?yōu)椴煌瑫r。設(shè)慣性系S’以速度v相對于慣性系S運(yùn)動，初時刻原點(diǎn)重合202

設(shè)初時刻光源發(fā)出閃光為第一事件，在兩慣性系中均以（0，0，0，0)表示；第二事件為在P點(diǎn)收到信號，在慣性系S和S’中分別用（x，y，z，t)和（x’，y’，z’，t’）表示。

由光速不變原理，二、間隔不變性設(shè)初時刻光源發(fā)出閃光為第一事件，在兩慣性系中均以（0，0203

上面的兩個事件用光信號聯(lián)系（相關(guān)事件）。一般地講，兩個事件不一定是以光信號聯(lián)系的（如機(jī)械運(yùn)動從一個位置到另一個位置），甚至兩個事件根本沒有聯(lián)系（不相關(guān)兩事件）。一般情形下，

相對性原理要求慣性參照系變換必須是線性的。對于兩個事件（仍設(shè)第一事件發(fā)生于零時刻坐標(biāo)原點(diǎn)處），對慣性系S’定義作慣性系變換，有

顯然，F(xiàn)’為零時要求F也為零。在前面推導(dǎo)中，F(xiàn)’為零時，為零。這要求

上面的兩個事件用光信號聯(lián)系（相關(guān)事件）。204

空間中無特殊方向，兩個慣性系等價。所以，也應(yīng)有

正如坐標(biāo)系平移和旋轉(zhuǎn)變換，慣性系變換應(yīng)該是連續(xù)的（注意空間反演變換不是連續(xù)變換），舍去負(fù)根。所以對于任意兩事件，總有

若第一事件不是發(fā)生在零時刻，也不是發(fā)生在坐標(biāo)原點(diǎn)。在慣性系S，定義兩事件間隔

在慣性系S’，兩事件間隔為空間中無特殊方向，兩個慣性系等價。所以，也應(yīng)有正如205兩事件在不同慣性系中間隔不變

間隔是將事件和空間距離統(tǒng)一起來。間隔不變性使時間和空間建立了聯(lián)系。

例：參照系S’相對于S以速度v沿x軸方向運(yùn)動。在S’上有一靜止光源S和一反射鏡M，兩者相距z0。從S發(fā)出閃光經(jīng)M反射回到S。求兩參照系上觀察到的閃光發(fā)出和接收的時間和間隔。

在S’上觀察到的時間為

間隔為

在S上觀察，由幾何關(guān)系可得光信號傳播路程為

解：兩事件在不同慣性系中間隔不變間隔是將事件和空間距離統(tǒng)一起206兩事件間隔

由間隔不變性

由變換的連續(xù)性可見，

選兩坐標(biāo)系（零時刻原點(diǎn)相同）的x和x’軸都沿S’相對于S的運(yùn)動方向。設(shè)第一事件發(fā)生在零時刻，在坐標(biāo)原點(diǎn)處，第二事件在S中以（x，y，z，t）表示，在S’中以（x’，y’，z’，t’）表示。三、Lorentz變換變換是線性的，可設(shè)為

兩事件間隔由間隔不變性由變換的連續(xù)性可見，選兩坐標(biāo)207由間隔不變性

比較系數(shù)，有

注意到x和x’軸同向，t和t’正向相同，有

所以對S’原點(diǎn)應(yīng)用變換式中第一式由間隔不變性比較系數(shù)，有注意到x和x’軸同向，t和t’208Lorentz變換作變換可得反變換Lorentz變換作變換209

S’相對于S的運(yùn)動速度為0.8c，在S上觀察，1秒后閃光信號同時被P1和P2接收到，求P1和P2收到信號在S’上的時刻和位置。

P1收到信號在S上的空時坐標(biāo)，（c,0,0,1）。該事件在S’上的空時坐標(biāo)為

即

P2收到信號在S上的空時坐標(biāo)為（-c,0,0,1），由Lorentz變換，該事件在S’上的空時坐標(biāo)為（-3c,0,0,3）。解：Ex.2S’相對于S的運(yùn)動速度為0.8c，在210對P1和P2收到信號這兩個事件，有可見，在相對論，兩事件時間、空間距離、同時性等是相對的，但間隔是絕對的。

對P1和P2收到信號這兩個事件，有可見，在相對論，兩事件時間211一、相對論的時空結(jié)構(gòu)二、因果律和相互作用的最大速度三、同時的相對性四、運(yùn)動時鐘的延緩（鐘慢效應(yīng)）五、運(yùn)動尺度縮短（尺縮效應(yīng)）六、速度變換公式§3相對論的時空理論一、相對論的時空結(jié)構(gòu)§3相對論的時空理論212一、相對論的時空結(jié)構(gòu)1、世界線任何一個物理事件都對應(yīng)4維時空中的一個點(diǎn)?；蛘哒f4維時空中的一個點(diǎn)都對應(yīng)一個事件。那么一個物理過程就對應(yīng)一些連續(xù)的事件。把與這個過程所對應(yīng)的事件全部在4維空間中描繪出來，就形成了一條連續(xù)的曲線，我們把