2013數(shù)學建模培訓11/19/202212013數(shù)學建模培訓11/11/20221第七講數(shù)學規(guī)劃與Lingo11/19/20222第七講數(shù)學規(guī)劃與Lingo11/11/20222一、引言11/19/20223一、引言11/11/20223在實際中，經(jīng)常會遇到如何利用現(xiàn)有資源來安排生產(chǎn)，以取得最大經(jīng)濟效益的問題，這類問題構(gòu)成了運籌學的一個重要分支——數(shù)學規(guī)劃。數(shù)學規(guī)劃包括線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等。數(shù)學規(guī)劃是建模競賽中最常見的11/19/20224在實際中，經(jīng)常會遇到如何利用現(xiàn)有資源來安排生模型，2005B,2006A,2007B,2011B等均與數(shù)學規(guī)劃密切相關(guān)?？梢杂肕atlab求解數(shù)學規(guī)劃,但最便捷的方法是利用優(yōu)化專用軟件包Lingo。Lingo不僅能精確、快捷地求解包括數(shù)學規(guī)劃在內(nèi)的幾乎所有的最優(yōu)化問題，而且Lingo內(nèi)含一種建模語言，可方便地描述較大規(guī)模的最優(yōu)11/19/20225模型，2005B,2006A,2007B,2011B等化問題。本講內(nèi)容包括：(1)線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃及Lingo解法；(2)Lingo建模語言；(3)用Lingo求解運輸問題、指派問題、典型圖論模型(最短路、最大流、最小費用最大流、最小生成樹);(4)數(shù)學規(guī)劃綜合建模實例。11/19/20226化問題。11/11/20226下面給出本講學習大綱，以方便大家學習。1.能熟練建立并用Lingo求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃。2.理解、掌握Lingo中集的概念與用法。3.熟悉Lingo典型程序的結(jié)構(gòu)，特別是目標函數(shù)與約束部分。11/19/20227下面給出本講學習大綱，以方便大家學習。11/4.能將較為復雜的數(shù)學規(guī)劃轉(zhuǎn)化為典型的Lingo程序。5.熟悉、掌握Lingo中的常用算符和函數(shù)。6.能應用Lingo求解運輸、指派、最短路、最大流、最小生成樹等問題。11/19/202284.能將較為復雜的數(shù)學規(guī)劃轉(zhuǎn)化為典型的Lingo程序。11二、數(shù)學規(guī)劃及Lingo求解11/19/20229二、數(shù)學規(guī)劃及Lingo求解11/11/202291.線性規(guī)劃

引例某工廠生產(chǎn)的機床每臺需要2.9m,2.1m,1.5m的軸各一根。這些軸用同一種圓鋼制作，圓鋼的長度為7.4m。如果要生產(chǎn)100臺機床,應如何下料，才能使得用料最??？

分析將7.4m的圓鋼截成三種軸,可以有如下幾種下料方式：11/19/2022101.線性規(guī)劃11/11/202210方式長度B1B2B3B4B5B6B7B8需求2.9211100001002.1021032101001.510130234100余料0.10.30.901.10.20.81.411/19/202211方式B1B2B3B4B5B6B7B8需求2.92111000設(shè)用B1,…,B8方式下料的圓鋼的根數(shù)分別為x1,…,x8，則可建立數(shù)學模型如下：11/19/202212設(shè)用B1,…,B8方式下料的圓鋼的根數(shù)分別為這類優(yōu)化問題稱為數(shù)學規(guī)劃。

xi稱為決策變量，S稱為目標函數(shù)，s.t后的式子稱為約束條件。由于本問題中的目標函數(shù)和約束條件均為線性，故稱為線性規(guī)劃。線性規(guī)劃是運籌學的重要分支，許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃。如下料問題、資源配置問題、運輸問題11/19/202213這類優(yōu)化問題稱為數(shù)學規(guī)劃。11/11/202和指派問題等。

例1某3種產(chǎn)品需要原材料和勞動力兩種資源。每件產(chǎn)品所需資源、現(xiàn)有資源及產(chǎn)品價格如下表。試確定3種產(chǎn)品的日產(chǎn)量以使總產(chǎn)值最大。產(chǎn)品資源123現(xiàn)有資源原材料436120勞動力245100價格45311/19/202214和指派問題等。產(chǎn)品123現(xiàn)有資源原材料436120勞動力24解(資源配置問題)設(shè)3種產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別為x1,x2,x3，則線性規(guī)劃模型為：11/19/202215解(資源配置問題)設(shè)3種產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別例2磚廠A1,A2產(chǎn)量分別為23萬和27萬。它們產(chǎn)生的磚供應B1,B2,B3三個工地，需求量分別為17萬,18萬,15萬。磚廠到工地的運價如下表。應如何調(diào)運，才能使總運費最??？平衡表運價表B1B2B3供應量B1B2B3A123506070A2276011060需求1718155011/19/202216例2磚廠A1,A2產(chǎn)量分別為23萬和27解(運輸問題)設(shè)磚廠Ai供應工地Bj的數(shù)量為xij，則線性規(guī)劃模型為：11/19/202217解(運輸問題)設(shè)磚廠Ai供應工地Bj的數(shù)運輸問題除了用線性規(guī)劃求解外，還可用專門方法—表上作業(yè)法或Lingo編程語言求解。本例為供求平衡運輸問題。若供求不平衡，可通過虛擬生產(chǎn)商或銷售地的方法將其轉(zhuǎn)化為供求平衡運輸問題。11/19/202218運輸問題除了用線性規(guī)劃求解外，還可用專門方法例3設(shè)有n件工作B1,…,Bn指派給n個人A1,…,An去做，每人只做一件工作,每件工作只指派給一個人做。設(shè)Ai完成Bj的工時為cij，如下表所示。問如何指派，才能使完成全部工作所需的總工時最少？11/19/202219例3設(shè)有n件工作B1,…,Bn指派給n個人工作人員B1B2…BnA1c11c12…c1nA2c21c22…c2n……………Ancn1cn2…cnn11/19/202220工作B1B2…BnA1c11c12…c1nA2c21c22…解(指派問題)設(shè)則線性規(guī)劃模型為：11/19/202221解(指派問題)設(shè)11/11/202221

11/19/20222211/11/202222指派問題除了用線性規(guī)劃求解外，還可用專門方法—匈牙利法求解。若決策變量為整數(shù)，則稱此線性規(guī)劃為整數(shù)規(guī)劃。特別地,當決策變量只取0或1時，稱之為0-1規(guī)劃。顯然，指派問題為典型的0-1規(guī)劃。11/19/202223指派問題除了用線性規(guī)劃求解外，還可用專門方法2.線性規(guī)劃的Lingo求解Lindo是Chicago大學的Schrage教授于1980年前后開發(fā)的專門用于求解數(shù)學規(guī)劃的軟件包,版權(quán)現(xiàn)歸屬美國Lindo系統(tǒng)公司。Lindo軟件包中包含Lindo,Gino,Lingo,LingoNL和“What’sBest”等，統(tǒng)稱為Lindo，其中以Lindo和Lingo最為常用。11/19/2022242.線性規(guī)劃的Lingo求解11/11/202224因Lindo的功能已全部被Lingo所覆蓋，Lindo已逐漸淡出市場。Lingo除了可以求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和二次規(guī)劃外，還可以求解非線性規(guī)劃和線性、非線性方程組。此外，它還內(nèi)置的建模語言和一些常用的數(shù)學函數(shù)，可以簡便、直觀地描述大規(guī)模優(yōu)化問題。11/19/202225因Lindo的功能已全部被Lingo所覆蓋，Lingo有多種版本，如學生版、演示版、高級版、發(fā)行版、工業(yè)版等，主要區(qū)別在于對優(yōu)化規(guī)模(變量和約束個數(shù))有不同的限制。下面簡要介紹如何用Lingo求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和非線性規(guī)劃。引例的Lingo程序如下：11/19/202226Lingo有多種版本，如學生版、演示版、高級model:(可省略)min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>100;x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8>100;end(可省略)然后點擊工具條上的按鈕即可。11/19/202227model:(可省略)11/11/2022(1)Lingo已假設(shè)所有變量均非負，非負約束不必再寫入程序。必要時可用變量界定函數(shù)@free(x)解除變量x的非負假設(shè)；(2)約束條件中的≥和≤可用>和<代替。例1和例2的Lingo程序分別為：11/19/202228(1)Lingo已假設(shè)所有變量均非負，非負max=4*x1+5*x2+3*x3;4*x1+3*x2+6*x3<120;2*x1+4*x2+5*x3<100;min=50*x11+60*x12+70*x13+60*x21+110*x22+60*x23;x11+x12+x13=23;x21+x22+x23=27;x11+x21=18;x12+x22=17;x13+x23=15;11/19/202229max=4*x1+5*x2+3*x3;11/

例4求解整數(shù)規(guī)劃：Lingo程序如下：11/19/202230例4求解整數(shù)規(guī)劃：11/11/202230max=2*x+3*y;4*x+3*y<10;3*x+5*y<12;@gin(x);@gin(y);程序中的@gin(x)為函數(shù)，表示x為整數(shù)。11/19/202231max=2*x+3*y;11/11/2022

例5求解下列非線性規(guī)劃：Lingo程序如下：11/19/202232例5求解下列非線性規(guī)劃：11/11/2022min=15*y+3*((5000-x)^2+y^2)^0.5+5*(x^2+(y-2000)^2)^0.5+4*((x-200)^2+(5600-y)^2)^0.5+12*((3000-x)^2+(4800-y)^2)^0.5+255*y/100;6000-2*x/5-y>0;@bnd(0,x,5000);程序中的@bnd為界定函數(shù)。11/19/202233min=15*y+3*((5000-x)^2三、Lingo中的集與建模語言11/19/202234三、Lingo中的集與建模語言11/11/202234前面例子中的目標函數(shù)和約束都可直接列出。但在許多大型模型中，可能需要表達一組相似的計算和約束。若再使用直接列出的方法，就要重復鍵入許多相似的計算和約束。Lingo允許把這些相聯(lián)系的對象定義成集。借助集，能夠用一個簡明的復合公式表示一系列相似的約束，11/19/202235前面例子中的目標函數(shù)和約束都可直接列出。但在從而可以快速方便地表達規(guī)模較大的模型。集是LINGO建模語言的基礎(chǔ),是程序設(shè)計最強有力的基本構(gòu)件。下面介紹集的相關(guān)知識。只有掌握這些內(nèi)容后，才能真正熟練掌握利用Lingo描述數(shù)學模型的基本方法。11/19/202236從而可以快速方便地表達規(guī)模較大的模型。集是LINGO建模語言1.集的基本概念集其實就是一群相關(guān)對象組成的集合，這些對象稱為集的成員。每個成員可能有一個或多個相關(guān)聯(lián)的特征，稱之為屬性。屬性值可以預先給定，也可以未知，有待Lingo求解。集的概念比較抽象、難懂。下面通過一個例子加以說明。11/19/2022371.集的基本概念11/11/202237例6某船廠需要決定下4個季度的產(chǎn)量。4個季度的需求量分別是40,60,72,25。每季度正常生產(chǎn)能力是40,每船的生產(chǎn)費用為400美元。若加班，每船的生產(chǎn)費用為450美元。每季度末,每船的庫存費用為20美元。假定生產(chǎn)提前期為0，初始庫存為10,問如何安排生產(chǎn)可使總費用最小？11/19/202238例6某船廠需要決定下4個季度的產(chǎn)量。4個季用DEM,RP,OP,INV分別表示需求量、正常產(chǎn)量、加班產(chǎn)量、庫存量，則它們每個季度都有一個對應值，即它們均為四個元素構(gòu)成的數(shù)組。其中，DEM已知，其余未知。易見，問題的數(shù)學模型為：11/19/202239用DEM,RP,OP,INV分別表示需求量、上述問題的程序本不復雜，但遺憾的是Lingo沒有數(shù)組的概念,所以上述模型的Lingo程序較為繁瑣。11/19/20224011/11/202240考慮到DEM,RP,OP,INV均與季度有關(guān)，引入4個季度組成的集合QUARTERS={1,2,3,4},DEM,RP,OP,INV對此集合的每個元素1,2,3,4分別對應一個值，見后圖。QUARTERS={1,2,3,4}稱為集合,DEM,RP,OP,INV稱為該集合的屬性。11/19/202241考慮到DEM,RP,OP,INV均與季其實，集合的屬性可理解為“數(shù)組”，而集合中的元素即為數(shù)組的“下標”。11/19/20224211/11/202242Lingo有兩種集：原始集和派生集。原始集由最基本的對象組成。派生集是從其它集派生得來的，它可以是另一個集的子集，也可以由其它幾個集中的元素組成。也就是說，它的成員來自于其它已存在的集。11/19/202243Lingo有兩種集：原始集和派生集。11/1原始集的定義包括：集的名字；集的成員(可選)；集成員的屬性(可選)。定義原始集的語法為：setname[/member_list/][:attribute_list];“[]”表示該部分內(nèi)容可選。setname是集的名字,最好具有較11/19/202244原始集的定義包括：集的名字；集的成員(可選)強的可讀性。集名字、集成員名以及集屬性名符合一般命名規(guī)則。例如，例5中的集合可用QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV;來定義。11/19/202245強的可讀性。集名字、集成員名以及集屬性名符合一般命名規(guī)則。1有時需要將兩個及兩個以上的集合組成一個新集合，稱之為派生集。派生集的定義包括：集的名字；父集的名字；集成員(可選)；集成員的屬性(可選)。定義派生集的語法為：setname(parent_set_list)[/member_list/][:attribute_list];11/19/202246有時需要將兩個及兩個以上的集合組成一個新集合setname是集的名字，parent_set_list是已定義的集的列表，多個時必須用逗號隔開。如果沒有指定成員列表，那么Lingo會自動創(chuàng)建父集成員的所有組合作為派生集的成員。派生集的父集既可以是原始集，也可以是其它的派生集。派生集的實例見例7。11/19/202247setname是集的名字，parent_se2.Lingo的程序結(jié)構(gòu)一個典型的Lingo程序由model:開頭，以end結(jié)尾，程序由集、目標函數(shù)與約束、數(shù)據(jù)和初始化四部分組成。其中只有目標函數(shù)與約束部分是必須的，其余三個部分為可選部分。在使用集之前，必須在集部分事先定義。集部分以關(guān)鍵字sets:開始，11/19/2022482.Lingo的程序結(jié)構(gòu)11/11/202248以endsets結(jié)束。一個模型可以沒有集部分、有一個集部分或有多個集部分。一個集部分可以放置于模型的任何地方，但是一個集及其屬性在模型約束中被引用之前必須先定義。數(shù)據(jù)部分的作用是為決策變量設(shè)置初始值，以data:開始，以enddata結(jié)束。11/19/202249以endsets結(jié)束。一個模型可以沒有集部分、有一個集部分或

初始部分為部分參數(shù)指定初始值,以init:開始，以endinit結(jié)束。目標函數(shù)與約束部分是Lingo程序的核心部分，通常以MIN或MAX開頭但沒有明顯的結(jié)束標記。目標函數(shù)與約束部分一般要用到Lingo的一些內(nèi)部函數(shù)，如@FOR,@SUM等。11/19/202250初始部分為部分參數(shù)指定初始值,以init:這部分是初學者感到困難、不易掌握的內(nèi)容。下面給出兩個典型Lingo程序。例6的Lingo程序MODEL:SETS:QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV;ENDSETSMIN=@SUM(QUARTERS:400*RP+450*OP+20*INV);11/19/202251這部分是初學者感到困難、不易掌握的內(nèi)容。11

@FOR(QUARTERS(I):RP(I)<40);@FOR(QUARTERS(I)|I#GT#1:INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I););INV(1)=10+RP(1)+OP(1)-DEM(1);DATA:DEM=40,60,75,25;ENDDATAEND11/19/202252@FOR(QUARTERS(I):RP(I)<40

例7建筑工地的位置(用平面坐標a,b表示，單位km)及水泥用量d(單位t)由下表給出。目前有兩個臨時料場位于P(5,1),Q(2,7)，日儲量各有20t。求從A,B兩料場分別向各工地運送多少噸水泥，使總的噸公里數(shù)最??？兩個新的料場應建在何處，節(jié)省的噸公里有多少？11/19/202253例7建筑工地的位置(用平面坐標a,b表示，記工地位置為(ai,bi)，水泥日用量為di，料場位置為(xj,yj)，日儲量為ej，從料場j向工地i的運送量為cij，則數(shù)學模型為11/19/20225411/11/202254當使用現(xiàn)有料場時，決策變量只有cij，屬線性規(guī)劃；當為新料場選址時，決策變量為cij和xj,yj，屬非線性規(guī)劃。11/19/20225511/11/202255下面給出Lingo程序。在求解非線性規(guī)劃時，為了盡可能求得全局最優(yōu)解，可考慮開啟全局優(yōu)化器。但可能需耗費很長時間，且不能保證一定求得全局最優(yōu)解。

注試用版不一定可用全局優(yōu)化器。11/19/202256下面給出Lingo程序。11/11/2022使用現(xiàn)有料場時的線性規(guī)劃MODEL:sets:demand/1..6/:a,b,d;supply/1..2/:x,y,e;link(demand,supply):c;endsetsdata:a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;11/19/202257使用現(xiàn)有料場時的線性規(guī)劃11/11/202257d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;x,y=5,1,2,7;enddatamin=@sum(link(i,j):c(i,j)*((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2)^(1/2));@for(demand(i):@sum(supply(j):c(i,j))=d(i););@for(supply(j):@sum(demand(i):c(i,j))<e(j););END11/19/202258d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;11/11/現(xiàn)對上述程序說明如下：(1)link為由demand和supply生成的派生集，說明見后；(2)料場位置x,y視為固定數(shù)據(jù)；(3)x,y=5,1,2,7相當于x=5,2;y=1,7;,即Lingo為按列賦值。11/19/202259現(xiàn)對上述程序說明如下：11/11/20225料場待定時的非線性規(guī)劃MODEL:sets:demand/1..6/:a,b,d;supply/1..2/:x,y,e;link(demand,supply):c;endsetsdata:a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;11/19/202260料場待定時的非線性規(guī)劃11/11/202260d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;enddatainit:x,y=5,1,2,7;endinitmin=@sum(link(i,j):c(i,j)*((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2)^(1/2));@for(demand(i):@sum(supply(j):c(i,j))=d(i););@for(supply(j):@sum(demand(i):c(i,j))<e(j););11/19/202261d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;11/11/@for(supply:@free(x);@free(y););END

(1)本程序中的料場位置x,y為初始數(shù)據(jù)，即x,y與其它變量一樣可以被優(yōu)化；此時，初始化段并無實際意義。(2)@free(x)的作用為去除x的非負限制。11/19/202262@for(supply:@free(x);@free(y)在程序中,由于運送量cij和需求量di及供應量ej均有關(guān)，即cij相當于二維數(shù)組，故根據(jù)需求集合demand和供應集合supply定義了一個新集合link，定義語句為：link(demand,supply):c;link其實就是demand和supply中的所有元素組成的二元集合，即11/19/202263在程序中,由于運送量cij和需求量di亦即link是demand和supply的派生集。11/19/20226411/11/202264四、Lingo的運算符與函數(shù)11/19/202265四、Lingo的運算符與函數(shù)11/11/202265Lingo有8種類型的函數(shù)：1.基本運算符:算術(shù)運算符、邏輯運算符和關(guān)系運算符；2.數(shù)學函數(shù);3.金融函數(shù):；4.概率函數(shù):概率和統(tǒng)計函數(shù)；5.變量界定函數(shù)：這類函數(shù)用來定義變量的取值范圍；11/19/202266Lingo有8種類型的函數(shù)：11/11/206.集操作、循環(huán)函數(shù)：這類函數(shù)對集的元素進行特定的操作；7.數(shù)據(jù)輸入輸出函數(shù)：這類函數(shù)可以進行數(shù)據(jù)的輸入輸出；8.輔助函數(shù)：各種Lingo特有的函數(shù)。11/19/2022676.集操作、循環(huán)函數(shù)：這類函數(shù)對集的元素進1.基本運算符基本運算符在Lingo中是非?；?，非常重要的。(1)算術(shù)運算符Lingo提供了5種二元運算符：＾乘方;﹡乘;／除;﹢加;﹣減。Lingo唯一的一元算術(shù)運算符是取反函數(shù)“﹣”。11/19/2022681.基本運算符11/11/202268這些運算符的優(yōu)先級為：高﹣（取反）＾﹡／低﹢﹣運算符的運算次序為從左到右按優(yōu)先級高低來執(zhí)行。運算的次序可以用圓括號()來改變。11/19/202269這些運算符的優(yōu)先級為：11/11/202269(2)邏輯運算符在Lingo中，邏輯運算符主要用于判斷某一變量是否屬于一個集合。如對某個集合元素求和時就需要判斷某個元素是否屬于該集合。Lingo具有下列9種邏輯運算符：#not#否定該操作數(shù)的邏輯值，＃not＃是一個一元運算符；11/19/202270(2)邏輯運算符11/11/202270#eq#若兩邊相等，則為true，否則為false；#ne#若兩邊不相等，則為true,否則為false；#gt#若左邊嚴格大于右邊，則為true,否則為false;#ge#若左邊大于或等于右邊，則為true，否則為false；11/19/202271#eq#若兩邊相等，則為true，否則為#lt#若左邊嚴格小于右邊，則為true，否則為false；#le#若左邊小于或等于右邊，則為true，否則為false；#and#當兩個參數(shù)都為true時，結(jié)果為true，否則為false；#or#當兩個參數(shù)都為false時，結(jié)果為false，否則為true。11/19/202272#lt#若左邊嚴格小于右邊，則為true這些運算符的優(yōu)先級為：高#not##eq##ne##gt##ge##lt##le#低#and##or#(3)關(guān)系運算符在Lingo中，關(guān)系運算符主要是被用來指出一個表達式的左邊是否等于、小于等于、或者大于等于右邊，11/19/202273這些運算符的優(yōu)先級為：11/11/20227形成模型的一個約束條件。關(guān)系運算符與邏輯運算符#eq#、#le#、#ge#具有本質(zhì)的區(qū)別，前者是模型中該關(guān)系運算符所指定關(guān)系的為真描述，而后者僅僅判斷一個該關(guān)系是否被滿足：滿足為真，不滿足為假。Lingo有三種關(guān)系運算符：“=”,“<=”和“>=”。11/19/202274形成模型的一個約束條件。關(guān)系運算符與邏輯運算符#eq#、#lLingo不支持嚴格小于和嚴格大于關(guān)系運算符，Lingo默認“<”和“>”即表示“<=”和“>=”。如果需要嚴格小于和嚴格大于關(guān)系，比如A<B，可以把它變成小于等于表達式:A+ε<=B,這里ε是一個小的正數(shù)，它的值依賴于模型中A小于B多少才算不等。11/19/202275Lingo不支持嚴格小于和嚴格大于關(guān)系運算符上述三類操作符的優(yōu)先級為：高#not#﹣（取反）＾﹡／﹢﹣#eq##ne##gt##ge##lt##le##and##or#低<==>=。11/19/202276上述三類操作符的優(yōu)先級為：11/11/2022.數(shù)學函數(shù)Lingo提供了兩類數(shù)學函數(shù)：一般函數(shù)和三角函數(shù)。@abs(x)x的絕對值；@sin(x)x的正弦值;@cos(x)x的余弦值；@tan(x)x的正切值；@exp(x)常數(shù)e的x次方；11/19/2022772.數(shù)學函數(shù)11/11/202277@log(x)x的自然對數(shù)；@sign(x)符號函數(shù)；@floor(x)x的整數(shù)部分。當x>=0時，返回不超過x的最大整數(shù)；當x<0時，返回不低于x的最大整數(shù)；@smax(smin)(x1,x2,…,xn)x1,x2,…,xn中的最大(小)值。11/19/202278@log(x)x的自然對數(shù)；11/113.集合循環(huán)函數(shù)與操作函數(shù)集合循環(huán)函數(shù)可對集合中的元素(下標)進行循環(huán)操作，其用法為：@function(setname[(set_index_list)[|condition]]:expression_list)；其中，function是集合函數(shù)名，例如,FOR,MAX,MIN,PROD,SUM；setname是集合名；set_index_list是集合11/19/2022793.集合循環(huán)函數(shù)與操作函數(shù)11/11/202279索引列表；condition是過濾條件；expression_list是表達式列表。集合操作函數(shù)是指對集合進行操作的函數(shù)，主要有@IN,@INDEX,@WRAP,@SIZE。在集合循環(huán)和集合操作函數(shù)中，最常用的是@FOR和@SUM。請各位務必要結(jié)合實例熟練掌握。11/19/202280索引列表；condition是過濾條件；expressio4.其它函數(shù)除前述函數(shù)外，Lingo中還有變量界定函數(shù)：@BND,@BIN,@FREE,@GIN；輸入輸出函數(shù)：@FILE,@TEXT;金融函數(shù)、概率函數(shù)、結(jié)果報告函數(shù)等。11/19/2022814.其它函數(shù)11/11/202281五、Lingo應用實例11/19/202282五、Lingo應用實例11/11/202282本節(jié)簡要介紹用Lingo編程語言求解的幾個典型運籌與圖論問題：運輸問題、指派問題、最短路問題、最大流問題、最小費用最大流問題。目的是進一步熟悉、掌握：集的概念和用法；Lingo的程序結(jié)構(gòu)；循環(huán)、求和等語句和函數(shù)的用法；知曉Lingo能解決的典型問題。11/19/202283本節(jié)簡要介紹用Lingo編程語言求解的幾個典

例8設(shè)3個產(chǎn)地和4個銷地的運輸問題的產(chǎn)量、銷量及單位運費如下表，試求總運費最小的運輸方案。B1B2B3B4產(chǎn)量A1626730A2495325A3881521銷量1517221211/19/202284例8設(shè)3個產(chǎn)地和4個銷地的運輸問題的產(chǎn)量運輸問題的Lingo程序model:sets:Warehouse/1..3/:a;Customer/1..4/:b;Routes(Warehouse,Customer):c,x;endsetsdata:a=30,25,21;b=15,17,22,12;11/19/202285運輸問題的Lingo程序11/11/202285c=6,2,6,7,4,9,5,3,8,8,1,5;enddatamin=@sum(Routes:c*x);@for(Warehouse(i):@sum(Customer(j):x(i,j))<a(i));@for(Customer(j):@sum(Warehouse(i):x(i,j))=b(j));end11/19/202286c=6,2,6,7,11/11/20228

例9考慮6人做6項工作的最優(yōu)指派問題，若收益矩陣如下表：“—”表示某人無法做某項工作。11/19/202287例9考慮6人做6項工作的最優(yōu)指派問題，若收指派問題Lingo程序model:sets:Flight/1..6/;Assign(Flight,Flight):c,x;endsetsdata:c=2015165471715331286912181630131281127191411/19/202288指派問題Lingo程序11/11/202288-99710211032-99-99-9961113;enddatamax=@sum(Assign:c*x);@for(Flight(i):@sum(Flight(j):x(i,j))=1;@sum(Flight(j):x(j,i))=1;);end11/19/202289-997102110

例10如圖，A,B1,B2,C1,C2,C3,D共7個城市有道路相連，連線邊數(shù)字表示道路的長度。請設(shè)計A到D最小價格管道鋪設(shè)方案。11/19/202290例10如圖，A,B1,B2,C1,C2,C最短路Lingo程序model:sets:cities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;roads(cities,cities)/A,B1A,B2B1,C1B1,C2B1,C3B2,C1B2,C2B2,C3C1,DC2,DC3,D/:w,x;endsets11/19/202291最短路Lingo程序11/11/202291data:w=24331231134;enddatan=@size(cities);min=@sum(roads:w*x);@for(cities(i)|i#ne#1#and#i#ne#n:@sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i)));@sum(roads(i,j)|i#eq#1:x(i,j))=1;

end11/19/202292data:11/11/202292

例11現(xiàn)需要將城市s的石油通過管道運送到城市t,中間有4個中轉(zhuǎn)站v1~v4，管道連接及容量如下圖，求城市s到城市t的最大流。11/19/202293例11現(xiàn)需要將城市s的石油通過管道運送到城最大流Lingo程序model:sets:nodes/s,1,2,3,4,t/;arcs(nodes,nodes)/s,1s,21,21,32,43,23,t4,34,t/:c,f;endsetsdata:c=8759925610;enddatamax=flow;11/19/202294最大流Lingo程序11/11/202294@for(nodes(i)|i#ne#1#and#i#ne#@size(nodes):@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=0);@sum(arcs(i,j)|i#eq#1:f(i,j))=flow;@for(arcs:@bnd(0,f,c));end11/19/202295@for(nodes(i)|i#ne#1#and#最大流另一Lingo程序sets:nodes/s,1,2,3,4,t/;arcs(nodes,nodes):p,c,f;endsetsdata:p=011000001100000010001001000101000000;c=08700011/19/202296最大流另一Lingo程序11/11/2022960059000000900020050006010000000;enddatamax=flow;@for(nodes(i)|i#ne#1#and#i#ne#@size(nodes):@sum(nodes(j):p(i,j)*f(i,j))=@sum(nodes(j):p(j,i)*f(j,i)));@sum(nodes(i):p(1,i)*f(1,i))=flow;@for(arcs:@bnd(0,f,c));11/19/20229700590011/11/202297

例12接上例，假設(shè)每條管道的運輸費用不同，具體數(shù)值見下圖，求最小費用最大流。11/19/202298例12接上例，假設(shè)每條管道的運輸費用不同最小費用最大流Lingo程序sets:nodes/s,1,2,3,4,t/:d;arcs(nodes,nodes)/s,1s,21,21,32,43,23,t4,34,t/:c,u,f;endsetsdata:d=140000-14;c=285231647;u=8759925610;11/19/202299最小費用最大流Lingo程序11/11/202299enddatamin=@sum(arcs:c*f);@for(nodes(i)|i#ne#1#and#i#ne#@size(nodes):@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i));@sum(arcs(i,j)|i#eq#1:f(i,j))=d(1);@for(arcs:@bnd(0,f,u));11/19/2022100enddata11/11/2022100

例13某地區(qū)由1個城市(標記為1)和9個鄉(xiāng)鎮(zhèn)(標記為2～10)組成，其中城市1有天然氣源。如何設(shè)計一個供氣系統(tǒng)，使得城市1到每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)都有一條管道相連，并且鋪設(shè)管道的量盡可能少。地區(qū)地理圖及距離如下：11/19/2022101例13某地區(qū)由1個城市(標記為1)和9個鄉(xiāng)11/19/202210211/11/2022102最小生成樹Lingo程序sets:cities/1..10/:level;link(cities,cities):distance,x;endsetsdata:distance=085912141216172280915168111814225907911712121791570317107151512169308106151511/19/2022103最小生成樹Lingo程序11/11/20221031481117809148161211710109086111618127614801111171412151586110102222171515161111100;enddatan=@size(cities);min=@sum(link(i,j)|i#ne#j:distance(i,j)*x(i,j));@sum(cities(i)|i#gt#1:x(1,i))>=1;@for(cities(i)|i#gt#1:11/19/2022104148111780@sum(cities(j)|j#ne#i:x(j,i))=1;@for(cities(j)|j#gt#1#and#j#ne#i:level(j)>level(i)+x(i,j)-(n-2)*(1-x(i,j))+(n-3)*x(j,i););@bnd(1,level(i),999999);level(i)<n-1-(n-2)*x(1,i););@for(link:@bin(x));11/19/2022105@sum(cities(j)|j#ne#i:x(j,經(jīng)計算，最小生成樹(最優(yōu)連線)如下圖，最小距離為60。11/19/2022106經(jīng)計算，最小生成樹(最優(yōu)連線)如下圖，最小距六、上機練習11/19/2022107六、上機練習11/11/20221071.有兩個煤廠A,B，每月分別進煤不少于60t,100t，它們擔負供應三個居民區(qū)用煤任務，這三個居民區(qū)每月用煤分別為45t,75t,40t。A廠離這三居民區(qū)分別是10km,5km,6km，B廠離三居民區(qū)分別是4km,8km,15km。問這兩煤廠如何分配供煤，才能使運量最小？11/19/20221081.有兩個煤廠A,B，每月分別進煤不少于62.已知有6個人(1,2,3,4,5,6)可以做6項工作(1’,2’,3’,4’,5’,6’)，每個人做每項工作的效率如下表，問如何安排每人的工作，使總工作效率最大？11/19/20221092.已知有6個人(1,2,3,4,5,6)3.求下圖中從v1到v11的最短路。11/19/20221103.求下圖中從v1到v11的最短路。4.求下列網(wǎng)絡(luò)的最大流：11/19/20221114.求下列網(wǎng)絡(luò)的最大流：5.求下網(wǎng)絡(luò)的最小費用最大流，括號中第1個數(shù)是容量，第2個數(shù)是單位費用。11/19/20221125.求下網(wǎng)絡(luò)的最小費用最大流，括號中第1個6.已知北京(B)、紐約(N)、巴黎(P)、倫敦(L)、東京(T)、墨西哥(M)距離如下表，求網(wǎng)絡(luò)最小生成樹。11/19/20221136.已知北京(B)、紐約(N)、巴黎(P)考慮到上述3~6屬圖論問題，建議采用Lingo和Matlab兩種方法計算。11/19/2022114考慮到上述3~6屬圖論問題，建議采用Ling2013數(shù)學建模培訓11/19/20221152013數(shù)學建模培訓11/11/20221第七講數(shù)學規(guī)劃與Lingo11/19/2022116第七講數(shù)學規(guī)劃與Lingo11/11/20222一、引言11/19/2022117一、引言11/11/20223在實際中，經(jīng)常會遇到如何利用現(xiàn)有資源來安排生產(chǎn)，以取得最大經(jīng)濟效益的問題，這類問題構(gòu)成了運籌學的一個重要分支——數(shù)學規(guī)劃。數(shù)學規(guī)劃包括線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等。數(shù)學規(guī)劃是建模競賽中最常見的11/19/2022118在實際中，經(jīng)常會遇到如何利用現(xiàn)有資源來安排生模型，2005B,2006A,2007B,2011B等均與數(shù)學規(guī)劃密切相關(guān)?？梢杂肕atlab求解數(shù)學規(guī)劃,但最便捷的方法是利用優(yōu)化專用軟件包Lingo。Lingo不僅能精確、快捷地求解包括數(shù)學規(guī)劃在內(nèi)的幾乎所有的最優(yōu)化問題，而且Lingo內(nèi)含一種建模語言，可方便地描述較大規(guī)模的最優(yōu)11/19/2022119模型，2005B,2006A,2007B,2011B等化問題。本講內(nèi)容包括：(1)線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃及Lingo解法；(2)Lingo建模語言；(3)用Lingo求解運輸問題、指派問題、典型圖論模型(最短路、最大流、最小費用最大流、最小生成樹);(4)數(shù)學規(guī)劃綜合建模實例。11/19/2022120化問題。11/11/20226下面給出本講學習大綱，以方便大家學習。1.能熟練建立并用Lingo求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃。2.理解、掌握Lingo中集的概念與用法。3.熟悉Lingo典型程序的結(jié)構(gòu)，特別是目標函數(shù)與約束部分。11/19/2022121下面給出本講學習大綱，以方便大家學習。11/4.能將較為復雜的數(shù)學規(guī)劃轉(zhuǎn)化為典型的Lingo程序。5.熟悉、掌握Lingo中的常用算符和函數(shù)。6.能應用Lingo求解運輸、指派、最短路、最大流、最小生成樹等問題。11/19/20221224.能將較為復雜的數(shù)學規(guī)劃轉(zhuǎn)化為典型的Lingo程序。11二、數(shù)學規(guī)劃及Lingo求解11/19/2022123二、數(shù)學規(guī)劃及Lingo求解11/11/202291.線性規(guī)劃

引例某工廠生產(chǎn)的機床每臺需要2.9m,2.1m,1.5m的軸各一根。這些軸用同一種圓鋼制作，圓鋼的長度為7.4m。如果要生產(chǎn)100臺機床,應如何下料，才能使得用料最省？

分析將7.4m的圓鋼截成三種軸,可以有如下幾種下料方式：11/19/20221241.線性規(guī)劃11/11/202210方式長度B1B2B3B4B5B6B7B8需求2.9211100001002.1021032101001.510130234100余料0.10.30.901.10.20.81.411/19/2022125方式B1B2B3B4B5B6B7B8需求2.92111000設(shè)用B1,…,B8方式下料的圓鋼的根數(shù)分別為x1,…,x8，則可建立數(shù)學模型如下：11/19/2022126設(shè)用B1,…,B8方式下料的圓鋼的根數(shù)分別為這類優(yōu)化問題稱為數(shù)學規(guī)劃。

xi稱為決策變量，S稱為目標函數(shù)，s.t后的式子稱為約束條件。由于本問題中的目標函數(shù)和約束條件均為線性，故稱為線性規(guī)劃。線性規(guī)劃是運籌學的重要分支，許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃。如下料問題、資源配置問題、運輸問題11/19/2022127這類優(yōu)化問題稱為數(shù)學規(guī)劃。11/11/202和指派問題等。

例1某3種產(chǎn)品需要原材料和勞動力兩種資源。每件產(chǎn)品所需資源、現(xiàn)有資源及產(chǎn)品價格如下表。試確定3種產(chǎn)品的日產(chǎn)量以使總產(chǎn)值最大。產(chǎn)品資源123現(xiàn)有資源原材料436120勞動力245100價格45311/19/2022128和指派問題等。產(chǎn)品123現(xiàn)有資源原材料436120勞動力24解(資源配置問題)設(shè)3種產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別為x1,x2,x3，則線性規(guī)劃模型為：11/19/2022129解(資源配置問題)設(shè)3種產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別例2磚廠A1,A2產(chǎn)量分別為23萬和27萬。它們產(chǎn)生的磚供應B1,B2,B3三個工地，需求量分別為17萬,18萬,15萬。磚廠到工地的運價如下表。應如何調(diào)運，才能使總運費最??？平衡表運價表B1B2B3供應量B1B2B3A123506070A2276011060需求1718155011/19/2022130例2磚廠A1,A2產(chǎn)量分別為23萬和27解(運輸問題)設(shè)磚廠Ai供應工地Bj的數(shù)量為xij，則線性規(guī)劃模型為：11/19/2022131解(運輸問題)設(shè)磚廠Ai供應工地Bj的數(shù)運輸問題除了用線性規(guī)劃求解外，還可用專門方法—表上作業(yè)法或Lingo編程語言求解。本例為供求平衡運輸問題。若供求不平衡，可通過虛擬生產(chǎn)商或銷售地的方法將其轉(zhuǎn)化為供求平衡運輸問題。11/19/2022132運輸問題除了用線性規(guī)劃求解外，還可用專門方法例3設(shè)有n件工作B1,…,Bn指派給n個人A1,…,An去做，每人只做一件工作,每件工作只指派給一個人做。設(shè)Ai完成Bj的工時為cij，如下表所示。問如何指派，才能使完成全部工作所需的總工時最少？11/19/2022133例3設(shè)有n件工作B1,…,Bn指派給n個人工作人員B1B2…BnA1c11c12…c1nA2c21c22…c2n……………Ancn1cn2…cnn11/19/2022134工作B1B2…BnA1c11c12…c1nA2c21c22…解(指派問題)設(shè)則線性規(guī)劃模型為：11/19/2022135解(指派問題)設(shè)11/11/202221

11/19/202213611/11/202222指派問題除了用線性規(guī)劃求解外，還可用專門方法—匈牙利法求解。若決策變量為整數(shù)，則稱此線性規(guī)劃為整數(shù)規(guī)劃。特別地,當決策變量只取0或1時，稱之為0-1規(guī)劃。顯然，指派問題為典型的0-1規(guī)劃。11/19/2022137指派問題除了用線性規(guī)劃求解外，還可用專門方法2.線性規(guī)劃的Lingo求解Lindo是Chicago大學的Schrage教授于1980年前后開發(fā)的專門用于求解數(shù)學規(guī)劃的軟件包,版權(quán)現(xiàn)歸屬美國Lindo系統(tǒng)公司。Lindo軟件包中包含Lindo,Gino,Lingo,LingoNL和“What’sBest”等，統(tǒng)稱為Lindo，其中以Lindo和Lingo最為常用。11/19/20221382.線性規(guī)劃的Lingo求解11/11/202224因Lindo的功能已全部被Lingo所覆蓋，Lindo已逐漸淡出市場。Lingo除了可以求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和二次規(guī)劃外，還可以求解非線性規(guī)劃和線性、非線性方程組。此外，它還內(nèi)置的建模語言和一些常用的數(shù)學函數(shù)，可以簡便、直觀地描述大規(guī)模優(yōu)化問題。11/19/2022139因Lindo的功能已全部被Lingo所覆蓋，Lingo有多種版本，如學生版、演示版、高級版、發(fā)行版、工業(yè)版等，主要區(qū)別在于對優(yōu)化規(guī)模(變量和約束個數(shù))有不同的限制。下面簡要介紹如何用Lingo求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和非線性規(guī)劃。引例的Lingo程序如下：11/19/2022140Lingo有多種版本，如學生版、演示版、高級model:(可省略)min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>100;x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8>100;end(可省略)然后點擊工具條上的按鈕即可。11/19/2022141model:(可省略)11/11/2022(1)Lingo已假設(shè)所有變量均非負，非負約束不必再寫入程序。必要時可用變量界定函數(shù)@free(x)解除變量x的非負假設(shè)；(2)約束條件中的≥和≤可用>和<代替。例1和例2的Lingo程序分別為：11/19/2022142(1)Lingo已假設(shè)所有變量均非負，非負max=4*x1+5*x2+3*x3;4*x1+3*x2+6*x3<120;2*x1+4*x2+5*x3<100;min=50*x11+60*x12+70*x13+60*x21+110*x22+60*x23;x11+x12+x13=23;x21+x22+x23=27;x11+x21=18;x12+x22=17;x13+x23=15;11/19/2022143max=4*x1+5*x2+3*x3;11/

例4求解整數(shù)規(guī)劃：Lingo程序如下：11/19/2022144例4求解整數(shù)規(guī)劃：11/11/202230max=2*x+3*y;4*x+3*y<10;3*x+5*y<12;@gin(x);@gin(y);程序中的@gin(x)為函數(shù)，表示x為整數(shù)。11/19/2022145max=2*x+3*y;11/11/2022

例5求解下列非線性規(guī)劃：Lingo程序如下：11/19/2022146例5求解下列非線性規(guī)劃：11/11/2022min=15*y+3*((5000-x)^2+y^2)^0.5+5*(x^2+(y-2000)^2)^0.5+4*((x-200)^2+(5600-y)^2)^0.5+12*((3000-x)^2+(4800-y)^2)^0.5+255*y/100;6000-2*x/5-y>0;@bnd(0,x,5000);程序中的@bnd為界定函數(shù)。11/19/2022147min=15*y+3*((5000-x)^2三、Lingo中的集與建模語言11/19/2022148三、Lingo中的集與建模語言11/11/202234前面例子中的目標函數(shù)和約束都可直接列出。但在許多大型模型中，可能需要表達一組相似的計算和約束。若再使用直接列出的方法，就要重復鍵入許多相似的計算和約束。Lingo允許把這些相聯(lián)系的對象定義成集。借助集，能夠用一個簡明的復合公式表示一系列相似的約束，11/19/2022149前面例子中的目標函數(shù)和約束都可直接列出。但在從而可以快速方便地表達規(guī)模較大的模型。集是LINGO建模語言的基礎(chǔ),是程序設(shè)計最強有力的基本構(gòu)件。下面介紹集的相關(guān)知識。只有掌握這些內(nèi)容后，才能真正熟練掌握利用Lingo描述數(shù)學模型的基本方法。11/19/2022150從而可以快速方便地表達規(guī)模較大的模型。集是LINGO建模語言1.集的基本概念集其實就是一群相關(guān)對象組成的集合，這些對象稱為集的成員。每個成員可能有一個或多個相關(guān)聯(lián)的特征，稱之為屬性。屬性值可以預先給定，也可以未知，有待Lingo求解。集的概念比較抽象、難懂。下面通過一個例子加以說明。11/19/20221511.集的基本概念11/11/202237例6某船廠需要決定下4個季度的產(chǎn)量。4個季度的需求量分別是40,60,72,25。每季度正常生產(chǎn)能力是40,每船的生產(chǎn)費用為400美元。若加班，每船的生產(chǎn)費用為450美元。每季度末,每船的庫存費用為20美元。假定生產(chǎn)提前期為0，初始庫存為10,問如何安排生產(chǎn)可使總費用最?。?1/19/2022152例6某船廠需要決定下4個季度的產(chǎn)量。4個季用DEM,RP,OP,INV分別表示需求量、正常產(chǎn)量、加班產(chǎn)量、庫存量，則它們每個季度都有一個對應值，即它們均為四個元素構(gòu)成的數(shù)組。其中，DEM已知，其余未知。易見，問題的數(shù)學模型為：11/19/2022153用DEM,RP,OP,INV分別表示需求量、上述問題的程序本不復雜，但遺憾的是Lingo沒有數(shù)組的概念,所以上述模型的Lingo程序較為繁瑣。11/19/202215411/11/202240考慮到DEM,RP,OP,INV均與季度有關(guān)，引入4個季度組成的集合QUARTERS={1,2,3,4},DEM,RP,OP,INV對此集合的每個元素1,2,3,4分別對應一個值，見后圖。QUARTERS={1,2,3,4}稱為集合,DEM,RP,OP,INV稱為該集合的屬性。11/19/2022155考慮到DEM,RP,OP,INV均與季其實，集合的屬性可理解為“數(shù)組”，而集合中的元素即為數(shù)組的“下標”。11/19/202215611/11/202242Lingo有兩種集：原始集和派生集。原始集由最基本的對象組成。派生集是從其它集派生得來的，它可以是另一個集的子集，也可以由其它幾個集中的元素組成。也就是說，它的成員來自于其它已存在的集。11/19/2022157Lingo有兩種集：原始集和派生集。11/1原始集的定義包括：集的名字；集的成員(可選)；集成員的屬性(可選)。定義原始集的語法為：setname[/member_list/][:attribute_list];“[]”表示該部分內(nèi)容可選。setname是集的名字,最好具有較11/19/2022158原始集的定義包括：集的名字；集的成員(可選)強的可讀性。集名字、集成員名以及集屬性名符合一般命名規(guī)則。例如，例5中的集合可用QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV;來定義。11/19/2022159強的可讀性。集名字、集成員名以及集屬性名符合一般命名規(guī)則。1有時需要將兩個及兩個以上的集合組成一個新集合，稱之為派生集。派生集的定義包括：集的名字；父集的名字；集成員(可選)；集成員的屬性(可選)。定義派生集的語法為：setname(parent_set_list)[/member_list/][:attribute_list];11/19/2022160有時需要將兩個及兩個以上的集合組成一個新集合setname是集的名字，parent_set_list是已定義的集的列表，多個時必須用逗號隔開。如果沒有指定成員列表，那么Lingo會自動創(chuàng)建父集成員的所有組合作為派生集的成員。派生集的父集既可以是原始集，也可以是其它的派生集。派生集的實例見例7。11/19/2022161setname是集的名字，parent_se2.Lingo的程序結(jié)構(gòu)一個典型的Lingo程序由mod