（-）函數(shù)極限連續(xù)色“理.?.走二.2第（2001.口）設(shè)義工）一|:產(chǎn)則八九/（工）?等于（）.10,|x|>lt（A）O.（B）l.（C）（b （D）（°,10,|x|>l. 11,|x|>l.解由/（公的定義知|/Cr）|4l,故兀/（工）：1=1,從而應(yīng)選（B）.（1990.N,V）設(shè)函數(shù)/（H）=_rtanx?L，，則/（工）是（ ）.（A）偶函數(shù).（B）無界函數(shù).（C）周期函數(shù).（D）單調(diào)函數(shù).解因為?-，010,當(dāng)工72"+］）字（"62）時,5工-8,從而所以/（工）是無界函數(shù).應(yīng)選（B）.（1992.V）已知/（才）=5皿工./1>（工）］=1一二，則？><X）=的定義域為.解由 sin中（才）=】一x2,得中（工）=4n4-（-1）*ansin（1—3）/€久又由|1一^|41,得|工|《々.故對任一&值5（工）的定義域均為［-々，閔.［近抖，若”為奇數(shù).（1991.V）設(shè)數(shù)列的通項為了.' 則當(dāng)io時.|士. 若"為偶數(shù).X.是（）.（A）無窮大鼠.（B）無窮小量.（C）有界變過.（D）無界變值.解因為孫+產(chǎn)（/+1）+°（loo）,，2*+1工”=*-*0所以二是無界變量，應(yīng)選（D）.+丁J（）991.I,口，皿）曲線產(chǎn)工-7（ ）.1-e<A)沒有漸近線. (B)僅有水平漸近線.(C)僅有鉗直漸近線. (D)既有水平漸近線又有船直漸近線.解因為lim科==1? J=lim^—；=+?o,所以應(yīng)選(D).(199&ID設(shè)數(shù)列｛工.｝與｛%｝滿足處rj.=O,則下列斷言正確的是().(A)若同｝發(fā)散，則｛端必發(fā)散."(B)若0)無界,則｛%｝必有界.(O若5｝有界，則(端必為無窮小(D)若｛士｝為無窮小，則｛4必為無窮小解取二="5=3,則隔工>.=0,且0｝發(fā)散，但｛端收斂，故(A)不正確.取”.=□+(-(—1尸］勿，則limx?y,-O,且｛*.),｛M)都無W■OO界，故(B)不正確.取二則limx"HO,且｛1?｝有界，但｛y｝不是無窮小，故(C)也不正確.由如jtjlO知(3/為無窮小(，L8),故當(dāng)｛：)為無窮小時,｛》｝.卜3.)?J-)為無窮小，故應(yīng)選(D).(2001.D)設(shè)當(dāng)10時是比工sin/高階的無窮小，而cin工是比(5-I)高階的無窮小，則正整數(shù)”等于( ).(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.解當(dāng)l?0Ht.(1—cosx)ln(l+aJ)1-■.xsinx"?廣*''?/-1?x*?故應(yīng)選(B).(2004.DhlV)函數(shù)/(工)=》絆普三賽在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界(A)(-1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).解因為Ll及l(fā)2時，均有/(工)-8,所以人工)在(0,1),(1.2)，(2,3)內(nèi)均無界,故應(yīng)選(A).(2004,口)設(shè)義工)=則沿捽.則/(外的間斷點為了=.解因為當(dāng)了#0時，一x_i._(n-1)jt_1人力如?^阡？一1，所以

二，/()? 石、卜1/(*>=TOC\o"1-5"\h\z工 -=8,/(*>=0,1=0,j-*?x0,1=0,從而/*(*)的間斷點為z=0.(1994.I,II)Hrn(cot y)=.解由等價無窮小代換定理4?爐1lim(cotr)(-3 = ”=1淅-^-=去I\sinxx)ursm工tan工u13 611.(311.(3D)求解嗑鐳爭b/l+tan^-Vl+ain”二口JtanLsjnz 1Ixln(14-x)-?-?lx[ln(H-x)—x]Jl+tanr+v^l+sin』1 1-cosx11?sin工一1=2如ln(l+rlF則二五一01+工[3?<1997.I)㈣i+cos工)|水1勃解因為四謂輕T㈣而隹5=3,J^COS-J^COS ]lim.Z1>~~r.litn limrcos-=0,ln(1?X/「?<> xj~h> x3sinx+x2cos- ] 「q?J^cos--il*m7TT \t/1jf<=liniTT ]券1+1/1工會x-o(14~cosx)ln(H-x)il+cos工]卜(1+工)!n(l-Fx)J=1(3+0)=1.

FH+ 1 [ 2 ? ?n2{if4~n4-w)n24"n4-l〃?+"+2nl+n4-n

y/(w4"l)2(產(chǎn)+〃+1)'螞國*r呵溪W，所以由央遙準(zhǔn)則知原式=十.(1998.I,|])lin/1+j+^1~，r~2=j-o Jr 解法一利用洛必達(dá)法則,.J1+^+5/1一工一2"lim”丐/正

j-o.J1+^+5/1一工一2"lim”丐/正

j-o.4r解法二"?jlim-=1利用泰勒公式，因為X?1+工-系十（》1）2!所以=lim-1-02!十+。（內(nèi)所以=lim-1-02!十+。（內(nèi)16.（2006,1）四嘿器解法一利用等價無窮小，原極限=lim年'=2.J**C1 92^解法二利用三角公式及兩個重要極限,原極限=如售詈

=lim2?--—,limln（14"x）*=2*1-2.-4n喝1（1994.皿）計算limtan"（彳+。）.。 1+tan2因為1所（彳+：）=匚14，limtan2tan-1"劉21-tan-所以limtan2tan-1"劉21-tan-所以~l-tan-nl+tan-V n,~~21-tan-2g2］胃號?由l-tan-（2006,I）設(shè)數(shù)列I.｝設(shè)足（XxiVir,JLsinx.（2g2］胃號?由l-tan-（I）證明limx.存在,并求該極限i（口）計算㈣（于H*.解（I）用歸納法證明｛H.｝單蠲減少且有下界.由0<xiVk,得0<Crj■sinxi<xi<xi設(shè)（Xjt.Vtt,則0<x.4i=sinx,<x.<xi所以｛工.）單調(diào)減少且有下界，故limx.存在.記a=linur■?由jvh=sinx?得■?3a=sina.所以.=（）,即limxM-0.■?a(n)因為］淅（典戶=|融內(nèi)=日葉.

\X/j-?alimgIn5ilL?=limy-（—"）=lim^-x-ojrxiZr'sin*x/lo2jt_i?-orsinx1=1!2-67—="6-lim心）」+,J^\X/又由（I）,limH.=0,所以■?3|油（見）*=lim（應(yīng)猿=lim（鮑曰=e4.

XM/ \X./ ■r*#、T/19.(2002.V)設(shè)0VhiV3,工1rM=/r.(3—，)(”=1,2,…)，證明數(shù)列｛工.｝的極限存在,并求此極限.證由題設(shè)0V4V3知,與及3—』均為正數(shù)，故故由數(shù)學(xué)歸納法知,對任意正整數(shù)”>1,均有即數(shù)列｛工.｝是有界的.又當(dāng)”>】時，”?.1一工.”“3-”?)一工?.Zx?(y3-X.-tS?)=察冬善1)0(因0<54給，/3—x.+-/xT' 2'故當(dāng)n>l時,即數(shù)列U.｝單調(diào)增加.根據(jù)單調(diào)有界極限存在準(zhǔn)則知linur.存在.設(shè)limx.Ha,由?r**olimx1rH=limy/x.dJ-xw),得 a=Va(3-a).從而 2a‘-3a=0.

解得a=K，a=O,因a=linxr”》O,故a=0舍去，得

4 - ?r*oo ■*ooCt.（1999.I）四（點一嬴尸 -解法一利用洛必達(dá)法則，原極限=肝嗡瞪=lim sin工口2sinx-Fxcosx_ CVS工 =一四3cosx-xsin13,解法二利用麥克勞林公式,原報限=5啥詈X3原報限=5啥詈X3+。(工')1=亍1=亍解法三利用等價無窮小代換及洛必達(dá)法則，EMiEvtanX-tan工-sec2]-1原極限=hm-J- =hm j—=hm-r-j-xtanx j-o xi3jttanG..J_1=hmn，-=hm力一~z-.

i&ri>3z<321.(2005.ni.W)求lim(:-與.解當(dāng)D時，]-e"?工,并利用浩必達(dá)法則得則（）.x=0,x=l都是/Cr）的第一類間斷點.

x=O.i=l都是〃h）的第二類間斷點.（C）z=0是/（工）的第一類間斷點，工=1是〃工）的第二類間斷點.（D）工=0是〃工）的第二類間斷點，工=1是人工）的第一類間斷點.解因為lim/（x）=oo.lim/（x）—0,lim/（x）=—1,i> i+ i-所以應(yīng)選（D）.(2002.fl)設(shè)函數(shù)"工)=?arcsin與 在工=0處連續(xù),a6, ]40則a=.解 lim/(x)=lim- -lim-tan—-2,I，^+arcsin-lim/（x）=limae2z=a=/（0）.因/（工）在工h。處連續(xù)，故lim/（x）=/（0）-lim/（工）,從而得an-2.I+ ?I-（1998.II）求函數(shù)f（H）=H+H）"（T）在區(qū)間（0,22內(nèi)的間斷點，并判斷其類型.解義工）在（0,2外內(nèi)的間斷點為了=￡,華，苧，午.在工=彳處j（g+）=+8,在工若案處,/信+）=+00,故H=V普為第二類間斷點（無窮間斷點）|在工=竽處,lim/（H）=l,在工=孑”處,I岬/（工）=1，故土=學(xué)號為第一T T類間斷點（可去間斷點）.（2001.口）求極限陽（*^）=^,記此極限為八外,求函數(shù)/（工）的間斷點并指出其類型.解因為/Cr）=J;：3T原inSin原inSin￥耨=場工/(1)二/?costsinx,八外的間斷點為在x-0處= =e，故工=0是函數(shù)人工）的第一類間斷點（可去間斷點以在*=6兄*=±1.±2「??）處，1吧/（工）=8,故*=*《&=±].土2,…）是函數(shù)/（工）的第二類間斷點（無窮間斷點）.（1992.N）設(shè)函數(shù)g—Li）,若工孫g—Li）,若工孫1-sinyx

】,若Ll,/(x)?lim>/\—j-e/(x)?lim>/\—j-e1/ITlim/(x)?=lim-~十”一5x—arcsirtr問函數(shù)fCr）在工=1處是否連續(xù)？若不連續(xù)，修改函數(shù)在r=l處的定義，使之連續(xù).解因為lim/0）Tim—-（L1）-2iim*n0T）f—1嶗工kicos京=2]imWl匚》一%八1）,所以函數(shù)/（工）在工=1處不連續(xù).若修改定義，令/（D=-*，則函數(shù)在工=1處連續(xù).（2003.0）設(shè)函數(shù)x<0.ln(】+ar，)

x-arcsiru*x<0.6.Iwin手

問a為何值時,/（工）在工=0處連續(xù);a為何值時.工=0是/（工）的可去間斷點?解lim/(")=limIC+or”i-i-x-arcsiar

(二)一元函教微分高通(1989.I,n)已知［'(3)=2,則解出H-始立3)一今也以3_,?、且徊?，⑶一i.(1989.［H)設(shè)八外在H=a的某個鄰域內(nèi)有定義，則人工)在H=a處可導(dǎo)的一個充分條件是().(A)川中［小++)一人)］存在.(B)忸&+2A)1/3十G)存在.(C)lin/(a+.￡/(Q_也存在. (D) 皿二件組存在.d 6n dn解ISlim〃a)_fa_A)=limaa+(；-AX_/Q)

A-o n -*-c l-n)

=1而小+”一盤,

in故應(yīng)選(D).關(guān)于其他三個選項,(A)和(B)不是充分條件比較明顯，至于(C)的排除可用反例來說明，例如設(shè)10,x=a.則人工)在工處間斷，因而fGr)在x=a處不可導(dǎo)，但hm*1 XT-1 0.4/1(2001.I)設(shè)f(0)=0,則/G)在點x=0可導(dǎo)的充要條件為( ).(A)lim&f(l-cosA)存在. (B)limj/d-e*)存在.fc—0fl hIBOflKrn^f/(A—sinA)存在.Krn^f/(A—sinA)存在.lim《［7(2A)-f(A)］存在.解令1一/,，則A=ln(l-r),當(dāng)&-X)時,，~0,故1，八/(?)一”/,(t)~/(0)t也也 —t ?疝千由導(dǎo)數(shù)的定義知，應(yīng)選(B).關(guān)于其他三個選項的排除，可用反例說明.取義工)=1x1，則人工)在工=0處不可導(dǎo)，但lim^/(l-COSA)=四"節(jié)?=1?sinA)=lim-^~=0,*-en mh故排除(A)和(C).又取〃工)=[：'工會加八工)在-r-0處不連續(xù)，從而八0)不存在.但10?j<0.lim4-[/(2A)-/(A)]=lim4-<0-0)=0.ith iTh即小左/⑵)一/W」存在,故排除(D).4.(1990.01)設(shè)、=e*sinq,則y'=,(2004.I)已知/'(eO=He",且/(I)=0,則/(h)=.解令d=，，則工=Im.由f\e)=工『知/'?)=中,積分得/(r)=-y(In/)1+C.再由/(I)=0知C=。，故/(j)=-l-(lar)1.(2004.D)設(shè)函數(shù)人工)由參數(shù)方程產(chǎn)=d+3r+1?ly=P—3r+】確定,則曲線y?y(x)向上凸的x取值范圍為.解由題設(shè)知曲-—-1ct7+if出=&/如).@=一―一Mdt\dx)dr 3(產(chǎn)+1產(chǎn)令總V0,得fVO.代人工=1+31+1并由單調(diào)性知mV1,故所求取值范圍為(一8,1)或(一8,1].注：由于$>0,故函數(shù)了=工(，)是單調(diào)的u與，之間的對應(yīng)是一對一的,從而保證參數(shù)方程確定函數(shù)yny(x).(1999.U)曲線E="''n"‘在點(0,1)處的法線方程為 .l,y=ecost施或9sz3s-cosL/sint=cosf-sinfdxxte'sin2f+2。8s2tsin2z+2cos點(0,1)對應(yīng)參數(shù)L0圜」■!■，于是所求法線方程為》一］=-2工，即2i+y—1==0.(1994.皿設(shè)函數(shù)y=y(H)由參數(shù)方程仁所確定，則守于是，解得 a=2,6=-l.解法二由/(A)在A=0處可導(dǎo)，即5&2/(8=八0),

h于是嗎?2。?

n從而有/(A)=/(0)+/，(0)A4-o,(h),lim24^=lim<l=0.h-Hn同理有/(2A)=/(0)+/z(0)2A4-ol(A),lim2t^=0.*-h>n所以a/(h)+fc/(2A)-/(0)=(a4-6-l)/(0)+(a4-26)/，(0)A+o(A),按題設(shè).當(dāng)I時上式右端應(yīng)是h的高階無窮小.從而(a+6-1)/(0)-0及(a+26)/，(0)-0.于是a+6-l-0,a+26=0.得(2002.I)巳知兩曲線、=義工)與、=J："'e-'d,在點(0,0)處的切線相同，寫出此切線方程，并求極限n解由巳知條件得〃0)=0,故所求切線方程為y=x./2\ /(1)-/<0)linw?/(-)-lim2■ =2/'(0)=2.??co\U/ ■?8 4n(1987.I，H)設(shè)函數(shù)八”)在閉區(qū)間［0,1］上可徽,對于［0,1］上的每一個，函數(shù)/G)的值都在開區(qū)間(0,1)內(nèi)，且，(外工1,證明在(0.1)內(nèi)有且僅有一個z?使/(x)=x.證令FG)=〃工)一工，則FG)在［0,1］上連續(xù).由于0V/Cr)Vl.所以F(0)=/(0)-0>0,F(l)=/(l)—1V0,故由零點定理知，在(0,1)內(nèi)至少存在一點］，使F(x)^/(x)—^=0?即/(x)=x.若有4,4€（0.1）.口*4,使/（X））=工|＞f（.xt）=xt.則由拉格朗日中值定理知，在（0.1）內(nèi)至少存在一點工使八力=￡（川一/H?=4F=1,4一11 4-X1這與題設(shè)/'（工）#1矛盾.綜上所得，在（0.1）內(nèi)有且僅有一個H，使人力=工.（1996.ID）設(shè)/（外在區(qū)間［a.6］上具有二階導(dǎo)數(shù)，且/儲）=八6）=0,證明存在證先證明存在￡€儲,6）.使八￡）=0.用反證法.若不存在SC（a,b）,使/（丹-0,則在（a,6）內(nèi)恒有/（工）＞0或/（工）＜0,不妨設(shè)人力＞0（對/（工）＜0,類似可證），則一? “一a j.jx-a/Z（A）-lim一球二承=lim&^40.Lb —-Lb從而與已知條件矛盾.所以在（a,〃）內(nèi)至少存在一點8使/（S）=0.再證存在"6（a,6）,使廣卬=0.由〃“）■/（〃）=/?）及羅爾定理知，存在小6（a,&和承使（平）=0,再在［加.*］上對函數(shù)/'（力運用羅爾定理，知存在代（小，拿）U（a而.使/?卬-0.（2001.1）設(shè)y=/（H）在（-1,1）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且/"（h）X0,試證：（1）對于內(nèi)的任一hXO.存在惟一的外工）6（0,1）,使/（x）=/（0）+工/'（洪工）工）成立1（2）蟒外=今證法一（1）任給非零工€（—1,1）,由拉格朗日中值定理得/（x）-/（0）+x//（Wx）x）（0＜tf（j）＜l）.因為廣Cr）在內(nèi)連續(xù)且，Cr）#o,所以，（H）在（一1.1）內(nèi)不變號,不妨設(shè)廠（工）＞0,則/'（工）在（一1.1）內(nèi)嚴(yán)格單增，故，（外惟一.（2）由泰勒公式得/（工）=/（0）+/'（0丘+］,（￡”在。與工之間.所以-/（X）-/（O）-,（0）工+}/*（“,所以從而由于 -廣⑹=/*(0),lim/,(f)=lim/*'(f)=/，<0),l? Cr\X/X j-*O LO故lim^(x>=-1r.證法二(1)同證法一(1).(2)對于非零工—由拉格朗日中值定理得/(x)=/(O)+x/z(Wx)x)(0<^(x)<l),8f ,《仇外"一，(0)，(工)一〃0)—廣(0)工TOC\o"1-5"\h\zX X*小工 I./'(灰H)H)一尸(。)"由于 皿一丞一二/(以Hm/Q)—人/一/'(。叱7多/：*)//'“)='r<0),?r*O X <i-O4X 6故 lim^Cx)55*-1-.j-*o4(2005.皿，ID以下四個命題中，正確的是( ).(A)若/'(工)在(0,1)內(nèi)連續(xù)，則人工)在(0,1)內(nèi)有界.(B)若f(工)在(0,D內(nèi)連續(xù),則f(工)在(0,1)內(nèi)有界.(C)若f'(H)在(0,1)內(nèi)有界，則人工)在(0,1)內(nèi)有界.(D)若義工)在(0,1)內(nèi)有界，則f'(h)在(0,1)內(nèi)有界.解若，(工)在(0,1)內(nèi)有界，則存在常數(shù)M>0,對任意x6(0,l).|/'Cr)|&M.又當(dāng)工6(0,1)時,由拉格朗日中值定理，有/(r)-/(1)=其中S介于工與士之間,于是有i/<x)k|/(1)|+m|x--|-|<|/(|)|+|m,故應(yīng)選(C).本題也可以用排除法.對選項(A)、(B),取八H〉=lm,則/'Cr)=+，lnr與十均在(0,1)內(nèi)連續(xù)，但hu■在(0,1)內(nèi)無界，故(A)、(B)均不正確,對選項(D).取f(力=s/F^r,fCz)在(0,1)內(nèi)有界，但，(工)=^^三在仙1)內(nèi)無V1—J7界，故(C)不正確.(2001.n)設(shè)/(工)在區(qū)間［-^^(。，(^上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/(0)=0.(1)寫出〃工)的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式，(2)證明在［一a,a］上至少存在一點小使卬=3匚0工)dr.解(1)對任意HC［-a,a］,〃力=/(0)+/'(0)工+4^3=/'(0)工+烏2x*，其中S在。與工之間.J：/(x)dr-1/'(0krdx+匚若/*(W)dr=*［］/(由dr.因為/(彳)在［-a,a］上連續(xù)，故對任意的工￡［—有m&f'(n)&M,其中M,m分別為f*Gr)在［一°向上的最大、最小值,所以有m|ddr^j/(x)djr=Yjx1f"Jj^dLtt即 m尋(/(x)dx<M.因而由/*(工)的連續(xù)性知,至少存在一點q€［-a,a］,使_［;八工)公，即 &'尸(獻(xiàn)=31/(x)dr.下面我們給出(2)的另一種證法.令F(j)=1 因為/(工)在［—a,a］上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以F(h)在［一a,a］上有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且F(0)=0,F7O-O,尸(0)=0.由泰勒公式知存在￡6(-a,a),使得FGr)=「/S&=5F*(￡)x\吒(-a,a).由F,(6=/*(工)+/*(一工),故有「/Odz-7；［/*(?)+/*(-Oli4,f€(-a.a).J-jr O!又因為，Cr)連續(xù),所以在S與一S之間存在力使得小5歿上叁=，(門.從|/(?)dt=-y/*(7>Jr1?西(一a,a).在上式中令即得所證.(按此證法》可在開區(qū)間(一。,&)內(nèi)取得，比原題結(jié)論更精確.)(2006.I)設(shè)函數(shù)y=/Gr)具有二階導(dǎo)數(shù)，且/'(工)>0,/*(工)>0,Ar為自變量工在點工。處的增量,Ay與dy分別為人工)在點工。處對應(yīng)的增世與微分，若Ar>0,!M( ).<A)0<d><Ay. (B)0<Ay<d>.<C)△><<!><0, (D)dy<Ay<0.解由一階泰勒公式/(xo+Ar)=/(Ho)+/'(J：o)Ar+4j^(Ar)'，其中g(shù)介于Ho與He+Ar之間,及已知條件知dy=/z(Xo)Ax>0,A^-dy=>0,故應(yīng)選(A).(1990.UI)證明當(dāng)工>0時，有不等式arctan>>?,.x2證設(shè)/(ar)-arctan彳+5一手(*>0).則故函數(shù)人外在(0,+8)內(nèi)單調(diào)減少.又lim/(x)=0.于是/(")=arctan”+/一個>0(x>0),即 arctan (x>0).(1993.陽)設(shè)工>0,常數(shù)?>e.證明(4+工廠<0*”.證由函數(shù)y=ln”的單調(diào)性,只需證ciln(a4-xX(a4~x)lna.設(shè)/(x)=(a+x)lna—aln儲+工)■貝I]/(”)在[0,+8)內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且/'(xXlna-.^^>0,所以f(工)在匚0?+8)內(nèi)單調(diào)增加?又/(0)=0,從而/(x)>0(x>0),即 aln(a4-xX(a+x)lna(x>0).因此 儲+工)"<。”"(x>0).(1999.I)試證：當(dāng)工>0時，(j1-DIn侖(工一1》.證法一令—一（工一1汽”>0）,易知/i）=o.由于向《jrEZjdna-i+2-I,/⑴=0?<p（"）=21|>工+1+/,5中，故當(dāng)OVrVl時.”（jr）?h當(dāng)l<rV+8時,/（x）>0,從而/（工）在工=1處取得最小值，而,（1）=2>0,故當(dāng)工€（0,+8）時“（工）>0,從而中'（外在（0,+8）內(nèi)單調(diào)增加.又乎'（1）=0?故當(dāng)°<5<1時?/（h）VO；當(dāng)l<X+8時,中'（工）>0.從而6工）在工=1處取得最小值，而中（I）=0,故中（工）》0,即當(dāng)了>0時,（二-l）ln工》（1一I）］.證法二令力/二皿工一鬲行:^人則^（4：）=7-（7117*7^￥17>0（x>0>-從而6工）在（0,+8）內(nèi)單調(diào)增加，而61）=0,所以當(dāng)0V工VIflt.^txXOi當(dāng)l<rV+8時,研工）>0.于是當(dāng)工>0時，即 ?一1）12）（工一1）,進(jìn)一步，我們還可以證明：當(dāng)了>0時,（/-Dinx>2（x-iy.事實上，令必了）=In工-■隼譚，則p（1）=0,且/（工）=若xrl.所以當(dāng)OVhVI時,yCr）?h當(dāng)1VhV+8時?（工）>0.故當(dāng)工>0時,（工一1）6工）20,即有（x2一】）ln”22（工一1）'.（2005.山，?。┰O(shè)/（*）=zsinx+cosir.下列命鹿中正確的是（ ）.（A）八0）是極大值,/住）是極小值.（B）｛0）是極小值,/住）是極大值.（C）/（0）是極大值,/戰(zhàn)）也是極大值.(D)/(0)是極小值,/'(學(xué))也是極小值.解由于/'(z)=siar+xcosx-sinx=xcosx?/”(1)=cosx-xsinx*/(0)-/(f)=0,/*(0)=1>0/(m)一｝VO,故/Cr)在工=0處取得極小值，在工-1處取得極大值，應(yīng)選（B）.（2001.口）設(shè)。=〃力是拋物線上任一點M（h，WG）D處的曲率半徑，尸，力是該拋物線上介于點A（l,l）與M之間的孤長，計算即力一（新的值.（在直角坐標(biāo)系下曲率公式為K=（g§.）frrj , 1 0 1解y=2^'y~~T/^所以拋物線在點MQ，W處的曲率半徑p=p（工）=.="節(jié)J='（4z+D，?拋物線上病的弧長f=j（x）=卜1+『&=j：Jl+.dr.由參數(shù)方程求導(dǎo)公式得狀￡_d國1_6, 1_6d?±r\dslds2GI,,174x4-1dr J1+石從而即匏一償）'*"+1）'?^f-36X-9-（1990.皿）在橢圓￡+￡=1的第一象限部分上求一點P,使該點處的切線，橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積為最?。ㄆ渲衋>0,6A>）?解設(shè)所求點為PG。,8）,則該點處的切線方程為*.T，圖形面積為 —|-xa6.xo6（0,a）.設(shè)A=h。”=]jro，a'一乂,則a\ Va-X3/a⑷一x?圖研2-1圖研2-1由A'5）=0,得工產(chǎn)嚏，易知得為A的極大點，即S42 42的極小點，也是S的最小點，此時%.故所求點為P（哀'場）時'所圉圖形面積最小.（1993.皿）作半徑為r的球的外切正圓錐，問此圓錐的h為何值時，其體積最小，并求出該最小值.解設(shè)圜錐的底面圓半徑為R（見圖研2-1）.則有解得于是圓錐的體積為力/）=更此11也3（A-2r）,）內(nèi)的惟一駐點A=”,當(dāng)A=力/）=更此11也3（A-2r）,）內(nèi)的惟一駐點A=”,當(dāng)A=4r時，V取最小值,由可得V(A)在(2r,+8%4-=挈（1994.皿）設(shè)y=W^,求（1）函數(shù)的增減區(qū)間及極值；（2）函數(shù)圖像的凹凸區(qū)間及拐點：（3）漸近線, （4）作出其圖形.斛定義域（-8,0）1|（0,+8）.當(dāng)工=一％時,y=0.故駐點為工=2.又所以,（一8,0）所以,（一8,0）及（2,+8）為增區(qū)間，（0,2）為城區(qū)間,工=2為極小點,極小值為尸3.y"=§>0,故（一8。），（0,+8）均為凹區(qū)間,圖像無拐點.(3)因lim一豐^工+8.(3)因lim一豐^工+8.loarlim*=lim- =*1 ,j^>oo工r?bXT-x)=0=6,所以，工=0為鉛直漸近線,y=x為斜漸近線.(4)國形見圖研2-2.(1993.V)已知某廠生產(chǎn)工件產(chǎn)品的成本為C=25000+200h+工/(元)，40問K1)要使平均成本最小,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2)若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解(1)設(shè)平均成本為y,則25000+200+^

x 40由y，—一等奧+古=0,得工|=1000』—-1000(含去).因為y"1clM0=5?io-s>o,所以當(dāng)工=10’時,y取得極小值，也是最小值，因此.要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品.(2)利潤函數(shù)為L=500x-(25000+200x4-^)=300x-^-25000.由L'=300一言=0,得工=6000.因切…o=一番VO,所以當(dāng)工=6000時,L取得極大值,也是最大值，因此，要使利澗最大,應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品.（三）一元函數(shù)積分學(xué)，1989. 設(shè)八工)是連續(xù)函數(shù)，且人工)=工+2「"，)&,J0則/(工)=.解設(shè)J：/a)市=＜：,則八力=1+2門因此有c—￡(r+2c)drs=-1-+2ct得到一―十,故/(x)=x-l.(1999.I)%jsin(工-tVdf=.解[sin(x-f~—sinu2du=Jsin/du,因此有我[Jos'11("-"2"]=次(1s'?2cl?)=sinx2.fHsin/dt.工壬0,(20。6.n)設(shè)函數(shù)八工)工J。 在*=0處連續(xù)，則Ia,j*=0TOC\o"1-5"\h\zf§in?d/?? [解lim/(x)=?lim-~~$—=lim 》■r-0 r-0工 ^*o3x* 3因此，a—lim/(x)=(1991.皿)設(shè)函數(shù)/⑺=[7 記F(h)=『/(，)也，12-x.1O&2. J。0CY2,則有( ).FCr)=' &y+2x-y?IO42.

FCr)=’ ,―^+2x—彳，Kx^2.yt ?】，F(xiàn)(x)=^y+2x-ytl<x<2.j.O?l,F(")=<2x—奇，lVx^2.解當(dāng)O《Z】時,FCr)=J：/")也=。也=第當(dāng)l<x<2時，F(xiàn)Cr)=J：/")&=_[：/dz+j：(2一八市-i+2x~j-故選(B).(1999.口)設(shè)“工)=j：苧&，Hh)=J：’(1+伊山,則當(dāng)LO時，atr)是做工)的( ).(A)高階無窮小. (B)低階無窮小.(C)同階但不等價的無窮小. (D)等價無窮小.「包必 5?里左解由于lim招 lim —~x=-.I版工) (]+,)+&icos工?(1+sin工)±e故選(C).(2006.11)設(shè)人工)是奇函數(shù),除工=0外處處連續(xù),工=0是其第一類間斷點，則1/(力也是( ).J0(A)連續(xù)的奇函數(shù). (B)連續(xù)的偶函數(shù).(C)在工=0間斷的奇函數(shù). (D)在x=0間斷的偶函數(shù).解對于任意的工。,存在a>0,使得％e(—a,a),由條件可知/(工)在[-a.a]上有界.設(shè)|/(力|VM.Cr€a,a?,記F(幻=]/”)也，當(dāng)工。+M6[―Q,a]時，有 |F(x.+Ax)-F(x.)|=|￡*/G)dz|<A4.|Az|.故Ar—0時.F(h?4-Ar)-F(a)-0,即F(x)在h。處連續(xù).又F(—x)=J/(t)dt' "J—/(—u)du=1^/(K)dw=F(x)?所以FG)是連續(xù)的偶函數(shù)，故選(B).(1987.皿)計算[,,士,一dr,其中a,6是不全為0的非負(fù)常數(shù).Jasinx~rtrcoerx解當(dāng)aX0,6X0時，Ja%ii?j：+—cos*J&-\a，tanG+6**tan工，==arctan傳tanh)+C.當(dāng)a=0,�時，\而昌^業(yè)嗎JWHdr=6anh+C當(dāng)aX0,6=0時，\.si.H*.cos2HdyJ混工工+C(1993.I,口)求1~r^—dr.J，?一1令 e-\,即jr=ln(i?+l)■因此有J禹&nJ21n(/+l)du=2uln(m+l)-2jJ禹&nJ=2uln(u24-l>-4u+4arctanu+C9-(1994.I.口.DI)求Jsin(2xH.2sinx,解法一f dx =f dz fd(cos工) Jsin(2x)4-2sinxJ2sinx(cosx+l)J2(cos*x-l)(cosx+l)dat2(i?dat2(i?一D《“+DTJ島+W+尋萬W=T[-ln(l-“)+ln(l+“)-p1^]+C一Ln!七/工+ 1 +C8 1-cosx4(14-cosx),解法二[—4 (—山?，」(_2(i)_Jsin(2r)d-2sinxJ2sinx(cost+1)4J.x?3x8107^7Ifd(?an[)4tan號c0Kzy1tan?~~

4J_2d(tanf)tan彳="1"tan，4+4"ln|tan-yI+C.(1987.D)計算定積分J：(|H|+z)e-Fdr.解由于工e-，為奇函數(shù)，|工愴-以為偶函數(shù),因此有[(|x|4"x)e-^dr=2f|x|e-wdz=2[xe~，dxJt Jo Jo=2[-k-er：g=2-§.(1989.DP已知/(2)=-1/⑵=0及J：/Cr)dr=I,求￡//*(2r)dr.解令—2x,則「八次士J//W=-|J：的'SJ=得[7/S『一3J：tf'QK

⑺]=--1■+J=0?(1995.UI)設(shè)/Gr)=J：答市,計算J：fGr)clr.解[:/(x)dr=[x/(x)]5-J；”/'(jr)dr

?I-&「sinHdz=2.Jo JOIX（1995.卬）求函數(shù)，（工）=_[：（2—力e-y，的最大值和最小值.解由于函數(shù)義工）為偶函數(shù)，因此只需求/（力在[0,+8）內(nèi)的最大值和最小值./'（工）=2x（2—X*）e-‘，令f'（H）=O求得在（0,+8）內(nèi)的惟一駐點工=々，易知該點為極大值點,也是最大值點，故最大值為八々）=￡（2-De-'<k=[-（2-t）e-,]?-J*e-'d/=l+e-*.又由于函數(shù)八工）在[0.々]上單調(diào)增加，在[々，+8）內(nèi)單調(diào)減少,而〃0）=0,lin^/Cx）-（2-/）e-'dt=[-（2-t）e-']^-Ldt-2+[e-']?-=l,因此最小值為/（0）=0.14.（1998.口）計算積分14.（1998.口）計算積分?dr”|工一工”解注意到了=1是被積函數(shù)的瑕點，而dr=[arc8in(2jrdr=[arc8in(2jr-1)]|=arcsinl?=-5-.「系=C尸梟〒[MT+GFF11Mb引—因此J：7f^=1；7^+f7^==f+ln<2+^3).

7|x-jt| Zr-or八Jx1一工415.(2005.II)設(shè)函數(shù)/(“)連續(xù)，且八0)H0,求極限f(x-r)/(r)d/

]im' .ixjo/(j-f)d/解 /(x—1)d/1X*J-/(i4)dM=因此原式=limr-M)xjy(t)dr-￡t/(t)dr了⑺也limi2 1r-*0 1丫/⑴也%—+/(z)lim/(jr) ?■r-01=limf(x)+/(0)=T16.(2000.口)設(shè)心平面上有正方形口=｛《工，yy)I0&Y1,0&y&l｝及直線l,x+y=t(t>0\若,S")表示正方形D位于直線/左下方部分的面積，試\求［；S")&(h)O).解如圖研3-1可知，0<Wl,sa)=?1V《2.093-111, t>2.所以當(dāng)?x<l時，J：S(t)dr=J：當(dāng)1Vj^2時，JS(r)dr=S(力也+(-1-?*+2r—1jdr當(dāng)工>2時，j：sa)&="S(t)dr+因此S(t)dr=*64x-hjr>2.17.(1992.皿)求曲線y=右的一條切線人使該曲線與切線/及直線r=0,工=2所圉成圖形面積最小.解由>'=士，得曲線在處的切線方程為k"=力"一小所圈面積為s"T：(點"專-77)&號477-挈令33=0,得r=l,又S*⑴.故當(dāng)￡=1時，面積取極小值，由于駐點惟一,因此，=1是最小值點，此時I的方程為y=今+器圖研3—21&(1993.皿)設(shè)平面圖形A由I,+爐《以y與工所確定,求圖形A繞直線h-2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體機圖研3—2解A的圖形如圖研3-2,取y為積分變量.?則y的變化范圍為［0,1］.相應(yīng)于［0,1］上的任一小區(qū)間b，y+dy］的體積元素為dV=｛疝2—《1—v/1—y)］*—n(2—>)*\dy=2k0/1—，一(y—l)z］d>?因此所求體積為(l-yrj*VQ1 —(y-1)與(l-yrj*?2xy4-yarcsiny+圖研3-3-7T,圖研3-3(1994.ID)求曲線y=3-|3一】|與“軸國成的封閉圖形繞直線y=3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積.解如圖研3—3,曲線電的方程為y=/+2(0?D,崗的方程為y=4-3(l?2).取r為積分變量.記相應(yīng)于區(qū)間［0,1］和［1,2］上的體積分別為%和％，則它的的體積元索分別為dV^xO^ES-^+a^ldr-uCS+Z^-xOdr,d%=x{32—[3—(4—x1)了}dx="(8+2x*一工’)dr.由對稱性得曠=2(％+匕)=2*工(8+2J2-*')業(yè)+2〃((8+2/-")dr=2fff(84-2jt-jr4)dLr=nj^ir.J0 lo(1991.1,［D設(shè)函數(shù)/Cr)在［0,1］上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且3「，/(j-)dxJi=f(0).證明在(0,1)內(nèi)存在一點c,使/'G)=0.解由積分中值定理知，在［■!」］上J在一點3,使［孑〃工)也=孑/儲)，從而有八。)=/(0),故f5)在區(qū)間［0,n］上滿足羅爾定理條件，因此在(0,0)(U(0/))內(nèi)存在一點c,使證畢.(1993,皿)設(shè)/'(h)在［0,。］上連續(xù)，且八0)=0.證明：|J：fGr)dr|《將其中解由微分中值定理可知：對于任意工6［0,。］，存在￡6(0,工)，使得〃力一/(0)=/'筑)工,由條件八0)=0得〃工)=/'5)工,因此有||(i/(jr)dr|CJu|/(,r)|clr;*,:l/^^xIdrCJoM-rdr=^-.(1999.II)設(shè)f(z)是區(qū)間［0,+8)上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，a.=S/a)-￡/(x)dLr(n=1,2/“),證明數(shù)列｛%｝的極限存在?解由于/Cr)單調(diào)減少，因此/<44-1)<￡"/(x)dr</(A)(Jt=l,2,->.因此有a.=S/(*)［/(x)dr=2/(*)—Zffixydxi.| JI i-l *-l=2［/?>-ff7<x)cLr］+/<M)><>■即數(shù)列｛%｝有下界.又?,>)—a,=/(?+1)—J/(jr)dLr^O,

即得數(shù)列匕.｝單蠲減少，由單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則知數(shù)列｛%｝的極限存在.（2004.H）設(shè)Isinrldt.（l）證明人工）是以k為周期的周期函數(shù)式2）求/（工）的值域.(1)/(n+k)I(1)/(n+k)Isin/|山?設(shè)t=u+寅.則有/(X+K)=J*Isin(u+x)|du=J，|sinu|du=/(x).a=j:sinfd/1?/(x)=J(-sin/)dz=a=j:sinfd/1?/(x)=J(-sin/)dz=故/（?是以x為周期的周期函數(shù).（2）因為|sin川在《-8,+8）上連續(xù)，注意到人工）是以n為周期的周期函數(shù)，故只需在［o,0上討論了（力的值域.因為f(x)=|sin(4+半)|sinx|=IcostIsinx|,令/口）=（）?解得工『手』=竽，且IsinrId/-sin/d/-'sinrdz-2-72.因而/（外的最小值是2一/J,最大值是々，故/（工）的值域是［2—々,&］.2?r+.x*.-l4XV0,《2002.I,U)設(shè)/■(“)={ , 求函數(shù)F(x)=，04xC】，工人力市的表達(dá)式.解當(dāng)一1?0時.F<x）=J/（r）dz=|］（2r+*|■產(chǎn)）d.=1?+%］,=%+/一/當(dāng)04rql時，F(xiàn)“）?J二拉）3匚的寰粒+J：而市

去&=一A晶+￡TT^d(e-，)=—5---^-[ln<l+e-*)]j=-^T-ln(14-e-")+ln2.十I 4C*十1因此F(x)='-吳昌-卜號\因此F(x)='-吳昌-卜號\?x<l.（2003.I）某建筑工地打地基時，需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為鼠&>0）,汽鏢第一次擊打,將桃打進(jìn)地下am.根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r?Xr<l）,<H]（1）汽鐮擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？（2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？（注:m表示長度單位米.）解（1）設(shè)第”次擊打后,樁被打進(jìn)地下H.m,第n次擊打時，汽錘所作的功為W.（"=l,2,3.由題設(shè)，得WtWtkxdx=-1-xiW,=pirdr=-|-(i?-j1)由條件Wt^rW,,得4r/TT7a.'kxdx_4-<Jri—Jt})=4-[xi—(1+r)?*J.JI* 4由條件W,=rW,,得Nsn/TTAa,即汽錘擊打3次后，可將樁打進(jìn)地下J1+/+r2am?(2)根據(jù)條件，有W.=「4rdz=象三一二1),

JJ4由條件W.=rW.->，得W.=rW.T=/W._?=…=LTWi,故即.于是xi=(xl-xi-j)+(xj-|—xi-2)

+?,?+)+xi=+L，，+…+m?+/,即得上0=714*廣^??++因此limx.=lin\/4—^-a=J--,r*-?> .?-?v1-r:y1—J即若不限擊打次數(shù)，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下7臺m.(1999.I，U)y"-4y一心的通解為.解此方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為/-4=0.其根為rg=±2.又因自由項/(x)=e^,A=2是特征方程的單根，故令>>=Ar/是原方程的特解，代人方程可得A=J,于是原方程的通解為y=G/+Ge-~+手昌.(2000.I)微分方程jy+3y'=0的通解為.解原方程可變形為也=一◎a,積分得Iny'=-31nx+lnQ,y*即 S*.故 y=一與m+G=?+G.(2001.I)設(shè)yne^Gsinr+Gco&rMCrC,為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該微分方程為.解由所給通解的表達(dá)式知=1±i是所求微分方程的特征方程的根，于是特征方程為/-2r+2=O,故所求微分方程為?/—2y'+2y=0.(2001.U)過點侏0)且滿足關(guān)系式y(tǒng)'arcsior+余5=1的曲線方程為.解將所給關(guān)系式改寫成/+—.1A—=-V-.由一階線性微arcsinxv1-Jrarcsinx分方程的通解公式，得y=5二力TH([-4—Jdr+C),即clIV2>lILc /Cr+C)代人初始條件工?彳,y=o,得C=-}.故所求曲線的方程為 arcsinx'(1989.I,fl)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次方程y"+p(H)y'+g(x)y=/(工)的解,G，G是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是( ).<A)Gyi+Ct_yj+?， (B)Gyi+&力一(G+C?)g，(C)Ciyi+Qyj—(1—Ct—Q>>ii (D)C,yi+Ciyi+(1—C)—Q)y>.解因X一力與是對應(yīng)的齊次方程的解，且由X線性無關(guān)可推知》一》與“一8線性無關(guān)，而“是非齊次方程的特解，故y■*G(m-%)+G(y?y,>+g-Gm+G?+(1-G-G)%是非齊次方程的通解，所以選擇(D).(1989.皿)微分方程/一y=e*+l的一個特解應(yīng)具有形式(式中a,6為常數(shù))().(AJae,+fri(B)axer+6?(Oae,+fcxi(DlazL+fer.解原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程的根為=土1.相對于方程/一因/(H)=e*,A=l是特征方程的(單)根，故該方程的特解應(yīng)形如y\=axel.又相對于方程y"-y=l,因K(1)=1以=0不是特征方程的根，故該方程的特解應(yīng)形如yi-A.按疊加原理，原方程的特解應(yīng)形如歹=W+y{-axe-+6.故應(yīng)選揖(B).(2002.I，U)微分方程yy"+y"=0滿足初始條件y| =1,/|=口的特解是.解令、'=八則/=。坐，且原方程成為毋半+"=0,t dy ay即 或y*+p=0.由于戶=0不滿足條件，| =孑,故取y￥+》=0.分離變量后積分得Il。4 flyPy'代人初始條件聞_。=1"|。=2得G=+，即

分離變量后積分得 y=x+q,代人初始條件得G=l.于是有，=工+1,解得特解y=v/7+T.,8.(2004.D歐拉方程/密T<r取+2>-0(x>0)的通解為GJrdr 解令工=〃.記D=3,則原方程成為特征方程是解得特征根是故得通解于是原方程的通解為D(D—l)y+4Dy+2y=0.r(r-l)+4/+2=0,r\=一l?rt特征方程是解得特征根是故得通解于是原方程的通解為_C\.Ct

y- r-T.XJT(2004.口)微分方程(,+外業(yè)一2他=0滿足=1■的特解為?解原方程變形為一階線性方程dv1__x2解得 y=J"(J京"“dr+C)=/13+CJx,由,一="!■得。=L故特解為(2005?1而微分方程W+2?=zlnr滿足=—1的特解為.解原方程變形為一階線性方程y'+Ay=lar,x解得y=:快(JinxJ*dr+C)由-得，得C=0,故特解為y=1(lnx-1).(1989.I,II.皿)設(shè)義工)=5顯一，(工一，)/?)也,其中/為連續(xù)函數(shù)，求人工).解因/(x)=sinx-x￡/(r)d/+￡f/(r)dr,{tAx=。，得/(0)=0,且 /'(工)=com—￡/(r)dz.代人工=0,得f'(0)=l.又/*(x)=sinx-y(x).記y=/(“)，即得初值問題爐+'=~sinx,l>L-o=o,y'li=1.上述微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程有根ri,2=±i,而自由項為一sinr,N+j=是特征方程的根?故令/"WAcom+Bsinr)是原方程的特解?代人微分方程并比較系數(shù)，得A=4,B=O,即/=1xco&r.于是得通解Cicosjt+Ctsinx+-^-xcosr,由3lo=o及:y'Ilo=1，得fCi=0. (Ci=0,U+i-i.wh=i故(1991.I,U)在上半平面上求一條向下凸的曲線，其上任一點P(H,y)處的曲率等于此曲線在該點的法線PQ長度的倒數(shù)(Q是法線與H軸的交點),且曲線在點(1,1)處的切線與x軸平行.解曲線y=y(z)在點P(h，W處的法線方程為

Y-y- r(X-x).y令丫=0,得點Q的坐標(biāo)Cr+?',o),于是IPQI=/（jryF）z=Iy|/1+y".依題意有 以二品7肝因所求曲線在上半平面上且向下凸，有|y|=y,|y"|=y",故得微分方程i+71>且由題設(shè)知=i?yix-i=o.令y'=2，則y"=P黎，且微分方程降階為?d/>=dy1+"一T由條件y=1,'=0,枳分j；聾方=J：字，得+戶=Iny,從而即積分得即積分得ln(y+>/y-1)=±z+C,即y=-— 代人初始條件工=】,y=I,得C=-1,故廠+產(chǎn)”2IX（1995.I，口）設(shè)曲線L位于*為平面的第一象限內(nèi),L上任一點M處的切線與、軸總相交，交點記為A已知|M4|=|CM|,且L過點隔,修卜求L的方程.解設(shè)點用的坐標(biāo)為Gr,y），則切線MA的方程為Y-y=y（X—x）.令X=0,得A的坐標(biāo)（0,,一工/）.因|MA|=|QA|,故有1y-xyr|=J<1-0產(chǎn)+3-y ,化簡后得 21yy'一上y？=一x.工即 （，，一yy2N—X.由一階線性方程的通解公式解得V=JM(J一xe'''dr+C)=x(—工+C)=-x2+Cr.由于L位于第一象限，故取y='Cr-f?代人初始條件■，尸'!，得c=3.故L的方程為y=/3x-(1995.DJ)設(shè)了是微分方程1/+以工”工工的一個解，求此微分方程滿足條件J”皿=0的特解.解將y=e^代入原方程，可得工―+戶1r=h,故 p(x)=Hb'-M?即原方程為 工/+(xe-^—x)>=xt消去工，得 y+(e--i)j?=i. ?于是得通解y=J"T’加(Jef,*''l"ucLr+C)= "(卜’門，’>dr+C)=e"''(j-e,Jd(e-,)+C)=e*"’(尸+C)=e*+CL'.由初始條件1nz=0,得2+02。=0,即。=一€-+.故所求特解為(1996.IK)設(shè)/(工)為連續(xù)函數(shù).(1)求初值問題11+”="幻’的解’(外,其中。是正常數(shù)；*3,1z-o(2)若|〃h)|WMA為常數(shù))，證明當(dāng)工》。時，有卬幻|45(1-e").解(1)方程的通解為y—e-1*4*(j*/(x)ef*trdLr+C)=e-4r(j/(j-Je^ir4-C)=e-"(F(工)+C),其中F(外是/Cr)3的一個原函數(shù).由yl,=。=0,得C=一F(0),故y=eRF(工)-F(0)]= /(/)e-dz.Jo(2)因|/(工)|《人故\y\—4|。(力『北卜『JjfWddf

=&R—(e*,-1)

Jo a——(1—e").a(1993.I,11)設(shè)物體A從點(0,1)出發(fā)，以常速率u沿y軸正向運動.物體B從點(一1,0)與A同時出發(fā)，其速率為2u,方向始終指向A.試建立物體B的運動軌跡所滿足的微分方程，并寫出初始條件.圖研47解設(shè)物體B的運動軌跡的方程為y=女工),又設(shè)在時刻八物體B位于點(了.？)處，此時物體A位于點(0,1+爪).按88意，則如圖研4—1所示，有圖研47即 y-xy'-1=vt.又此刻，物體B從點(一1,0)行至(ay)的路程為x/l+y"cLr=2vt.由(1)式與(2)式消去ur,得y—xy'-1="1-J(+y!clr.在上式兩端對了求導(dǎo)，得y—(y+q")="IVl+丁.即 xy'+^Vl+y2=0.初始條件為 yL—?=0,』Ili=1.(1998.II)利用代換,=忌將方程ycosx_2y，sinx+3ycosx=化簡，并求出原方程的通解.解法一由U=>COSJT兩端對X求導(dǎo)，得u=ycost_>siar,u=ycosx-2>zsinr-ycosx.于是原方程化為 『+4〃=eS其通解為 "=Gcos2_r+C”in2x+S(G,G為任意常數(shù)〉.D從而原方程的通解為 y=G媛+2Gsinx+嘉p解法二 >=usear,ty/=?/secr4-usear?taar?y*=〃"seor+2〃'secr?taru?十〃seer?tanax4-usecJx.代人原方程得 u+Au=e.(下同解法一)(1997.n)設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為pLp").M(p,e)為L上任一點,M0(2,0)為L上一定點.若極徑CM。,QW與曲線L所圍成的面積等于L上M。.M兩點間弧長的值之一半.求曲線L的方程.解由題意得打附，=*+廣明,上式兩端對，求導(dǎo)，得 d=4不產(chǎn)，即 p=±pvp2-1.分離變量并積分(呼?-=±C卅，Jpy/p1-1 」即 f -=+1曲，得 一arcsin-==±。+CP代人初始條件 &=o,p=2,得C=一故曲線L的方程為arcsin、■=彳士仇即若將L表示成直角坐標(biāo)方程，則由psin(~1士夕)=1,即/>(ycoatf±ysintf)=1.得 x±^/3y=2.(1998.U)設(shè)y=y(力是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任一點Cr,y)處的曲率為/!一〃.又此曲線上點(0,1)處的切線方程為y=z+1,求該曲線的方，l+yz程，并求y=，(“)的極值.解因曲線向上凸，故y4o,曲率k=t^二三4,按題意有S+尸產(chǎn)/TT7r令y'=。，則上述方程化為音了=-1,即I￥2=—dr,

1+戶戒芬得 arctanp=G一工因y=yCr)在點(0,1)處的切線方程為y=z+1,故pL-o=y由此條件得arctan1=G，即G=子.于是4積分得y=InP-tan(j-j),COS-H)]+Cz.因曲線過點（0,1），故由,I,-。-1,得G7-In號一1+如2.故所求曲線的方程為y=ln[cos（彳-工）]+1+yln2.由于V=，（工）是連續(xù)曲線，故'=ln[cos（￡—h）]+1+gjn2的定義域為一興工一￡受，即一￡〈工＜苧又。8仔-工）＜].故當(dāng)工=￡時,，有極大值i+}m2.20.（199&ID）設(shè)函數(shù)/（x）在口,+oo）上連續(xù).若由曲線y=人工）,直線h=1,h="，＞1）與工軸所圍成的圖形繞工軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為試求y=/（x）所滿足的微分方程,并求該微分方程滿足條件yI—=f的解.解依題意，有兩端對r求導(dǎo)，得將變量，用工表示，即 3j/?(j)cLr-=?*/</)-/<1).3/(z)=2t/(t)+“a).x^y+2jy=3，為y=/Cr)滿足的微分方程.將此方程改寫為 爐+2*=3(子);令u=j?，則y=u+皿',且方程成為xu'=3u(u—1),分離變量并積分[—du-=3fJw(m-1)Jx'得 1nli3ln|工|+lnCi.代入u=/，得In|」」hj=InCi|x|1.即 匚2=CP(C=±C,).y由初始條件yj=看?得c-1,于是由寧=T解得X

,=叼(2001.N)設(shè)函數(shù)/(工)在0+8)內(nèi)連續(xù)，八1)="|?，且對所有"C(0,十8)，滿足條件J/(")du=rjJ(u)du+hJ/(u)du.求fix,).解在所給條件等式的兩端對工求導(dǎo)，得tf(xt)=tfixf+j/(u)du.在上式中令工=i,且由/<i)=?!?，可得t/</)=^t+^fku)Au. (1)由于？>0時｝J'j(u)du關(guān)于f可導(dǎo)，故/⑺=^+*/(u)du可導(dǎo)，于是在等式(I)兩端對，求導(dǎo)，得/a)+/")=y+/(r),即 /'")=聶積分得/<?>=4>m+c.

U積分得由.dh'I■，得 ?.故一故=■!?—+?!■，即/（x）=-|-（lnx4-1）.（2000.D）某湖泊的水量為V,每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為'流入湖泊內(nèi)不含A的水量為，，流出湖泊的水量為冬已知1999年年底湖中A的含量為5m。,超過國家規(guī)定指標(biāo).為了治理污染，從2000年初起，限定排人湖泊中含A污水的濃度不超過號.問至多需經(jīng)過多少年,湖泊中污染物A的含量降至m。以內(nèi)？（注:設(shè)湖水中A的濃度是均勻的.）解設(shè)從2000年年初（令此時，=0）開始，第t年湖泊中污染物A的總量為m,濃度為號,則在時間間隔內(nèi)，排入湖泊中A的垃為招?《&=粵出,流出湖y yoo泊的水中A的量為節(jié)?與&=皆曲,因而在此時間間隔內(nèi)湖泊中污染物A的改變增信一號）市?由分離變量法解得利=發(fā)-Ce-i，代人初始條件，”|,.s=5nb，得C=—|z）.于是m=號（l+9eT）.令m=m。,得，=6ln3,即至多需經(jīng)過61n3年，湖泊中污染物A的含值降至m。以內(nèi).（2003.U）設(shè)位于第一象限的曲線y=f（H）過點（考號），其上任一點PQ,y）處的法線與y軸的交點為Q,且線段PQ被工軸平分.（1）求曲線y=/Gr）的方程；（2）已知曲線＞=sinx在［0,4上的弧長為Z,試用I表示曲線y=f（外的弧長s.解（1）曲線y=f（工）在點PCr,y）處的法線方程為丫一,=T（X-h）,

y其中（X,Y）為法線上任意一點，令x=o,則丫二號故Q點為（0,?+卞）.由題設(shè)知,+y+==0,即21y4y+工&=0.積分，得 ^+2?=C(C為任意常數(shù)).由土_片/知C=l,故曲線尸人工)的方程為x2+2yi=l,(2)曲線y=sin］在［0,貢］上的弧長為￡=2j，i/l+cos3xdr.x=cos8,曲線y=f(z)的參數(shù)方程為1 J2.故y=-^sind,s=J：JsWe+^882e的=ji+si-令&=冷一f,則5=3>十yi+cos?f(-ck)=3：Jl+cos2位==*/.24,(2003.I,D)設(shè)函數(shù)y=y(x)在(-8,+2內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y#0,H=x(>)是y=丁(力的反函數(shù).(1)試將工=工6)所滿足的微分方程需+(y+sinx)傍)'=0變換為y=y(x)滿足的微分方程,(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0,y(0)=-j-的解.解⑴由反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式知需=%，即/dz1,而=】?上式兩端關(guān)于工求導(dǎo)，得y"*+聶(y')2=0,所以代人原微分方程，得y-y=sinx. (*)(2)方程(#)所對應(yīng)的齊次方程/一y=0的通解為Y=Ce+Q『.設(shè)方程(*)的特解為>*=Acosx+Bsinz?代入方程(*),求得A—0,B-J故>>—}sinx,從而『一y=sinx的通解是>(x)=Ciie*+Cie'^—|-sinx.由y(O)=O,y'(O)="|■，得G=l￡=T,故所求初值問題的解為

y(x)=e1—e-^—^-sinx.(2004.I)某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘以增加阻力，使飛機減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h.經(jīng)測試，減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數(shù)為4=&OX10s).問從著陸點算起，飛機滑行的破長距離是多少？解解法一根據(jù)牛頓第二定律,得，“$=一紅,即dv ki——= at.v m兩端積分得Irw=-+InC,即u=Cem當(dāng)<=0時有C=5,故ck-J-=v=qe-.Cu于是飛機滑行的最長距離為s=JzeTd=-=1.05(km).解法二根據(jù)牛頓第二定律，得tn-=一ku,at又*=空?*=字…，故有atasatdsds=—

k積分得 $=~yv+C.由于f=0時，s=0,1/=%，故C=3vo.于是得Ks=一李(0-%)?

k令V一?()(當(dāng)f-t8時)，得…警=1.05(km).K

代數(shù)與空間代數(shù)與空間(1987.I,口)與兩直線上=-1+?,及『=中=『都平行，lz=2+f且過原點的平面方程為.解兩已知直線的方向向量分別為4=(1,2,1)和》=(0,1,1),所求平面的法向量”與S和S2均垂直，故取= 又平面過原點，故平面方程為h-*+*=0.N=—，+2,(1990.1,口)過點—1)且與直線?y=3，-4,垂直的平面方程z=?-1是.解已知直線的方向向量s=(-1.3.1),所求平面的法向量”〃s.故可取n=￡于是平面的點法式方程為-1G-D+3(y-2)+U+1)=0,即h—3,一z+4=0.(1991.I,n)已知兩條直線的方程是L「立地一匚胃=匚L21ii-2=*二1二三，

1 0 —1'52 1 1'則過L.且平行于Lz的平面方程是.解兩已知直線的方向向量分別是即=(1,0,-1)和死=(2,1,1).所求平面的法向量n與Si和0都垂直，故可取n=StX”=(1,-3,1).又平面過L,上的一點(1,2,3),故所求平面的點法式方程為(x—1)—3(>-2)+(%—3)=0,即x—3y+z+2=0.(1995.I,口)設(shè)(oXb).c=2tfliJ[(o+b)X(b+c)]?(c+a)=解 [(a+b)X(b+c)[?(c+a)=(aXb+aXe+bXc)?(c4-a)=(aXb)?c4-(dXc)?a=(oXb)?c+(aXb)?c=2(aXb)?c=4?《1996.1,U)設(shè)一平面經(jīng)過原點及?點(6,—3,2),且與平面4工一；y+

2z=8垂直，則此平面方程為.解平面4x-y+2z=8的法向量，為(4,一1,2),過原點和點(6,—3,2)的直線的方向向量，為(6,-3,2),按題設(shè)，所求平面的法向jan_Lm且"_Ls,故可取n=HiXJ=(4,4,—6).于是得平面的方程為4x+4y—6z=。，或2r+2y-3z=0.(2006.I)點(2,】，0)到平面3H+4_y+5￡=0的距離d=.解由點到平面的距離公式，d=|3?2+4?1+5叫=乳,

，3，+4?+52(1993.I，n)設(shè)有直線= =中與匕：［了=6；1 -2 1l2y+s=3,則Li與Lz的夾角為().(A)(B)系0 4(C)茅 (D)解乙和G的方向向量分別為a=(】，-2,1)和皿=(1.-1.0)X(0,2,1)=(-1,-1.2).cosS=]吊、=+，故8=年.應(yīng)逸?.Ix+3V+2z+1=0,(1995.I,U)設(shè)有直線L：。s-八及平面不：4H-2y+(2x—>—10z+3=0z-2=0,則直線” ).(A)平行于k. (B)在釐上.(C)垂直于m. (D)與k斜交.解直線L的方向向垃a=(1,3,2)*(2,-1,一10)=(-28,14,-7)〃(4,一2,1),而(4,一2,1)為平面k的法向量,故直線L垂直于(r.應(yīng)選(C).Eib、zbtQ是滿秩的，則直線三二=*二發(fā)=5—,a2 bi-bt3仇”與直線二二幺5—03).與直線二二幺5—03).(A)相交于一點. (B)重合(C)平行但不重合. (D)異面.解記點M為(4出q)，點N為，仇，口).兩已知直線的方向向量分別為Si=(flj-勾，仇一bi.c、-Cz)"z=(az-依一與 由于

Ci-Cl0,故三向盤J＞，兩共面.又由于矩陣仇ClbiCi是滿秩的，故flibicia?從Ci03 63C3a\—atb\—bi

5Ci-Cl0,故三向盤J＞，兩共面.又由于矩陣仇ClbiCi是滿秩的，故flibicia?從Ci03 63C3因此父二士=件二%=￡1二0不成立，從而&與“不平行，于是兩直線必交于at-a.bt-0}C?—Ci一點.應(yīng)選(A).(2002.I)設(shè)有三張不同平面的方程a,iH+a口y+aaz=6,,i=1,2,3,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關(guān)系為().圖研5-1圖研5-1解由于線性方程組系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，且小于未知數(shù)的個