第1章隨機(jī)事件及其概率1排列組合2關(guān)系運(yùn)算A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)，3幾何概型（1）S是直線上的某個(gè)線段,長(zhǎng)度為l(S),A是S的一個(gè)子集，則落在A中的概率為：P(A)=l(A)/l(S)。（2）S是平面上的某個(gè)區(qū)域,面積為u(S),則落在A中的概率為：P(A)=u(A)/u(S)。（3）S是空間上的某個(gè)立體,體積為v(S),則落在A中的概率為：P(A)=v(A)/v(S)。甲乙兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過時(shí)就離開。如果每個(gè)人可在指定的任一小時(shí)內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá)，試計(jì)算二人能夠會(huì)面的概率。根據(jù)題意，這是一個(gè)幾何概型問題，于是解：根據(jù)題意，這是一個(gè)幾何概型問題，于是4加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)5減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時(shí)，P()=1-P(B)6條件概率事件B在事件A發(fā)生條件下發(fā)生的條件概率為。7乘法公式P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)[P(AB)>0]8獨(dú)立性①兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立.?與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。9伯努利概型概率P(A)=p,發(fā)P()=1-p=q，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，，。第二章隨機(jī)變量及其分布1離散型隨機(jī)變量P(X=xk)=pk，k=1,2,…，（1），（2）2連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度(1);(2)。3分布函數(shù) 1；2、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)￡F(x2)；3，；4右連續(xù)性：對(duì)于離散型隨機(jī)變量，；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，二項(xiàng)分布，當(dāng)時(shí)，就是（0-1）分布：P(X=1)=p,P(X=0)=q泊松分布或者P()：，，，泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p≥0，q=1-p。(k次試驗(yàn)，前k-1次失敗，第k次成功)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布a≤x≤ba≤xa≤x≤ba≤x≤b0，0，x<a，1，1，x>b。

當(dāng)a≤x1<x2≤b時(shí)，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布,,0,,0,,

,,

x<0x<0。積分公式：正態(tài)分布X～N(m,s2);(s越大，曲線越平坦，s越小，曲線越陡峭)X～N(0,1):～N(0,1)X落在以X落在以m為中心，3s為半徑的區(qū)間(m-3s,m+3s)內(nèi)的概率相當(dāng)大(0.9973),落在(m-3s,m+3s)以外的概率可以忽略不計(jì)函數(shù)分布離散型連續(xù)型FFY(y)＝P(Yy)＝P(g(X)y)＝第三章二維隨機(jī)變量及其分布聯(lián)合分布離散型YXy1y2Y3P(X=xi)（1）（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）x1p11p12p13x2p21p22p23X3P31P32P33P(Y=yj)1連續(xù)型二維隨機(jī)變量的本質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。（1）（2）F（x,y）分別對(duì)x和y是減的（3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對(duì)于.離散型與連續(xù)型的關(guān)系邊緣分布離散型；。連續(xù)型條件分布離散型連續(xù)型；獨(dú)立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布＝0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。二維均勻分布其中SD為區(qū)域D的面積，稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。若(X，Y)服從矩形區(qū)域a≤x≤b,c≤y≤d上的均勻分布，則(X，Y)的兩個(gè)邊緣分布仍為均勻分布，且分別為二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布，（X，Y）～N（可以推出X～N（但若X～N（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。函數(shù)分布Z=X+Y,對(duì)于連續(xù)型，fZ(z)＝兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。卷積公式:M=max(M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（極值分布）設(shè)設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立且分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)則M與N的分布函數(shù)分別為分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的分布，記為W～，其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為 我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為T～t(n)。F分布設(shè)，且X與Y獨(dú)立，可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為n1，第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為F～f(n1,n2).第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望(平均值)E(X+Y)=E(X)+E(Y)；E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)方差，標(biāo)準(zhǔn)差，D(C)=0；D(aX)=a2D(X)；D(aX+b)=a2D(X)；D(X)=E(X2)-E2(X)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。矩①k階原點(diǎn)矩νk=E(Xk)=②k階中心矩=，k=1,2,….①k階原點(diǎn)矩νk=E(Xk)=②k階中心矩=k=1,2,….切比雪夫不等式E（X）=μ，D（X）=σ2:期望E（X）方差D（X）E[X（X-1）}/備注0-1分布p二項(xiàng)分布npn(n-1)p2泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望＝＝方差協(xié)方差cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).，D（X）=cov(X,Y)=;D（Y）=。Cov(X,Y)=cov(Y,X)cov(aX,bY)=abcov(X,Y)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)X與Y的相關(guān)系數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差):=X的標(biāo)準(zhǔn)化變量:即“隨機(jī)變量與期望之差除以均方差”若記則E若記則E(X*)=0，D(X*)=1||≤1，當(dāng)||=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。若（X，Y）～N（若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。若（X，Y）～N（），則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。而當(dāng)時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：①②cov(X,Y)=0③E(XY)=E(X)E(Y)④D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).矩1、A=E(X)為X的k階原點(diǎn)矩（k階矩）(k=1,2,…)，數(shù)學(xué)期望E(X)即為X的一階原點(diǎn)矩；2、B=E{[X-E(X)]}為X的k階中心矩(k=1,2,…)，方差D(X)即為X的二階中心矩。3、=E(XY)為X、Y的k+l階混合原點(diǎn)矩(k,l=1,2…)。4、為隨機(jī)變量的k+l階混合中心矩(k,l=1,2,…)。協(xié)方差矩陣CC=(C)=第五章大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律切比雪夫若X1，X2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=μ，則伯努利當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小辛欽中心極限定理列維－林德伯格/獨(dú)立同分布的中心極限棣莫弗－拉普拉斯隨機(jī)變量X1隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：二項(xiàng)定理若當(dāng)，則 超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。泊松定理若當(dāng)，則 其中k=0，1，2，…，n，…。第六章樣本及抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念所研究的對(duì)象的全體稱為總體,總體的每一個(gè)基本單位稱為個(gè)體.設(shè)總體X的分布為F(x)，則樣本(X1,X設(shè)總體X的分布為F(x)，則樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布為當(dāng)總體X當(dāng)總體X是離散型時(shí)，其分布律為樣本的聯(lián)合分布律為當(dāng)總體X是連續(xù)型時(shí)，X~f(x)，則樣本的聯(lián)合密度為（）為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。若中不包含未知參數(shù)，則（）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值樣本方差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本k階原點(diǎn)矩 樣本k階中心矩，，，,其中為二階中心矩。正態(tài)分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)t分布定義定義若X~N(0,1)，Y~2(n)，X與Y獨(dú)立，則tt(n)稱為自由度為n的t—分布。pp3、(1)t分布表構(gòu)成(P296)：3、(1)t分布表構(gòu)成(P296)：P{t(n)>λ}=p(2)P{t(n)>tp(n)}=p，tp(n)為水平p的上側(cè)分位數(shù)(1)f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對(duì)稱；(2)f(t)的極限為N(0,1)的密度函數(shù)，即=。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)n個(gè)相互獨(dú)立的X1,X2,…,Xn，Xi~N(0,1)，則稱為自由度為n的c2分布。λ（1）λ求解求解：(2)2分布的可加性X1,X2相互獨(dú)立，則X1+X2~2(n1+n2)p(1)構(gòu)成P{c2(n)>λ}=p，已知n,p可查表(P298)求得λ;水平為的上側(cè)分位數(shù)分位點(diǎn)水平為的上側(cè)分位數(shù)分位點(diǎn)(2)。。。。。。。。。。。樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。F分布若X若X~2(n1)，Y~2(n2)，X,Y獨(dú)立，則稱為第一自由度為n1，第二自由度為n2的F—分布，其概率密度為FF分布表(P294)及有關(guān)計(jì)算(1)構(gòu)成：P{F(n1,n2)>λ}=p(2)有關(guān)計(jì)算P{F(n1,n2)>λ}=pλ=Fp(n1,n2)性質(zhì)：樣本函數(shù)其中 表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。正態(tài)總體的抽樣分布定理4、4、(雙正態(tài)總體的抽樣分布)設(shè)(X1,X2,…,Xn1)是N(μ1,σ12)的樣本，(Y1,Y2,…,Yn2)是N(μ2,σ22)的樣本，且相互獨(dú)立，S12，S22是樣本方差，則(1)(2)稱為混合樣本方差。1.若則2.設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則(1)與S2與S2獨(dú)立(2)(3)3.設(shè)3.設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則第七章參數(shù)估計(jì)（1）點(diǎn)估計(jì)(用某個(gè)函數(shù)值作為總體未知函數(shù)的估計(jì)值)矩估計(jì)極大似然估計(jì)樣本的k階原點(diǎn)矩為 這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有樣本的似然函數(shù),簡(jiǎn)記為L(zhǎng)n.為樣本的似然函數(shù)。最大似然估計(jì)量。估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無偏性