(4學(xué)時(shí)5消元...........................................5矩陣...........................................9矩陣運(yùn)算(12學(xué)時(shí)基本...........................................分塊...........................................初等...........................................可逆...........................................行列式(12學(xué)時(shí)行列Binet-Cauchy公式.....Laplace行列矩陣的相抵(12學(xué)時(shí)矩陣的秩與相抵相抵標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用.....Smith矩陣的相似(18學(xué)時(shí)相似的概念相似三角化最小多項(xiàng)式Jordan標(biāo)準(zhǔn)形特征方陣正交方陣(14學(xué)時(shí)正交方陣正交相似正交相抵酉方陣.34第七章二次型(12學(xué)時(shí) §7.1二次型的化簡(jiǎn)......................................... §7.2正定方陣........................................... §7.3一些例子........................................... 第八章線性空間(20學(xué)時(shí) §8.1基本概念........................................... §8.2線性相關(guān)........................................... §8.3向量組的秩.......................................... §8.4基與坐標(biāo)........................................... §8.5交空間與和空間........................................ §8.6直和與補(bǔ)空間......................................... §8.7直積與商空間......................................... 第九章線性變換(20學(xué)時(shí) §9.1基本概念........................................... §9.2線性的運(yùn)算........................................ §9.3對(duì)偶空間........................................... §9.4核空間與像空間........................................ §9.5不變子空間.......................................... §9.6根子空間........................................... §9.7循環(huán)子空間.......................................... 第十章內(nèi)積空間(20學(xué)時(shí) 基本概 標(biāo)準(zhǔn)正交 正交變 伴隨變 復(fù)內(nèi) 內(nèi)積推 第一章線性方程組(4學(xué)時(shí)線性方程組是最簡(jiǎn)單也是最重要的一類代數(shù)方程組，在科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐等領(lǐng)域中都有著廣泛（成書(shū)于約公元前150年na11x1+a12x2+···+a1nxn=b1a21x1+a22x2+···+a2nxn=···········

的求解方法，其中a11a12···amnb1b2···bm是已知的數(shù)，x1x2···xn是待求解的變量．特別，b1=b2=···=bm=0時(shí)，線性方程組(1.1)稱為齊次線性方程組．解的存在性(1.1)解的唯一性(1.1)解集的結(jié)構(gòu)(1.1)8.2px···x=0,?x∈FpF的特征、...charF=pcharF=0C,pR個(gè)Q0Zpp，其中p是素?cái)?shù)． “消元法”：由原方程不斷產(chǎn)生新方程，并且不斷減少每個(gè)新方程所包含未知數(shù)的個(gè)數(shù)，直到求出一個(gè)未知數(shù)；然后如法制求出其它未知數(shù)．在求解過(guò)程中有可能得到“增根”“可能解代入原方程組進(jìn)行檢驗(yàn)，這樣才能得到方程組的真正解．對(duì)“增根”．然而對(duì)于線性方程組，可以進(jìn)行如下的同解變形，以避免“驗(yàn)根”所帶來(lái)的額外運(yùn)算．51.1.x2?x3= x?2x= 解答.?4?3，3x2+x3+2x4= 方程組?1,?2,?3,?4的解一定滿足方程組?1,?2,?3,?5．反之，?4 =?3+?5，方程組?1,?2,?3,?5的解一定滿足方程組?1,?2,?3,?4．因此，方程組?1,?2,?3,?4與方程組?1,?2,?3,?5的解集相同．?33?2，得同解方程組?1?2?6?54x2+x4= ?53?1，得同解方程組?1?2?6?7，其4x3+2x4= ?64?1，得同解方程組?1?2?8?7，其4x3+x4= ?7?8，得同解方程組?1?2?8?9x4= x4代入?8，得到x3=2．把x3代入?1，得到x21．把x2代入?2x1問(wèn)題：把已解出的未知數(shù)代入某個(gè)方程求得其它未知數(shù)的過(guò)程是否有可能產(chǎn) “增根1.1.變．其中方程a1x1+a2x2+···+anxn=b的常數(shù)λ倍定義為(λa1)x1+(λa2)x2+···+(λan)xn= 兩個(gè)a1x1a2x2···anxnba′x1a′x2···a′xnb′之 (a1+a′)x1+(a2+a′)x2+···+(an+a′)xn=(b+ 1.1.以上三類操作，稱為對(duì)于線性方程組的初等變換ax1，即a11?=0，則第一個(gè)方程的 倍與第i個(gè)方程之和不含x1，從而可以得到m?1個(gè)不含a的方程m?1個(gè)方程求x2···xn之后，代回第一個(gè)方程，解x1a110時(shí)，某個(gè)情形化為a11=1情形． 消去

?5=?4?

?6=?3?3×消去 ?7=?5?3×

?8=?6?4×

?9=?7?1.2.(1.1)a′xp +a′xn= xp+ +a′xn=2p2

········a′a

+···

=

00=.m0=mp1p r2 r其中0rmin(m,n)，1p1p2···prn并且a′a′·p1p r2 r證明.對(duì)m使用數(shù)學(xué)歸納法．當(dāng)m=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．當(dāng)m?2時(shí)，設(shè)p是最小的正整數(shù)，使aip?=0i=1i1(3)類初等變換，利12···mx1···xp0m?1個(gè)方程應(yīng)用歸納′= ·′=0線性方程組(1.1)′= ·′=0′= ′=0線性方程組(1.1)有唯一解的′= ′=0方程組(1.1)變成(1.2)的初等變換操作不改變方程祖的解′···b′0b′···b′0，則可以解出若(1.2)有解，則必須b

p1,xp2,···,′設(shè)b n,xn?1,···,x1．當(dāng)r<n時(shí)，設(shè)i/{p1,p2,···,xi可取任意值，(1.2)的解不唯

x+x?x=

x+2x?2x=

2x1+2x2+2x3?2x4=x1+x2?x3+2x5=x1?x3?x4?x5=2x1?2x2+x3+x4+2x5=2x1+x2+x3?x5=x1+x2?x3+2x4+x5=2x1+x2?4x3+5x4=2x2+x3+2x4+4x5=

x1+x23?x3+x4=0x1+3x2?3x3?x4=0x1+x2?2x3+2x5=x2?2x3+x4+2x5=x1?x3+x4+x5=x1+x2?x3?2x4+x5=x1+x2+x4=?22x1+x2?x3?x4=x1?2x2?2x3?2x4=42x2?2x3+x4=?3證明：當(dāng)mnb1b2···bm0時(shí)，齊次線性方(1.1)必有非零解 在對(duì)線性方程組施行初等變換的時(shí)候，注意到每個(gè)方程的左端都是數(shù)與字母的乘積之和的形可以隱去未知數(shù)和運(yùn)算符號(hào)，用一mn1列的矩形表格 ·· ·· M ·· ·· 九韶[1]的《數(shù)書(shū)九章》（成書(shū)于1247年）中則用互乘相消法和代入法求解線性方程組．1.2.(1.3)M(1.1)的增廣矩陣Mmn(1.1)的系數(shù)矩陣．MiM的第i個(gè)行向量．M的第j列從上至下排成的數(shù)組，稱為M的第j個(gè)列向量．令定義1.3.由數(shù)域F中的n個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)組xx1x2···xn)稱為數(shù)域F上的n維數(shù)組向量nFnFn0的向量稱為零向量i個(gè)元素是1、其它元素都是0的向量稱為第i個(gè)單位向量ei．y=(y1y2···yn)∈Fn，λ∈F．定義兩個(gè)向量的加法運(yùn)算x+y=(x1+y1,x2+y2,···,xn+

λx=(λx1,λx2,···,x?y=(x1?y1,x2?y2,···,xn?

λx+μy=(λx1+μy1,λx2+μy2,···,λxn+并推廣為多個(gè)向量α1α2···αk∈Fn的線性組合運(yùn)λ1α1+λ2α2+···+(1.1)定義n維向量xx1x2···xnyy1y2···yn)的數(shù)量積x·y=x1y1+x2y2+···+n維向量αi=(ai1ai2···ain)．線性方程組(1.1)可以看作是[1]秦九韶，約1202–1261，南宋數(shù)學(xué)家，安岳人求向量xx1x2···xn)，使得αi·x=bi,?i12···m維向量βj=(a1ja2j···amj)，b=(b1b2···bm)．線性方程組(1.1)還可以看作是求線性組合的系數(shù)x1x2···xn，使得x1β1x2β2···xnβn=1.4.(A1)x+y=y+(A2)(x+y)+z=x+(y+(A3)x+0=0+x=(A4)x+(?x)=(?x)+x=(M2)1x=(D1)λ(x+y)=λx+(D2)(λ+μ)x=λx+其中xy,zFn中任意向量，λμF中任意數(shù)線性方程(1.1)與矩M之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．方ai1x1ai2x2···ainxnbi與行向(ai1ai2···ainbi)一一對(duì)應(yīng)，方程的常數(shù)倍對(duì)應(yīng)于行向量的數(shù)乘運(yùn)算，兩個(gè)方程之和對(duì)應(yīng)于兩個(gè)(1.1)M的行向量作初等變換，把M化為階梯形的矩陣 ·· ·· ·· ·· ·· ·· abab

2

2·· ·· ·· ·· 2 ·· ·· ·· ′

M

··

brbb′b..b′bm1.2. 1 01 0 交換?1, ?10 ?3?=3解答

1 0 3 1

?3 1 ?4

1 0 1 0 1 0?3?=4 ?4=?2 ?3?= 4 0 4 1 0

1?200

10003=?3=

?2+=

0

?12?2

010 001020010200102000110001100011最后一個(gè)矩陣的最后一列即001020010200102000110001100011R3(a1a2a3)(b1b2b3)R3中到平面xy1xz1,yz1的距離分別為123的所有點(diǎn)求滿足f(1)f(2f(3)1,f(?1f(?2f(?3?1的所有多項(xiàng)式f求滿足f(1f′(1)=f′′(1)=1,f(?1)=f′(?1)=f′′(?1)=?1的所有多項(xiàng)λx1+x2+x4=1x1+λx2+x3=1x2+λx3+x4=ax1+x2+x3+x4=02x1+x2?x3+2x4=x2+x3+2x4=第二章矩陣運(yùn)算(12學(xué)時(shí)用，并用一個(gè)字母表示．1844年，Eisenstein[2]了線性變換（矩陣）的乘積，并強(qiáng)調(diào)了乘積的不可交換性．1850年，Sylvester[3]首先使用了“矩陣”一詞．從1858年開(kāi)始，Cayley[4]了一系列關(guān)于矩陣的，系統(tǒng)地闡述了矩陣的運(yùn)算及其性質(zhì)．因此，Cayley被公認(rèn)是矩陣論的奠基人． 一個(gè)mn列的表 ··· A ·· ·· ·· 稱為mn矩陣，簡(jiǎn)記A=(aij)m×n，aij稱為A(i,j)位置處的元素．有序正整(m,n)A的維數(shù)或階數(shù)．當(dāng)mn時(shí)，An階方陣A的元素都屬于某S．AS上的矩陣S=CRQZ時(shí)，A稱為復(fù)數(shù)矩陣、實(shí)數(shù)矩陣、有理數(shù)矩陣、整數(shù)矩陣．S上的所有m×n矩陣構(gòu)成的集合記作Sm×n．每個(gè)矩陣A∈Sm×n還可以看作是從集合{1,2,···,m}×{1,2,···,n}到S的：(i,j)→aij．每個(gè)aii稱為A的對(duì)角元素．A的所有對(duì)角元和a11+a22+···稱為A的跡，記作tr(A)．當(dāng)i<j時(shí)，aij稱為A的上三角元素．當(dāng)i>j時(shí)，aijA的下三角元素．下三角元素都0的矩陣稱為上三角矩陣．上三角元素都是0的矩陣稱為下三角矩陣．上、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣．0的矩陣稱為零矩陣O0的矩陣稱為對(duì)角矩陣a1a2···為對(duì)角元素的n階對(duì)角方陣記diag(a1a2···an)．diag(11···1)稱為單位方陣，記Idiag(a,a,···a)稱為純量方陣．(i,j)10的矩陣稱為基礎(chǔ)矩陣bij=aji,?i,j的矩陣B=(bij)n×mA=(aij)m×n的轉(zhuǎn)置，記作B=AT．滿AT=A的矩陣A稱為對(duì)稱方陣．滿足AT=?A的矩陣A稱為稱方陣．當(dāng)A是復(fù)數(shù)矩陣時(shí)

A的共軛，記作B=AATA的共軛轉(zhuǎn)置，常記作AH．滿AH=A的復(fù)數(shù)矩陣AHermite[5]方陣．滿足AH=?A的復(fù)數(shù)矩陣A稱為Hermite方陣[1]JohannCarlFriedrichGauss，1777–1855[2]FerdinandGottholdMaxEisenstein，1823–1852，德國(guó)數(shù)學(xué)家[3]JamesJosephSylvester，1814–1897，英國(guó)數(shù)學(xué)家[4]ArthurCayley，1821–1895[5]CharlesHermite，1822–1901Amnmnm個(gè)行向量排成一列，又或者是n個(gè)列向量排成一行．A.

·· 其中行向量αi=(ai1ai2···ain)，列向量βj=(a1ja2j···amj)T．矩陣概念可以看作是向量概念1×nm×1的矩陣．向量的定義2.1.F是數(shù)域，A=(aij)∈Fm×n，B=(bij)∈Fm×n，λ∈F，定AB的加法運(yùn)算AB

aij+

∈AB的減法運(yùn)算AB

aij?

∈λA的數(shù)乘運(yùn)算λA

∈λ1A1λ2A2···λkAk稱為矩陣的線性組合運(yùn)算Ai∈Fm×n，λi∈(A+B)T=AT+BT (λA)T=λAT例2.1.設(shè)f=(f1,f2,···,fm):Fn→Fm，其中每個(gè)fi是n元齊次線性函數(shù)fi(x1x2···xn)=ai1x1+ai2x2+···+ainxn,i12···m.f稱為線性．A=(aij)m×n與f一一對(duì)應(yīng)．A稱為f的矩陣表示．例2.2.設(shè)A和B分別是Fn→Fm的線性f=(f1,f2,···,fm)和g=(g1,g2,···,gm)的矩陣示，λFfgf1g1f2g2···fmgmλfλf1λf2···λfm也是FnFm的線性，并且A+B是f+g的矩陣表示，λA是λf的矩陣表示．例2.3.設(shè)f=(f1,f2,···,fm)是Fn→Fm的線性，g=(g1,g2,···,gn)是Fp→Fn的線性映射，則h=(h1,h2,···,hm)=f?g是Fp→Fm的線性，其中hi(x1,x2,···,xp)

aikgk(x1,x2,···,xp)

bkjxj

p

n

設(shè)A=(aij)m×n，B=(bij)=(cij)m×p分別是f,g,h的矩陣表示，則cij

?i,定義2.2.2.3中的C稱為AB的乘積，記作CA的行向量分別為α1α2···αm，B的列向量分別為β1β2···βpCAB也可以看作是由cij=αi·βj（n維向量的數(shù)量積運(yùn)算）排成的矩陣．A

(,B=1

) ··

?AB

α1·β1 α1·β2 ··· α1·βpα2· α2· ·· α2·. ·· αm· αm· ·· αm·A,BABAB才有意義．ABBA 2.4.A=10,B=01，則有ABB,BA0 0矩陣的乘法運(yùn)算不滿換律．為了避免歧義，有時(shí)稱AB為“A右乘B”或“B左乘2.5.線性方程組(1.1可寫成Ax例2.1中的線性f可寫成f(x)=2.2表明AxBxAB)x，λ(Ax例2.3表明A(Bx)=(AB)x．換而言之，f?g的矩陣表示是AB，線性的復(fù)合與它們的矩2.6.(幾何變換)R2θ( )( →cosθ?sin x sin cos R2上的仿射變換(x,y→(a1xb1yc1a2xb2yc2)可以表示( )( → +

(二次方程)R2上的一般二次曲線a11x22a12xya22y22b1x2b2yc=0可以表示 a11 = 類似地，R3上的一般二次a11x2a22y2a33z22a12xy2a13xz2a23yz2b1x+2b2y+2b3z+c=0也可以表示為矩陣乘積形式 = )a12 a23 b2 = y

(數(shù)系的擴(kuò)充)設(shè)f:C→R2×2，a+bi

．容易驗(yàn)證，ff(z+w)=f(z)+f f(zw)=f(z)f ?z,w∈因此，CR2×2的子集，復(fù)數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算對(duì)應(yīng)矩陣的加、減、乘法運(yùn)K={a0+a1i+a2j+a3k|a0,a1,a2,a3∈其中i,j,kK的生成元，滿i2=j2=k2= ij=?ji= jk=?kj= ki=?ik=設(shè)g:K→ a+ai+aj+ak

a0+

+a3i

?a+aia?a容易驗(yàn)證，g

g(a+b)=g(a)+ g(ab)= ?a,b∈因此，KC2×2(計(jì)算機(jī)圖像)在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，一幅分辨率為w×h的黑白通?？梢杂靡粋€(gè)h×w的實(shí)數(shù)矩陣A=(aij)表示，其中w和h分別是的寬度和高度，aij是第i行j列的像素點(diǎn)的灰度．一幅彩片則可以用三個(gè)矩陣R,G,B表示，分別對(duì)應(yīng)紅、綠、藍(lán)三色的分量．圖像處理(投入產(chǎn)出模型)mnij的數(shù)量aij，則m×nA=(aij)稱為消耗系數(shù)矩陣x1x2···xm的m種產(chǎn)品，則所需要投入的n種原料的數(shù)量y1,y2,···,yn滿足( ·· y

·· ·· x ·· 即y=

=

·· ·· (圖的矩陣表示G6A=(aij)表示vivj之間有線段相連時(shí)，aij=1，否則aij=0．AG的鄰接矩陣．G也可以用一個(gè)6階方陣B=(bij)表示vjei的端點(diǎn)時(shí)，bij1，否則bij=0．BG的關(guān)聯(lián)矩陣．AB之間具有聯(lián)系BTB=D+A，其中D=diag(d1d2···d6)，dj是以vj為端點(diǎn)的ei的個(gè)數(shù)． 01000 11000v1ev2

e4v5e

10 1001 01

B

01100010100

A01001 00101 00 1000 01

00011000012.2.對(duì)于A∈Fm×n，β1β2···βp∈Fn×1，都 A ·· βp= ·· 對(duì)于AFm×n，λ∈F，都(λIm)A=λA=對(duì)于任意A∈Fm×n，B∈F∈Fp×q，都(AB)C=對(duì)于A,B∈Fm×n，C,D∈Fn×p，都(A+B)C=(AC)+ A(C+D)=(AC)+對(duì)于A∈Fm×n，B∈Fn×p，都對(duì)于A∈Fm×n，B∈Fn×m，都

(AB)T=BTtr(AB)=定義2.3.設(shè)A是n階方陣，m是正整數(shù)．矩陣乘積A·..·..·.,稱為A的m m 約定A0=In(包括A=O情形)．對(duì)于任意f(x) ckxk∈F[x]，定義f(A) 2.7.求線性遞推數(shù)列xn+1axn ) =···1的通項(xiàng)公式 )n(a (=)a)n( 1 1 11 ．計(jì)算一般矩陣2.7.求線性遞推數(shù)列xn+1axn ) =···1的通項(xiàng)公式 )n(a (=)a)n( 1 1 11 ．解答

? 2.8.求連分?jǐn)?shù)[a0a1···an]=a0

a1

...

1

1解答.pka,

an?1ana···a]．由pk?1=ak?1pkqk可

p0= 1·· 1 1 01

)(

(

)

)(.1221221221110 101設(shè)A ，B 11 ，C 110 ．計(jì)算AB,BC,B2,11 021f(xa0a1x···anxn．求n1階方陣B=(bij)n階方陣C=(cij)

x)?f f(x+y) 對(duì)于H=0

H

(0

x?)，分別求滿足AHATH的所有2階實(shí)方陣1 00 01設(shè)A 01 ，B 00 10 10(1)X2= (2)X3= (3)X2= (4)X3= (5)X2= (6)X3=m是正整數(shù)，求Am，其中A

–1

(3)

1

1

110

11

11

00101101 0101111 010110100101101 0101111 01011010001000110011000000000(2)A010(3)A010030001001004100000(1)A(1)n(2)求與任意n階稱方陣都乘積可交換的方陣證明：對(duì)于任意n階方陣A,B都有(AB)2AB)22A2設(shè)方陣A,B乘積可交換．證明：(AB)m

mCkAkm

Ck是組合m1m

1.方陣A,B乘積可交換 =O，f(x)是多項(xiàng)式．證明：f(A+B)=f(A)A,Bn階對(duì)稱方陣．證明：AB是對(duì)稱方陣當(dāng)且僅當(dāng)ABA是復(fù)數(shù)矩陣．證明：若tr(AAH)=0，則A=

k!

BA,Bm×n的復(fù)數(shù)矩陣．證明：tr(AAHtr(BBH)?tr(ABHtr(BAH)?設(shè)復(fù)數(shù)方陣A滿足A(AAHO．證明：AA∈Fm×nB∈Fn×p都是上(下)三角方陣．證明：AB也是上(下)三角方陣A是上(下三角方陣，f(x是多項(xiàng)式．證明：f(A也是上(下)三角方陣n階方陣A

a(x)B=b

都由可微函數(shù)構(gòu)成

=a′(x)

= B+A dAdx A與 =axn+b的通項(xiàng)公式 cxn+[6]n是正整數(shù)，a1a2···an?1是任意常數(shù)，數(shù)列u0u1···unv0v1···vn滿u0=u1=v0=v1= uk+1=uk+ vk+1=vk+ ?k=1,2,···,n?利用矩陣乘積證明：un=[6]2013IMO預(yù)選題 例2.9.考慮如下的網(wǎng)格圖G的鄰接矩陣A=(aij)20×20．把A的400個(gè)元素都寫出來(lái)顯然很費(fèi)事，逐個(gè)指明A中所有1的位置也很麻煩，而把A表示為分塊矩陣的形式則相對(duì)容易一些． 0100

O

1010

AO

P 010100010

O 0001定義2.4.Aaij)m×n，Ii1i2···ir{12···m}r個(gè)元素的排列，Jj1j2···{12···n}s個(gè)元素的排列A的第i1i2···ir行和第j1j2···js列元素排成的ai1 ai1 ·· ai1ai2j1ai2j2·· ai ·· air air ·· air稱為A的子矩陣，記作A[IJAi1i2···irj1j2···定義2.5mm1m2···mp，nn1n2···nq，把mn矩陣A分塊 A12 ··· ·· A ·· ·· 其中Aijminj的子矩陣．這種(Aij)p×q稱為分塊矩陣AijO,?ij，(Aij)p×q稱為準(zhǔn)上三角矩陣AijO,?ij(Aij)p×q稱為準(zhǔn)下三角矩陣AijO,?i?(Aij)p×p稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，記作diag(A11A22···令準(zhǔn)上三角/準(zhǔn)下三角/準(zhǔn)對(duì)角矩陣的概念都是針對(duì)分塊矩陣(A ij2.3.AAij)p×q，則ATBij)q×pBij=AAij)p×q，λ是數(shù)，則λA

?i,AAij)p×qBBij)p×q滿足AijBij的大小相同ABAijAAij)p×q,BBij)q×r滿足Aik的列數(shù)等于Bkj的行數(shù)，則ABCij)p×r，其Cij

AikBkj,?i,100例2.10.求與A 010 乘積可交換的所有方陣002000解答.AB=BA．作矩陣A

O，B

，其中每個(gè) 是2×2的方陣

O2I

AB

，BA

可得

=B21=O．容易驗(yàn)證

的方陣B都滿足AB定義2.6.A=(aij)m×n，Bpq矩陣mpnq矩 ·· ··. ··. ··稱為AB的張量積Kronecker積，記作A譬如，例2.10中的矩陣A可寫

1I2.9中的矩陣A可寫作IPPI 0 2.11.2階方陣A

，B

，X

，Y

y2 b3 矩陣方程AXY可以表示為線性方程組Pxy的形式 其中系數(shù)PAI，xX的行向量拼接而成，yY的行向量拼接而成矩陣方程XBY可以表示為線性方程組Qxy的形式b1 0000 其中系數(shù)QIBT00矩陣方程AXB=Y可以表示為線性方程組Mx=y a3b1a3b3 其中系數(shù)M=ABT．結(jié)合1,2可得M=PQABTAI)(IBT設(shè)Ai,Xi,Yi,X,Y都是n階方陣，m是正整數(shù)，計(jì)算下列矩陣乘積和 )

)(

)

)

)

)

)

)

m

O

OX 01 O 設(shè)方陣A 00 ，B O 10 Omn網(wǎng)格圖Gm,n的頂點(diǎn)集為{(x,y|x=12···m;y=12···n}(x1(x2y2相鄰當(dāng)且僅當(dāng)|x1?x2||y1y2|=1．用分塊矩陣表示Gm,n的鄰接矩陣n維超立方體圖Qn的頂點(diǎn)集為{01}n，兩個(gè)頂點(diǎn)(x1x2···xn)(y1y2···yn)相鄰當(dāng)且僅當(dāng)|x1?y1|+|x2?y2|+···+|xn?yn|=1．用分塊矩陣表示Qn的鄰接矩陣．設(shè)矩陣乘積AC,BD有意義．證明：(AB)(CDACA,A1A2mn矩陣，B,B1B2pq矩陣，Cst矩陣．證明(A1+A2)?B=(A1?B)+(A2? (2)A?(B1+B2)=(A?B1)+(A?(3)(A?B)T=(AT)?(BT (4)(A?B)?C=A?(B?Am階方陣，Bn階方陣，X,Y都是mn矩陣，xy分別是X,Y的列向量依次拼接而成的mn維列向量．把下列矩陣方程分別表示為y=Mx的形式．(1)Y= (2)Y= (3)Y= (4)Y=AX? A αi是行向A13001B1=010=100A2λ100B2=0λ0=001A的第1行的λ倍加至第3行，得100==00=α3+λ01P1P2P32.7.對(duì)單位方陣的行向量作三類初等變換所得到的方陣稱為初等方陣Sij=I?Eii?Ejj+Eij+Eji,i?=Di(λ)=In+(λ?1)Eii,λ?=Tij(λ)=I+λEij,i?=2.4.Sij是對(duì)稱方陣．當(dāng){i,jk,l}?時(shí)，SijSkl乘積可交換．S2=λDi(λ是對(duì)角方陣．任意Di(λ)Dj(μ)乘積可交換．Di(λ)Di1λTij(λ)是三角方陣．當(dāng)i?=lj?=k時(shí)，Tij(λ)Tkl(μ)乘積可交換．Tij(λ)Tij(?λ)=Sij以作類似的“分塊初等變換 ) )

D

= A ) )

= BQ ) ) O A+ XA+CXB+ C+ 定理2.5.對(duì)于任意A∈Fm×n，有如下結(jié)論存在r和一系列初等方陣P1···PsFm×m,Q1···QtFn×n，使 P···P

···

O O~ A=P~1

s

t···~1 ~m使用數(shù)學(xué)歸納法m1時(shí)，設(shè)a1j?0，則∏A·Dj(1) Tjk(?a1k)·S1j=(10···k=?m?2時(shí)，設(shè)aij?=0，則

j

B ) B

a)

D(1

a (對(duì)于矩陣B應(yīng)用歸納假設(shè)，存在非負(fù)整數(shù)r和一系列初等方陣P1···PsQ1···Qt，使 Ps···P1BQ1···Qt ) ) ··· ···

1O(其中所有

),

~~

~證明：每個(gè)Tij(λ)都可以表示為Tpq(a)Tuv(b)Tpq(?a)Tuv(?b)的形式，其中i?=j，p?=q，u?=證明：對(duì)于任意初等P，存在列向量α,β使得P=IαβT并且αTβ?n維列α,β滿足αTβ0n階方陣PIαβT稱為平延．證明：對(duì)于任意兩個(gè)不共線的列u,v，存在平延PPu=v．可經(jīng)過(guò)至多n?1次交換兩行(列)的操作變?yōu)閱挝环疥嚕C明：對(duì)于任意mn(A存在一系列m階初等方陣P1P2···Psn階置換方陣Q，P···PPAQ 2

，其0rmin(m,證明：對(duì)于任意mn矩陣A，存在一系列下三角的m階初等方陣P1P2···Psm階置換方陣Q，使得Ps···P2P1QA為上三角矩陣．R3xy,z cos sin cos ?sin P1(θ) 0cosθ?sin ,P2(θ) sin cos

sin 0cos

cos 證明：Pi(α)Pi(β)=Pi(αβ),?i,α00求θ1,θ2,θ3使得P1(θ1)P2(θ2)P3(θ3) 100013Aθ1θ2θ3P1(θ1)P2(θ2)P3(θ3)A §2.12.2也表明單位法運(yùn)算不滿換律，有如下定義．定義2.8.A∈Fm×n，B∈Fn×mAB=Im是單位方陣，則稱AB的一個(gè)左逆，BA的一個(gè)右逆AB又有左CC=C(AB)=(CA)B=B，此時(shí)A稱為可逆矩陣，B稱為A的逆矩陣，記作A?1．A2.10A是可逆矩陣的一些充分必要條件．在第三章和第四章中，還將通過(guò)行列式和秩的概念給出A是可逆矩陣的其它充分必要 2.12.F上的2階方陣A

=

． 例2.13.設(shè)F上的3階方陣A 當(dāng)δ=u×v·w?=0時(shí)，A是可逆矩陣w1

v2w3? w2u3? u2v3?A?1

v×ww×uu×v

vw? wu?w uv?u 3 1

3 1

3 1v1w2?v2w1w1u2? u1v2?(x1,x2,x3)×(y1,y2,y3)=(x2y3?x3y2,x3y1?x1y3,x1y2?F3上的向量積F3上的數(shù)量積

(x1,x2,x3)·(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+ 2.14.容易驗(yàn)證，m×n

是可逆矩陣當(dāng)且m=n=定理2.6.A是可逆矩陣，則A?1AT也是可逆矩陣，并(A?1)?1= (AT)?1=(A?1)T定理2.7.設(shè)矩陣C=A1A2···Ak．若A1A2···Ak都是可逆矩陣，則C也是可逆矩陣，并C?1=A?1··· 2.8.2.5,2.7,2.82.142.9.AA定理2.10.An階方陣．下列敘述相互等AnbAx=b線性方程組Ax=0有唯一解x=矩陣方程AXI有唯一解，即A有唯一的右證明.2.5rP1···PsQ1···Qt A=P1···

Qt··· 12：設(shè)A可逆xA?1bAxb的唯一解2?3：32131：若rn，則xQ?1···Qt?1enAx0的非rn，A是可12?4：矩陣方程AX=I(n線性方程組Ax=eiei是單位向量，i=12···4?1：矩陣方程AX=I與解．故r=n，A是可逆方陣．

數(shù)域Fn階可逆方陣的全體，在矩陣乘法運(yùn)算下構(gòu)成群，稱為一般線性群，記作 F)．根據(jù)定理2.10，求解矩陣方程AX=I是判斷方陣A是否可逆矩陣以及求A? 法．求解線性方程組Ax=b類似，對(duì)增廣矩陣M=A 施行一系列初等行變換，把它變成 的形式．此時(shí)，X即為A?1．若矩陣方程AXI無(wú)解，則A不是可逆矩陣1 ·· ·· n?例2.15.設(shè)n階上三角方陣A 1

解法一.

I1 ·· 1 ·· 11 ·· n? ·· ... ...

..

.. .. .. .. 1 1

..

.... .. .. ．故A?1= .. ..

1解法二.A

0 .. .. 0

dn

n ?(n+ +n

kxk?1

xk

(x?

kxk?1(x?1)2=nxn+1?(n+1)xn+xB代入以上多項(xiàng)式，得A(BI)2I

1 . ? =(B?I)=B?2B+I

..

.. 12.16.P,Q是可逆方陣，Xmn矩陣，Ynm矩陣

(

O (

=

O 2.17.設(shè)分塊A

，其中AA都是方陣 A1 ) ) A

1.1 A4? 1上式稱為Schur[7]公式，S=A4A3A?1A2A1Schur補(bǔ)．此時(shí)，A是可逆方陣當(dāng)且僅當(dāng)1(

)( ) (

?A

A?1+

A?1

A4 )

) A1? A

4 4[7]IssaiSchur，1875–1941，德國(guó)數(shù)學(xué)家．Ferdinard Frobenius的學(xué)生4上式也稱為Schur公式，T=A1?A2A?1A3A4Schur補(bǔ)．此時(shí)，A是可逆方陣當(dāng)且僅4T

) )

)T ?TA?1 ?A?1A3T A?1+A?1A A1A4AA?1S,TS?1=A?1+A?1A3T T?1=A?1+ (2.18.n階下三角方陣A解答.

iij，其中Cjii

j!(i?

11+

0C10C1 .. C0C ·· (1+ C0 C0 C

1+ .. ·· (1+ (

M

CiC

由上式M?1

(?1)i?jCj

再由M ?

?(0?j?n

iA?1=(?1)i?jCji證明：F3abc∈F3，λ,μ∈雙線性(λaμbcλ(acμ(bc)，a(λbμcλ(abμ(a(2)稱a×b=?b×a，a×a=混合積(ab·cbc·aca·雙重向量積(abca·c)b(b·c)Jacobi(abcbcacab0001100010000110001010acd bccab da

10

)

11 01

1a

?1 b 11

(a+(a+(a+(a+(b+(b+(b+(c+(c+(c+(d+(d+(d+ a+a+a+ b+b+b+ c+c+c+dd+d+d+ n階方陣A滿足Ak=λI，k是正整數(shù)，λ?=1．證明：IA是可逆方陣，并(I?A)?1 (I+A+A2+···+1?nA=(aibj)，B=λIA．證明A2=μA，B22λμ)Bλ(λ?μ)I，其中μ

λ(λμ?0時(shí)，B是可逆方陣，并且B?1

1I

λ(λ?An若A是上/下三角方陣，則A?1也是上/下三角方陣A(反對(duì)稱方陣A?1也是(反)對(duì)稱方陣A(反)HermiteA?1(反)Hermite 設(shè)A,B分別是m×n和n×m的矩陣．何時(shí)M= O

是可逆方陣？并求MA,B是方陣．證明：A?BA,B(A?B)?1=(A?1)?A,B分別是mnnm的矩陣ImAB可逆InBA也可逆，并(In?BA)?1=In+B(Im?(Sherman-Morrison-Woodbury公式Am階可逆方陣，Bmn矩陣，Cnm矩陣．證明：A+BC是可逆方陣當(dāng)且僅當(dāng)I+CA?1B是可逆方陣，并且(A+BC)?1=A?1?A?1C(I+

dAn階可逆方陣A

∑

=?A?1dxA設(shè)n階復(fù)數(shù)方陣A=(aij)滿足|aii| |aij|,?i．A稱為嚴(yán)格行對(duì)角優(yōu)的方陣．證明：線性程組Ax=0只有零解，從而A是可逆方第三章行列(12學(xué)時(shí)1858Cayley創(chuàng)立矩陣論以來(lái)，矩陣逐漸 nn?1n通過(guò)Grassmann[5]代數(shù)定義行列式定義3.1.具有下列三個(gè)性質(zhì)的Fn上的n元函數(shù)det(α1α2···αn)稱為數(shù)域F上的n階行列式(多重線性)det(···,λαi+μβi,···)=λdet(···,αi,···)+μdet(···,βi,···其中λ,μ∈F，αiβi∈(稱性)交換任意兩個(gè)變量的位置，行列式反號(hào)，det(···,αi,···,αj,···)=?det(···,αj,···,αi,···(規(guī)范性)1det(e1e2···en)=簡(jiǎn)而言之，行列det(α1α2···αnn個(gè)向α1α2···αn∈Fn的多元函數(shù)．行列式det(α1α2···αn也可以看作是關(guān)于方A∈Fn×n的函數(shù)，記det(A)|A|α1α2···αn是A的行向量．設(shè)A=(aij)n×n，則det(A)還可以看作是關(guān)于n2個(gè)變?cè)猘ij∈F的多元多項(xiàng)式．[1]SekiTakakazu，約1642–1708，數(shù)學(xué)家[2]GottfriedWilhelmLeibniz，1646–1716[3]GabrielCramer，1704–1752，數(shù)學(xué)家[4]Augustin-LouisCauchy，1789–1857[5]HermannGüntherGrassmann，1809–1877定理3.1.由定義3.1可知，行列式具有下列性質(zhì)，其中λλ1λ2···λn∈若存在αi0，則det(α1α2···αn若存在αiλαj(i?j)det(α1α2···αndet(λ1α1,λ2α2,···,λnαn)=λ1λ2···λndet(α1,α2,···,det(···,αi,···,αj,···)=det(···,αi+λαj,···,αj,···),?i?=定義3.2.σσ1σ2···σn)n個(gè)兩兩不同的正整數(shù)的一個(gè)排列．滿足i<jσi>σj(σiσj)σ中的一個(gè)逆序．σσ的逆序數(shù)τ12···nSnσ{12···n}上的一一映射．在的復(fù)合運(yùn)算下，Sn構(gòu)成群，稱為n次對(duì)稱群．．.．))證明設(shè)交換σ的第i項(xiàng)和第j項(xiàng)得到排列σ~ij．考慮σσ中包含σiσj的數(shù)對(duì)kikj時(shí)，(σiσk)σ中的逆序?(σiσk)σ中的逆序，(σkσj)σ中的逆(σ,σ)~中的逆序jik<j時(shí)，(σiσk)σ?(σkσi)(σ,σ)~中的逆序k(σiσj)σ中的逆序?(σjσi)不是σ~

中的逆序，(σkσjσ中的逆因此，τ(σ~τ(σ2(ji1pq1是奇數(shù)pσ中形如(σiσk)ikj的逆序個(gè)數(shù)，q是σ(σkσj)ikj的逆序個(gè)數(shù)．σyσσ~xyσσ3.2，xy定是偶數(shù)，即(?x

例3.2.設(shè)σ=(σ1,σ2,···,σn)∈Sn．det(eσ1,eσ2,···,eσn)= 解答k12···n1σ中形如(?k的逆序共有mk個(gè)，則可經(jīng)過(guò)mk次相鄰元素的交換，把k換到k，同時(shí)保持其它數(shù)的相對(duì)順序不變．合計(jì)經(jīng)過(guò)τ(σ)=m1m2···mn?1次交換把σ變成排列(12···n)．因此，det(eσ,eσ,···eσ)=(?1)τ(σdet(e1e2···en)=(?1)τ( 下面，推導(dǎo)行列式的函數(shù)表達(dá)式．設(shè)αi=(ai1,ai2,···,ain)，i=1,2,···,n．根據(jù)定義(det(α1,α2,···,αn)=

a2jej,···

∑=1?j1,j2,···∑=(j1,j2,···∑

a1j1a2j2···anjndet(ej1,ej2,···,ejna1j1a2j2···anjndet(ej1,ej2,···,ejn (?1)τ(j1,j2,···,jn)a1ja2j···

(j1,j2,···

(3.1)式稱為det(α1,α2···,αn)或det(aij)的完全展開(kāi)式 義(3.1)式定義的多元函數(shù)為?(α1α2···αn)．容易驗(yàn)證?(α1α2···αn)滿足定義3.1所述的多重線性和規(guī)范性．定理3.2說(shuō)明?(α1,α2,···,αn)滿足稱性．因此，定義3.1中的行列式函數(shù)det(α1,α2,···αn)是存在且唯一的，就是?(α1α2,···,αn)

a例3.3.2階行列式 1=a11a22?a12a21，3階行列式 a22a231=a11a22a33?a11a23 aa aa12a23a31?a12a21a33+a13a21a32?

3.4.Aaij)n×n是上三角方陣，則det(Aa11a22···證明det(A的完全展開(kāi)(j1j2···jn?12···n)時(shí)，a1j1a2j2···anjn3.5.設(shè)分塊矩陣A=(Aij)p×p是準(zhǔn)上三角方陣，并且每個(gè)Aii是方陣，det(A) 證明Aaij)n×np2時(shí)A11r階方陣，A22nr階方陣，∑det(A)

(?1)τ(j1,j2,···,jn)a1ja2j···(j1,j2,···∑

(?1)τ(j1,···,jr)+τ(jr+1,···,jn)a1ja2j···(j1,···,jr)是(1,···,r)(jr+1,···,jn)是(r+1,···,n)的排=det(A11)

當(dāng)p?3時(shí)，可先把A分塊成 ?，得det(A)=det(A det(A)=det(A11det(A22···

det(B)Bn!nn階行列式的計(jì)算 12 ?13.6.計(jì)算行列式1

?1

1

1

解答.12

交換?1?2

12 ?11?2?=2

–– 1

4?=?

1

?1 1 1511?4?=511 1511?4?=512015 100定理3.3.對(duì)于任意n階方陣Aaij)，det(AT證明.det(AT)

(i1,i2,···

(?1)τ(i1,i2,···,in)ai1ai2···ai 其中每個(gè)ai11ai22···ainn可以重新排列成a1j1a2j2···anjn的形式．即可以經(jīng)過(guò)τ(i1i2···in 換，把(i1i2···in)變成(12···n

(12···n12··· j1j2···jn．同理，可以經(jīng)

(j1j2···jn)次交換

j1j2··· 變(i1i2···in

τ(i1,i2,···

τ(j1,j2,··· 12···n．因此，(

=(

，故

)=3.3表明，det(A)AA的列向量的函數(shù)，行與 1例3.7.計(jì)算行列式 0 11020121111102012111112001解答. ?101交?,?4 01=1 21· 11=1

11 1 1 (1)(1,7,6,10,2,5,8,4,9, (2)(2,10,7,9,4,6,5,3,1,(3)(3,5,4,9,10,1,2,8,7, (4)(4,2,1,3,6,9,7,10,8,(5)(1,3,5,···,2k?1,2,4,6,···, (6)(2,4,6,···,2k,1,3,5,···,2k?(7)(1,3,5,···,2k?1,2k,···,6,4, (8)(2k,···,6,4,2,1,3,5,···,2k?分別計(jì)算初等方陣SijDi(λ)Tij(λ)的行列式Aaij)n階上三角方陣，f(x)是多項(xiàng)式．證明det(f(A))=f(a11)f(a22)···f

10

010

)

11 01

101010 00d0ea 0dd0ef abcbc0cef0 cd

?1

001 aa

?c

ababcddacbacbbcda

1a 1

1+ 1+ 1+ 1+1+ 1+ 1+ 1+1+ 1+ 1+ 1+1+d1+d21+d31+(a(a+(a+(a+(b+(b+(b+(c+(c+(c+(d+(d+(d+

a+ a+ a+ b+ b+ b+ c+ c+ c+ d+ d+ d+(a(a+(a+(a+(b+(b+(b+(c+(c+(c+(d+(d+(d+

·· n? ·· n? ..

.. ..

.. .. .. .. .. .. .. n? ·· 1?n··

··. ...

.

aIr階純量方 ·· Binet-Cauchy公上節(jié)中給出了行列式的定義以及一些最基本的性質(zhì)．本節(jié)及下節(jié)將給出關(guān)于行列式和矩陣的定理3.4.對(duì)于任意n階方陣A,B，det(AB)=det(A證明.A

)，B的行向量分別為β,β,···β，則AB的第i個(gè)行向量γ

naβ．因

ij det(AB)= a2jβj,··· ∑

=1?j1,j2,···∑=(j1,j2,···∑

a1j1a2j2···anjndet(βj1,βj2,···,βjna1j1a2j2···anjndet(βj1,βj2,···,βjn a1j

···

(?1)τ(j1,j2,···,jn)det(β1,β2,···, (j1,j2,···=det(A)F1n階方陣的全體，在矩陣乘法運(yùn)算下構(gòu)成群，稱為特殊線性群SL(n,定理3.5.方陣A是可逆方陣當(dāng)且僅當(dāng)det(A)?=0，并且det(A?1) 明.根據(jù)2.5，存在一系列初等方陣P1···PsQ1···Qt，使B=Ps···P1AQ1···Qt O 根據(jù)2.72.8，A?B?r=n．根據(jù)3.4，det(A)?=0?det(Bdet(P1)···det(Ps)det(Q1)···det(Qt)det(A)?=0?r=n．因此，A可逆?det(A)?=0．由det(A)det(A?1)=det(AA?1)=1可知det(A?1)= 3.4AB定理3.6(Binet[6]-Cauchy公式)Amn矩陣，Bnm矩陣det(AB)

1?i1<i2<···<im

A[12···mi1i2···

B[i1i2···im12···

,m?

m>)證明mn時(shí)~=A

，~=BOdet(~~)det()det(~)[6]JacquesPhilippeMarieBinet，1786–1856m?n時(shí)，設(shè)A=(aij)，B的行向量分別為β1β2···βn，(det(AB)=

n

a2jβj,···

∑ a1j1a2j2···amjmdet(βj1,βj2,···,βjm1?j1,j2,···=

a1ja2j··· (?1)τ(j1,j2,···,jm)det(βi,βi,···,βi1?i1<i2

,···,jm) =1?i1<i21

11

A[12···mi1i2···1·· 1

B[i1i2···im]12···1 例3.8.n階方陣V

·· Vandermonde[7]方陣det(V)V ·· 1 ·· ·· 11x?

x(x?x ··

–x

1.det(V)=1 ··. n11xn? xn(xn? ·· xn?2(xn?n1 ·· 2=(x2?x1)···(xn?x1)1 ·· .n11 ·· 2n∏j利用數(shù)學(xué)歸納法，det(V) (x?j解法二．視det(Vxn的多項(xiàng)式f(xn)．由f(x1)=···=f(xn?1)=0可det(V)=(xn?x1)···(xn?xn?1)g(x1,···,? ∏x陣x陣

的行列式．同上，det(V

(xj?

j? (t?xi)= 1 ·· 1 ·· .1 ·· ·· .

·· f(x f(x . ..

.. 2. . ·· .

n1 ·· n

0·· ∏

n)f2(xn)·· fn(xndet(V)=

···fn(xn)

(xj?[7]Alexandre-ThéophileVandermonde，1735–1796下面計(jì)算WwijV?1．根據(jù)定理3.5，V是可逆方陣當(dāng)且僅當(dāng)det(V?0x1x2···

VW=I?g(x)=

i=j

0,i?=

∏t? gj(t)

xj?

wij

–其中σn?i是關(guān)于x1···xj?1xj+1···xnni次基本對(duì)稱多項(xiàng)3.8中，VandermondeVV=LU?1L是下三角方陣，U是對(duì)11(下)三角方陣稱為(下)三角方陣．單位上(下)(下)δiji,j的二元函數(shù)，通常稱為Kronecker[8]δ函數(shù)．3.9.n階方陣C

s11s2.

s1.

········

s1s2? .解答.設(shè)p(x)

–t)，q(x)= x?

=

aijxi?1 1 1 ·· 1 ·· ····C p(s2 1 1 ·· 和 1 ·· 1 ·· ·· 1 ·· 1p(s1 1C p(s2 n ∏sj? 1i<j[8]LeopoldKronecker，1823–1891.·· 1

..

·········..····.n..

n11·11····11····q ··..··...1··1··det(C)

=1p(si)

?tj?

=1?i<j?n(sj?si)(ti? (si····.3.10.n階復(fù)數(shù)C

..

稱為循環(huán)方陣det(C) ·· 解答.注意到C=f(Z)，其中f(t

cti，Zi

滿足

I

ωcos2πisin2πn次單位根．易驗(yàn)證nI．故?是可逆方陣，??1

?．再

Z?=?diag(1,ω,···, 可得Zdiag(1ω,···ωn?1)??1，Cf(Zdiagf(1)f(ω)···f(ωn?1)? ( 因此，det(C)=?1f(ω)，C?1=?diag ,1,···,

??1

1?1 f(1)f f n3.10C?D??1(稱為相似對(duì)角化，詳見(jiàn)第五章)D是對(duì)角方陣，?Vandermonde√1?是酉方陣（詳見(jiàn)第六章．nA=P1P2···PkA(或逆矩陣)(或逆矩陣“分塊 3.11.AA=AA時(shí)

=det(AA?AA1 3

1 3證明.det(A1)?=0Schur

=det(A) ? =

A(A? =det(AA?AA

據(jù)前述結(jié)

xI+

A2=

(xI+A)A?A

．等式兩邊都是多項(xiàng)式，令x0

3

=det(A1A4?3.12.Amn矩陣，Bnm矩陣，x是變?cè)?，則det(xI?AB)=xm?ndet(xI?證明. )

) xI?ABO= OI?可得det(xIABxmdet(Ix?1BAxm?ndet(xIA∈Cm×n．利用Binet-Cauchy公式，證明det(AAH)?A,B,C分別是km,mn,nk矩陣，k?min(m,n)．證明 det(ABC)

A[12···k

B[i1i2···ik

C[j1j2···jk]

i1i2··· j1j2··· 12···?3.10解答中的Vandermonde方陣．計(jì)算?2?3?4，并化簡(jiǎn) 11cos ·· cos(n? 1cos1 cos3 ·· cos2n?1

11cos ·· cos(n?1)θ2

·· 21 ·· ·· 1 1 2 2 2 2

··

cos(n?1)θn

cos1 cos3 ·· cos2n?1θ 1sin sin ·· sin 1sin1 sin3 ·· sin2n?1

1sin sin ·· sinnθ21 ··

·· 2 ·· sin sin ·· sin sin1 sin3 ·· sin2n?1θn ·· 1 ·· sn?1

·· 1

1

··

n

i i1 ··

1 ··

1n2 ·· (n? 1 ·· 1 ·· 11

1 c

1

·· 1 .

1 p+21，Cq+j是組合數(shù)

. .

1 c1

··

q+n1 ·· c0 ·· Cp+n1+ ·· 1+a1+ a1+ ·· a1+ 1+ ·· a2+ 1+a2+b2·· a2+.

. ·· 1+ an+ an+ ·· 1+an+

(xjxi

(n?

整除

=det(A+B)det(A? (2)

=det(A+iB)det(A?i證明：存{aij|1?ij?n}為變?cè)恼禂?shù)多項(xiàng)式[9]P，使1 ·· a1n1?

.. =P ..

.. n?1,nf(x

fi

g(x

·· igxi都是復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式．mn階方i S

·· .......... ····}........··m稱為Sylvester方陣，det(S稱為Sylvester結(jié)式．證明當(dāng)fmgn=0時(shí)，det(S)=0．當(dāng)fmgn?=0時(shí)，det(S)?=0?(f,g)=設(shè)f(x)= m(x?u)，g(x)= n(x?v)，fg?=

mmmdet(S)=fnm

∏(ui?

i=1ngxi都是復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，f(x)g(yf

=

i?1

x)

g(x

x?

n階方陣Bbij稱為Bézout方陣，det(B稱為Bézout結(jié)式研究Bézout方陣與[9]P的表達(dá)式可參閱華羅庚-§2 Laplace展定理3.7.A=(aij)n階方陣，Bj是刪除A的第1j列后所得的n1階方陣det(A)

(?1)j?1a1j 證明.τ(j,j2···jn)=j1τ(j2···jn)．因此2n 2ndet(A)

(j1,j2,···

(?1)τ(j,j2,···,jn)a1ja2j···

(?1)j?1a1j(3.2)det(A)Laplace[10]1det(a)=a(3.2)式歸納定義n?2階行列式．為了說(shuō)明如此歸納定義的行列式與定義3.1是相同的，只需(3.1)3.7120131201例3.13.利用Laplace展開(kāi)計(jì)算行列式?= 031112 132解答/p>

10031121?21321?611

+410211=?5?6+30= 103 103 3

0 13 103.14.n階行列式

1，其中空白處的元素都是n=1

1 )

)n(由例2.7，?n

x 1 與定理3.7類似，有以下常用結(jié)論定理3.8.An階方陣，BijA的第i行和第j列后所得的n1階方陣ndet(A)det(A)

(?1)i+jaijdet(Bij)，?i=1,2,···,證明.i=1時(shí)1即為3.7i?2時(shí)i?1次相鄰兩行的交換Adet(~

n

det(B)

(~)

(?1)

det(B)AT1

[10]Pierre