第六章簡單的超靜定問題一、超靜定問題概述二、拉壓超靜定問題三、扭轉(zhuǎn)超靜定問題四、簡單超靜定梁§6-1超靜定問題概述(b)

圖a所示靜定桿系為減小桿1,2中的內(nèi)力或節(jié)點A的位移(如圖b)而增加了桿3。此時有三個未知內(nèi)力FN1,FN2,FN3，但只有二個獨立的平衡方程──一次超靜定問題。(b)

圖a所示簡支梁為減小內(nèi)力和位移而如圖b增加了中間支座C成為連續(xù)梁。此時有四個未知約束力FAx,FA,FB,FC，但只有三個獨立的靜力平衡方程──一次超靜定問題。FAFBl(a)FAxABqq(b)l/2l/2CFCFAxABFBFA

超靜定問題：若未知力的個數(shù)多于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程便無法確定全部未知力，這類問題為超靜定問題或靜不定問題。相應(yīng)結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)。多余約束：在結(jié)構(gòu)上加上的一個或幾個約束，對于維持平衡來說是不必要的約束稱多余約束。對應(yīng)的約束力稱多余約束反力。

由于超靜定結(jié)構(gòu)能有效降低結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形，在工程上應(yīng)用非常廣泛。超靜定次數(shù)：未知力個數(shù)與獨立平衡方程數(shù)之差，也等于多余約束數(shù)。

解超靜定問題的基本思路基本靜定系(primarystaticallydeterminatesystem)解除“多余”約束(例如桿3與接點A的連接)例1在基本靜定系上加上原有荷載及“多余”未知力并使“多余”約束處滿足變形(位移)相容條件[關(guān)鍵步驟]相當(dāng)系統(tǒng)(equivalentsystem)12BCAFFN3FN3AD于是可求出多余未知力FN3。

由位移相容條件

，利用物理關(guān)系(位移或變形計算公式)可得補充方程：12BCAFFN3FN3AD基本靜定系統(tǒng)ABl補充方程為于是可求出多余未知力FC。FC位移相容條件ΔCq+ΔCFc=0相當(dāng)系統(tǒng)ABl/2ql例2超靜定梁yxl/2l/2CABq

注意事項(1)超靜定次數(shù)=“多余”約束數(shù)=“多余”未知力=位移相容條件數(shù)=補充方程數(shù)，因而任何超靜定問題都是可以求解的。(2)求出“多余”未知力后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移等均可利用相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計算。

(3)

無論怎樣選擇“多余”約束，只要相當(dāng)系統(tǒng)的受力情況和約束條件確實與原超靜定系統(tǒng)相同，則所得最終結(jié)果是一樣的。(4)“多余”約束的選擇雖然是任意的，但應(yīng)以計算方便為原則。

如上所示連續(xù)梁若取B處鉸支座為“多余”約束，則求解比較復(fù)雜。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq§6-2拉壓超靜定問題Ⅰ.拉壓超靜定基本問題拉壓變形時的胡克定律

綜合考慮變形的協(xié)調(diào)條件、胡克定律和靜力學(xué)平衡條件求解拉壓超靜定問題。

求圖a所示等直桿AB的約束力，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。例題6-11.

有兩個未知約束力FA

,FB（圖a），但只有一個獨立的平衡方程

FA＋FB－F=0故為一次靜不定問題。例題6-12.取固定端B為“多余”約束，F(xiàn)B為多余未知力。相當(dāng)系統(tǒng)如圖b所示，它應(yīng)滿足相容條件為DB＝0，利用疊加法得DBF+DBB=0，參見圖c，d

。例題6-13.利用胡克定律后可得補充方程為由此求得所得FB為正值，表示FB的指向與假設(shè)的指向相符，即向上。例題6-1得

FA=F-Fa/l=Fb/l。4.

由平衡方程

FA+FB-F=0例題6-15.利用相當(dāng)系統(tǒng)（圖b）求得DC。拉壓超靜定問題的相當(dāng)系統(tǒng)應(yīng)滿足變形的相容條件，本例的相容條件為DlAC+DlBC＝0。因為變形和位移在數(shù)值上密切相關(guān)，可用已知的位移條件DB＝0代替相容條件。2.小變形的情況下，利用疊加法求位移時，均是利用構(gòu)件的原始尺寸進(jìn)行計算的，所以DBB＝FBl/EA，而不用DBB＝FB(l+DBF)/EA'

，A'為在F力作用下變形后橫截面的面積。例題6-1

求圖a所示結(jié)構(gòu)中1,2,3桿的內(nèi)力FN1,FN2,FN3。AB桿為剛性桿，1,2,3桿的拉壓剛度均為EA。aaaACDB132EFF(a)a例題6-21.

共有五個未知力，如圖b所示，但只有三個獨立的靜力平衡方程，故為二次靜不定問題。FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例題6-2解：2.取1桿和2桿為AB桿的多余約束，F(xiàn)N1和FN2為多余未知力。得基本靜定系如圖c。CF3(c)AB例題6-23.

由變形圖（圖d）可得變形相容條件為FN2DDl2F(d)FN1CDl1EFCADl1Dl3Dl2FBFN2DFN13C'D'45oC1(2)(1)例題6-24.

利用胡克定律，由(1)(2)式可得補充方程：解得

FN1=2FN3,(3)

FN2=2FN1=4FN3(4)例題6-2FN2DDl2F(d)FN1CDl1EFCADl1Dl3Dl2FBFN2DFN13C'D'45oC15.AB桿受力如圖b所示，ΣMA=0得聯(lián)立求解得FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例題6-2II.裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力(1)裝配應(yīng)力

超靜定桿系(結(jié)構(gòu))由于存在“多余”約束，因此如果各桿件在制造時長度不相匹配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力──裝配內(nèi)力，以及相應(yīng)的裝配應(yīng)力。

圖a中所示桿系(E1A1=E2A2)中桿3的長度較應(yīng)有長度短了De，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時，桿3在結(jié)點A'

處受到裝配力FN3作用(圖b)，而桿1,2在匯交點A'

處共同承受與桿3相同的裝配力FN3作用(圖b)。(a)求算FN3需利用位移(變形)相容條件(圖a)列出補充方程由此可得裝配力FN3，亦即桿3中的裝配內(nèi)力為(拉力）(a)

至于各桿橫截面上的裝配應(yīng)力只需將裝配內(nèi)力(軸力)除以桿的橫截面面積即得。

由此可見，計算超靜定桿系(結(jié)構(gòu))中的裝配力和裝配應(yīng)力的關(guān)鍵,仍在于根據(jù)位移(變形)相容條件并利用物理關(guān)系列出補充方程。而桿1和桿2中的裝配內(nèi)力利用圖b中右側(cè)的圖可知為

兩根相同的鋼桿1、

2，其長度l=200mm，直徑d=10mm。兩端用剛性塊連接在一起如圖a所示。將長度為200.11mm，亦即De=0.11mm的銅桿3（圖b）裝配在與桿1和桿2對稱的位置(圖c)，求各桿橫截面上的應(yīng)力。已知：銅桿3的橫截面為20mm×30mm的矩形，鋼的彈性模量E=210GPa，銅的彈性模量E3=100GPa。例題6-31.

裝配后有三個未知的裝配內(nèi)力FN1,FN2,FN3，如圖d所示。但平行力系只有二個獨立的平衡方程，故為一次靜不定問題。也許有人認(rèn)為，根據(jù)對稱關(guān)系可判明FN1=FN2，故未知內(nèi)力只有二個，但要注意此時就只能利用一個獨立的靜力平衡方程：(d)所以這仍然是一次靜不定問題。例題6-3解：2.變形相容條件(圖c)為這里的Dl3是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負(fù)號。例題6-33.利用胡克定律由(2)式得補充方程例題6-34.聯(lián)立求解(1)和(3)式得

所得結(jié)果為正，說明原先假定桿1、2的裝配內(nèi)力為拉力和桿3的裝配內(nèi)力為壓力是正確的。例題6-35.各桿橫截面上的裝配應(yīng)力如下：（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）例題6-3求裝配內(nèi)力也是求解靜不定問題，其關(guān)鍵仍是根據(jù)相容條件建立變形幾何方程。以上計算結(jié)果表明，很小的制造誤差，卻產(chǎn)生較大的裝配應(yīng)力，從而使構(gòu)件的承載能力降低。因此，要盡量提高加工精度，減小裝配應(yīng)力的不利影響。例題6-3(2)溫度應(yīng)力

也是由于超靜定桿系存在“多余”約束，桿件會因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應(yīng)力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫度變化時由于不能自由伸縮，其橫截面上會產(chǎn)生相當(dāng)可觀的溫度應(yīng)力。

兩端與剛性支承連接的等截面桿如圖a所示。試求當(dāng)溫度升高Dt時橫截面上的溫度應(yīng)力。桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為l。例題6-41.

若AB桿僅A端固定，B端無約束，當(dāng)溫度升高時，只會產(chǎn)生縱向伸長Dlt，而不會產(chǎn)生內(nèi)力。當(dāng)A、B均為固定端時，Dlt受到約束不能自由伸長，桿端產(chǎn)生約束力FA和FB。兩個未知力，一個平衡方程，為一次靜不定問題。(b)例題6-4解：2.以剛性支撐B為“多余”約束，F(xiàn)B為多余約束未知力，設(shè)基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸長變形Dlt，由“多余”未知力FB產(chǎn)生的縮短變形DlF分別如圖c、d所示。(c)(d)例題6-43.

變形相容條件是桿的總長度保持不變，即(c)(d)例題6-44.將(2)式代入(1)，得(2)補充方程為(3)(c)(d)例題6-45.由(3)式解得(c)(d)例題6-46.

桿的橫截面上的溫度應(yīng)力為(c)(d)例題6-4

若該桿為鋼桿。l

=1.2×10-5/(?C)，E=21