2021年河北省保定市宏岳中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)正弦函數(shù)y=sinx在x=0和x=附近的平均變化率為k1，k2，則k1，k2的大小關(guān)系為（）A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1=k2 D．不確定參考答案：A【考點(diǎn)】62：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】根據(jù)平均變化率列出相應(yīng)的式子，在討論自變量的情況下，比較兩個(gè)數(shù)的大?。窘獯稹拷猓寒?dāng)自變量從0到0+△x時(shí)，k1==，當(dāng)自變量從到+△x時(shí)，k2==當(dāng)△x＞0時(shí)，k1＞0，k2＜0即k1＞k2；當(dāng)△x＜0時(shí)，k1﹣k2=﹣=∵△x＜0，△x﹣＜﹣，sin（△x﹣）＜﹣，sin（△x﹣）+1＜0，∴k1＞k2綜上所述，k1＞k2．故選A．2.拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（）A． B． C． D．0參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】令M（x0，y0），則由拋物線的定義得，，解得答案．【解答】解：∵拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴，準(zhǔn)線方程為，令M（x0，y0），則由拋物線的定義得，，即故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．3.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2+a5=0，則等于（）A．11 B．5 C．﹣8 D．﹣11參考答案：D【分析】由題意可得數(shù)列的公比q，代入求和公式化簡(jiǎn)可得．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，（q≠0）由題意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題．4.設(shè)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且，則的面積是（

）A.1

B.

C.2

D.

參考答案：A略5.已知，則兩圓與的位置關(guān)系是（

）

A．外切

B．外離

C．相交

D．內(nèi)含參考答案：C略6.設(shè)口袋中有黑球、白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球，已知取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望值為，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為（

）A.3 B.4 C.5 D.2參考答案：A【分析】先確定隨機(jī)變量取法，再分別求對(duì)應(yīng)概率，利用數(shù)學(xué)期望公式列方程解得白球的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)口袋中有白球個(gè)，由已知可得取得白球的可能取值為0，1，2，則服從超幾何分布，，，，.∵，∴，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)期望公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.7.復(fù)數(shù)A.

B.

C.

D.參考答案：C8.已知平面向量、、滿足＜，＞=60°，且{||，||，||}={1，2，3}，則||的最大值是(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】向量的模．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意可知，當(dāng)和+同向時(shí)，||有最大值，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算得到||2=||2+||2+||||，分別令||∈{1，2，3}，求出值，再比較大小即可．【解答】解：平面向量、、滿足＜，＞=60°，當(dāng)和+同向時(shí)，||有最大值，∴||max=||+||，∵||2=||2+||2+2=||2+||2+2||||cos60°=||2+||2+||||，當(dāng)||=1時(shí)，∴||2=4+9+6=19，∴||=1+，當(dāng)||=2時(shí)，∴||2=1+9+3=13，∴||=2+，當(dāng)||=3時(shí)，∴||2=1+4+2=7，∴||=3+，∵3+＞2+＞1+，||的最大值是3+．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的模的運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵得到當(dāng)和+同向時(shí)，||有最大值，屬于中檔題．9.平面α的一個(gè)法向量為v1＝(1,2,1)，平面β的一個(gè)法向量為v2＝(－2，－4，10)，則平面α與平面βA．平行

B．垂直

C．相交

D．不確定

參考答案：B略10.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x>0，y>0，且x+4y=1,則的最小值為

▲

參考答案：12.已知兩定點(diǎn)A（-2，0），B（1，0），如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于____________．參考答案：略13.在10個(gè)球中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球（各不相同），不放回的依次摸出2個(gè)球，在第一次摸出紅球的條件下，第2次也摸出紅球的概率是_________.參考答案：略14.設(shè)點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的三邊上的動(dòng)點(diǎn)，則?（+）的取值范圍為．參考答案：[﹣，2]【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），討論P(yáng)在AB，BC，CA上，分別設(shè)P的坐標(biāo)，可得向量PA，PB，PC的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)表示，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，即可得到所求取值范圍．【解答】解：以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），當(dāng)P在線段AB上，設(shè)P（t，0），（﹣1≤t≤1），=（﹣1﹣t，0），=（1﹣t，0），=（﹣t，），即有?（+）=（﹣1﹣t，0）?（1﹣2t，）=（﹣1﹣t）（1﹣2t）+0×=2t2+t﹣1=2（t﹣）2﹣，由﹣1≤t≤1可得t=取得最小值﹣，t=﹣1時(shí)，取得最大值0；當(dāng)P在線段CB上，設(shè)P（m，（1﹣m）），（0≤m≤1），=（﹣1﹣m，（m﹣1）），=（1﹣m，（m﹣1）），=（﹣m，m），即有?（+）=（﹣1﹣m，（m﹣1））?（1﹣2m，（2m﹣1））=（﹣1﹣m）（1﹣2m）+（m﹣1）×（2m﹣1）=2（2m﹣1）2，由0≤m≤1可得m=取得最小值0，m=0或1時(shí)，取得最大值2；當(dāng)P在線段AC上，設(shè)P（n，（1+n）），（﹣1≤n≤0），=（﹣1﹣n，﹣（1+n）），=（1﹣n，﹣（1+n）），=（﹣n，﹣n），即有?（+）=（﹣1﹣n，﹣（1+n））?（1﹣2n，﹣（1+2n））=（﹣1﹣n）（1﹣2n）+（1+n）×（1+2n）=8n2+10n+2=8（n+）2﹣，由﹣1≤n≤0可得n=﹣取得最小值﹣，n=0時(shí)，取得最大值2；綜上可得?（+）的取值范圍是[﹣，2]．故答案為：[﹣，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查坐標(biāo)法的運(yùn)用，同時(shí)考查分類討論和轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．15.某程序框圖如右圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結(jié)果是參考答案：12716.某物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=t2+(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在3秒末的瞬時(shí)速度為；

參考答案：略17.三個(gè)數(shù)72，120，168的最大公約數(shù)是_______。參考答案：24三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx．（Ⅰ）y=kx與f（x）相切，求k的值；（Ⅱ）證明：當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)任意x＞0不等式f（x）≤ax+﹣1恒成立．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出k的值即可；（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ax+﹣lnx≥1恒成立，當(dāng)a≥1時(shí)，記h（x）=ax+﹣lnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而證出結(jié)論即可．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=lnx，得：f′（x）=，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則，解得：k=…..（Ⅱ）證明：只需證f（x）﹣g（x）≥1，即ax+﹣lnx≥1恒成立，當(dāng)a≥1時(shí)，記h（x）=ax+﹣lnx，則在（0，+∞）上，h（x）≥1，h′（x）=，…..∵a≥1，x＞0，∴ax+a﹣1＞0，x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增∴h（x）min=h（1）=2a﹣1，∵a≥1，∴2a﹣1≥1，即h（x）≥1恒成立…..19.（22分，理科做文科不做）在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA＝2AB＝2．（1）求四棱錐P－ABCD的體積V；高&考%資(源#網(wǎng)wxc（2）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF；（3）求證CE∥平面PAB．參考答案：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．∴SABCD＝．……………2分則V＝．………………4分（Ⅱ）∵PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，∴AF⊥PC．…7分∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴EF∥CD．則EF⊥PC．

………8分∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．……9分（Ⅲ）證法一：取AD中點(diǎn)M，連EM、CM，則EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．

………11分在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵M(jìn)C平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．

………13分∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．

………22分證法二：延長(zhǎng)DC、AB，設(shè)它們交于點(diǎn)N，連PN．∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C為ND的中點(diǎn)．

……11分∵E為PD中點(diǎn)，∴EC∥PN．……13分∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．

………22分

20.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)已知圓，雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓相切，求雙曲線的方程．

參考答案：解：(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，從而有解得

故橢圓C的方程為

(2)橢圓C：＋＝1的兩焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，故雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5.設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a>0，b>0)，則G的漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，圓心為(0,5)，半徑為r＝3.∴＝3?a＝3，b＝4.∴雙曲線G的方程為－＝1.

21.已知函數(shù)，其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；參考答案：(1).(2)見(jiàn)解析.【分析】（1）由時(shí)，可得，求得和，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.（2）由函數(shù)，求得，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，可得，所以.又由，所以，即切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)即時(shí)，列表如下：-2+0-0+極大值極小值

所以的單調(diào)減區(qū)間是.當(dāng)即時(shí)，，列表如下：-2+0-0+極大值極小值

所以的單調(diào)減區(qū)間是.綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，合理分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.22.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到如圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1﹣BCDE．（Ⅰ）證明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1﹣BCDE的體積為36，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面垂直的判定．【分析】（I）運(yùn)用E是AD的中點(diǎn)，判斷得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考慮CD