1、第五章考試要求1.通過方程的解，認識復數(shù).2.理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義.3.掌握復數(shù)的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義.落實主干知識課時精練探究核心題型LUOSHIZHUGANZHISHI 落實主干知識1.復數(shù)的有關(guān)概念(1)復數(shù)的定義：形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中 是實部， 是虛部，i為虛數(shù)單位.(2)復數(shù)的分類：復數(shù)zabi(a，bR)實數(shù)(b 0)，虛數(shù)(b 0)(其中，當a 0時為純虛數(shù)).ab(3)復數(shù)相等：abicdi (a，b，c，dR).(4)共軛復數(shù)：abi與cdi互為共軛復數(shù) (a，b，c，dR).(5)復數(shù)的模：向量 的模叫

2、做復數(shù)zabi的?；蚪^對值，記作 或 ，即|z|abi| (a，bR).ac且bdac，bd|abi|z|2.復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)zabi(a，bR) 復平面內(nèi)的點Z(a，b).(2)復數(shù)zabi(a，bR) 平面向量 .3.復數(shù)的四則運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則：設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則加法：z1z2(abi)(cdi) ；減法：z1z2(abi)(cdi) ；乘法：z1z2(abi)(cdi) ；(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i(2)幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.2.baii(abi)(a，b

3、R).3.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN).4.i4ni4n1i4n2i4n30(nN).5.復數(shù)z的方程在復平面上表示的圖形(1)a|z|b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z(abi)|r(r0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓.常用結(jié)論判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)復數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為b.()(2)復數(shù)可以比較大小.()(3)已知zabi(a，bR)，當a0時，復數(shù)z為純虛數(shù).()(4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模.()1.已知復數(shù)z滿足(2i)z1i，其

4、中i是虛數(shù)單位，則z在復平面內(nèi)對應的點位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.復數(shù)z(3i)(14i)，則復數(shù)z的實部與虛部之和是_.4z(3i)(14i)312ii4711i，故實部和虛部之和為7114.3.若z(m2m6)(m2)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為_.3TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1 (1)(2021浙江)已知aR，(1ai)i3i(i為虛數(shù)單位)，則a等于A.1 B.1 C.3 D.3方法一因為(1ai)iai3i，所以a3，解得a3.題型一復數(shù)的概念A.i B.i C.1 D.1z(1i)(2i)(1i)，z2i，1.(2020全國)若

5、(1i)1i，則z等于A.1i B.1i C.i D.i教師備選2.(2020全國)若z1i，則|z22z|等于A.0 B.1 C. D.2方法一z22z(1i)22(1i)2，|z22z|2|2.方法二|z22z|(1i)22(1i)|(1i)(1i)|1i|1i|2.思維升華解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實部和虛部.跟蹤訓練1(1)(2022衡水中學模擬)已知 1yi，其中x，y

6、是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則xyi的共軛復數(shù)為A.2i B.2iC.12i D.12ixyi2i，其共軛復數(shù)為2i.例2(1)(2021新高考全國)已知z2i，則z( i)等于A.62i B.42iC.62i D.42i因為z2i，題型二復數(shù)的四則運算(2)(多選)設(shè)z1，z2，z3為復數(shù)，z10.下列命題中正確的是A.若|z2|z3|，則z2z3B.若z1z2z1z3，則z2z3C.若 2z3，則|z1z2|z1z3|D.若z1z2|z1|2，則z1z2由|i|1|，知A錯誤；z1z2z1z3，則z1(z2z3)0，又z10，所以z2z3，故B正確；|z1z2|z1|z2|，|z1z3|z1|z

7、3|，又 2z3，所以|z2| 2|z3|，故C正確，令z1i，z2i，滿足z1z2|z1|2，不滿足z1z2，故D錯誤.(2020新高考全國) 等于A.1 B.1 C.i D.i教師備選2所以z4的虛部是2.思維升華(1)復數(shù)的乘法：復數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算.(2)復數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù).跟蹤訓練2(1)(2021全國乙卷)設(shè)iz43i，則z等于A.34i B.34i C.34i D.34i方法一(轉(zhuǎn)化為復數(shù)除法運算)因為iz43i，方法二(利用復數(shù)的代數(shù)形式)設(shè)zabi(a，bR)，則由iz43i，可得i(abi)43i，即bai43i，方法三(巧用同乘

8、技巧)因為iz43i，所以izi(43i)i，所以z4i3，所以z34i.1例3(1)(2021新高考全國)復數(shù) 在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限題型三復數(shù)的幾何意義(2)(2020全國)設(shè)復數(shù)z1，z2滿足|z1|z2|2，z1z2 i，則|z1z2|_.方法一設(shè)z1z2abi，a，bR，因為|z1|z2|2，所以|2z1|2z2|4，22，得a2b212.如圖所示，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，1.(2020北京)在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是(1,2)，則iz等于A.12i B.2i C.12i D.2i教師備選由題意知，z

9、12i，izi(12i)2i.2.(2019全國)設(shè)復數(shù)z滿足|zi|1，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則A.(x1)2y21 B.(x1)2y21C.x2(y1)21 D.x2(y1)21z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，zxyi(x，yR).|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.思維升華由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關(guān)系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.跟蹤訓練3(1)如圖，若向量 對應的復數(shù)為z，則z表示的復數(shù)為A.13i B.3iC.3i D.3i由題圖可得Z(1，1)，即z1i，任何一個復數(shù)zabi都可

10、以表示成zr(cos isin )的形式.其中，r是復數(shù)z的模；是以x軸的非負半軸為始邊，向量 所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復數(shù)zabi的輻角.拓展視野復數(shù)的三角形式我們把r(cos isin )叫做復數(shù)的三角形式.對應于復數(shù)的三角形式，把zabi叫做復數(shù)的代數(shù)形式.復數(shù)乘、除運算的三角表示：已知復數(shù)z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，則z1z2r1r2cos(12)isin(12).例2(多選)已知i為虛數(shù)單位，z1 (cos 60isin 60)，z22 (sin 30icos 30)，則z1z2的三角形式不為下列選項的有A.4(cos 90is

11、in 90)B.4(cos 30isin 30)C.4(cos 30isin 30)D.4(cos 0isin 0)4(cos 360isin 360).KESHIJINGLIAN 課時精練1.(2022福州模擬)已知i是虛數(shù)單位，則“ai”是“a21”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516i是虛數(shù)單位，則i21，“ai”是“a21”的充分條件；由a21，得ai，故“ai”是“a21”的不必要條件；故“ai”是“a21”的充分不必要條件.2.設(shè)復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于虛軸對稱，z13i，則z

12、1z2等于A.10 B.10 C.8 D.8z13i，z1，z2在復平面內(nèi)所對應的點關(guān)于虛軸對稱，z23i，z1z29110.12345678910111213141516123456789101112131415164.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)zi2 023i(i1)在復平面內(nèi)對應的點位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限因為zi2 023i(i1)i1i12i，所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點是(1，2)，位于第三象限.123456789101112131415165.(2022濰坊模擬)在復數(shù)范圍內(nèi)，已知p，q為實數(shù)，1i是關(guān)于x的方程x2pxq0的一個根，則pq等于A.2

13、 B.1 C.0 D.1因為1i是關(guān)于x的方程x2pxq0的一個根，則1i是方程x2pxq0的另一根，12345678910111213141516解得p2，q2，所以pq0.6.(多選)(2022蘇州模擬)若復數(shù)z滿足(1i)z53i(其中i是虛數(shù)單位)，則A.z的虛部為iB.z的模為C.z的共軛復數(shù)為4iD.z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限1234567891011121314151612345678910111213141516z的共軛復數(shù)為4i，C錯誤；z在復平面內(nèi)對應的點為(4，1)，位于第四象限，D正確.12345678910111213141516i8.(2022溫州模擬)已知復

14、數(shù)zabi(a，bR，i為虛數(shù)單位)，且 32i，則a_，b_.123456789101112131415161512345678910111213141516即m2時，復數(shù)z是實數(shù).12345678910111213141516虛數(shù)；當m22m0，且m0，即m0且m2時，復數(shù)z是虛數(shù).12345678910111213141516純虛數(shù).即m3時，復數(shù)z是純虛數(shù).10.如圖所示，在平行四邊形OABC中，頂點O，A，C分別表示0,32i，24i，試求：1234567891011121314151612345678910111213141516(3)B點對應的復數(shù).123456789101112

15、13141516B所對應的復數(shù)為16i.11.(多選)歐拉公式exicos xisin x是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是A.復數(shù)e2i對應的點位于第二象限 B. 為純虛數(shù)12345678910111213141516技能提升練對于A，e2icos 2isin 2，123456789101112131415161234567891011121314151612.(多選)(2022武漢模擬)下列說法正確的是A.若|z|2，則z 4B.若復數(shù)z1，z

16、2滿足|z1z2|z1z2|，則z1z20C.若復數(shù)z的平方是純虛數(shù)，則復數(shù)z的實部和虛部相等D.“a1”是“復數(shù)z(a1)(a21)i(aR)是虛數(shù)”的必要不充分 條件12345678910111213141516若|z|2，則z |z|24，故A正確；設(shè)z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)，由|z1z2|z1z2|，可得|z1z2|2(a1a2)2(b1b2)2|z1z2|2(a1a2)2(b1b2)2則a1a2b1b20，而z1z2(a1b1i)(a2b2i)a1a2b1b2a1b2ib1a2i2a1a2a1b2ib1a2i不一定為0，故B錯誤；12345678

17、910111213141516當z1i時，z22i為純虛數(shù)，其實部和虛部不相等，故C錯誤；若復數(shù)z(a1)(a21)i(aR)是虛數(shù)，則a210，即a1，所以“a1”是“復數(shù)z(a1)(a21)i(aR)是虛數(shù)”的必要不充分條件，故D正確.1234567891011121314151612345678910111213141516112345678910111213141516(ai)(1i)(b2i)aaii1b2i(a1b)(a1)i，a2b21.14.(2022上海市靜安區(qū)模擬)投擲兩顆六個面上分別刻有1到6的點數(shù)的均勻的骰子，得到其向上的點數(shù)分別為m和n，則復數(shù)為 虛數(shù)的概率為_.1234567891011121314151612345678910111213141516即mn，故有66630(種)情況，15.(2022青島模擬)已知