1、第十章 機(jī)械振動本章基本要求一、理解簡諧振動的定義以及描述簡諧振動三個(gè)特1、簡諧振動的表達(dá)式2、三個(gè)特征量：(1) 振幅A：A x A，(決定于振動的能量)(2) 頻率 、角頻率 、周期T，(決定于振動系統(tǒng)或的性質(zhì))征量的意義和決定因素。第十章 機(jī)械振動本章基本要求一、理解簡諧振動的定義以及描述簡周期T ：作一次完全振動所需的時(shí)間。頻率 ：單位時(shí)間內(nèi)物體完成全振動的次數(shù)。角(圓)頻率 ：單位時(shí)間振動相位的變化。三者之間的關(guān)系：(3) 相位(位相、周相)t時(shí)刻的相位，確定振動系統(tǒng)在任意時(shí)刻t的運(yùn)動狀態(tài)（位移和速度）。 t=0時(shí)刻的相位，即初相位。確定振動系統(tǒng)的初始運(yùn)動狀態(tài)。一般，0 2 或 A1

2、則 而若A2A1則 而此結(jié)論對討論各種波的干射、衍射極為有用。3)一般情況 為任意其它值2、同一直線上的兩個(gè)不同頻率的簡諧振動的合成兩個(gè)分振動的表達(dá)若兩分振動頻率都很大而頻率差很小合振動振幅 合振動頻率拍頻率合振動是調(diào)幅振動設(shè)A1=A2，則合振動表達(dá)式為合振動振幅的大小周期性的變化，產(chǎn)生拍現(xiàn)象。若兩分振動頻率都很大而頻率差很小合振動振幅 合振動頻率拍頻率3、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧振動的合成 合成運(yùn)動的軌跡一般為橢圓，其具體形狀等決定于兩分振動的相差和振幅。(1) 合成運(yùn)動仍然是同頻率的簡諧振動，軌跡在1、3象限(2) 合成運(yùn)動仍然是同頻率的簡諧振動，軌跡在2、4象限(3) 合成運(yùn)動是正橢圓運(yùn)

3、動，該橢圓與邊長為2A1和2A2的矩形內(nèi)切。 = /2順時(shí)針， = /2逆時(shí)針。(4) 為其它值時(shí)，軌跡為斜橢圓3、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧振動的合成 合成運(yùn)例1(P.40.6) 一個(gè)沿X軸作簡諧振動的彈簧振子, 振幅為A , 周期為T , 其振動方程用余弦函數(shù)表示, 如果在t=0時(shí), 質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是:(A) X0=A; (B) 過平衡位置向正向運(yùn)動; (C) 過X=A/2 處向負(fù)向運(yùn)動; (D) 過X=A/ 處向正向運(yùn)動,試求出相應(yīng)的初相位之值, 并寫出振動方程。解:(A) 得 = OxAA例1(P.40.6) 一個(gè)沿X軸作簡諧振動的彈簧振子, 振幅由此得 (B)OxAAOxAA A/2/

4、由此得 (B)OxAAOxAA A/2OxAA 3/4OxAA 3/4例2. (習(xí)題冊P40.1)一質(zhì)點(diǎn)作諧振動, 振動方程為 x = 6cos ( 8t +/5 ) cm， 則t = 2秒時(shí)的相位為 或 ， 質(zhì)點(diǎn)第一次回到平衡位置所需要的時(shí)間為解t=2s時(shí)，相位是xottx0t =0/5質(zhì)點(diǎn)第一次回到平衡位置時(shí)x = 6cos ( 8 t +/5 ) x = Acos ( t + ) 比較得81/516.2(rad)3/80(或0.0375)s例2. (習(xí)題冊P40.1)一質(zhì)點(diǎn)作諧振動, 振動方程為 例3(P.40.3)如圖為以余弦函數(shù)表示的諧振動的振動曲線, 則其初周相 = /3(或 )，

5、P時(shí)刻的周相為0。 解法之一： 用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法xx0=1cos =x0/A=1/2 x增大，逆時(shí)針， = /3 t = tp時(shí)，x第一次達(dá)到At = tpA=2t = 0210Pt(s)x(m)tp tp/3 = 0 例3(P.40.3)如圖為以余弦函數(shù)表示的諧振動的振動曲線例4(P.40.5)一質(zhì)量為0.2kg的質(zhì)點(diǎn)作諧振動，其運(yùn)動方程為: x =0.60 cos(5t/2)(SI)。求:(1)質(zhì)點(diǎn)的初速度；(2)質(zhì)點(diǎn)在正向最大的位移一半處所受的力。 解 已知A=0.60m, = 5s-1, （1）由 （2） 例4(P.40.5)一質(zhì)量為0.2kg的質(zhì)點(diǎn)作諧振動，其運(yùn)動例5、質(zhì)量m=10g

6、的子彈，以u=1000ms-1的速度射入置于光滑平面上的木塊并嵌入木塊中，致使彈簧壓縮而作諧振動。若木塊質(zhì)量M=4.99kg，彈簧的勁度系數(shù)為k=8103Nm-1，求振動的振幅。以平衡位置為原點(diǎn)，位移以向右為正，寫出振動表達(dá)式。 mMOxk解： mu=(m+M)V0 子彈與木塊碰撞動量守恒得例5、質(zhì)量m=10g的子彈，以u=1000ms-1的速度射設(shè)由得由設(shè)由得由解:根據(jù)題意作旋轉(zhuǎn)矢量圖根據(jù)矢量合成的平行形法則作圖可知:P.42.2.一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)兩個(gè)同方向, 同頻率的諧振動, 已知其中一個(gè)分振動的方程為x1=4COS3tcm， 其合振動的方程為 x = 4COS (3t+/3)cm, 則

7、另一個(gè)分振動的振幅為A2 = , 初位相2= .O =/32= +/34cm2/3解:根據(jù)題意作旋轉(zhuǎn)矢量圖根據(jù)矢量合成的平行形法則作圖可知:P P.42.3.如圖所示質(zhì)點(diǎn)的諧振動曲線所對應(yīng)的振動方程( D ) (A)X=2COS(3t/4+/4)(m) (B) X=2COS(t/4+5/4) (m) (C) X=2COS(t/4/4) (m) (D) X=2COS(3t/4/4) (m)X(m)t(s)201Ox逆時(shí)針且t 稍大于零時(shí)x增大 從旋轉(zhuǎn)矢量圖可知解:t =1s時(shí)，第一次有x = 0則01s內(nèi)振幅矢量轉(zhuǎn)過的角度為 P.42.3.如圖所示質(zhì)點(diǎn)的諧振動曲線所對應(yīng)的振動方程( Ox選 （D

8、）Ox選 （D）(a) 解:12-2-1x(cm)t(s)(a)1xt = 0 x0 = 1t = 0時(shí)， t 稍大于零時(shí)，x增大，且 逆時(shí)針方向 P.42.5. 已知兩諧振動的位置時(shí)間及速度時(shí)間曲線如圖所示, 求它們的振動方程.(a) 解:12-2-1x(cm)t(s)(a)1xt t = 1s時(shí)，x第一次為零此時(shí)的相位A=2t = 1sxt = 0 x0 = 110-10v(cm/s)t(/10)s.01234(b)(b)解:cm t = 1s時(shí)，x第一次為零此時(shí)的相位A=2t = 10-10v(cm/s)t(/10)s.01234(b)10-10v(cm/s)t(/10)s.01234(

9、P.42.3.兩個(gè)同方向同頻率的諧振動, 其合振幅為A=20cm, 合振動相位與第一個(gè)振動的相位差為60,第一個(gè)振動的振幅為A1=10cm ,則第一振動與第二振動的相位差為( )(A) 0 (B) /2 (C) /3 (D) /4解：根據(jù)余弦定理 A22=A2+A122AA1cos60 =400+1004001/2=300 A2=A12+A22+2A1A2cos(1 2) 則有： cos(1 2)=( A2 A12 A22)/(2A1A2) = 0BP.42.3.兩個(gè)同方向同頻率的諧振動, 其合振幅為A=20 第十一章 機(jī)械波基礎(chǔ)一、 描述波的幾個(gè)物理量及它們之間的關(guān)系u只與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān),與

10、波源無關(guān)。振動狀態(tài)（相位）在介質(zhì)中單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離稱為波速 ，也稱之相速。同一波線上相鄰的位相差為2的兩質(zhì)點(diǎn)的距離。它就是一個(gè)周期內(nèi)振動狀態(tài)傳播的距離,是一個(gè)完整波形的長度。一個(gè)完整波形通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)所需的時(shí)間。它等于波源振動的周期。與介質(zhì)的性質(zhì)無關(guān)。波速u：波長 ：波周期T ： 第十一章 機(jī)械波基礎(chǔ)一、 描述波的幾個(gè)物理量及它們之間的波頻率 ：單位時(shí)間內(nèi)通過波線上某一點(diǎn)的完整波的個(gè)數(shù)。波頻率就等于波源的振動頻率。圓頻率 ：波動過程中，介質(zhì)中各質(zhì)元單位時(shí)間內(nèi)振動相位的增加。與介質(zhì)性質(zhì)無關(guān)。波的特征物理量之間的關(guān)系波頻率 ：單位時(shí)間內(nèi)通過波線上某一點(diǎn)的完整波的個(gè)數(shù)。波頻率二、平面簡諧波的

11、表達(dá)式簡諧波：波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動都是諧振動。平面簡諧波：波面是平面的簡諧波。波動表達(dá)式（也叫做波函數(shù)、波動方程）： 介質(zhì)空間中任一質(zhì)元在任一時(shí)刻的位移；該位移是質(zhì)元平衡位置的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。1. 沿x軸正方向傳播的平面簡諧波的表達(dá)式(式中 叫圓波數(shù)) 二、平面簡諧波的表達(dá)式簡諧波：波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動都是2. 沿x軸負(fù)方向傳播的平面簡諧波的表達(dá)式3. 從某質(zhì)元的振動表達(dá)式寫出平面簡諧波的表達(dá)式 設(shè)波速為u，已知平衡位置在原點(diǎn)O的質(zhì)元的振動表達(dá)式為：2. 沿x軸負(fù)方向傳播的平面簡諧波的表達(dá)式3. 從某質(zhì)元的振 波動表達(dá)式就是平衡位置在任意P點(diǎn)的質(zhì)元的振動表達(dá)式，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x，

12、也是O點(diǎn)到P點(diǎn)距離。O點(diǎn)的振動狀態(tài)(相位)傳到P點(diǎn)所需的時(shí)間為： (1) 沿x正方向傳播這說明P點(diǎn)的振動狀態(tài)比O點(diǎn)的振動狀態(tài)落后t時(shí)間，也就是說，P點(diǎn)t時(shí)刻的位移與O點(diǎn)在tt時(shí)刻的位移相等。沿x正方向傳播的平面簡諧波的表達(dá)式為：也可以從沿x正方向各點(diǎn)的相位依次落后寫出： 波動表達(dá)式就是平衡位置在任意P點(diǎn)的質(zhì)元的振動P點(diǎn)的振動相位比O點(diǎn)落后O點(diǎn)：任意P點(diǎn)： (2) 沿x負(fù)方向傳播P點(diǎn)的振動相位比O點(diǎn)超前(波動表達(dá)式)波動表達(dá)式為：P點(diǎn)的振動相位比O點(diǎn)落后O點(diǎn)：任意P點(diǎn)： (2) 沿x負(fù)方向4 波線上位置為x1 與x2的相位差為其中稱為兩點(diǎn)之間的波程差5、球面波的表達(dá)式發(fā)散球面波：會聚球面波：4

13、波線上位置為x1 與x2的相位差為其中稱為兩點(diǎn)之間的波程三、機(jī)械波的能量和能流 機(jī)械波在彈性介質(zhì)中傳播也是能量的傳播，波在介質(zhì)中任一質(zhì)元內(nèi)的能量就是該質(zhì)元的振動動能和形變勢能之和。質(zhì)元的動能和勢能任一時(shí)刻都相等，并且隨時(shí)間和空間周期性變化，其周期是波周期的一半。1、波的能量密度和平均能量密度能量密度：單位體積介質(zhì)中所具有的波的能量。波的能量密度隨時(shí)間的變化周期是波的周期的一半三、機(jī)械波的能量和能流 機(jī)械波在彈性介質(zhì)中傳播平均能量密度：一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均值。2、波的能流和能流密度能流：單位時(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某一截面S的能量。單位：瓦(W)平均能流：在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值。能流密度（波的強(qiáng)度

14、）：通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均能流。平均能量密度：一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均值。2、波的能流和能流四、惠更斯原理和波的衍射 介質(zhì)中波傳到的各點(diǎn)都可看作開始發(fā)射子波的點(diǎn)波源，在以后任一時(shí)刻。這些子波的包絡(luò)面就是該時(shí)刻新的波面。1、惠更斯原理2、波的衍射 波在向前傳播過程中遇到障礙物時(shí),其傳播方向發(fā)生改變，并能繞過障礙物邊緣繼續(xù)傳播的現(xiàn)象，稱為波的衍射現(xiàn)象。 波長越長，衍射現(xiàn)象越明顯；只有障礙物的線度與波長可以比擬時(shí)，才會有明顯的衍射效應(yīng)。四、惠更斯原理和波的衍射 介質(zhì)中波傳到的各點(diǎn)都可看作開五、波的疊加原理 波的干涉1、波的疊加原理 2、波的干涉 幾列波同時(shí)在介質(zhì)中傳播并相遇時(shí)，它們?nèi)匀?/p>

15、保持各自原有的特性(頻率、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照自己原來的方向繼續(xù)前進(jìn)。如同沒有遇到其他波一樣。在波的相遇處質(zhì)點(diǎn)的振動位移等于各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)引起的位移的矢量和。 波在疊加時(shí)，若滿足相干條件，則在疊加區(qū)域內(nèi)的某些位置上，振動始終加強(qiáng)，而在另一些位置上振動始終減弱。即波強(qiáng)度在疊加區(qū)域有一個(gè)穩(wěn)定的分布。這種現(xiàn)象稱為波的干涉。五、波的疊加原理 波的干涉1、波的疊加原理 2、波的干涉 3、波的相干條件頻率相同 振動方向相同 相位差恒定4、相干疊加時(shí)介質(zhì)中各點(diǎn)的振幅和波強(qiáng)度合振動的振幅：波強(qiáng)度：兩波在任意點(diǎn)引起的振動的相位差：兩波源的初相差：兩波源到疊加點(diǎn)的波程差引起的相差3、波的相

16、干條件頻率相同 振動方向相同 相位差恒定5、干涉加強(qiáng)或減弱的條件(1) 在 = 2k 處， ( k = 0, 1, 2, 3, )這些點(diǎn)合振動振幅最大,波強(qiáng)度最大,稱干涉加強(qiáng)。(2)在 = (2k+1) 處， ( k = 0, 1, 2, 3, )這些點(diǎn)合振動振幅最小,波強(qiáng)度最小,稱干涉減弱。若A1=A2，則A=2A1，I=4I1。若A1=A2，則A=0，這些點(diǎn)不振動。(3) 一般情況，任意，則5、干涉加強(qiáng)或減弱的條件(1) 在 = 2k 處，若1 = 2，而干涉加強(qiáng)或減弱的條件為(1) 在r = k ,（k=0,1,2 )處,干涉加強(qiáng),（k = 0,1,2 )處,干涉減弱 (2) 在干涉和衍

17、射現(xiàn)象是所有波動的兩個(gè)重要特征(3) 在r 為其他值時(shí)，波的非相干疊加:若1 = 2，而干涉加強(qiáng)或減弱的條件為(1) 在r =七、駐波1、駐波表達(dá)式(駐波方程)往x正方向傳播的波往x負(fù)方向傳播的波駐波表達(dá)式：空間變化帶來的相位是不同的。簡諧振動因子，時(shí)間部分提供的相位對于所有的 x 是相同的。作同頻率不同振幅的簡諧振動。它表明，坐標(biāo)為x的質(zhì)點(diǎn)，作角頻率為，振幅為的振動。即不同位置的質(zhì)點(diǎn)在七、駐波1、駐波表達(dá)式(駐波方程)往x正方向傳播的波往x負(fù)方駐波的特佂：振動既不向x正向，也不向x負(fù)向傳播，而是介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作穩(wěn)定的振動。2、駐波振幅分布特點(diǎn)，波腹與波節(jié)波腹位置：波節(jié)位置：駐波的特佂：振動既

18、不向x正向，也不向x負(fù)向傳播，而是介質(zhì)中各相鄰波腹(或相鄰波節(jié))間的距離為：相鄰波腹與波節(jié)間的距離為： 在波節(jié)兩側(cè)點(diǎn)的振動相位相反。同時(shí)達(dá)到反向最大或同時(shí)達(dá)到反向最小。速度方向相反。 兩個(gè)波節(jié)之間的點(diǎn)其振動相位相同。同時(shí)達(dá)到最大或同時(shí)達(dá)到最小。速度方向相同。3、駐波的位相的分布特點(diǎn)相鄰波腹(或相鄰波節(jié))間的距離為：相鄰波腹與波節(jié)間的距離為：弦駐波的波長：弦駐波的頻率：弦的基頻率：弦的n次諧頻率：4、兩端固定的弦中的駐波 只有半波長的整數(shù)倍正好等于弦長的那些振動，才能以顯著的強(qiáng)度在弦中激發(fā)起來。弦駐波的波長：弦駐波的頻率：弦的基頻率：弦的n次諧頻率：4、 波從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)，在分界面上

19、會產(chǎn)生反射和折射。反射波和入射波在界面的反射點(diǎn)上的位相關(guān)系有兩種情況: (1) 波從波疏介質(zhì)傳向波密介質(zhì)時(shí)，在反射點(diǎn)上，反射波相對于入射波有的位相突變；相當(dāng)于反射波多走了半個(gè)波長的波程，這種種變化叫做半波損失。(2)波從波密介質(zhì)傳向波疏介質(zhì)時(shí)，在反射點(diǎn)上，反射波與入射波位相相同，無半波損失。5、半波損失 波從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)，在分界面上會產(chǎn)生46例.如圖所示，平面簡諧波沿Ox軸的負(fù)方向傳播，波速大小為u，若P處介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動方程為求 (1) O點(diǎn)處的振動方程； (2) 該波的波動表達(dá)式；(3)與P處質(zhì)點(diǎn)振動狀態(tài)相同的那些點(diǎn)的位置。解:luOPx(1) O點(diǎn)處的振動方程(2) 波的波動表

20、達(dá)式(3)與P處質(zhì)點(diǎn)振動狀態(tài)相同的點(diǎn)的位置必須滿足得46例.如圖所示，平面簡諧波沿Ox軸的負(fù)方向傳播，波速大小為P.45.5.已知一沿X軸正方向傳播的平面余弦橫波, 波速為20cm/s, 在t=1/3s時(shí)的波形曲線如圖所示, BC=20cm, 求: (1) 該波的振幅A、波長和周期T； (2) 寫出原點(diǎn)的振動方程; (3) 寫出該波的波動方程. u x(cm)y(cm)10105BC解:已知BC=20cm(1) 從圖可知vP.45.5.已知一沿X軸正方向傳播的平面余弦橫波, 波速為48(2) 原點(diǎn)的振動表達(dá)式和速度表達(dá)式分別為48(2) 原點(diǎn)的振動表達(dá)式和速度表達(dá)式分別為49原點(diǎn)的振動表達(dá)式(

21、3) 波動表達(dá)式或作旋轉(zhuǎn)矢量圖-10y(cm)-5(t =0)(t =1/3)O49原點(diǎn)的振動表達(dá)式(3) 波動表達(dá)式或作旋轉(zhuǎn)矢量圖-10y例.已知一平面簡諧波的表達(dá)式為 y=Acos(4t+2x) (SI).(1)求該波的波長，頻率和波速u的值；(2)寫出t=4.2s時(shí)刻各波峰位置的坐標(biāo)表達(dá)式，并求出此時(shí)離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的那個(gè)波峰的位置；(3)求t=4.2s時(shí)離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的那個(gè)波峰通過坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)刻t.解：(1)表達(dá)式可寫為得(2)波峰的位置即y=A的位置，由 cos(4t+2x)=1 例.已知一平面簡諧波的表達(dá)式為 y=Acos(4t+2x)得 (4t+2x)=2k， (k=1，) 解上式得：x=k2tt=4.2s時(shí)，x=(k8.4)mk =8時(shí)，x=0.4m的波峰離原點(diǎn)最近(3) t = 4.2s時(shí)該波峰由原點(diǎn)傳到x= 0.4m處所需的時(shí)間為該波峰經(jīng)過原點(diǎn)的時(shí)刻為t =4.2 0.2=4s得 (4t+2x)=2k， (k=1，52 P.43.1 位于原點(diǎn)的波源產(chǎn)生的平面波以u=10m/s的波速沿x軸正向傳播, 使得x=10m處的P點(diǎn)振動規(guī)律為y =0.05cos(2t /2) (m), 該平面波