1、函數(shù)中恒成立，存在性問題骨干知識整合1在代數(shù)綜合問題中常遇到恒成立問題恒成立問題涉及常有函數(shù)的性質(zhì)、圖象，浸透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，恒成立問題的解題的基本思路是：依照已知條件將恒成立問題向基本種類轉(zhuǎn)變，正確采用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法求解2恒成立問題在解題過程中大體可分為以下幾各種類：?xD，f(x)C；(2)?xD，f(x)g(x)；?x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C；?x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|.3不等式恒成立問題的辦理方法變換求函數(shù)的最值若不等式Af(x)在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上Af(x)在區(qū)間D上恒成立

2、，則等價于在區(qū)間D上Bf(x)max?f(x)的上界小于B.分別參數(shù)法將參數(shù)與變量分別，即化為g()f(x)(或g()f(x)恒成立的形式；求f(x)在xD上的最大(或最小)值；解不等式g()f(x)max(或g()f(x)min)，得的取值范圍變換成函數(shù)圖象問題若不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)yf(x)和圖象在函數(shù)yg(x)圖象上方；若不等式f(x)g(x)的研究關(guān)于形如?xD，f(x)g(x)的問題，需要先設(shè)函數(shù)yf(x)g(x)，再轉(zhuǎn)變成?xD，ymin0.例1已知函數(shù)f(x)x|xa|2x.(1)若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；求所有的

3、實數(shù)a，使得對任意x1,2時，函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)2x1圖象的下方【談?wù)摗吭谵k理f(x)c的恒成立問題時，若是函數(shù)f(x)含有參數(shù)，一般有兩種辦理方法：一是參數(shù)分別，將含參數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)變成不含參數(shù)的函數(shù)，再求出最值即可；二是若是不能夠參數(shù)分別，能夠用分類談?wù)撧k理函數(shù)f(x)的最值變式訓(xùn)練：已知f(x)x36ax29a2x(aR)，當a0時，若對?x0,3有f(x)4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍研究點二關(guān)于形如?x1，x2D，|?x1，x2D，|f(x1)f(x2)|f(x1)f(x2)|C的研究C的問題，由于|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以原命題等價為f(x)

4、maxf(x)minC.例2已知函數(shù)f(x)ax3bx23x(a，bR)，在點(1，f(1)處的切線方程為y20.(1)求函數(shù)f(x)的剖析式；(2)若關(guān)于區(qū)間2,2上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|c，求實數(shù)c的最小值【談?wù)摗吭谵k理這類問題時，由于x1，x2是兩個不相關(guān)的變量，所以能夠等價為函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的函數(shù)差的最大值小于c，若是x1，x2是兩個相關(guān)變量，則需要代入x1，x2之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)變成一元問題研究點三?x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|的研究形如?x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|這樣的問題，第一需要依照函數(shù)f(

5、x)的單調(diào)性去掉|f(x1)f(x2)|a|x1x2|中的絕對值符號，再構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)ax，從而將問題轉(zhuǎn)變成新函數(shù)g(x)的單調(diào)性例3已知函數(shù)f(x)x1alnx(aR)(1)求證：f(x)0恒成立的充要條件是a1；11若aC；(2)?xD，f(x)g(x)；?x1D，?x2D，f(x1)g(x2)；?x1D，?x2D，f(x1)g(x2)3存在性問題辦理方法變換求函數(shù)的最值；(2)分別參數(shù)法；變換成函數(shù)圖象問題；(4)轉(zhuǎn)變成恒成立問題研究點一?xD，f(x)g(x)的研究關(guān)于?xD，f(x)g(x)的研究，先設(shè)h(x)f(x)g(x)，再等價為xD，h(x)max0，其中若g(x)

6、c，則等價為?xD，f(x)maxc.例1已知函數(shù)f(x)x3ax210.當a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；在區(qū)間1,2內(nèi)最少存在一個實數(shù)x，使得f(x)x310中x21,4，所以能夠進行參數(shù)分別，而無需要分類談?wù)撟兪接?xùn)練：已知函數(shù)f(x)x(xa)2，g(x)x2(a1)xa(其中a為常數(shù))若是函數(shù)yf(x)和yg(x)有相同的極值點，求a的值；a設(shè)a0，問可否存在x01，3，使得f(x0)g(x0)，若存在，央求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明原由研究點二?x1D，?x2D，f(x1)g(x2)的研究關(guān)于?x1D，?x2D，f(x1)g(x2)的研究，若函數(shù)f(

7、x)的值域為C1，函數(shù)g(x)的值域為C2，則該問題等價為C1?C2.125例2設(shè)函數(shù)f(x)3x3x3x4.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；1設(shè)a1，函數(shù)g(x)x33a2x2a.若關(guān)于任意x10,1，總存在x00,1，使得f(x1)g(x0)成立，求a的取值范圍【談?wù)摗筷P(guān)于?xD，f(x)c要成立，c的取值會集就是函數(shù)f(x)的值域，關(guān)于?xD，使得cg(x)，c應(yīng)該屬于g(x)的取值會集，所以函數(shù)f(x)的值域為g(x)的值域的子集研究點三?x1D，?x2D，f(x1)g(x2)的研究關(guān)于?x1D，?x2D，f(x1)g(x2)的研究，第一步先轉(zhuǎn)變成?x2D，f(x1)ming(x2)，再將該問題依照研究點一轉(zhuǎn)變成f(x1)ming(x2)min.例3已知函數(shù)f(x)2|xm|和函數(shù)g(x)x|xm|2m8.若方程f(x)2|m|在4，)上恒有獨一解，求實數(shù)m的取值范圍；若對任意x1(，4，均存在x24，)，使得f(x1)g(x2)成立，求實數(shù)m的取值范圍【談?wù)摗筷P(guān)于?xD，f(x)c，能夠轉(zhuǎn)變成f(x)minc；?xD，cg(x)，能夠轉(zhuǎn)變成cg(x)min，所以本問題種類能夠分兩步辦理，轉(zhuǎn)變成(x)ming(x)min.1關(guān)于恒成立問題或存在性問題常有基本種類為?xD，f(x)c，能夠轉(zhuǎn)變成f(x)minc；?xD，cg(x)，能夠轉(zhuǎn)變成cg(x)m