1、IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)定義：如果用Am(z)表示m 階實(shí)系數(shù)全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，則全通濾波器的定義IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)a)一階全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn)極點(diǎn)為：零點(diǎn)為：一階復(fù)系數(shù)全通濾波器IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)b)一階全通濾波器的頻率響應(yīng)故一階全通濾波器的相位響應(yīng)是單調(diào)遞減的。IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)a)m階全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn) 如zk為一個(gè)極點(diǎn)， 則zk* 也是一個(gè)極點(diǎn), 1/zk和1/zk*必為系統(tǒng)零點(diǎn)。b)m階全通濾波器的頻率響應(yīng)m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì) m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)可分解為m個(gè)一階全通系統(tǒng)的積，由于一階全通系統(tǒng)相位是遞減的 m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)的

2、相位非正遞減的。2階實(shí)系數(shù)全通濾波器的相位響應(yīng)(a)相位響應(yīng)的主值 (b)解卷繞后的相位響應(yīng)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)定義：零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)的因果系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。記為Hmin(z)。任一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)都可表示為 設(shè)系統(tǒng)H(z)只有一個(gè)零點(diǎn)在z = 1/a*在單位圓外，|a|1，那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z)(z-1 - a*)按定義H1(z)是一個(gè)最小相位系統(tǒng)。H(z)也可等效的表示為故 H(z) =Hmin(z) A1(z)最小相位系統(tǒng)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)例 一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為由于系統(tǒng)的零點(diǎn)為z = -1/b，故這不是一最小相位

3、系統(tǒng)。和H(z)具有相同幅度響應(yīng)的最小相位系統(tǒng)為IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì) a，b時(shí)H(z)和Hmin(z)的相位響應(yīng)最大相位系統(tǒng)(maximum-phase system): 一個(gè)穩(wěn)定的的因果系統(tǒng)，零點(diǎn)全在單位圓外IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)有理系統(tǒng)函數(shù)的穩(wěn)定性設(shè)有理系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分母多項(xiàng)式為構(gòu)造全通濾波器Am(z)由H(z)穩(wěn)定的充要條件IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)例 已知2階IIR系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式為試確定系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。解：由定義知 k2=d2所以系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)IIR濾波器設(shè)計(jì)的基本思想將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)為模擬濾波器的設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器。將模擬

4、濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)模擬濾波器的技術(shù)要求Butterworth模擬低通濾波器切比雪夫II型模擬低通濾波器切比雪夫II型模擬低通濾波器橢圓低通濾波器模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)模擬濾波器的技術(shù)要求pw: 通帶截止頻率ws: 阻帶截止頻率d p: 通帶波動(dòng)d s: 阻帶波動(dòng)通帶衰減(db)(passband Attenuation)阻帶衰減(db )(stopband Attenuation)|H( jw)|10通帶過渡帶阻帶pwswsdpd-1wG(w)=20log10|H(jw)| dB 濾波器的Gain函數(shù)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)wc10N=

5、1N=3N=50.707巴特沃斯低通濾波器N: 濾波器階數(shù)性質(zhì)：2)幅度響應(yīng)單調(diào)下降(monotonically decreasing)1)|H( j 0)|=1, |H(j)|=0, -20log10|H( jwc)|3dbwc: 3db 截頻, 當(dāng)wc =1時(shí)，稱其為 歸一化的BWFIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)在w=0點(diǎn)做 Taylor series展開歸一化的Butterworth濾波器(BWF)任意的BWF和歸一化BWF的關(guān)系3) |H(jw)|2在w=0點(diǎn)1到2N-1階導(dǎo)數(shù)零。稱為最大平坦性。 (maximally flat magnitude filter)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)

6、歸一化Butterworth濾波器的極點(diǎn)條件：h(t)是實(shí)的H( jw )=H*(- jw )極點(diǎn)：共有2N個(gè)極點(diǎn)，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，選左半平面的N個(gè)極點(diǎn)。IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)為左半平面的N個(gè)極點(diǎn)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)例：N=2,=p/4 ; k=1例：N=4,=p / 8, 3 p / 8; k=1 ,2IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)例：N=1N=3IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)例：設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下列指標(biāo)BW型模擬濾波器p1.0=wp，p4.0=ws，dBAp1=，dBAs10=取N=2，將N=2帶入通帶滿足的方程IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)通帶滿足指標(biāo)，阻帶超過指標(biāo)

7、驗(yàn)證： Ap=0.9999db ; As= 18.2795 dbIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)模擬Butterworth低通濾波器設(shè)計(jì)步驟:(1)由濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)wp、ws、Ap、As和式確定濾波器的階數(shù)N(2) 確定wc(3)確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)Type I Chebyshev Lowpass filter(CB I 型)w)(wjH1cwN=2N=3N=7e: 通帶波紋 cw：通帶截頻 N：階數(shù)(由阻帶指標(biāo)確定)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)CB I 型 filter的性質(zhì)1)在cww0時(shí)，2)(wjH在1和211e+間振蕩(equiripple filter)

8、2)cww時(shí)，2)(wjH單調(diào)下降（N增大，下降加速）3)2211)(ew+=cjH e控制了通帶衰減N為奇時(shí) 1)0(2=jHN為偶時(shí) 2211)0(e+=jHw)(wjH1cwN=2N=3N=7IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)CB I 型 AF 設(shè)計(jì)步驟1)通帶截頻確定pcww=2)通帶指標(biāo)確定e3)阻帶指標(biāo)確定NIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)切比雪夫II型模擬低通濾波器IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)橢圓低通濾波器MATLAB設(shè)計(jì)橢圓濾波器函：N,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,s)確定橢圓濾波器的階數(shù)N。Wc=Wp。num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,s)確定階數(shù)為N，通

9、帶參衰減為Ap dB，阻帶衰減為As dB的橢圓濾波器的分子和分母多項(xiàng)式。Wc是橢圓濾波器的通帶截頻。IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)基本原理脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)DF的步驟H(z)的確定脈沖響應(yīng)不變法(Impulse Invariance)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)H(ejW)和H(jw)的關(guān)系：無混疊時(shí)：數(shù)字濾波器在W點(diǎn)的頻響特性和模擬濾波器w = W/ T頻響特性只差一個(gè)常數(shù)因子基本原理IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)例: 設(shè)H (s)是一個(gè)3dB截頻為wc的一階低通濾波器，1)用脈沖響應(yīng)不變法求出H(z)2)如果用下圖所示系統(tǒng)取代H (s)，比較兩系統(tǒng)的幅度響應(yīng)。IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)051015

10、202501HzHeffHa fs=50 Hz02040608010000.20.40.60.81HzHeffHa fs=200 HzIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)DF的步驟1. 將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo)Wk轉(zhuǎn)換為 模擬濾波器的頻率指標(biāo)wk kkT/W=w2. 設(shè)計(jì)模擬濾波器的H(s)。3. 由hk=T h(t)|t=kT從而得出H(z)。IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)H(z)的確定H(z)的ROC穩(wěn)定AF 穩(wěn)定DFIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)優(yōu)點(diǎn)：T/W=w缺點(diǎn)：混疊IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)例: 用脈沖響應(yīng)不變法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)一個(gè)3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器。解：設(shè)脈

11、沖響應(yīng)不變法中的取樣間隔為T1)確定模擬濾波器指標(biāo)模擬濾波器的3dB截頻為2)設(shè)計(jì)模擬濾波器3dB截頻為wp的一階巴特沃思低通濾波器為3) 將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)結(jié)論： 1)抽樣間隔T的取值和最終的設(shè)計(jì)結(jié)果無關(guān)。 2)由于所以在用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出數(shù)字濾波器后應(yīng)該將其頻率響應(yīng)歸一化。IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)0p-9-6-303ppppWGain, dB Wpp時(shí)幅度歸一化和非歸一化DF的幅度響應(yīng)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì) 例：利用AF-BW filter及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一DF，滿足 Wpp, Wsp, Ap=1dB, As=10dBIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)

12、設(shè)計(jì)01-30-20-100Normalized frequencyGain,dbN=2，Ap= 0.9296 dB, As= 17.1220 dBIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)例:用脈沖響應(yīng)不變法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)的3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器為Wp1=0.2*pi;Wp2=0.6*pi;b1=1-exp(-Wp1);a1=1 -exp(-Wp1);b2=1-exp(-Wp2);a2=1 -exp(-Wp2);w=linspace(0,pi,512);h1=freqz(b1,a1,w);h2=freqz(b2,a2,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h1),w/pi

13、,20*log10(abs(h2) );xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,db);grid;IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)00.20.40.60.81-9-6-30Normalized frequencyGain,dbWppWppIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)基本思想: 利用數(shù)值積分將模擬系統(tǒng)變換為數(shù)字系統(tǒng)。設(shè)模擬系統(tǒng)的微分方程為用梯形面積近似計(jì)算等式右邊的積分得雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)所以近似描述離散系統(tǒng)的差分方程為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：和模擬系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)比較可得IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)穩(wěn)定性1)s0,|z|0,|z|1虛軸映射到單位

14、圓上右半平面映射到單位圓外結(jié)論： 因果、穩(wěn)定的AF系統(tǒng)映射為因果、穩(wěn)定的DF系統(tǒng)IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)W和w 的關(guān)系令s=jwIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì))2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww缺點(diǎn)：幅度響應(yīng)不是常數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生幅度失真優(yōu)點(diǎn)：無混疊IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)雙線性法設(shè)計(jì)DF的步驟：2) 由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)H (s)3) H (s)轉(zhuǎn)換為H(z)1)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo)Wk由wk=(2/T)tan(Wk/2) 轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo)wkIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)解：設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T1)模擬低通濾波器的3dB截率為2)3dB截率為wp的

15、一階模擬BW LP 濾波器為3)由雙線性變換得例：用一階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì)一個(gè)3dB截止頻率為Wp的數(shù)字低通濾波器。IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)0101Normalized frequencyAmplitudeIIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)例：用1階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì)一個(gè)3dB截止頻率為Wp的數(shù)字高通濾波器解：取T=2，則AF HP的3dB截頻為 AF LP 的3dB截頻為 滿足條件的LP AF為 滿足條件的HP AF為 IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)例 用一階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì)一個(gè)中心頻率為W0，3dB帶寬為DW的數(shù)字帶阻濾波器。解：取T=2。設(shè)數(shù)字帶阻的3dB截頻分別為W1和W2，且W2W1。1)模擬帶阻濾波器的頻率指標(biāo)為 2)頻率變換的參數(shù)為3)模擬帶阻濾波器為IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)4)由雙線性變換可得滿足條件的數(shù)字帶阻濾波器為IIR數(shù)字濾波器的相關(guān)設(shè)計(jì)00.10.20.30.40.5-40-30-20-100Normalized frequencyWpp; Wsp ; Ap=1dB; As=10 dB;IIR