1、r機(jī)械系統(tǒng)非線性振動(dòng)及其控制作業(yè)（僅供參考）第一章單自由度線性振動(dòng)一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面作自由振動(dòng)，如下圖所示。試列出其振動(dòng)微分方程，并求出其固有頻率。解：該系統(tǒng)可視為單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)，一起靜平衡點(diǎn)作為振動(dòng)原點(diǎn)，列出其振動(dòng)微分方程如下：mxkk0因?yàn)槠涔逃薪穷l率為o=n所以其固有頻率為4.如下圖所示，有一等截面的懸臂梁，其質(zhì)量不計(jì)。在梁的自由端有兩個(gè)集中質(zhì)量m與m,由電磁鐵吸住。今在梁靜止時(shí)打開(kāi)電磁鐵開(kāi)關(guān)，使m突然釋放。試122求m的振幅。1|EI曲11I*解：根據(jù)題意，題給懸臂梁系統(tǒng)可等效為一無(wú)阻尼單自由度彈簧系統(tǒng)。根據(jù)材料力學(xué)的知，懸臂梁右端點(diǎn)初始靜撓度為(m)gl33EI此時(shí)梁右端點(diǎn)

2、的剛度，即彈簧的等效剛度為+m5)=213EIl3當(dāng)m突然被釋放后，m和梁組成新的彈簧系統(tǒng)，彈簧的靜平衡長(zhǎng)度為21mgl3i3EI新系統(tǒng)的彈簧的等效剛度為=(mg/5)=123EIl3m1的振幅為A=、：52-52=J(2m+m)mgl3/3EI6.某洗衣機(jī)機(jī)器部分重15kN,用四個(gè)彈簧對(duì)稱支承，每個(gè)彈簧的剛度為k=820N/cm。試計(jì)算此系統(tǒng)的臨界阻尼系數(shù)cc；c這個(gè)系統(tǒng)裝有四個(gè)阻尼緩沖器，每個(gè)阻尼系數(shù)c=16.8Ns/cm試問(wèn)此系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后，振幅衰減到10%？衰減振動(dòng)的周期是多少？解：(1)系統(tǒng)的固有角頻率為n44820幻2=4.79rad/s154103/10臨界阻尼系數(shù)

3、為c=2mn=2mo=cn=4ikm8204102=29.57N.s/cm15X103/102)每個(gè)彈簧系統(tǒng)的衰減系數(shù)n=c/2(m/4)=2c/m=2.24系統(tǒng)在任一時(shí)刻的振幅與初始時(shí)刻的振幅比為Ae-nt耳=0=e-ntA0當(dāng)系統(tǒng)的振幅衰減到10%時(shí)，自由振動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t=-ln-=丄1口丄=1.03sn耳2.240.13)有阻尼系統(tǒng)的固有角頻率為o=；o2n262rad/srn有阻尼系統(tǒng)的周期為T(mén)=蘭=竺=0.43sro14.62第二章多自由度線性振動(dòng)1.如下圖所示，一根兩端固定的軸上裝有兩個(gè)飛輪，各部分尺寸如圖所示（單位為mm）,飛輪材料之比重為p=0.077N/cm3，軸的剪切彈性模

4、量G=7.8x104N/mm2試求系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)固有頻率。*25050解：飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=I=0.306kgm212軸的扭轉(zhuǎn)剛度TOC o 1-5 h zk=k=k=306N/meie2e3系統(tǒng)振動(dòng)的質(zhì)量矩陣為00.3060_I200.306TOC o 1-5 h z剛度矩陣為k+kk-612306_e1e2e2=kk+k306612e1e2e31-KTOC o 1-5 h z特征方程為 HYPERLINK l bookmark28 612-0.3062306門(mén)ni=0-306612-0.3062ni解得系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)的固有頻率為=1.0,=3nln22.如圖所示，已知，m1=m,m2=2m,k1=k

5、2=k3=k,試求彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有圓頻率及主振型。/解：系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程為MX+KX=0式中m0-2k-kMT，KT02m-k2k系統(tǒng)的特征方程為2km32k門(mén)ni=0k2k2m32ni系統(tǒng)固有頻率為2二3-1土,2二UAn12mn22m特征向量為AT1+爲(wèi)IA（2）Ti_壽主振型1111A=（A（i）A(2)=1-暑2m=m=m123P=P=P=Psinwt,123如圖所示，已知k=k=k=k123m解：該系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程為二1.25:上。各階振型阻尼比為23匚=：=：=0.01。1求各質(zhì)量的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)式中MX+KX=0系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)固有頻率為2k一mw2ni一k02k

6、一mw2ni一k-k2k一m2nim00-2k一k0_M=0m0，K=一k2k-k00m0一kk2n1kkk=0.198,w2=1.555,w2=3.247mn2mn3m特征向量為1正則坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)解為1正則坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)解為模態(tài)矩陣為A=（AA（2）A(3)=1.802110.445-1.247r1)r1(11A(1)=1.802,A(1)=0.445,A(1)=-1.247、2.247丿-0.802丿、0.555丿2.247-0.5910.555正則型矩陣為(0.3280.591(0.7370.7370.5910.328-0.737-0.5910.328,正則坐標(biāo)下的激振力列陣為放大因子為相

7、位角為(1.6562I%丿0.474Psin(0.182丿0.14432.23331.5658175.4-88.615.0正則坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)解為XN1.27sin(3t175.4)o0.68sin(3t88.6)o0.0088sin(3t15)o原坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(XN1FXN2kXJ=AN0.42sin(3t175.4)+0.5sin(3t88.6)+0.052sin(3t15)0000.75sin(3t175.4)+0.22sin(3t88.6)0.065sin(3t15)ooo0.94sin(3t175.4)0.4sin(3t88.6)+0.029sin(3t15)000如下圖所示的軸盤(pán)扭

8、振系統(tǒng)，已知圓盤(pán)1、2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I及I，軸12的抗扭彈性系數(shù)為k，設(shè)在圓盤(pán)1上作用一轉(zhuǎn)矩Msinwt。試求系統(tǒng)的共振e頻率及其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。廠IEE解：系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程為MX+KX=0式中-1o-kkM二1，K二0I2kk系統(tǒng)的特征方程為k一I2k1ni=0kkIe22ni系統(tǒng)固有頻率為特征向量為2二0,2n1n2+2k,II12仃）A=,A（2）匕丿模態(tài)矩陣為A=(AA(2)=1I-+I2正則型矩陣為I+I121I+I12I)2II121211正則坐標(biāo)下的激振力列陣為II+IIF=AtF=I12Isin&tNNIMII2II112sintTOC o 1-5 h z(I+I)(22)12

9、n1MI2.(12-II)(22)丿112n2原坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)MMI2(X)N1+2sint(I+I)2(2一2)-(12一II)2(2一2)12n1112n2MMI+2(I+I)2(2-2)I(I-I)2(2-2)丿12n1112n25.如下圖所示，雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)在m1上作用一諧波激勵(lì)Fsint。1已知m=m,m=2m,k=k=k,k=2k試用解耦分析法求系統(tǒng)的響應(yīng)。12123*FasinoX解：系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程為MX+KX=0式中m0-2k-kM二,K二02m-k3k系統(tǒng)的特征方程為原坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)原坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)nik一k3k一2m2ni系統(tǒng)固有頻率為2=土,2=2.5土

10、n1mn2m特征向量為ri廠0.5丿模態(tài)矩陣為正則型矩陣為正則坐標(biāo)下的激振力列陣為-AtF=JmN(F+F)12F-0.5F)sin3t正則坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)解為sin3tF+F)/(32-2)12n1F-0.5F)/(32-32)12n2(X)N1N2X=anX(3(F+F)3(F-0.5F)1+1(2-2)2(2-2)n1n23(F+F)3(F-0.5F)1+1、(2-2)4(2-2)丿n1n2n1n2sint第三章非線性振動(dòng)基本知識(shí)4.推導(dǎo)如圖所示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的非線性振動(dòng)方程。LF工解：以系統(tǒng)平衡時(shí)質(zhì)量m的質(zhì)心為原點(diǎn)，圖示x為矢量建立基礎(chǔ)坐標(biāo)系。取x和9（k的擺角）為廣義坐標(biāo)系，則質(zhì)量m的非線

11、性運(yùn)動(dòng)方程為2mx+kx+kh（tg9一sin9）=F12由于9很小，有tg9q9,sin99-，且x=htg9故有693mx+h(k9+k)=Fi266.求下面單擺的非線性方程的精確解：9.+2（9-竺）=0，初始條件為069=0,9=9這里9表示最大角位移。00解：根據(jù)零初始速度解，取方程的近似周期解u(t)=0COS3t0殘差力為R(t)=(2一2)00o3(3cos0+cos30)=00024由諧波平衡法有，/、202c(22)-I=008由此解出自由振動(dòng)的頻率為顯然，由殘差力的定義知，此解即為非線性方程組的精確解。8個(gè)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程如下：x+cx+k2X2=aCOS2，討論

12、其二階亞諧解。（本題目結(jié)果僅供參考）解：令=,k=32,k=32，則運(yùn)動(dòng)方程可改寫(xiě)為210200 x+32x+(23x+32x2)=acos23t*000假設(shè)x=x+x,32=32+30101，略去OC2）x+32x=acos23tv*00 x+32x=3x23x32x21*1110*00解(2-a)得，x=Acos3t+Bsin3t+Ccos23t0(1)(2-a)(2-b)3)式中,Ca332將（3）代入（2-b）得x+32x=(A32B32AC32)cos3t+(B+2Aw2+BC2)sint+(Cw-2112B2+w2)cos2wt+(4Cw2ABw2)sin2wtC2ACw2cos3wtBCw2sin3wtw2cos4wt2w2-(A2+B2+C2)消除永年項(xiàng)，