1、高三畢業(yè)班數(shù)學課本學問點整理歸納之十四第十四章 極限與導數(shù)一、基礎學問1極限定義：（1）如數(shù)列 u n 滿意,對任意給定的正數(shù) ,總存在正數(shù)m,當 nm且 nN時,恒有 |un-A|fa 且 fc=m ,就 ca,b,且 fc 為最大值,故 f c 0,綜上得證；14 Lagrange 中值定理：如 fx 在a,b 上連續(xù),在 a,b 上可導,就存在 a,b,使f b f a f .b a 證明 令 Fx=fx-f b f a x a , 就 Fx 在a,b 上連續(xù),在 a,b 上可導,且b aFa=Fb ,所以由 13 知存在 a,b 使 F =0,即 f f b f a .b a15曲線凸

2、性的充分條件：設函數(shù) fx 在開區(qū)間 I 內(nèi)具有二階導數(shù), （1）假如對任意 xI,fx 0, 就曲線 y=fx在 I 內(nèi)是下凸的；（2）假如對任意xI,fx0, 就 y=fx在 I 內(nèi)是上凸的；通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù),下凸函數(shù)為凹函數(shù)；16琴生不等式：設 1, 2, , nR +, 1+ 2+ + n=1；（1）如 fx 是 a,b 上的凸函數(shù),就 x 1,x 2, ,x na,b 有 fa 1x 1+a2x2+ +anx n a1fx 1+a 2fx 2+ +anfx n. 二、方法與例題1極限的求法；例 1 求以下極限：（ 1）lim n12n；（ 2）lim nana0 ；（ 3）n2

3、n2n21anlim nn11n12n1n；（4）lim nnn1n.222 解 （1）lim n12n=lim nnn21 lim n121 2；n2n2n22n22n（2）當 a1 時,lim n1annlim n111lim n1n11 .an11.aa當 0a1 時,lim n1ann1lim nann1000 .aalim n當 a=1 時,lim n1annlim n1111.a2（3）由于nnn11n12n1nnn2 n2222而lim nnnnlim n111,1lim nn11lim n111,122nn2所以lim nn11n12n1n1.2221 2.（4）lim nnn

4、1nlim nnnnlim n11111n例 2 求以下極限： （1）nlim 1+x1+x21+x22 1+x2 |x|0 且x1 ；cos 2 e2xsin2x .2 解 （1）ycos 3x13 x1 3cos3x+1. 2y5x23xxx5x23xxxx210 x321xx5x23xxx25213.x（3）ycos e2xcos 2xe cos2xsin2x2x （4）yx121xx21x121x1xxx2111.x x2（5）y12x xx eln12x x eln12x xln 1212xxln12x12xx.25用導數(shù)爭論函數(shù)的單調(diào)性；例 6 設 a0,求函數(shù) fx= x -ln

5、x+ax0,+ 的單調(diào)區(qū)間； 解 f x 1 1 x 0 ,由于 x0,a0 ,所以 f x 0 x 2+2a-4x+a 20；2 x x af x 0 x 2+2a-4x+a+1 時,對全部 x0,有 x 2+2a-4x+a 20,即 f x0,fx 在0,+ 上單調(diào)遞增；（2）當 a=1 時,對 x 1, 有 x 2+2a-4x+a 20,即 f x 0,所以 fx 在（ 0,1）內(nèi)單調(diào)遞增,在（ 1,+）內(nèi)遞增,又 fx 在 x=1 處連續(xù),因此 fx 在0,+ 內(nèi)遞增；（3）當0a0,解得 x2-a+21a,因此, fx 在0,2-a-21a 內(nèi)單調(diào)遞增,在2-a+21在a,+ 內(nèi)也單

6、調(diào)遞增,而當2-a-21ax2-a+21a時 , x2+2a-4x+a22x. 時 , 證 明 設fx=sinx+tanx-2x, 就f x=cosx+sec2x-2 , 當x0,2c o s12c o s122（因為0cosxf0=0,即 sinx+tanx2x. 7. 利用導數(shù)爭論極值；例 8 設 fx=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 處都取得極值, 試求 a 與 b 的值,并指出這時fx在 x1 與 x 2處是取得極大值仍是微小值； 解 由于 fx 在 0,+ 上連續(xù),可導,又 fx 在 x 1=1, x2=2 處取得極值,所以a 2 b 1 0 , a 2 ,f 1

7、f 2 0,又 f x ax +2bx+1,所以 a2 4 b 1 ,0 解得b 16 3.所以 f x 2ln x 1x 2x , f x 2 1x 1 x 1 2 x . 3 6 3 x 3 3 x所以當 x0,1 時,f x 0,所以 fx 在0,1 上遞減；當 x1,2 時,f x 0,所以 fx 在1 ,2 上遞增；當 x2,+ 時,f x 0,所以 fx 在2 ,+）上遞減；綜上可知 fx 在 x 1=1 處取得微小值,在 x2=2 處取得極大值；例 9 設 x 0, ,y 0,1,試求函數(shù) fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx 的最小值； 解 第一,當 x0, ,y

8、0,1 時,fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx=1-y 2x sin 1 y x 2 y 12 sin x =1-y 2x 1 y x 1 y xsin 1yxsinx 1y22sinx,令 gx=sinx, x0；1yxxyxxgxcosx x2tanx x2,x當x0,2時,由于 cosx0,tanxx,所以g x0；當x2,時,由于 cosx0,tanx0,所以g又由于 gx 在0, 上連續(xù),所以gx 在 0, 上單調(diào)遞減；又由于 01-yxxgx,即sin 1yy xsinx0, 1xx又由于1y22sinx0,所以當 x0, ,y 0,1 時, fx,y0. yx其次,

9、當 x=0 時, fx,y=0；當 x= 時, fx,y=1-ysin1-y 0. 當 y=1 時, fx,y=-sinx+sinx=0；當 y=1 時, fx,y=sinx0. 綜上,當且僅當x=0 或 y=0 或 x= 且 y=1 時, fx,y取最小值 0；三、基礎訓練題1lim n2n13n1=_. 0_. 2n3n2已知lim nn21anb2,就 a-b=_. n13lim n1cos2n1lim n3x324x1_. 2n3x32x24lim x 1xn1 n1xn_. x1 25運算lim n21nx limx21x21 _. n6如 fx是定義在 - ,+ 上的偶函數(shù),且f0

10、存在,就f7函數(shù) fx 在- ,+ 上可導, 且 f 2 18如曲線 fx=x 4-x 在點 P 處的切線平行于直線,就lim h 0f2h2hf2h_.3x-y=0 ,就點 P 坐標為 _. 9函數(shù) fx=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_. 10函數(shù)fx ln1x2的導數(shù)為 _. 1 ,求實數(shù) a. 41x211如曲線yx212在點M2 ,1處的切線的斜率為ax412. 求 sin290 的近似值；sinaatana.13設 0ba0 時,比較大小：lnx+1 _x. 9. 函數(shù) fx=x 10曲線 y=e5-5x 4+5x 3+1,x -1,2 的最大值為 _,最小值為 _. -x x 0

11、 在點 Mt,e-t 處的切線 l 與 x 軸、 y 軸所圍成的三角形面積為就 St 的最大值為 _. 11如 x0,求證： x 2-1lnxx-1 2. 12函數(shù) y=fx 在區(qū)間 0,+ 內(nèi)可導；導函數(shù) f x 是減函數(shù),且 f x 0, x00,+ .y=kx+m 是曲線 y=fx 在點 x 0,fx 0 處的切線方程,另設 gx=kx+m ,（ 1 ）用x0,fx 0, f x 0 表示 m；（ 2）證明：當 x0,+ 時,gx fx；（3）如關于 x 的不等2式 x 2+1ax+b3 x 3 在0,+ 上恒成立,其中 a,b 為實數(shù),求 b 的取值范疇及 a,b 所滿2足的關系；13

12、. 設各項為正的無窮數(shù)列xn 滿意 lnxn+111 nN, 證明： xn1n N+. xn五、聯(lián)賽一試水平訓練題1設 Mn= （十進制） n 位純小數(shù) 0. a 1 a 2 a n | a i 只取 0 或 1（i=1,2, ,n-1 ）,an=1 ,Tn 是 Mn 中元素的個數(shù),Sn 是 Mn中全部元素的和,就 lim n T Sn n_. 2如 1-2 x 9 綻開式的第 3 項為 288,就 limn 1x x 12x 1n _. 3設 fx,gx 分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當 x0 時,f x g x f x g x 0,且 g-3=0 ,就不等式 fxgx0, 如 對 任 意 x ln3a,ln4a, 不 等 式|m-f-1x|+ln f x 0 恒成立,就實數(shù) m取值范疇是 _. 9. 已知函數(shù) fx=ln1+x-x,gx=xlnx,（ 1）求函數(shù) fx 的最大值；（2）設 0ab,證明：a b0ga+gb-2 g b-aln2. 210.1 設函數(shù) fx=xlog 2x+1-xlog 21-x 0 x1,求 fx 的最小值； （ 2）設正數(shù)p1,p 2, , p2滿意 p1+p2+p3+ + p2=1,求證： p1log 2p1+p2 log 2p2+ + p2log 2 p2-n. 2 211. 如函數(shù) gA