1、學(xué)問點大全高中數(shù)學(xué)必修1 函數(shù)學(xué)問點總結(jié)1. 對于集合,確定要抓住集合的代表元素,及元素的“確定性,互異性,無序性” ；如：集合A x | y lg x ,B y | y lg x ,C x, y | y lg x ,A,B,C 中元素各表示什么？A 表示,B 表示,而C 表示2 進行集合的交,并,補運算時,不要遺忘集合本身和空集的特別情形留意借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；2如：集合A x|x 2x 3 0 ,B x|ax 1如 A,就實數(shù)a 的值構(gòu)成的集合B 為3. 留意以下性質(zhì)：（1）集合a1,a2,an 的全部子集的個數(shù)是要知道它的來歷：如

2、B 為A 的子集,就對于元素 a1 來說,有2 種選擇（在或者不在）；同樣,對于元素 a2, a3 , an,都有2 種選擇,所以,總共有 2 n 種選擇,即集合A 有 個子集；故真子集個數(shù)為A B ,非空真子集個數(shù)為（2）如 B A （3）德摩根定律：A,A B B；CUA B CUA B 4. 你會用補集思想解決問題嗎？（排除法,間接法）ax 5 如：已知關(guān)于x 的不等式 x 2 a 0 的解集為M ,如3 M 且5 M ,求實數(shù)a 的取值范疇；留意,有時候由集合本身就可以得到大量信息,做題時不要錯過；如告知你函數(shù)fx=ax +bx+ca0 2在 ,1上單調(diào)遞減,在1, 上單調(diào)遞增,就應(yīng)當

3、馬上知道函數(shù)對稱軸是x=1. 4. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？相同函數(shù)的判定方法：表達式相同；定義域一樣 5 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？ 兩點必需同時具備學(xué)問點大全例：函數(shù)y x 4 x 的定義域是lg x 32函數(shù)定義域求法：分式中的分母不為零；偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一,真數(shù)大于零；正切函數(shù)y tan x x x R,且k 2, k 當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時顯現(xiàn)時,先分別求出中意每一個條件的自變量的范疇,再取他們的交集,就得到函數(shù)的定義域；10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？如：函數(shù)f x的定

4、義域是a,b ,b a 0,就函數(shù)Fx f x f x 的定義域是；f x 的定義域為m, n ,求y f g x 的定義域,可由復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知y m g x n 解出x 的范疇,即為y f g x 的定義域；1,2 ,就f log 2 x 的定義域為例如函數(shù)y f x 的定義域為211,函數(shù)值域的求法1,直接觀看法 對于一些比較簡潔的函數(shù),其值域可通過觀看得到；例求函數(shù)y= 1 的值域x 2,配方法 配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一；例,求函數(shù) y= x 2 -2x+5 ,x -1 ,2 的值域；3,判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用,但這類

5、題型有時也可以用其他方法進行化簡,不必拘泥在判別式上面第 2 頁,共 18 頁學(xué)問點大全a. y b型：直接用不等式性質(zhì)2 k+x b. y x2 bx n型, 先化簡,再用均值不等式mxx 11例：y 1+x2x+ 1x 2c. y x 2 2x mx n n型通常用判別式mxd. y x2 mx n型x n法一：用判別式法二：用換元法,把分母替換掉4. 圖像法例：y x2 x 1 （x+1）2（x+1）+1（x+1）11211x x 1x 11例求函數(shù)y= 3x 5 x 4 6值域；5,函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時,可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性,來確定函數(shù)的值域；我們所說的單調(diào)性,最常

6、用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性；例求函數(shù)y= e ex x 1 ,1y 2sin 1,y 2sin 1的值域；1 sin 1 cos 6,函數(shù)單調(diào)性法通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合,是最近高考考的較多的一個內(nèi)容x 5 例求函數(shù)y= 2 7,換元法log3x 1 （2 x 10）的值域通過簡潔的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹啙嵑瘮?shù),其題型特點是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型；換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一,在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用；例求函數(shù)y=x+ x 1 的值域；8 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離公式直線斜率等等,這類題目如運用數(shù)形結(jié)合法,往往會更加簡潔,一目了然,賞心悅目；

7、2 2例：已知點P（x.y ）在圓x +y =1 上,第 3 頁,共 18 頁學(xué)問點大全1 y 的取值范疇x 2 2y-2 x 的取值范疇解:1 令 y k,就 k x 2, 是一條過-2,0 的直線. x 2 y d R d 為圓心到直線的距 ,R 為半徑 2 令 y-2 離 b,即 2 x b 0,也是直線d d Rx y 2 2例求函數(shù) y= x 2 + x 8 的值域；例求函數(shù) y= x 26 x 13 + x 24 x 5 的值域9 ,不等式法利用基本不等式a+b2 ab ,a+b+c 33 abc （a,b,cR）,求函數(shù)的最值,其題型特點解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要

8、求和為定值,不過有時必要用到拆項,添項和兩邊平方等技巧；2 x 2 x x 0 11 x 33 者的乘積變成常=x 2113 3 2 x x x x 應(yīng)用公式a+b+c 3 3 abc 時,留意使 數(shù)）例：x 23-2x0 x0 且a 1）- f（x y）f（x）f（y）；f（x ）f（x）f（y）y 6. 三角函數(shù)型的抽象函數(shù)f x f y f（x）tgx- f（xy）1 f x f y 例1 已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x,y 均有f（xy）f（x）f（y）,且當x0時,f x0,f 12 求fx 在區(qū)間2,1 上的值域. 分析：先證明函數(shù) f（x）在R 上是增函數(shù)（留意到 f（x2）f（x

9、2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再依據(jù)區(qū)間求其值域 . 例2 已知函數(shù) f（x）對任意實數(shù)x,y 均有f（xy）2f（x）f（y）,且當x0時,fx2,f 35,求不等式 f（a 22a2）0,xN；f（ab）f（a）f（b）,a,bN；f（2）4.同時成立？如存在,求出f（x）的解析式,如不存在,說明理由. 分析：先猜出f（x）2 x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明. 例6 設(shè)f（x）是定義在（0,）上的單調(diào)增函數(shù),中意1,求：（1）f（1）；（2）如f（x）f（x8） 2,求x 的取值范疇. f（x y）f（x）f（y）,f（3）例 7 設(shè)函數(shù)yf（x）的反函數(shù)是yg（x）.假如f（ab）f（a

10、）f（b）,那么g（ab）第 11 頁,共 18 頁學(xué)問點大全g（a） g（b）是否正確,試說明理由 . 分析：設(shè)f（a）m,f（b）n,就g（m）a,g（n）b,進而mnf（a）f（b）f（ab）f g（m）g（n） . 例8 已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱,且中意以下三個條件：x1,x2 是定義域中的數(shù)時,有f（x1x2）f x1 f x2 1；f x2 f x1 f（a）1（a0,a 是定義域中的一個數(shù)）；當0 x2a 時,f（x）0. 試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由；（2）在（0,4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說明理由 . 分析：（1）利用 f （x1x2） f （

11、x1x2）,判定f（x）是奇函數(shù)；（3）先證明f（x）在（0,2a）上是增函數(shù),再證明其在（2a,4a）上也是增函數(shù). 對于抽象函數(shù)的解答題,雖然不行用特別模型代替求解,但可用特別模型懂得題意 .有些抽象函數(shù)問題,對應(yīng)的特別模型不是我們熟識的基本初等函數(shù).因此,針對不同的函數(shù)要進行適當變通,去尋求特別模型,從而更好地解決抽象函數(shù)問題. x 例9 已知函數(shù)f（x）（x0）中意f（xy）f（x）f（y）,（1）求證：f（1）f（1）0；（2）求證：f（x）為偶函數(shù)；（3）如f（x）在（0,）上是增函數(shù),解不等式f（x）f（x1） 0. 2例10 已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x,y 中意f（0） 0,

12、f（xy）f（x） f（y）,且當0 時,f（x）1,求證：（1）當x0 時,0f（x）1；（2）練 f（x）在xR 上是減函數(shù). 習(xí)題：1.已知：f（xy）f（x）f（y）對任意實數(shù)x,y 都成立,就（）x0 時,f （A）f（0）0 （B ）f（0）1 （C）f（0）0 或1（D）以上都不對2. 如對任意實數(shù)x,y 總有f（xy）f（x）f（y）,就以下各式中錯誤選項（）（A）f（1）0 （B ）f（1）x f（x）（C）f（x ）f（x）f（y）（D）f（xn）nf（x）（nN）y 3.已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x,y 中意：f（0） 0,f（xy）f（x）f（y）,且當（x）1,就當x

13、0 時,f（x）的取值范疇是（）（A）（1,）（B）（,1）（C）（0,1）（D）（1,）4.函數(shù)f（x）定義域關(guān)于原點對稱,且對定義域內(nèi)不同的x1,x2 都有f（x1 x2）1f x1 f x2 ,就f（x）為（）f x1 f x2 第 12 頁,共 18 頁學(xué)問點大全（A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（D）非奇非偶函數(shù)5.已知不恒為零的函數(shù) f（x）對任意實數(shù) x,y 中意f（xy）f（xy）2 f（x）f（y）,就函數(shù)f（x）是（）（A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（D）非奇非偶函數(shù)高中數(shù)學(xué)必修 4 學(xué)問點正角: 按逆時針方

14、向旋轉(zhuǎn)形成的角1,任意角 負角: 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角: 不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2,角 的頂點與原點重合,角的始邊與 x 軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,就稱 為第幾象限角第一象限角的集合為 k 360 k 360 90 , k 其次象限角的集合為 k 360 90 k 360 180 ,k 第三象限角的集合為 k 360 180 k 360 270 , k 第四象限角的集合為 k 360 270 k 360 360 , k 終邊在x 軸上的角的集合為 k 180 ,k 終邊在y 軸上的角的集合為 k 180 90 , k 終邊在坐標軸上的角的集合為 k 90 , k 3,與角 終邊

15、相同的角的集合為 k 360 , k *4,已知 是第幾象限角,確定 n 所在象限的方法：先把各象限均分 n 等份,再從x 軸的正半n軸的上方起,依次將各區(qū)域標上一,二,三,四,就 原先是第幾象限對應(yīng)的標號即為 終邊所落在n的區(qū)域5,長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1 弧的弧度數(shù)的確定值是lS ,就l r,6,半徑為r 的圓的圓心角度所對弧的長為l ,就角r7,弧度制與角度制的換算公式：2360 ,1 ,1 180 180 8 ,如扇形的圓心角為為弧度制,半徑為r,弧長為l ,周長為C ,面積為第 13 頁,共 18 頁學(xué)問點大全C2r l,S 1lr 1r 2 的終邊上任意一點的坐標是x,

16、 y ,它與原點的距離是229 ,設(shè)是一個任意大小的角,rrx 2 y2 0 ,就sin y ,cos x ,tan y x 0 rrx 10,三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正,其次象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正11,三角函數(shù)線：sin ,cos ,tan y P T 12,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：2 1 sin ；2 cos 1tan O MA x 2 sin 2 1 cos 2 ,cos 2sin cos 2 1 sin sin tan cos ,cos sin tan 13,三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：1 sin 2k sin ,cos 2k cos cos ,tan 2

17、k tan k 2 sin sin ,cos cos ,tan tan 3 sin sin ,cos ,tan tan 4 sin sin ,cos cos ,tan tan 口訣：函數(shù)名稱不變,符號看象限5 sin 2cos ,cos 2sin 6 sin 2cos ,cos 2sin 口訣：正弦與余弦互換,符號看象限14,函數(shù)y sin x 的圖象上全部點向左（右）平移 個單位長度,得到函數(shù) y sin x 的圖象；再將函數(shù) y sin x 的圖象上全部點的橫坐標伸長（縮短）到原先的 1 倍（縱坐標不變）,得到函數(shù) y sin x 的圖象；再將函數(shù) y sin x 的圖象上全部點的縱坐標伸

18、長（縮短）到原先的倍（橫坐標不變）,得到函數(shù)y sin x 的圖象函數(shù)y sin x 的圖象上全部點的橫坐標伸長（縮短）到原先的 1 倍（縱坐標不變）,得到函數(shù)第 14 頁,共 18 頁學(xué)問點大全y sin x 的圖象；再將函數(shù)y sin x 的圖象上全部點向左（右）平移個單位長度,得到函數(shù)y sin x 的圖象；再將函數(shù) y sin x 的圖象上全部點的縱坐標伸長（縮短）到原先的倍（橫坐標不變）,得到函數(shù)y sin x 的圖象函數(shù) y sin x 0, 0 的性質(zhì)：振幅：；周期：2；頻率：f 1；相位：x ；初相：2函數(shù) y sin x ,當x x1 時,取得最小值為 ymin ；當x x2

19、 時,取得最大值為 ymax ,就1 ymax ymin ,1 ymax ymin ,x2 x1 x1 x2 2 2 215,正弦函數(shù),余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：性質(zhì)函數(shù)y sin x y cos x y tan x 圖象定義域RRx x k 2,k 值域1,1 1,1 上是R最值當x 2 k 2k 時,當x 2k k 時,既無最大值也無最小值ymax 1；當x 2k ymax 1；當x 2k 2周期性k 時,ymin 1k 時,ymin 1奇函數(shù)22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在2k 2,2 k 2在2k ,2 k k 在k 2, k 2增函數(shù)；在2k ,2 k k 上是增函數(shù)；在k 上是

20、減函數(shù)k 上是增函數(shù)第 15 頁,共 18 頁學(xué)問點大全2k 2,2 k 32對稱性k 上是減函數(shù)對稱中心k 2,0 k 對稱中心k ,0 k 對稱中心k ,0 k 2對稱軸x k 2k 對稱軸x k 無對稱軸k 16,向量：既有大小,又有方向的量數(shù)量：只有大小,沒有方向的量有向線段的三要素：起點,方向,長度零向量：長度為0 的向量單位向量：長非零向量零向量與任一向量平行度等于1 個單位的向量平行向量（共線向量）：方向相同或相反的相等向量：長度相等且方向相同的向量17,向量加法運算：三角形法就的特點：首尾相連平行四邊形法就的特點：共起點三角形不等式：ababab運算性質(zhì)：交換律：abbb a

21、；結(jié)合律：abc abc ；a00aa 坐標運算：設(shè)ax1, y1 ,x2 , y2 ,就abx1 x2 , y1 y2 Ca18,向量減法運算：b三角形法就的特點：共起點,連終點,方向指向被減向量坐標運算：設(shè)ax1, y1 ,bx2 , y2 ,就abx1 x2 , y1 y2 abCC設(shè),兩點的坐標分別為x1 , y1 ,x2 , y2 ,就x1 x2y, 1y2 19,向量數(shù)乘運算：實數(shù)與向量a 的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘,記作a aa；第 16 頁,共 18 頁學(xué)問點大全當 0 時,a的方向與a 的方向相同；當 0 時,a 的方向與 a 的方向相反；當 0 時,a 0 運算律：

22、 a a ； a a a ； ab a b 坐標運算：設(shè)a x, y ,就a x, y x, y 20,向量共線定理：向量 a a 0 與b 共線,當且僅當有唯獨一個實數(shù),使b a 設(shè)a x1, y1 ,b x2 , y2 ,其中b 0 ,就當且僅當x1 y2 x2 y1 0 時,向量a ,b b 0 共線21,平面對量基本定理：假如 e1,e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a ,有且只有一對實數(shù) 1,2,使 a 1 1 e 2 2 e（不共線的向量 e ,e 1 2 作為這一平面內(nèi)全部向量的一組基底）22,分點坐標公式：設(shè)點是線段12 上的一點,1 ,2 的坐標分別是x1 , y1 ,x2 , y2 ,當12時,點的坐標是x1 x2 , y1 1y2 123,平面對量的數(shù)量積：a b a b co