《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》名師教案_第1頁
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1、第三章系的擴(kuò)充與數(shù)的引3.1 數(shù)系擴(kuò)充和數(shù)的概念一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng):通過學(xué)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念步形成基本的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能 力.2.學(xué)習(xí)目標(biāo):(1)在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程,體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù) 的運(yùn)算規(guī)則方程求根在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用感受人類理性思維的作用以 及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.(2)理解復(fù)數(shù)的基本概念,復(fù)代數(shù)形式及復(fù)數(shù)相等的充要條件(3)復(fù)數(shù)的向量表示.3.學(xué)習(xí)重點(diǎn):復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,復(fù)數(shù)的向量表示4.學(xué)習(xí)難點(diǎn):復(fù)數(shù)相等的條件,復(fù)數(shù)的向量表示.二、教學(xué)設(shè)計(jì)(一)課前設(shè)計(jì)1.習(xí)任務(wù)任務(wù) 1、閱讀教材 102,思考:方程 2 在實(shí)數(shù)集中無解聯(lián)系從自然

2、數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程,你能設(shè)想一種方法,使這個方程有解嗎?任務(wù) 2閱讀教材 P,思考:復(fù)數(shù)集 C 和數(shù)集 有什么關(guān)系?任務(wù) 3閱讀教材 P, 思考:實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng),因此,實(shí)數(shù) 可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示.類比實(shí)數(shù)的幾何意義,復(fù)數(shù)的幾何意義是什么呢? 2.習(xí)自測1.下列復(fù)數(shù)中,滿足方程 x20 的是 )A.1B.iC. 2D.2i/19答案:C解析:略2.已知復(fù)數(shù) za2(2bi 的實(shí)部和虛部分別是 2 3,則實(shí) a,b 的值分別是( ) ,B. 2,5C. 2,5D. ,1答案:C解析:略3、如 (m1)(m21)i 為純虛數(shù),則實(shí)數(shù) m 值為( )A.1B.0C.1D.1 或 1答案

3、:解析:略(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識回顧(1)對數(shù)集因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充的過程進(jìn)行概括 自然數(shù)分?jǐn)?shù)負(fù)數(shù)整數(shù)有理數(shù)無理數(shù)實(shí)數(shù)2.問題探究問題探一:數(shù)系的充重點(diǎn)知識對于實(shí)系數(shù)一元二次方程,沒有實(shí)數(shù) .我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充,使得在新的數(shù)集中,該問題能得到圓滿解決呢?動一:回顧舊知,回顧數(shù)集的擴(kuò)充過程對數(shù)集因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充的過程進(jìn)行概括 自然數(shù)分?jǐn)?shù)負(fù)數(shù)整數(shù)有理數(shù)無理數(shù)實(shí)數(shù)(教師引導(dǎo)) 動二:類比舊知,探究數(shù)系的擴(kuò)充/19對于實(shí)系數(shù)一元二次方程2,沒有實(shí)數(shù)根.我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充,使得在新的數(shù)集中,該問題能得到圓滿解決呢?我們說,實(shí)系數(shù)一元二次方 2沒有實(shí)數(shù)根.際上,就是

4、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),沒有一個實(shí)數(shù)的平方會等于負(fù)數(shù).解決這一問題,其本質(zhì)就是解決一個什 么問題呢?最根本的問題是要解決1 的開平方問題即一個什么樣的數(shù)的平方會等于 1.我們引入一個新 i,它的平方等于1動三:類比探究,研究新數(shù) i 的運(yùn)算性質(zhì)把實(shí)數(shù)和新引進(jìn)的數(shù) i 像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行運(yùn)算希望運(yùn)算時有關(guān)的運(yùn)算律仍 成立,你得到什么樣的數(shù)?根據(jù)前面討論結(jié)果,我們引入一個新 i i叫做虛數(shù)單位,并規(guī)定:虛數(shù)單 i的平方等于-1,即i i的周期性:i in n, i4 n Z )實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算,進(jìn)行四則運(yùn)算時,原有的加、乘運(yùn)算律仍 然成立.有了前面的討論,引入新 i,可以說是水到渠成的事這樣,就可以解決

5、前面提出的問題 可以開平方,而 的平方根 ).問題探二:復(fù)數(shù)的念重點(diǎn)、難點(diǎn)知識動一:理解概念,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 怎樣表示一個復(fù)數(shù)?根據(jù)虛數(shù)單 i的第條性質(zhì) i可以與實(shí) b相乘,再與實(shí) a相加.于滿足乘法交換律及加法交換律從而可以把結(jié)果寫 bi這樣數(shù)的范圍又?jǐn)U充了,出現(xiàn)了形 a (, b )的數(shù),我們把它們叫做復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)通常用字母 表示,即 zabi,其中 a,b ),這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,其中 、 分別叫做復(fù)數(shù) z 的實(shí)部與虛部.復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部滿足什么條件表示實(shí)數(shù)?對于復(fù)數(shù) abi(),/19 (b (b 當(dāng)且僅當(dāng) b=0 時,它是實(shí)數(shù);當(dāng)且僅當(dāng) a=0 且 b=0 時它是實(shí)數(shù) 當(dāng) b

6、 時叫做虛數(shù)當(dāng) a=0 b0 時, 叫做純虛數(shù)動二:剖析概念復(fù)數(shù) mni 的實(shí)部、虛部一定是 、 嗎?不一定,只有當(dāng) m,n,則 、n 是該復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部.對于復(fù)數(shù) abi 和 cdi( R你認(rèn)為滿足什么條件時,這兩個復(fù)數(shù) 相等?(a=c 且 =d,即實(shí)部與虛部分別相等時,這兩個復(fù)數(shù)相等)任意兩個實(shí)數(shù)可以比較大小,復(fù)數(shù)呢?如果兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù),那么它們不能比較大小.動三:完善知識體系復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系是怎樣的?虛 數(shù)復(fù) 數(shù)純虛數(shù)實(shí) 數(shù)復(fù)數(shù) z= (, )包括:復(fù)z (b=0) 虛(b a 純虛( 動四:復(fù)數(shù)基本概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)充要條件的應(yīng)用例 1、實(shí)數(shù) 為

7、什么值時z m 是()實(shí)數(shù)()虛數(shù)()純虛數(shù)答案:解析解析 ) 0 , m 時,復(fù)數(shù) 是數(shù); (2) m 即 m 時,復(fù)數(shù) z 是虛數(shù);(3)當(dāng) ,復(fù) 純虛數(shù).點(diǎn) 撥 : 本 題 對 實(shí) 數(shù) 、 虛 數(shù) 、 純 虛 數(shù) 概 念 的 考 察 因 為 R , 所 以/19 0.1 2 1 21 21 2 1 2 1 2 1 0.1 2 1 21 21 2 1 2 1 2 1 1 2. 是實(shí)數(shù)虛數(shù)虛數(shù)的條件可以確定 的值例 2、已知x2x6x1(2x3)i(xR),求 x 的值.答案:見解析x2x6解析 :由復(fù)數(shù)相等的定義得 x1x22x30.解得:x3,所以 3 為所求.點(diǎn)撥 :本題考察復(fù)數(shù)相等的

8、充要條件.對于復(fù)數(shù) +bi 和 c+( R當(dāng)且僅當(dāng) a=c 且 bd,即實(shí)部虛部分別相等時,這兩個復(fù)數(shù)相等例 、設(shè) z 1m2m2)i, 2(m25i,若 z z ,求實(shí) 數(shù) 的取值范圍答案:解析解析 :由于 z ,mRz 且 z R,當(dāng) z 時,m220,m1 m2.當(dāng) z 時,m2540,m1 m4,當(dāng) m1 ,z 2z 6滿足 z .z 時,實(shí)數(shù) m 的取值為 m1.點(diǎn)撥 本題考察對復(fù)數(shù)概念的理 如果兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù),那么它們不能比 較大小.問題探三:復(fù)數(shù)的何意義點(diǎn)、難點(diǎn)知識動一 類比實(shí)數(shù)的幾何意義,探究復(fù)數(shù)的幾何意義若把 看成有序?qū)崝?shù)(a,b)與復(fù) +bi 是怎樣的對應(yīng)關(guān)系?有序 實(shí)

9、數(shù)對()與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是怎樣的對應(yīng)關(guān)系?(一一對應(yīng)關(guān)系) 實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示實(shí)數(shù)一一對應(yīng)實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)(幾何模型)任何一個復(fù)數(shù) za+bi,都可以由一個有序?qū)崝?shù)對a,b)唯一確.因?yàn)橛行驅(qū)崝?shù)對/19( )與平面直角坐系中的點(diǎn)一一對應(yīng),所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的 點(diǎn)集之間可以建立一一對應(yīng).復(fù)數(shù) zabia,b )一一對應(yīng),復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Za,b);如圖:復(fù)數(shù) za+ 可以用點(diǎn) (a,b數(shù)的幾何形式)來表示,這個建立 了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面, 軸叫做實(shí) ,y 軸叫做軸 . 顯然,實(shí)軸上點(diǎn)都示實(shí)數(shù)虛軸上點(diǎn)(了原點(diǎn)都表純虛數(shù)例 、實(shí)數(shù) 取什么值時,復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) 點(diǎn)

10、(1)位于第四象限)位于 y=x 上 答案:解析的解析 由 m2 位于第四象限 解得, 或 m (2)由 =x 上, m2 m 29 3點(diǎn)撥 :本題考察復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)z=a+ 與點(diǎn) Z a,b )一一對應(yīng) .復(fù)數(shù) 表示的點(diǎn)坐標(biāo)為,分別由條件, m 第四象限、yx 上可得動二:類比探究復(fù)數(shù)的另外一個幾何意義除了用平面里的點(diǎn)表示復(fù)數(shù),還可以用什么表示復(fù)數(shù)?還可以用向量!設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z(對于原點(diǎn)來說也可以由向 OZ 一確定.之,也成.因此,復(fù)數(shù) za+bi OZ 是一一對應(yīng)的(實(shí)數(shù) 0 零向量對應(yīng)是復(fù)數(shù)的/19另一種幾何意義.復(fù)數(shù) z,點(diǎn) Za,b, 三者關(guān)系如下:復(fù)數(shù) a bi復(fù)平面內(nèi)的

11、點(diǎn) Z (, ) 復(fù)數(shù)的向量形式.以原點(diǎn) 為始點(diǎn)的向量,規(guī)定:相等的向量表示同一個復(fù)數(shù). 動三:探究復(fù)數(shù)的模的幾何意義向 OZ 的模叫做復(fù)數(shù) a bi的模, | | | .由模的定義知: z bi | ( r 0, r )例 5、已知復(fù)數(shù) 3ai,且z|4,求實(shí)數(shù) 的取值范圍答案:見解析解析 :方法一:ai(a), 2,由已知得 32a22,a2,a( , 方法二:利用復(fù)數(shù)的幾何意義,由z|4 , 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓 心,以 4 半徑的圓內(nèi)(不包括邊界,由 z ai 知 對應(yīng)的點(diǎn)在直線 3 , 所以線段 除去端點(diǎn)) 為動點(diǎn) 集合由圖可知: 7a 點(diǎn)撥 :本題考察復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)

12、的模及考察數(shù)形結(jié)合思想例 6、 ,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng) Z,試說明滿足下列條件的 Z 集合是什么 圖形.(1)| 2;(2)1|z2.答案:見解析解析 :(1)方法一: 2 明復(fù)數(shù) z 復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn) Z 到原點(diǎn)的距離為 , 這樣的點(diǎn) Z 的集合是以原點(diǎn) O 圓心,2 半徑的圓./19 方法二:設(shè) zabi,由z2得 a2b4.點(diǎn) 應(yīng)的集合是以原點(diǎn) 為圓心,2 為半徑的圓.(2)不等式z2 的解集是圓 z2 及該圓內(nèi)部所有點(diǎn)的集合.不式|z1 的解集是 圓 1 及該圓外部所有點(diǎn)的集合.這兩個集合的交集,就是滿足條件 1| 2 的 點(diǎn)的集合.如圖中的陰影部分,所求點(diǎn)的集合是以 O 為圓心,以 1 和

13、 為半徑的兩圓所夾 的圓環(huán),并且包括圓環(huán)的邊界.點(diǎn)撥 :解決復(fù)數(shù)的模的幾何意義的問題,應(yīng)把握兩個關(guān)鍵點(diǎn):一是 表示點(diǎn) Z 到原點(diǎn)的距離據(jù)|z滿足的條件判斷點(diǎn) 的集合表示的圖形; 二是利用復(fù)數(shù)的模的概念,把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決3.課堂總結(jié)【知識梳理】實(shí)數(shù)(1)復(fù)數(shù)的分類:復(fù)數(shù)(z=abi,a,bR)虛數(shù)b0b0數(shù) a0 虛數(shù) a0(2)復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè) a,b,d 是實(shí)數(shù),那么 abicdi c 且 (3)復(fù)數(shù)與點(diǎn)、向量間的對應(yīng)復(fù)數(shù) zabia,b)一一對應(yīng),平面內(nèi)的點(diǎn) (,;復(fù)數(shù) zabia,b)一一對應(yīng),面向量O(ab(4)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù) za(a,b)對應(yīng)的向量為Z則Z模叫做復(fù)數(shù)

14、 z 的模,記作z, 且 ab【重難點(diǎn)突破】/192 2 (1)對于復(fù)數(shù)概念,首先要在變化中認(rèn)識復(fù)數(shù)代數(shù)形式的結(jié)構(gòu),正確判斷復(fù)數(shù) 的實(shí)部、虛部,然后依據(jù)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件,用列方程(或不等 式)的方法求出相應(yīng)參數(shù)的取值(或取值范圍)(2)對于復(fù)數(shù)相等的問題.必須保證實(shí)部和虛部都分別相等(3)對于復(fù)數(shù)的向量表示,一定先準(zhǔn)確找出復(fù)數(shù)所表示的向量是關(guān)鍵4.隨堂檢測1.若復(fù)數(shù)a2aa1|ia )不是純虛數(shù),則 )A.a1a 且 a2C.aD.a答案:解析一個復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)該復(fù)數(shù)是一個虛數(shù)或是一個實(shí)數(shù).當(dāng) aa0時,已知的復(fù)數(shù)一定不是純虛數(shù),解得 且 a;當(dāng) 2a20 且a1|10 時,已知

15、的復(fù)數(shù)也不是一個純虛數(shù),解得 綜上所述,當(dāng) 1 , 已知的復(fù)數(shù)不是一個純虛數(shù).點(diǎn)撥:純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式2.如果 zm(m1)(21)i 為純虛數(shù),則實(shí) m 的值為 )A.1B.0C.1D.1 或 1答案:10解析:由題意知 10點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) i2i A.第一象限第二象限C.第三象限2對應(yīng)的點(diǎn)位于( )/19 1 1 2 1 1 2 D.第四象限答案:解析:zi2i2i,實(shí)部小 ,虛部大于 0,故復(fù) z 應(yīng)的點(diǎn)位于 第二象限點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)幾何意義4.在復(fù)平面內(nèi),O 為原點(diǎn),向量A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為i,點(diǎn) A 關(guān)于直線 x 對稱點(diǎn)為 ,則向量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

16、)A.2i2iC.12iD.12i答案:解析A(1,2)關(guān)于直線 的對稱點(diǎn) B(2,量OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2i點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)幾何意義(三)課后作業(yè)基礎(chǔ)型主突破1.說出復(fù) i, 5, i3答案:見解析的實(shí)部和虛部.解析: 復(fù)數(shù) i 的實(shí)部是 2,虛部是 3;- 的實(shí)部是- 5 ,虛部是 0 i3的實(shí)部是 0虛部 13點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式2.指出下列各數(shù)中,哪些是實(shí)數(shù),哪些是虛數(shù),哪些是純虛數(shù)? 7 ,27i,0 i i2,5 i 8 i實(shí)數(shù):虛數(shù):答案:實(shí)數(shù)有 7 0.618 ,0 i2純虛數(shù):虛數(shù)有: i i ,75 i 8 i102 2 純虛數(shù)有: i 7 i解析:略點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的概念、

17、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式3.設(shè) 是原點(diǎn) OB 對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別 i , 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( ) . i iC 5 i i答案:解析: OAOB ) i點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義i 是虛數(shù)單位)的是( ) 4.下列 n 的取值中, iA.n.nC.nDn=5答案:解析:因 i , i么向量BA點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式5. z 是復(fù)數(shù)a z ) 示滿足 z 的最小正整 對虛數(shù)單 i a(i ) )A.8B.6C.4D.2答案:C116.若 6.若 4 44 解析 (i ,則最小正整 為 4,點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù) m i 為純虛數(shù),求實(shí) m 的值. 答案:見解析解析:若復(fù)數(shù) 2m 2

18、i 為純虛數(shù), 點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式能力型生共研3 57.若 ( , ),則復(fù)數(shù)( sin) i 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在 ( )A.第一象限第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:B.3 5解析:( , ),sin0,sincos 點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的幾何意義8.復(fù)數(shù)( a (a 不是純虛數(shù),則有( ) a C a 且a D . 答案:C解析:需要a ,即a a .點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式9.集合ZZ i , n 用列舉法表示該集合,這個集合是( )121 2 31 2 3A.0,2,2 0,2C.0,2,22iD.0,2,2,2 i , i 答案:解析:略點(diǎn)撥:根 i 成周期性變化

19、可知設(shè) A、 為銳角三角形的兩個內(nèi)角,則復(fù)數(shù) BtantanBi 對的點(diǎn) 位于復(fù)平面的( )A.第一象限第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:解析:略點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的幾何意義探究型維突破11、復(fù)數(shù) z =3+4i,z =0,z =cc-6)i 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為 B,若BAC 是鈍角,求實(shí)數(shù) 的取值范圍答案:見解析解析:在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (3,B(0,(2c-6),由 是鈍角得 AC , A 不共線,(,2-10)1,如何求自然數(shù) , 的值?解析:因 log (mn(m23m)i1,所 log (mn)m23i 是實(shí)數(shù),從而有 (m 由得 m0 m3當(dāng) m0 ,代入得 n2,又 mn

20、,所以 ; 當(dāng) m3 ,代入得 n1,與 n 是自然數(shù)矛盾,162 A B2 A B綜上可得 m0,n點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式設(shè)復(fù)數(shù) lg(m23)(m23i,(1)當(dāng)實(shí)數(shù) 為何值時,z 純虛數(shù)? (2)當(dāng)實(shí)數(shù) 為何值時,z 實(shí)數(shù)? 答案:見解析解析:因?yàn)閺?fù)數(shù) lg(m2m(m22)i 是純虛數(shù),m2m30所以2m0, m3m0.解得 m ,所以當(dāng) m 時, 純虛數(shù)(2)因?yàn)閺?fù)數(shù) lg(m22m(m23mi 實(shí)數(shù),所以230, 320,解得 m2,所以當(dāng) m2 時,z 是實(shí)數(shù)點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式已知復(fù)數(shù) 1,求復(fù)數(shù) 34 的模的最大值及最小值答案:見解析解析:令 34i,則

21、 z(34i 1,4i)|1,復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以圓心,1 半徑的圓,如圖,容易看出,圓上的點(diǎn) 所對應(yīng)的復(fù)數(shù) 的模最大,為16;圓上的點(diǎn) 所對應(yīng)的復(fù)數(shù) 的模最小,為14,復(fù)數(shù) 34 的模的最大值和最小值分別為 6 4.點(diǎn)撥:復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)學(xué)視自然數(shù)的產(chǎn)生,起源于人類在生產(chǎn)和生活中計(jì)數(shù)的需要 開始只有很少幾個 自然數(shù)來隨著生產(chǎn)力的發(fā)和記數(shù)方法的改進(jìn)步認(rèn)識越來越多的自然數(shù) 從某種意義上說幼兒認(rèn)識自然數(shù)的過程就是人類祖先認(rèn)識自然數(shù)的過程的再 現(xiàn).隨著生產(chǎn)的發(fā)展,在土地測量、天文觀測、土木建筑、水利工程等活動中,17都需要進(jìn)行測 .在測量過程中,常常會發(fā)生度量不盡的情況,如果要更精確地

22、 度量下去,就必然產(chǎn)生自然數(shù)不夠用的矛 這樣,分?jǐn)?shù)就應(yīng)運(yùn)而生 .數(shù)學(xué)史書 記載,三千多年前埃及紙草書中已經(jīng)記有關(guān)于分?jǐn)?shù)的問 .引進(jìn)分?jǐn)?shù),這是數(shù)的概 念的第一次擴(kuò)展.最初人們在記數(shù)時沒有“零” 的概念.后來在生產(chǎn)實(shí)踐中,需要記錄和計(jì)算 的東西越來越多,逐漸產(chǎn)生了位值制記數(shù)法 .有這種記數(shù)法,零的產(chǎn)生就不可 避免的了.國古代籌算中利用 “空位”示零公元 世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家開始用 符號“0表示零. 但是,把0作為一個數(shù)是很遲的事引進(jìn)數(shù) ,這是數(shù)的概念的 第二次擴(kuò)充.以后,了表示具有相反意義的量,數(shù)概念就出現(xiàn)了我國是認(rèn)識正負(fù)數(shù)最 早的國家九章算術(shù)中就有了正、負(fù)數(shù)的記載在歐洲,直到 17 世紀(jì)才對負(fù) 數(shù)有一

23、個完整的認(rèn)識.引進(jìn)負(fù)數(shù),這是數(shù)的概念的第三次擴(kuò)充數(shù)的概念的又一次擴(kuò)充淵源于古希臘 .元前 世紀(jì),古希臘畢達(dá)哥拉斯 Pythagqras約公元前 前 500)學(xué)派發(fā)現(xiàn)了單位正方形的邊長與對角線是不 可公度的,為了得到不可公度線段比的精確數(shù)值,導(dǎo)致了無理數(shù)的產(chǎn)生 .當(dāng)時只 是用幾何的形象來說明無理數(shù)的存在,至于嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論,直到 19 世紀(jì) 70 年代才建立起來.引進(jìn)無理數(shù),形成實(shí)數(shù)系,這是數(shù)的概念的第四次擴(kuò)充數(shù)的概念的再一次擴(kuò)充,是為了解決數(shù)學(xué)自身的矛盾. 世紀(jì)前半葉,意大 利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞發(fā)現(xiàn)了三次方程的求根公式,膽地引用了負(fù)數(shù)開平方的運(yùn) 算,得到了正確答 此,虛數(shù)作為一種合乎邏輯的假設(shè)得以引進(jìn),并在進(jìn)一 步的發(fā)展中加以運(yùn)用,成功地經(jīng)受了理論和實(shí)踐的檢驗(yàn),最后于 世紀(jì)末至 世紀(jì)初確立了虛數(shù)在數(shù)學(xué)中的地 引進(jìn)虛數(shù),形成復(fù)數(shù)系,這是數(shù)的概念的第 五次擴(kuò)充.上面,們簡要地回顧了數(shù)的發(fā)展過 .必須指出,數(shù)的概念的產(chǎn)生,實(shí)際上 是交錯進(jìn)行 例如,在人們還沒有完全認(rèn)識負(fù)數(shù)之前,早就知道了無理數(shù)的存 在;在實(shí)數(shù)理論還未完全建立之前,經(jīng)運(yùn)用虛數(shù)解三次方程了直到 19 紀(jì)初,從自然數(shù)到復(fù)數(shù)的理論基礎(chǔ),并未被認(rèn)真考慮.后來,由 于數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的需要以及公理化傾向的影響使人們開始認(rèn)真研究整個數(shù)系的 邏輯結(jié)構(gòu) . 從 19 世紀(jì)中葉起,經(jīng)

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