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文檔簡介
1、數(shù)值分析論文幾種插值方法的比較.插值法概述插值法是函數(shù)逼近的重要方法之一,有著廣泛的應用。在生產(chǎn)和實驗中,函數(shù)f(X )或者其表達式不便于計算復雜或者無表達式而只有函數(shù)在給定點的函數(shù)值(或其導數(shù)值),此時我們希望建立一個簡單的而便于計算的函數(shù) 出X),使 其近似的代替f(x ),有很多種插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛頓 (Newton)插值為代表的多項式插值最有特點,常用的插值還有 Hermite插值,分 段插值和樣條插值.這里主要介紹拉格朗日(Lagrange)插值和牛頓(Newton)插值 和埃爾米特插值(Hermite插值)。.插值方法的比較2. 1拉格朗日插值2.1
2、.1基本原理n構造 n 次多項式 Pn(x)= y*(x)=y0 x)+y1l1(x)+ynx ),這是 k=e不超過n次的多項式,其中基函數(shù):(x 一 xo)(x - xi)(x - xk -1)(x - xk 1)(x - xn)lk x 二(xk r x0)(xk r x1)(xk - xk -1)( xk -xk 1)(xk -xn)顯然 lk(x X 足 lk(xi )=11(i =k)0(i 豐 k)f (n D( )此時 Pn(x 卜 f (x ),誤差 Rn(x )= f (xPn(x )= 0n +(x)(n 1)!其中衛(wèi) C(a, b )且依喇負于 x ,%+(x)=(x-
3、 x0lx xi)(x -xn).很顯然,當n =1 ,插值節(jié)點只有兩個xk, xk卡時P x = yklk xyk 1lk 1 x其中基函數(shù)1kx 二X 其中基函數(shù)1kx 二X Xk 1Xk - Xk -12.1.2優(yōu)缺點lk 1 x 二X - XkXk 1 - Xk可對插值函數(shù)選擇多種不同的函數(shù)類型,由于代數(shù)多項式具有簡單和一些良 好的特性,故常選用代數(shù)多項式作為插值函數(shù)。利用插值基函數(shù)很容易得到拉格 朗日插值多項式,公式結構緊湊,在理論分析中甚為方便,但當插值節(jié)點增減時 全部插值基函數(shù)lk(X)(k=0,1, ,n)均要隨之變化,整個公式也將發(fā)生變化,這在實際計算中是很不方便的,為了克服
4、這一缺點,提出了牛頓插值可以克服這一缺 點。2.1.3數(shù)值實驗程序如下:#includedefine TRUE 1define FALSE 0define N 10define M 2void main(void)double xN,yN,a,lN;int i,j,n,flag;double answer=0.00f;doprintf(創(chuàng)建Lagrange插值多項式共用到 N組(X,Y)值,請輸入 N:);scanf(%d,&n);if(n=M) flag=FALSE;else if(nN|n=1)printf(對不起,你輸入錯誤!n請確保你輸入的 N滿足2=N=%d.,N);printf(n
5、);flag=TRUE;while(flag=TRUE);printf(n請輸入需要計算的X值:);scanf(%lf,&a);for(i=0;in;i+)printf(請輸入第%d組(X,Y)的值二i+1);scanf(%lf%lf,x+i,y+i);for(i=0;in;i+)li=1.0f;for(j=0;jN;j+)if(i!=j) li*=(a-xj)/(xi-xj);else continue;answer+=li*yi;printf(f(%.3lf)=%lfn,a,answer);牛頓插值基本原理構造n次多項式Nn x = f XoMXo,XX-Xof Xo,Xi,X2 l-x。
6、x-x1f Xo,Xi, ,xn lx - XoX-Xn稱為牛頓插值多項式,其中f(X0, X1)= f(X0)T(Xl)(二個節(jié)點,一階差商)X0 - X1f (xo, xi) - f (xi, X2)一人 j j 廿一X0 -X2f (x0, x1, x2) =X0 -X2一ff(X0,X1,,Xn _1)_ f (xi, X2,,xn)f(X0,xi,,xn)=L (n+1 個節(jié)點,n 階差冏)X0 一 Xn注意:由于插值多項式的唯一性,有時為了避免拉格朗日余項 R(x)中n+1階 導數(shù)的運算,用牛頓插值公式Q(X)= f(X)_ Nn(X)= f(X, Xo,. ,Xn %#(X),其
7、中 n I X = X -Xo X - Xi X -Xn .優(yōu)缺點牛頓插值法具有承襲性和易變性的特點,當增加一個節(jié)點時,只要再增加一項就可以了即 N k 書(x) = N k(x) +(x - Xo)(x - Xi)(x - Xk) f X0,,Xk,x而拉格朗日插值若要增加一個節(jié)點時全部基函數(shù)都需要重新算過。牛頓插值法既適合于用來計算函數(shù)值,也適合于做理論推導,比如說可用來推導微分方程的數(shù)值求 解公式。數(shù)值實驗程序如下:#include stda僅.h”#includevoid main(int argc,char* argv) int i1,i2,p,j,k,w,n=0;float x10
8、0,f100100,f1100,x1,x2,N1,N2=1.0,N3=0.0;printf(請輸入節(jié)點個數(shù) w=100:);scanf(%d,&w);for(n=0;nw;n+) printf(x=);scanf(%f”,&xn);printf(f(x)=);scanf(%f”,&f1n);for(n=0;nw;n+)fn0=f1n;for(j=1;jn;j+) i2=i1+1;elseelse if(fi1i2=-10) k=j;for(p=0;kn;k+,p+)fkj=(fkj-1-fk-1j-1)/(xk-xp);printf( xif(xi) 1 階差商 );for(i1=1;i1n-
9、1;i1+)printf( %d 階差商 ,(i1+1);for(i1=0;i1=0)if(xi1=10&xi1=100)printf(n%.5f ,xi1);else printf(n%.5f ,xi1);else if(xi1=-10)printf(n%.5f ,xi1);else if(xi1=-100)printf(n%.5f ,xi1);else printf(n%.5f ,xi1);for(i2=0;i2=0) if(fi1i210) if(fi1i2=100)printf(%.5f ,fi1i2);else printf(%.5f ,fi1i2);else printf(%.5f
10、 ,fi1i2); if(fi1i2=-100)printf(%.5f ,fi1i2);else printf(%.5f ,fi1i2);else printf(%.5f ,fi1i2);printf(nN%d(x)=%.5f+,n-1,f00);for(i1=1;i1n;i1+)for(j=1;jn;j+)if(i1=j) if(fi1j0)printf(%.5f),fi1j);else printf(%.5f,fi1j);for(k=0;kj;k+)printf(x-%.5f),xk);printf(n);if(jn-1)printf( +);printf(輸入節(jié)點x1(用3次多項式計算)
11、,scanf(%f%f,&x1,&x2);for(i1=0;i1xi1) break;if(n-i1)=3)i2=i1;else i1=i1-2;if(i1=0) i2=i1;else)N1=fi10;for(j=1;j4;j+,i1+) N2=N2*fi1+1i1+1;for(k=i2;ki2+j;k+)N2=N2*(x1-xk);N3=N2+N3;N2=1.0;)N3=N1+N3;printf(N3(%.5f)=%.5fn”,x1,N3);N3=0.0;N1=f00;for(i1=1;i1n;i1+) for(i2=0;i2i1;i2+)N2=N2*(x2-xi2);N2=N2*fi1i1
12、;N3=N2+N3;N2=1.0;)N3=N1+N3;printf(N%d(%.5f)=%.5fn,n-1,x2,N3);埃爾米特插值基本原理設在n+1個互不相同的節(jié)點a wx0 x1,xn wb處,已知 yi = 乂為),mb = f 3),i = 0,1,2,- ;n.要求插值多項式H(x胸足:H 區(qū))=yi , H 區(qū))=mi, i = 0,1,2, , n .這類問題與前面的插值問題的區(qū)別在于不僅要求在節(jié)點上的函數(shù)值相等,而且還要求導數(shù)也相等,甚至要求高階導數(shù)也相等.求次數(shù)不超過2n+1的多項式H2n 書(x 攸得:1) H2n+(xi )= yi , 1 =0,1,2,,,n .2)
13、 H2n 書(xi)=yi, i=0,1,2, ,n.類似求Lagrange插值多項式的方法,通過構造基函數(shù)的方法.若能夠構造出基函數(shù)%(x ), Bj(x ), i=0,1,2,n 滿足條件1,(j=i),叫優(yōu))=,;%區(qū))=0, j =0,1,2, ,n.0,(j *i).4(為=,:?. ? ; (Mxj )=0, j =0,1,2,.;n. 2,(j i). n則容易得到 H2n 書(x )如下:H2n 由(x)= j j (x )+mj P j (x j與確定基函數(shù)%(x ), Pi (x ):. a 11 工.%(x=12 乙 I(x xi ) i (x), i =0,1,2,一,
14、n . TOC o 1-5 h z Uwj#8i -xj )E (x = (x - Xi li2(x ), i = 0,1,2, ;n .插值余項R(x )= f(x)-H 2n噂(X1若f(x a,b )內(nèi)的2n+ 2階導數(shù)存在,f 2n 2-則插值余項 R(x兩足R(x 卜 n(x) En +(X)=(X-X0j(X- Xi) , ,(X -Xn),2n 2 !其中Eja,b與x有關.優(yōu)缺點Hermite插值多項式具有唯一性和承襲性的特點,對相應于條件的 a&x), 口 (x則組合形式可以找出盡可能多的條件給出的根,根據(jù)多項式的總階數(shù)和根 的個數(shù)寫出表達式,但表達式具有唯一性,可以根據(jù)尚未
15、利用的條件解出表達式 中的待定系數(shù),在這里待定系數(shù)法任適用,但插值節(jié)點多時比較麻煩.數(shù)值實驗程序如下:#include struct HINTEPint n;double *x;double *y;double *dy;double t;hp,ha;double hermite(struct HINTEP *hp)int num,i,j;double *x,*y,*dy,pio,z,p,q,s;num=hp-n;x=hp-x;y=hp-y;dy=hp-dy;pio=hp-t;z=2.0;for(i=1;i=num;i+)s=1.0;for(j=1;j=num;j+)if(j!=i) s*=(pio-xj-1)/(xi-1-xj-1);s=s*s;p=0.0;for(j=1;j=num;j+)if(j!=i) p+=1.0/(xi-1-xj-1);q=yi-1+(pio-xi-1)*(dyi-1-2.0*yi-1*p);z+=q*s;retu
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