1、PAGE 2022年新版小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)經(jīng)典30講目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc459363158 第一講 比較分?jǐn)?shù)的大小 PAGEREF _Toc459363158 h - 2 - HYPERLINK l _Toc459363159 第二講 巧求分?jǐn)?shù) PAGEREF _Toc459363159 h - 4 - HYPERLINK l _Toc459363160 第三講 分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧 PAGEREF _Toc459363160 h - 7 - HYPERLINK l _Toc459363161 第四講 循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù) PAGEREF _Toc459363

2、161 h - 11 - HYPERLINK l _Toc459363162 第五講 工程問(wèn)題（一） PAGEREF _Toc459363162 h - 14 - HYPERLINK l _Toc459363163 第六講 工程問(wèn)題（二） PAGEREF _Toc459363163 h - 16 - HYPERLINK l _Toc459363164 第七講 巧用單位“1” PAGEREF _Toc459363164 h - 20 - HYPERLINK l _Toc459363165 第八講 比和比例 PAGEREF _Toc459363165 h - 24 - HYPERLINK l _T

3、oc459363166 第九講 百分?jǐn)?shù) PAGEREF _Toc459363166 h - 27 - HYPERLINK l _Toc459363167 第十講 商業(yè)中的數(shù)學(xué) PAGEREF _Toc459363167 h - 30 - HYPERLINK l _Toc459363168 第11講 圓與扇形 PAGEREF _Toc459363168 h - 33 - HYPERLINK l _Toc459363169 第12講 圓柱與圓錐 PAGEREF _Toc459363169 h - 37 - HYPERLINK l _Toc459363170 第13講 立體圖形（一） PAGEREF

4、 _Toc459363170 h - 41 - HYPERLINK l _Toc459363171 第14講 立體圖形（二） PAGEREF _Toc459363171 h - 44 - HYPERLINK l _Toc459363172 第15講 棋盤的覆蓋 PAGEREF _Toc459363172 h - 48 - HYPERLINK l _Toc459363173 第16講 找規(guī)律 PAGEREF _Toc459363173 h - 52 - HYPERLINK l _Toc459363174 第17講 操作問(wèn)題 PAGEREF _Toc459363174 h - 55 - HYPER

5、LINK l _Toc459363175 第18講 取整計(jì)算 PAGEREF _Toc459363175 h - 58 - HYPERLINK l _Toc459363176 第19講 近似值與估算 PAGEREF _Toc459363176 h - 61 - HYPERLINK l _Toc459363177 第20講 數(shù)值代入法 PAGEREF _Toc459363177 h - 65 - HYPERLINK l _Toc459363178 第21講 枚舉法 PAGEREF _Toc459363178 h - 68 - HYPERLINK l _Toc459363179 第22講 列表法

6、PAGEREF _Toc459363179 h - 73 - HYPERLINK l _Toc459363180 第23講 圖解法 PAGEREF _Toc459363180 h - 77 - HYPERLINK l _Toc459363181 第24講 時(shí)鐘問(wèn)題 PAGEREF _Toc459363181 h - 81 - HYPERLINK l _Toc459363182 第25講 時(shí)間問(wèn)題 PAGEREF _Toc459363182 h - 84 - HYPERLINK l _Toc459363183 第26講 牛吃草問(wèn)題 PAGEREF _Toc459363183 h - 87 - H

7、YPERLINK l _Toc459363184 第27講 運(yùn)籌學(xué)初步（一） PAGEREF _Toc459363184 h - 91 - HYPERLINK l _Toc459363185 第28講 運(yùn)籌學(xué)初步（二） PAGEREF _Toc459363185 h - 99 - HYPERLINK l _Toc459363186 第29講 運(yùn)籌學(xué)初步（三） PAGEREF _Toc459363186 h - 105 - HYPERLINK l _Toc459363187 第30講 趣題巧解 PAGEREF _Toc459363187 h - 109 -第一講 比較分?jǐn)?shù)的大小同學(xué)們從一開(kāi)始接觸

8、數(shù)學(xué)，就有比較數(shù)的大小問(wèn)題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡(jiǎn)單，而比較分?jǐn)?shù)的大小就不那么簡(jiǎn)單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對(duì)于兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分母大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。由于要比較的分?jǐn)?shù)千差萬(wàn)別，所以通分的方法不一定是最簡(jiǎn)捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通分子”。當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時(shí)，可以

9、把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡(jiǎn)便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱為“通分子”。2.化為小數(shù)。這種方法對(duì)任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬(wàn)能方法。但在比較大小時(shí)是否簡(jiǎn)便，就要看具體情況了。3.先約分，后比較。有時(shí)已知分?jǐn)?shù)不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以先約分。4.根據(jù)倒數(shù)比較大小。5.若兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分母與分子的差相等、則分母（子）大的分?jǐn)?shù)較大；若兩個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等，則分母（子）小的分?jǐn)?shù)較大。也就是說(shuō)，6.借助第三個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。有以下幾種情況：（1）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若mk，kn，則mn。（2）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若m-kn-k，則mn。前一個(gè)差比較小，

10、所以mn。（3）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若k-mk-n，則mn。注意，（2）與（3）的差別在于，（2）中借助的數(shù)k小于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n；（3）中借助的數(shù)k大于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n。（4）把兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母、分子分別相加，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)。新分?jǐn)?shù)一定介于兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)之間，即比其中一個(gè)分?jǐn)?shù)大，比另一個(gè)分?jǐn)?shù)小。利用這一點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)不容易比較大小，新分?jǐn)?shù)與其中一個(gè)已知分?jǐn)?shù)容易比較大小時(shí)，就可以借助于這個(gè)新分?jǐn)?shù)。比較分?jǐn)?shù)大小的方法還有很多，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無(wú)論哪種方法，均來(lái)源于：“分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大；分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)大”這一基本方法。練習(xí)11.比較下列各組分?jǐn)?shù)的大?。旱诙?/p>

11、講 巧求分?jǐn)?shù)我們經(jīng)常會(huì)遇到一些分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子與分母同時(shí)加、減某數(shù)，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，求加、減的數(shù)，或求原來(lái)的分?jǐn)?shù)。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。數(shù)。個(gè)分?jǐn)?shù)。，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？在例1例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時(shí)變化，那么會(huì)怎樣呢？數(shù)a。 求這個(gè)自然數(shù)。例7 一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母之和是23，分母增加19后得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)， 練習(xí)2是多少？ 第三講 分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧對(duì)于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，除了掌握常規(guī)的四則運(yùn)算法則外，還應(yīng)該掌握一些特殊的運(yùn)算技巧，才能提高運(yùn)算速度，解答較難的問(wèn)題。1.湊整法

12、與整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四則運(yùn)算法則和運(yùn)算律（如交換律、結(jié)合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)從而使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。2.約分法3.裂項(xiàng)法若能將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，則能大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。例7 在自然數(shù)1100中找出10個(gè)不同的數(shù)，使這10個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和等于1。4.代數(shù)法5.分組法 練習(xí)38.在自然數(shù)160中找出8個(gè)不同的數(shù)，使這8個(gè)數(shù)的倒數(shù)之和等于1。答案與提示練習(xí)31.3。 8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。9.5680。解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個(gè)，等于3的有2個(gè)，等于4的有3個(gè)

13、人一般地，分子與分母之和等于n的有(n-1)個(gè)。分子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+106=5671（個(gè)）5671+9=5680（個(gè)）。第四講 循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)任何分?jǐn)?shù)化為小數(shù)只有兩種結(jié)果，或者是有限小數(shù)，或者是循環(huán)小數(shù)，而循環(huán)小數(shù)又分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩類。那么，什么樣的分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)？什么樣的分?jǐn)?shù)能化成純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)呢？我們先看下面的分?jǐn)?shù)。（1）中的分?jǐn)?shù)都化成了有限小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母只有質(zhì)因數(shù)2和5，化因?yàn)?0=235，含有3個(gè)2，1個(gè)5，所以化成的小數(shù)有三位。（2）中的分?jǐn)?shù)都化成了純循環(huán)小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母沒(méi)有質(zhì)因數(shù)2和5。（3）中的分?jǐn)?shù)都化成了混循環(huán)小數(shù)，其

14、分?jǐn)?shù)的分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，化成的混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分的位數(shù)與5，所以化成混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分有兩位。于是我們得到結(jié)論：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)化為小數(shù)有三種情況：（1）如果分母只含有質(zhì)因數(shù)2和5，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成有限小數(shù)，并且小數(shù)部分的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2與5中個(gè)數(shù)較多的那個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）如果分母中只含有2與5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成純循環(huán)小數(shù)；（3）如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2與5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成混循環(huán)小數(shù)，并且不循環(huán)部分的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù)2與5中個(gè)數(shù)較多的那個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)。例1判斷下列分?jǐn)?shù)中，哪些能化成有限小數(shù)

15、、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)？能化成有限小數(shù)的，小數(shù)部分有幾位？能化成混循環(huán)小數(shù)的，不循環(huán)部分有幾位？分析與解：上述分?jǐn)?shù)都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，并且32=25，21=37，250=253，78=2313，117=3313，850=25217，根據(jù)上面的結(jié)論，得到：不循環(huán)部分有兩位。將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)是非常簡(jiǎn)單的。反過(guò)來(lái)，將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，同學(xué)們可能比較熟悉將有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法，而對(duì)將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法就不一定清楚了。我們分純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩種情況，講解將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。1.將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例2、例3可以總結(jié)出將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。純循環(huán)小數(shù)化成分

16、數(shù)的方法：分?jǐn)?shù)的分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)，分母的各位數(shù)都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。2.將混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例4、例5可以總結(jié)出將混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法?；煅h(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：分?jǐn)?shù)的分子是小數(shù)點(diǎn)后面第一個(gè)數(shù)字到第一個(gè)循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)，減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的頭幾位數(shù)字是9，末幾位數(shù)字都是0，其中9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。掌握了將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法后，就可以正確地進(jìn)行循環(huán)小數(shù)的運(yùn)算了。例6 計(jì)算下列各式：練習(xí)41.下列各式中哪些不正確？為什么？2.劃去小數(shù)0.27483619后面

17、的若干位，再添上表示循環(huán)節(jié)的兩個(gè)圓點(diǎn)，得到一個(gè)循環(huán)小數(shù)，例如0.274836。請(qǐng)找出這樣的小數(shù)中最大的與最小的。3.將下列純循環(huán)小數(shù)化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：4.將下列混循環(huán)小數(shù)化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：5.計(jì)算下列各式：答案與提示練習(xí)41.（1）（3）（4）不正確。第五講 工程問(wèn)題（一）顧名思義，工程問(wèn)題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其實(shí)，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問(wèn)題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問(wèn)題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時(shí)間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率指的是干工作

18、的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時(shí)”等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫(xiě)工作效率的單位。例1 單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100天完成，乙隊(duì)需150天完成。甲、乙兩隊(duì)合干50天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天，甲的工作效例2 某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需36天完成，乙單獨(dú)做需45天完成。如果開(kāi)工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問(wèn)：甲隊(duì)干了多少天？分析：將題目的條件倒過(guò)來(lái)想，變?yōu)椤耙?/p>

19、隊(duì)先干18天，后面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？”這樣一來(lái)，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。答：甲隊(duì)干了12天。例3 單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)需10天，乙隊(duì)需15天，丙隊(duì)需20天。開(kāi)始三個(gè)隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問(wèn)：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊(duì)6天的工作量，剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工作了例4 一批零件，張師傅獨(dú)做20時(shí)完成，王師傅獨(dú)做30時(shí)完成。如果兩人同時(shí)做，那么完成任務(wù)時(shí)張師傅比王師傅多做60個(gè)零件。這批零件共有多少個(gè)？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時(shí)間，例5 一水池裝有一個(gè)放水管和一個(gè)排水管

20、，單開(kāi)放水管5時(shí)可將空池灌滿，單開(kāi)排水管7時(shí)可將滿池水排完。如果一開(kāi)始是空池，打開(kāi)放水管1時(shí)后又打開(kāi)排水管，那么再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間池內(nèi)將積有半池水例6 甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇？分析：這道題看起來(lái)像行程問(wèn)題，但是既沒(méi)有路程又沒(méi)有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來(lái)解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時(shí)間？由此

21、看出，這道題應(yīng)該用工程問(wèn)題的解法來(lái)解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。練習(xí)51.某工程甲單獨(dú)干10天完成，乙單獨(dú)干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需48天，乙隊(duì)單獨(dú)做需36天。甲隊(duì)先干了6天后轉(zhuǎn)交給乙隊(duì)干，后來(lái)甲隊(duì)重新回來(lái)與乙隊(duì)一起干了10天，將工程做完。求乙隊(duì)在中間單獨(dú)工作的天數(shù)。3.一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖需30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊(duì)單獨(dú)又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊(duì)單獨(dú)挖需多少天？則完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植50棵。這批樹(shù)共有多少棵？5.修一段公路，甲隊(duì)獨(dú)做要用40天，乙隊(duì)獨(dú)做要用24天。現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開(kāi)工，結(jié)果在距中點(diǎn)750米處相遇。這

22、段公路長(zhǎng)多少米？6.蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，單開(kāi)甲管需18時(shí)注滿，單開(kāi)乙管需24時(shí)注滿。如果要求12時(shí)注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開(kāi)多長(zhǎng)時(shí)間？7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時(shí)，比快車從40千米。求甲、乙兩地的距離。答案與提示練習(xí)52.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8時(shí)。提示：甲管12時(shí)都開(kāi)著，乙管開(kāi)7.280千米。第六講 工程問(wèn)題（二）上一講我們講述的是已知工作效率的較簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題。在較復(fù)雜的工程問(wèn)題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時(shí)，只要我們靈活運(yùn)用基本的分析方法，問(wèn)題也不難解決。 例1 一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20

23、天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解：本題沒(méi)有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫(huà)出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過(guò)此替換可知乙單獨(dú)做這一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做這一工程，需用的時(shí)間為例2 一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊(duì)先做7天，然后么還要幾天才能完成？分析與解：題中沒(méi)有告訴甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)的工作效率，只知道他們合作們把“乙先做7天，甲再做4天”的過(guò)程轉(zhuǎn)化為“甲

24、、乙合做4天，乙再單獨(dú)例3 單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間完成。問(wèn)：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨(dú)做要超過(guò)3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時(shí)完成，說(shuō)明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時(shí)間是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要例4 放滿一個(gè)水池的水，若同時(shí)打開(kāi)1，2，3號(hào)閥門，則20分鐘可以完成；若同時(shí)打開(kāi)2，3，4號(hào)閥門，則21分鐘可以完成；若同時(shí)打開(kāi)1，3，4號(hào)閥門，則28分鐘可以完成；若同時(shí)打開(kāi)1，2，4號(hào)閥門，則30分鐘可以完成。

25、問(wèn)：如果同時(shí)打開(kāi)1，2，3，4號(hào)閥門，那么多少分鐘可以完成？分析與解：同時(shí)打開(kāi)1，2，3號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)打開(kāi)2，3，4號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)打開(kāi)1，3，4號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)打開(kāi)1，2，4號(hào)閥門1分鐘，這時(shí)，1，2，3，4號(hào)閥門各打開(kāi)了3分鐘，放水量等于一例5 某工程由一、二、三小隊(duì)合干，需要8天完成；由二、三、四小隊(duì)合干，需要10天完成；由一、四小隊(duì)合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的順序，每個(gè)小隊(duì)干一天地輪流干，那么工程由哪個(gè)隊(duì)最后完成？分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊(duì)的工作效率之和是例6 甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪

26、流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無(wú)論誰(shuí)先誰(shuí)后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見(jiàn)下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見(jiàn)下圖虛線右邊）。由最后一輪完成的工作量相同，得到練習(xí)61.甲、乙二人同時(shí)開(kāi)始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成有多少個(gè)？需的時(shí)間相等。問(wèn)：甲、乙單獨(dú)做各需多少天？3.加工一批零件，王師傅先做6時(shí)李師傅再做12時(shí)可完成，王師傅先做8時(shí)李師傅再做9時(shí)也可完成?，F(xiàn)在王師傅先做2時(shí)，剩下的兩人合做，還需要多少小時(shí)？獨(dú)修

27、各需幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個(gè)進(jìn)水管，甲、乙、丙管單獨(dú)灌滿一池水依次需要10，12，15時(shí)。上午8點(diǎn)三個(gè)管同時(shí)打開(kāi)，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點(diǎn)水池被灌滿。問(wèn)：甲管在何時(shí)被關(guān)閉？6.單獨(dú)完成某項(xiàng)工作，甲需9時(shí)，乙需12時(shí)。如果按照甲、乙、甲、乙、的順序輪流工作，每次1時(shí)，那么完成這項(xiàng)工作需要多長(zhǎng)時(shí)間？7.一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問(wèn)：甲單獨(dú)干需要幾天？答案與提示練習(xí)61.360個(gè)。2.甲18天，乙12天。3.7.2時(shí)。解：由下頁(yè)圖知，王

28、干2時(shí)等于李干3時(shí)，所以單獨(dú)干李需12+623=21（時(shí)），王需2132=14（時(shí)）。所求為5.上午9時(shí)。6.10時(shí)15分。7.8.5天。解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不論甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同（見(jiàn)左下圖）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙 甲現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時(shí)，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說(shuō)明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。第七講 巧用單位“1”在工程問(wèn)題中，我們往往設(shè)工作總量為單位“1”。在許多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，都會(huì)遇到單位“1”的問(wèn)題，根據(jù)題目條件正確使用單位“1”，能使

29、解答的思路更清晰，方法更簡(jiǎn)捷。分析：因?yàn)榈谝惶臁⒌诙於际桥c全書(shū)比較，所以應(yīng)以全書(shū)的頁(yè)數(shù)為單位答：這本故事書(shū)共有240頁(yè)。分析與解：本題條件中單位“1”的量在變化，依次是“全書(shū)的頁(yè)數(shù)”、“第一天看后余下的頁(yè)數(shù)”、“第二天看后余下的頁(yè)數(shù)”，出現(xiàn)了3個(gè)不同的單位“1”。按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“1”，轉(zhuǎn)化分率。但在本題中，不統(tǒng)一單位“1”反而更方便。我們先把全書(shū)看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書(shū)的共有多少本圖書(shū)？分析與解：故事書(shū)增加了，圖書(shū)的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個(gè)分率，這給計(jì)算帶來(lái)很多不便，需要統(tǒng)一單位“1”。統(tǒng)一單位“1”的一個(gè)竅門就是抓“不變量”為單位“1”。本

30、題中故事書(shū)、圖書(shū)總數(shù)都發(fā)生了變化，而其它書(shū)的本數(shù)沒(méi)有變，可以以 圖書(shū)室原來(lái)共有圖書(shū)分析與解：與例3類似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、乙組的總?cè)藬?shù)，所以以甲、乙組的總?cè)藬?shù)為單位“1”。例5 公路上同向行駛著三輛汽車，客車在前，貨車在中，小轎車在后。在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離相等；走了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過(guò)了5分鐘，小轎車追上了客車，再過(guò)多少分鐘，貨車追上客車？分析與解：根據(jù)“在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離相等”，設(shè)這段距離為單位“1”。由“走了10分鐘，小轎車追上了貨車”，可知小轎可知小轎車(10+5)分鐘比客車多行了兩個(gè)這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各

31、有多少人？乙班有84-48=36（人）。練習(xí)7樹(shù)上原有多少個(gè)桃？剩下的部分收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？ 7.六年級(jí)兩個(gè)班共有學(xué)生94人，其中女生有39人，已知一班的女生占本答案與提示練習(xí)71.35個(gè)。2.60個(gè)。3.64噸。4.384千克。6.男生15人，女生21人。7.一班45人，二班49人。 第八講 比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。兩個(gè)數(shù)相除叫做兩個(gè)數(shù)的比。例如，56可記作56。比值。表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例（式）。如，37=921。判斷兩個(gè)比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個(gè)比的比值相等，這兩個(gè)比能組成比例，否則不能組成比例。在任意一個(gè)比例中，兩個(gè)外項(xiàng)

32、的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。即：如果ab=cd，那么ad=bc。兩個(gè)數(shù)的比叫做單比，兩個(gè)以上的數(shù)的比叫做連比。例如abc。連比中的“”不能用“”代替，不能把連比看成連除。把兩個(gè)比化為連比，關(guān)鍵是使第一個(gè)比的后項(xiàng)等于第二個(gè)比的前項(xiàng)，方法是把這兩項(xiàng)化成它們的最小公倍數(shù)。例如， 甲乙=56，乙丙=43， 因?yàn)?，4=12，所以 5 6=10 12， 43=129， 得到甲乙丙=10129。例1 已知3(x-1)=79，求x。解： 7(x-1)=39，x-1=397，例2 六年級(jí)一班的男、女生比例為32，又來(lái)了4名女生后，全班共有44人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。分析與解：原來(lái)共有學(xué)生44-4=40（人），

33、由男、女生人數(shù)之比為32知，如果將人數(shù)分為5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人變?yōu)?6+4=20（人），男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為 2420=65。在例2中，我們用到了按比例分配的方法。將一個(gè)總量按照一定的比分成若干個(gè)分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項(xiàng)相加得到總份數(shù)，各項(xiàng)與總份數(shù)之比就是各個(gè)分量在總量中所占的分率，由此可求得各個(gè)分量。例3 配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1212，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。分析：總量是2700千克，各分量的比是1212，總份數(shù)是1+2+12=

34、15， 答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。在按比例分配的問(wèn)題中，也可以先求出每份的量，再求出各個(gè)分量。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是270015=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個(gè)分量。例4 師徒二人共加工零件400個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘。完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工多少個(gè)零件？分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率有多少學(xué)生？按比例分配得到例6 某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過(guò)往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元

35、。某日通過(guò)該收費(fèi)站的大客車和小客車數(shù)量之比是56，小客車與小轎車之比是411，收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多210元。求這天這三種車輛通過(guò)的數(shù)量。分析與解：大客車、小轎車通過(guò)的數(shù)量都是與小客車相比，如果能將56中的6與411中的4統(tǒng)一成4，6=12，就可以得到大客車小客車小轎車的連比。由56=1012和411=1233，得到大客車小客車小轎車=101233。以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。因?yàn)槊拷M中收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多1033-3010=30（元），所以這天通過(guò)的車輛共有21030=7（組）。這天通過(guò)大客車=107=70（輛），小客車=127=84（輛），小轎車=337

36、=231（輛）。練習(xí)81.一塊長(zhǎng)方形的地，長(zhǎng)和寬的比是53，周長(zhǎng)是96米，求這塊地的面積。2.一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)與寬的比是43，寬與高的比是54，體積是450分米3。問(wèn)：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各多少厘米？3.一把小刀售價(jià)6元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是35；如果小強(qiáng)買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢數(shù)之比是911。問(wèn)：兩人原來(lái)共有多少錢？5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問(wèn)：最后三人各分到多少只貝殼？6.一條路全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長(zhǎng)度之比是123，某人走各段路程所用的時(shí)間之比是345。已知他走平路的速

37、度是5千米/時(shí)，他走完全程用多少時(shí)間？7.某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是32，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是1087。如果甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是31，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是53，那么丙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是多少？答案與提示練習(xí)81.540米2。2.長(zhǎng)100厘米，寬75厘米，高60厘米。解：長(zhǎng)寬高=201512，450000(201512)=125=53。長(zhǎng)=205=100（厘米），寬=155=75（厘米），高=125=60（厘米）。3.86元。解：設(shè)小明有x元錢。根據(jù)小強(qiáng)的錢數(shù)可列方程36+50=86（元）。4.2640元。5.甲50只，乙40只，丙48只。解：

38、甲乙丙=252024，138(25+20+24)=2，甲=225=50（只），乙=220=40（只），丙=224=48（只）。6.12時(shí)。7.5：9 第九講 百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)有兩種不同的定義。 （1）分母是100的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。（2）表示一個(gè)數(shù)（比較數(shù)）是另一個(gè)數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)的比。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率。百分?jǐn)?shù)通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號(hào)“”來(lái)表示，叫做百分號(hào)。在第二種定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率（百分?jǐn)?shù)），這三者的關(guān)系如下：比較數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=分率（百分?jǐn)?shù)），標(biāo)準(zhǔn)數(shù)分率=比較數(shù)

39、，比較數(shù)分率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。根據(jù)比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題。例1 紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80，一車間的男工占全廠男工的25。問(wèn)：一車間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析與解：因?yàn)椤芭ふ既珡S人數(shù)的80”，所以男工占全廠人數(shù)的1-80=20。又因?yàn)椤耙卉囬g的男工占全廠男工的25”，所以一車間的男工占全廠人數(shù)的2025=5。例2 學(xué)校去年春季植樹(shù)500棵，成活率為85，去年秋季植樹(shù)的成活率為90。已知去年春季比秋季多死了20棵樹(shù)，那么去年學(xué)校共種活了多少棵樹(shù)？分析與解：去年春季種的樹(shù)活了50085=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季種的樹(shù)，死了

40、75-20=55（棵），活了 55（1-90）90=495（棵）。所以，去年學(xué)校共種活425+495=920（棵）。例3 一次考試共有5道試題。做對(duì)第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85，95，90，75，80。如果做對(duì)三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？分析與解：因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)的含義是部分量占總量的百分之幾，所以不妨設(shè)總量即參加考試的人數(shù)為100。由此得到做錯(cuò)第1題的有100（1-85）=15（人）；同理可得，做錯(cuò)第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人?？偣沧鲥e(cuò)15+5+10+25+20=75（題）。一人做錯(cuò)3道或3道以上為不及格，由753=25（人），

41、推知至多有25人不及格，也就是說(shuō)至少有75人及格，及格率至少是75。例4 育紅小學(xué)四年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多25，五年級(jí)學(xué)生比四年級(jí)學(xué)生少10，六年級(jí)學(xué)生比五年級(jí)學(xué)生多10。如果六年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多38人，那么三至六年級(jí)共有多少名學(xué)生？分析：以三年級(jí)學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，則四年級(jí)是三年級(jí)的125，五年級(jí)是三年級(jí)的125（1-10），六年級(jí)是三年級(jí)的125（1-10）（1+10）。因?yàn)橐阎昙?jí)比三年級(jí)多38人，所以可根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)列方程。解：設(shè)三年級(jí)有x名學(xué)生，根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)可列方程： x125（1-10）（1+10）=x+38， x12590110=x+38， 1.2375x=x+38，

42、0.2375x=38， x=160。三年級(jí)有160名學(xué)生。四年級(jí)有學(xué)生 160125=200（名）。五年級(jí)有學(xué)生200（1-10）180（名）。六年級(jí)有學(xué)生 160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年級(jí)共有學(xué)生738名。在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問(wèn)題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說(shuō)，糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）與糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值決定的，這個(gè)比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶

43、質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下基本關(guān)系：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量溶液重量，溶液重量=溶質(zhì)重量溶質(zhì)含量，溶質(zhì)重量=溶液重量溶質(zhì)含量。溶質(zhì)含量通常用百分?jǐn)?shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶例5 有含糖量為7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？分析與解：在600克含糖量為7的糖水中，有糖（溶質(zhì)）6007=42（克）。設(shè)再加x克糖，可使其含糖量加大到10。此時(shí)溶質(zhì)有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程需要再加入20克糖。例6 倉(cāng)庫(kù)運(yùn)來(lái)含水量為90的一種水果100千克，一星期后再測(cè)，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80?，F(xiàn)在這批水果的

44、總重量是多少千克？分析與解：可將水果分成“水”和“果”兩部分。一開(kāi)始，果重100（1-90）=10（千克）。一星期后含水量變?yōu)?0，“果”與“水”的比值為因?yàn)椤肮笔冀K是10千克，可求出此時(shí)“水”的重量為所以總重量是10+40=50（千克）。練習(xí)91.某修路隊(duì)修一條路，5天完成了全長(zhǎng)的20。照此計(jì)算，完成任務(wù)還需多少天？2.服裝廠一車間人數(shù)占全廠的25，二車間人數(shù)比一車間少20，三車間人數(shù)比二車間多30。已知三車間有156人，全廠有多少人？3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80，第三塊地的面積比第二塊多20，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。4.某工廠四個(gè)季度的全勤率分別為90，86

45、，92，94。問(wèn)：全年全勤的人至少占百分之幾？5.有酒精含量為30的酒精溶液若干，加了一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24的溶液，如果再加入同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?.配制硫酸含量為20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18和23的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5的煤，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的風(fēng)干，含水量降為10，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來(lái)的百分之幾？答案與提示練習(xí)91.20天。解：520-5=20（天）。2.600人。解：156(1-20) (1+30)25=600（人）。3.第一、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為691+80+80(1+20)=25（公頃）

46、，第二塊地為2580=20（公頃），第三塊地為69-25=24（公頃）。4.62。解；設(shè)全廠有100人，則四個(gè)季度沒(méi)有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。當(dāng)四個(gè)季度沒(méi)有全勤的人互不相同時(shí)，全年沒(méi)有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少為62。5.20。解：設(shè)酒精含量為30的酒精溶液有100克，則溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24的酒精溶液需加水3024-100=25（克）。若再加入25克水，則酒精含量變?yōu)?0(100+25+25)=20。6.600克，400克。提示：設(shè)需要18的溶液x克，則需要23的溶液(100-x)克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得x18

47、+(1000-x)23=100020。解得x=600。7.95。解：設(shè)原有100噸煤，則有水份14.5噸。又設(shè)風(fēng)干掉水份x噸，則由含現(xiàn)在煤的重量為100-5=95（噸），是原來(lái)的95。第十講 商業(yè)中的數(shù)學(xué)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。同學(xué)們可能都有和父母一起去買東西的經(jīng)歷，都知道商品有定價(jià)，但是這個(gè)價(jià)格是怎樣定的？這就涉及到商品的成本、利潤(rùn)等聽(tīng)起來(lái)有些陌生的名詞。這一講的內(nèi)容就是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在商業(yè)中的應(yīng)用。利潤(rùn)=售出價(jià)-成本，例如，一件商品進(jìn)貨價(jià)是80元，售出價(jià)是100元，則這件商品的利潤(rùn)是100-80=20（元），利潤(rùn)率是在這里我們用“進(jìn)貨價(jià)”代替了“成本”，實(shí)際上成本除了進(jìn)貨價(jià)，還包括運(yùn)輸費(fèi)、

48、倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)、損耗等，為簡(jiǎn)便，有時(shí)就忽略不計(jì)了。例1某商品按每個(gè)7元的利潤(rùn)賣出13個(gè)的錢，與按每個(gè)11元的利潤(rùn)賣出12個(gè)的錢一樣多。這種商品的進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)多少元？解：設(shè)進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)x元。由“售出價(jià)=進(jìn)貨價(jià)+利潤(rùn)”，根據(jù)前、后兩次賣出的錢相等，可列方程（x+7）13=（x+11）12， 13x+91=12+132 x=41。答：進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)41元。例2 租用倉(cāng)庫(kù)堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原計(jì)劃要銷售3個(gè)月，由于降低了價(jià)格，結(jié)果2個(gè)月就銷售完了，由于節(jié)省了租倉(cāng)庫(kù)的租金，所以結(jié)算下來(lái)，反而比原計(jì)劃多賺了1000元。問(wèn)：每千克貨物的價(jià)格降低了多少元？分析與解：原計(jì)劃租倉(cāng)庫(kù)3個(gè)月，現(xiàn)只租用了2

49、個(gè)月，節(jié)約了1個(gè)月的租金7000元。如果不降低價(jià)格，那么應(yīng)比原計(jì)劃多賺7000元，但現(xiàn)在只多賺了1000元，說(shuō)明降價(jià)損失是7000-1000=6000（元）。因?yàn)楣灿?噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了60003000=2（元）。例3 張先生向商店訂購(gòu)了每件定價(jià)100元的某種商品80件。張先生對(duì)商店經(jīng)理說(shuō)：“如果你肯減價(jià)，那么每減價(jià)1元，我就多訂購(gòu)4件?！鄙痰杲?jīng)理算了一下，若減價(jià)5，則由于張先生多訂購(gòu)，獲得的利潤(rùn)反而比原來(lái)多100元。問(wèn)：這種商品的成本是多少元？分析與解：設(shè)這種商品的成本是x元。減價(jià)5就是每件減1005=5（元），張先生可多買45=20（件）。由獲得利潤(rùn)的情況，可列方

50、程（100-x）80 +100=（100-5-x）（80 + 20）， 8000-80 x+100=9500-100 x， 20 x=1400， x=70，這種商品的成本是70元。由例2、例3看出，商品降價(jià)后，由于增加了銷售量，所以獲得的利潤(rùn)有時(shí)反而比原來(lái)多。例4 某商店到蘋(píng)果產(chǎn)地去收購(gòu)蘋(píng)果，收購(gòu)價(jià)為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運(yùn)費(fèi)為每噸貨物每運(yùn)1千米收1.50元。如果在運(yùn)輸及銷售過(guò)程中的損耗是10，商店要想實(shí)現(xiàn)25的利潤(rùn)率，零售價(jià)應(yīng)是每千克多少元？分析與解：本題的成本包括收購(gòu)價(jià)、運(yùn)費(fèi)、損耗。每千克的收購(gòu)價(jià)加運(yùn)費(fèi)是1.20+1.504001000=1.80（元）。因?yàn)橛?

51、0的損耗，所以每千克的成本為1.80（1-10）=2.00（元）售出價(jià)=成本（利潤(rùn)率+1） =2.00（25+1） =2.50（元），即零售價(jià)應(yīng)是每千克2.50元。例5 小明到商店買了相同數(shù)量的紅球和白球，紅球原價(jià)2元3個(gè)，白球原價(jià)3元5個(gè)。新年優(yōu)惠，兩種球都按1元2個(gè)賣，結(jié)果小明少花了8元錢。問(wèn)：小明共買了多少個(gè)球？例6 某廠向銀行申請(qǐng)甲、乙兩種貸款共40萬(wàn)元，每年需付利息5萬(wàn)元。甲種貸款年利率為12，乙種貸款年利率為14。該廠申請(qǐng)甲、乙兩種貸款的金額各是多少？解：設(shè)申請(qǐng)甲種貸款x萬(wàn)元，則申請(qǐng)乙種貸款（40-x）萬(wàn)元。根據(jù)需付利息可得方程 x12+（40-x）14=5， 0.12x+5.6-

52、0.14x5， 0.02x0.6， x=30（萬(wàn)元）。 40-30=10（萬(wàn)元）。答：申請(qǐng)甲種貸款30萬(wàn)元，乙種貸款10萬(wàn)元。練習(xí)101.商店進(jìn)了一批鋼筆，用零售價(jià)10元賣出20支與用零售價(jià)11元賣出15支的利潤(rùn)相同。這批鋼筆的進(jìn)貨價(jià)每支多少元？2.某種蜜瓜大量上市，這幾天的價(jià)格每天都是前一天的80。媽媽第一天買了2個(gè)，第二天買了3個(gè)，第三天買了5個(gè)，共花了38元。若這10個(gè)蜜瓜都在第三天買，則能少花多少錢？3.商店以每雙13元購(gòu)進(jìn)一批涼鞋，售價(jià)為14.8元，賣到還剩5雙時(shí)，除去購(gòu)進(jìn)這批涼鞋的全部開(kāi)銷外還獲利88元。問(wèn)：這批涼鞋共多少雙？4.體育用品商店用3000元購(gòu)進(jìn)50個(gè)足球和40個(gè)籃球。

53、零售時(shí)足球加價(jià)9，籃球加價(jià)11，全部賣出后獲利潤(rùn)298元。問(wèn)：每個(gè)足球和籃球的進(jìn)價(jià)是多少元？5.某種商品的利潤(rùn)率是20。如果進(jìn)貨價(jià)降低20，售出價(jià)保持不變，那么利潤(rùn)率將是多少？6.某商店到蘋(píng)果產(chǎn)地去收購(gòu)蘋(píng)果，收購(gòu)價(jià)為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運(yùn)費(fèi)為每噸貨物每運(yùn)1千米收費(fèi)1.50元。如果不計(jì)損耗，那么商店要想實(shí)現(xiàn)25的利潤(rùn)率，零售價(jià)應(yīng)是每千克多少元？減價(jià)10元出售，全部售完，共獲利潤(rùn)3000元。書(shū)店共售出這種掛歷多少本？答案與提示練習(xí)101.7元。解：（1020-1115）（20-15）=7（元）。2.6元。解：設(shè)第一天每個(gè)蜜瓜x(chóng)元。由2x+3x80+5x80=38，解得

54、x=5（元）。10個(gè)瓜都在第三天買要花5108080=32（元），少花38-32=6（元）。3.90雙。解：(88+14.85)(14.8-13)=90（雙）。4.足球32元，籃球35元。解：設(shè)50個(gè)足球的進(jìn)價(jià)為x元，則40個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)為(3000-x)元。根據(jù)利潤(rùn)可得方程x9+(3000-x)11=298。解得x=1600。每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)為160050=32（元），每個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)為(3000-x)40=35（元）。5.50。解：設(shè)原來(lái)進(jìn)價(jià)為1元，則售出價(jià)為1(1+20)=1.2（元）?，F(xiàn)在的進(jìn)價(jià)為1(1-20)=0.8（元），利潤(rùn)率為（1.2-0.8）0.8=50。6.2.25元。解：(1.

55、20+1.504001000)(1+25)=2.25（元）。7.250本。解：將售出的掛歷分組，每組5本，其中原價(jià)的2本，減價(jià)的3本。每組可獲利潤(rùn)182+83=60（元），推知共有300060=50（組），所以共售出550=250（本）。第11講 圓與扇形五年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)三角形、矩形、平行四邊形、梯形以及由它們形成的組合圖形的相關(guān)問(wèn)題，這一講學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題。圓的面積=r2，圓的周長(zhǎng)=2r，本書(shū)中如無(wú)特殊說(shuō)明，圓周率都取=3.14。例1 如下圖所示，200米賽跑的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在直跑道上，中間的彎道是一個(gè)半圓。已知每條跑道寬1.22米，那么外道的起點(diǎn)在內(nèi)道起點(diǎn)前面多少米？（精確到0

56、.01米）分析與解：半徑越大，周長(zhǎng)越長(zhǎng)，所以外道的彎道比內(nèi)道的彎道長(zhǎng)，要保證內(nèi)、外道的人跑的距離相等，外道的起點(diǎn)就要向前移，移的距離等于外道彎道與內(nèi)道彎道的長(zhǎng)度差。雖然彎道的各個(gè)半徑都不知道，然而兩條彎道的中心線的半徑之差等于一條跑道之寬。設(shè)外彎道中心線的半徑為R，內(nèi)彎道中心線的半徑為r，則兩個(gè)彎道的長(zhǎng)度之差為R-r（R-r） 3.141.223.83（米）。即外道的起點(diǎn)在內(nèi)道起點(diǎn)前面3.83米。例2 有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆（如左下圖），此時(shí)橡皮筋的長(zhǎng)度是多少厘米？分析與解：由右上圖知，繩長(zhǎng)等于6個(gè)線段AB與6個(gè)BC弧長(zhǎng)之和。將圖中與BC弧類似的6個(gè)弧所對(duì)的圓心

57、角平移拼補(bǔ)，得到6個(gè)角的和是360，所以BC弧所對(duì)的圓心角是60，6個(gè)BC弧等于直徑5厘米的圓的周長(zhǎng)。而線段AB等于塑料管的直徑，由此知繩長(zhǎng)=5653.1445.7（厘米）。例3 左下圖中四個(gè)圓的半徑都是5厘米，求陰影部分的面積。分析與解：直接套用公式，正方形中間的陰影部分的面積不太好計(jì)算。容易看出，正方形中的空白部分是4個(gè)四分之一圓，利用五年級(jí)學(xué)過(guò)的割補(bǔ)法，可以得到右上圖。右上圖的陰影部分的面積與原圖相同，等于一個(gè)正方形與4個(gè)半圓（即2個(gè)圓）的面積之和，為（2r）2r22=1023.1450257（厘米2）。 例4 草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長(zhǎng)30米的繩子拴

58、著一只羊（見(jiàn)左下圖）。問(wèn)：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？分析與解：如右上圖所示，羊活動(dòng)的范圍可以分為A，B，C三部分，所以羊活動(dòng)的范圍是例5 右圖中陰影部分的面積是2.28厘米2，求扇形的半徑。分析與解：陰影部分是扇形與等腰直角三角形相差的部分。所以，扇形的半徑是4厘米。例6 右圖中的圓是以O(shè)為圓心、徑是10厘米的圓，求陰影部分的面積。分析與解：解此題的基本思路是：從這個(gè)基本思路可以看出：要想得到陰影部分S1 的面積，就必須想辦法求出S2和S3的面積。S3的面積又要用下圖的基本思路求： 現(xiàn)在就可以求出S3的面積，進(jìn)而求出陰影部分的面積了。S3=S4-S5=50-100（厘米2），S1=S2-S3

59、=50-（50-100）=100（厘米2）。練習(xí)111.直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊AC長(zhǎng)20厘米，直角邊BC長(zhǎng)10厘米。如下圖所示，三角形由位置繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置，此時(shí)B，C點(diǎn)分別到達(dá)B1，C1點(diǎn)；再繞B1點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置，此時(shí)A，C1點(diǎn)分別到達(dá)A2，C2點(diǎn)。求C點(diǎn)經(jīng)C1到C2走過(guò)的路徑的長(zhǎng)。2.下頁(yè)左上圖中每個(gè)小圓的半徑是1厘米，陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘米？3.一只狗被拴在一個(gè)邊長(zhǎng)為3米的等邊三角形建筑物的墻角上（見(jiàn)右上圖），繩長(zhǎng)是4米，求狗所能到的地方的總面積。5.右上圖是一個(gè)400米的跑道，兩頭是兩個(gè)半圓，每一半圓的弧長(zhǎng)是100米，中間是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為100米。求兩個(gè)半圓的面

60、積之和與跑道所圍成的面積之比。6.左下圖中，正方形周長(zhǎng)是圓環(huán)周長(zhǎng)的2倍，當(dāng)圓環(huán)繞正方形無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來(lái)位置時(shí)，這個(gè)圓環(huán)轉(zhuǎn)了幾圈？7.右上圖中，圓的半徑是4厘米，陰影部分的面積是14厘米2 ，求圖中三角形的面積。答案與提示練習(xí)111.68厘米。2.62.8厘米。解：大圓直徑是6厘米，小圓直徑是2厘米。陰影部分周長(zhǎng)是6+27=62.8（厘米）。3.43.96米2。解：如下頁(yè)右上圖所示，可分為半徑為4米、圓心角為300的扇形與兩個(gè)半徑為1米、圓心角為120的扇形。面積為4.60。解：設(shè)CAB為n度，半圓ADB的半徑為r。由題意有解得n=60。5.13。6.3圈。7.8厘米2。解：圓的面積是