1、X2(t)FX2(2)種群的相互依存課件題目種群的相互依存模型專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級：2010級02班學(xué)號：20學(xué)生姓名：李瑞芳種群的相互依存摘要：本文從種群的增長規(guī)律出發(fā)，對Logistic模型進行修改，建立了可以獨立生存、共處時又能互相提供食物的兩種群的依存模型。并通過微分方程組描述了兩種群數(shù)量的變化規(guī)律，且對微分方程組穩(wěn)定點的分析，得出了在共處的條件下兩種群不會同時都對對方有很大的促進作用的結(jié)論。關(guān)鍵詞：微分方程穩(wěn)定性平衡點Logsitic模型種群matlab一、問題的提出在經(jīng)濟全球化的時代，各國的經(jīng)濟之間有什么關(guān)系呢？大家知道，美國科技發(fā)達，而中國相對于美國而言，是一個盛產(chǎn)農(nóng)作物的國

2、家，兩國之間須進行經(jīng)濟貿(mào)易往來才會使得兩國快速發(fā)展，因此，兩國之間形成了一種在經(jīng)濟上的相互依存關(guān)系。汽車與汽油是什么關(guān)系呢？如果沒有生產(chǎn)汽車的廠家，那么生產(chǎn)出的汽油的銷量就相當(dāng)小，反之，如果某天生產(chǎn)汽油的廠家全部停產(chǎn)，那么汽車的市場可想而知只有當(dāng)兩個廠家同時并存且正常營業(yè)時，才會快速的盈利。自然界中處于同一環(huán)境下兩個種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的。植物可以獨立生存，昆蟲的授粉又可以提高植物的增長率，而以花粉為食物的昆蟲卻不能離開植物單獨存活。事實上，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關(guān)系。我們關(guān)心兩個相互依存的種群，它們之間有著類似于在農(nóng)業(yè)社會中人和牛的關(guān)系。其發(fā)展和演進有著什么樣的定性性

3、質(zhì)呢？二、問題的復(fù)述這種共生現(xiàn)象可以描述如下：甲乙兩種群的相互依存有三種形式：甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。今天的課題以形式一進行展開，一起探討形式一在自然界中的穩(wěn)定性。三、模型建立及求解（一）基本假設(shè)1、該區(qū)域內(nèi)作為考慮對象的僅有兩種群，若存在其他種群視其不對該兩種群的發(fā)展產(chǎn)生影響。2、考慮的系統(tǒng)是封閉的，亦即無考慮種群物種個體的遷移。3、區(qū)域足夠大，即可容納足夠多的種群個體，進而可視各種群個體數(shù)是可微的，且區(qū)域可提供種群存在的資源足夠多

4、但有限。（二）符號說明t:時間Xi（t）、X2（t）:兩物種與時刻的個體數(shù)Ni、N2:兩種群的最大容納量ri、a:兩種群的固有增長率-1:單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍數(shù)6:單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍形式一：甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。1、模型假設(shè)甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律；甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進增長。乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用（服從Logistic規(guī)律）。2、模型建立種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可

5、以寫作TOC o 1-5 h z/XXiX2Xi（t）=iXi1-（1）NiN2丿式子中，i生的+號，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供食物。J的含義N2是，單位數(shù)量乙（相對于N2）提供的甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對于Ni）消耗的供養(yǎng)甲食物的二i倍。種群乙沒有甲的存在會滅亡，設(shè)其死亡率為r2，則乙單獨存在時有(3)甲為乙提供食物，于是（2）式右端應(yīng)加上甲對乙增長的促進作用，有X2(t)=r2x2XiN式中匚2表示甲為乙提供食物是乙消耗的門倍顯然僅當(dāng)瓷，時種群乙的數(shù)量才會增長。與此同時乙的增長又會受到自身的阻滯作用，（3）式右端還要添加Logistic項，方程變?yōu)?ZX2X!X2（t）=JX2-

6、+U2-（4）JN2NJ方程（1）、（4）構(gòu)成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。3、模型求解下面利用平衡點的穩(wěn)定性分析，討論時間足夠長以后兩個種群的變化趨向。令儂兀站一盞+耳僉79（“叫亠#5匍=0可得平衡點:R(Ni,0)，P21-；芥22仁-1)P3(0,0)cf、2徉1X21X1*一“何&2N1N2N2為2X22,r2X122x22-&2丿=0,于是當(dāng)二1=0）,必須下面兩個條件中的一個：而由表一中p2點的p，q可知，僅在條件A1下p2才是穩(wěn)定的（而在A2下p2是鞍點，不穩(wěn)定）。圖一畫出了條件A下相軌線的示意圖，其中一乞生,=_12邑。直線=0和-0將相平面劃分成4個區(qū)NiN2NiN2域：S1：x

7、i0,x2：0；S2:xi0,X20;S3:xi:0,X20;S4:xi:0,x2:0;從四個區(qū)域中的正負(fù)不難看出其相軌線的趨向如圖一所示。圖一P2穩(wěn)定的相軌線圖4、結(jié)果分析：分析條件Ai的實際意義，其關(guān)鍵部分是二21?？紤]到二2的含義，這表示種群甲要為乙提供足夠的食物維持其生長。而二產(chǎn)2則是在二2i條件下為使P2位于相平面第一象限所必須的，當(dāng)然這要求J很?。ǘ:i是必要條件）。注意到J的含義，這實際上是對乙向甲提供食物加以限制，以防止甲的過分增長。在種群依存模型（i）、（4）中如果平衡點Pi（Ni,0）穩(wěn)定，那么種群乙滅絕，沒有種群的共存。-its=0:0.5:20;t,x=ode45(s

8、hier,ts,2500,2000)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid執(zhí)行得到的數(shù)值結(jié)果為：5.000010.500016.000005.500011.000016.50000.50006.000011.500017.00001.00006.500012.000017.50001.50007.000012.500018.00002.00007.500013.000018.50002.50008.000013.500019.00003.00008.500014.000019.50003.5000

9、9.000014.500020.00004.00009.500015.00004.500010.000015.5000 x=7.40029.17969.22491.0e+003*1.19830.99220.89252.50008.01879.22219.21012.00001.14140.97330.87783.47178.46399.24339.19321.72781.09830.95570.86344.54548.77239.25049.17571.52781.06420.93900.84945.61938.97419.24679.15831.38201.03660.92300.83566

10、.59289.10179.23719.14061.27581.01310.90750.82219.12279.03658.95668.88310.80880.74580.68810.63529.10509.02008.94148.86920.79570.73390.67720.62519.08769.00388.92658.85540.78290.72210.66640.61529.07038.98788.91180.77030.71060.65589.05338.97218.89730.75800.69930.6454可得x1(t)X2(t)及相軌線X2(Xj如圖二二、圖三。圖二數(shù)值解Xi(

11、t)、X2(t)的圖形圖三相軌線X2(Xi)的圖形由圖可知，甲種群的數(shù)量隨著時間的增加而增加。即甲可以獨自生存，乙不能獨自生存。亦即當(dāng)、二2：1,匚1匚2：1時，平衡點R(Ni,O)是穩(wěn)定點，此時種群依存模型是全局穩(wěn)定的。驗證了平衡點R(Ni,O)的穩(wěn)定條件是正確的。為求微分方程組(1)和(4)及初始條件Xj(O)=x10,x2(0)=x20的數(shù)值解Xi(t),X2(t)(并作圖),分析穩(wěn)定點P2的數(shù)值解.設(shè)A=0.7,2=0.3,bi=；片=0.8,b2=2=1.2,x10=2500,x20=2000,N1=8000,N2=6000,用MatLab軟件求解.首先建立M文件，如下：functi

12、onf=shier1(t,x)r仁0.7;r2=0.3;b1=0.8;b2=1.2;N1=8000;N2=6000;f=r1*x(1).*(1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*(-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1)；并保存為“shier1.m”，然后在Maltab命令窗口中輸入下列程序：ts=0:0.5:20;t,x=ode45(shier1,ts,2500,2000)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid執(zhí)行得到的數(shù)值結(jié)果為：2.00004.50

13、007.000002.50005.00007.50000.50003.00005.50008.00001.00003.50006.00008.50001.50004.00006.50009.00009.500012.500015.500018.500010.000013.000016.000019.000010.500013.500016.500019.500011.000014.000017.000020.000011.500014.500017.500012.000015.000018.0000 x=0.96671.07231.0e+004*0.16690.26870.25000.9715

14、1.07910.20000.17130.27520.34040.97631.08600.17550.17580.28190.44020.98111.09310.15820.18030.28870.54090.98590.14640.18500.63420.99090.13880.18980.71400.99600.13440.19470.77771.00110.13240.19970.82591.00640.13210.20480.86191.01180.13300.21000.88831.01730.13480.21540.90671.02290.13730.22080.92011.02860.14030.22640.93061.03450.14350.23210.93881.04050.14700.23790.94561.04660.15070.24380.95161.05280.15460.24980.95691.05920.15860.25600.96181.06570.16270.2623可得Xi（t）、X2（t）及相軌線X