1、同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)電子教案高教社全集 第一章 二、映射 三、函數(shù) 一、集合第一節(jié)映射與函數(shù)元素 a 屬于集合 M , 記作元素 a 不屬于集合 M , 記作一、 集合1. 定義及表示法定義 1. 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱(chēng)為集合.組成集合的事物稱(chēng)為元素.不含任何元素的集合稱(chēng)為空集 ,記作 . ( 或) .注: M 為數(shù)集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 與負(fù)數(shù)的集 .簡(jiǎn)稱(chēng)集簡(jiǎn)稱(chēng)元表示法：(1) 列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素 .例:有限集合自然數(shù)集(2) 描述法： x 所具有的特征例: 整數(shù)集合或有理數(shù)集 p 與 q 互質(zhì)實(shí)數(shù)集合 x 為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)開(kāi)區(qū)間閉區(qū)間

2、無(wú)限區(qū)間點(diǎn)的 鄰域其中, a 稱(chēng)為鄰域中心 , 稱(chēng)為鄰域半徑 .半開(kāi)區(qū)間去心 鄰域左 鄰域 :右 鄰域 :是 B 的子集 , 或稱(chēng) B 包含 A ,2. 集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2 .則稱(chēng) A若且則稱(chēng) A 與 B 相等,例如,顯然有下列關(guān)系 :,若設(shè)有集合記作記作必有定義 3 . 給定兩個(gè)集合 A, B, 并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集或二、 映射某校學(xué)生的集合 學(xué)號(hào)的集合 按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合 某教室座位 的集合按一定規(guī)則入座引例1. 引例2.引例3.(點(diǎn)集)(點(diǎn)集)向 y 軸投影定義4.設(shè) X , Y 是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則 f ,使得

3、有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng) f 為從 X 到 Y 的映射,記作元素 y 稱(chēng)為元素 x 在映射 f 下的像, 記作元素 x 稱(chēng)為元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 稱(chēng)為映射 f 的定義域 ; Y 的子集稱(chēng)為 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對(duì)應(yīng)規(guī)則, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 對(duì)映射若, 則稱(chēng) f 為滿(mǎn)射; 若有 則稱(chēng) f 為單射;若 f 既是滿(mǎn)射又是單射,則稱(chēng) f 為雙射 或一一映射. 引例2, 3引例2引例2例1.海倫公式例2. 如圖所示,對(duì)應(yīng)陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射(滿(mǎn)射) 例3. 如圖

4、所示,則有(滿(mǎn)射) (滿(mǎn)射) X (數(shù)集 或點(diǎn)集 ) 說(shuō)明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用 X ( ) Y (數(shù)集) f 稱(chēng)為X 上的泛函X ( ) X f 稱(chēng)為X 上的變換 R f 稱(chēng)為定義在 X 上的函數(shù)映射又稱(chēng)為算子. 名稱(chēng). 例如, 定義域三、函數(shù)1. 函數(shù)的概念 定義5. 設(shè)數(shù)集則稱(chēng)映射為定義在D 上的函數(shù) ,記為稱(chēng)為值域 函數(shù)圖形:自變量因變量(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如, 反正弦主值 定義域 對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達(dá)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義的自變量集合.定義域值域又如, 絕對(duì)值函數(shù)定義域值 域?qū)o(wú)實(shí)際背景的函數(shù), 書(shū)寫(xiě)時(shí)可以省略定義域.對(duì)實(shí)際問(wèn)題, 書(shū)寫(xiě)函數(shù)

5、時(shí)必須寫(xiě)出定義域；例4. 已知函數(shù)解:及寫(xiě)出 f (x) 的定義域及值域, 并求f (x) 的定義域 值域 2. 函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1) 有界性使稱(chēng) 使稱(chēng) 說(shuō)明: 還可定義有上界、有下界、無(wú)界 .(2) 單調(diào)性為有界函數(shù).在 I 上有界. 使若對(duì)任意正數(shù) M , 均存在 則稱(chēng) f ( x ) 無(wú)界.稱(chēng) 為有上界稱(chēng) 為有下界當(dāng)稱(chēng) 為 I 上的稱(chēng) 為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù) .(見(jiàn) P11 )(3) 奇偶性且有若則稱(chēng) f (x) 為偶函數(shù);若則稱(chēng) f (x) 為奇函數(shù). 說(shuō)明: 若在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如, 偶函數(shù)雙曲余弦 記又如,奇函數(shù)雙曲正弦 記

6、再如,奇函數(shù)雙曲正切 記說(shuō)明: 給定 則 偶函數(shù) 奇函數(shù) (4) 周期性且則稱(chēng)為周期函數(shù) ,若稱(chēng) l 為周期( 一般指最小正周期 ).周期為 周期為注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x 為有理數(shù)x 為無(wú)理數(shù)3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱(chēng)此映射為 f 的反函數(shù) ., 其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 使其中2) 函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) .例如 ,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) .指數(shù)函數(shù)(2) 復(fù)合函數(shù) 則設(shè)有函數(shù)鏈稱(chēng)為由

7、, 確定的復(fù)合函數(shù) , u 稱(chēng)為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 不可少. 例如, 函數(shù)鏈 :但可定義復(fù)合函數(shù)時(shí), 雖不能在自然域 R下構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合函數(shù)當(dāng)改兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如, 可定義復(fù)合函數(shù):約定: 為簡(jiǎn)單計(jì), 書(shū)寫(xiě)復(fù)合函數(shù)時(shí)不一定寫(xiě)出其定義域, 默認(rèn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿(mǎn)足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.4. 初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱(chēng)為非初等函數(shù) . 例如 ,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成 ,稱(chēng)為初等函數(shù) .可表為故為初等函數(shù).又如 , 雙曲函數(shù)與

8、反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .( 自學(xué), P17 P20 )非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng) x 0當(dāng) x = 0當(dāng) x 0取整函數(shù)當(dāng) 設(shè)函數(shù) x 換為 f (x)例5.解: 例6. 求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)閮?nèi)容小結(jié)1. 集合及映射的概念定義域?qū)?yīng)規(guī)律3. 函數(shù)的特性有界性, 單調(diào)性,奇偶性, 周期性4. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu) 作業(yè) P21 4 (5),(8) ,(10); 6; 8; 9; 13 ; 16; 17; 18 2. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二節(jié) 且備用題證明證: 令則由消去得時(shí)其中a, b, c 為常數(shù), 且為奇函數(shù) .為奇函數(shù) .1. 設(shè) 2 . 設(shè)函

9、數(shù)的圖形與均對(duì)稱(chēng), 求證是周期函數(shù).證:由的對(duì)稱(chēng)性知于是故是周期函數(shù) , 周期為教材:主要參考書(shū):高等數(shù)學(xué)(第六版)同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 主編高等教育出版社, 2007.4. 高等數(shù)學(xué)附冊(cè) 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 編高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（上、下）高等教育出版社, 2007.4. 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué) 而且是一種思維模式; 不僅是一種知識(shí), 而且是一種素養(yǎng); 不僅是一種科學(xué), 而且是一種文化; 能否運(yùn)用數(shù)學(xué)觀(guān)念定量思維是衡量 民族科學(xué)文化素質(zhì)的一個(gè)重要標(biāo)志.不僅是一種工具, 數(shù)學(xué) 引 言一、什么是高等數(shù)學(xué) ?初等數(shù)學(xué) 研究對(duì)象為常量,以靜止觀(guān)點(diǎn)研究問(wèn)題.高等數(shù)學(xué) 研究對(duì)象為變量,運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了

10、數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù) , 運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué) ,有了變數(shù) , 微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生. 恩格斯笛卡兒 1. 分析基礎(chǔ): 函數(shù) , 極限, 連續(xù) 2. 微積分學(xué): 一元微積分(上冊(cè))(下冊(cè))3. 向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無(wú)窮級(jí)數(shù)5. 常微分方程主要內(nèi)容多元微積分二、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué) ?1. 認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2. 學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí) , 天才在于積累 .學(xué)而優(yōu)則用 , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) .由薄到厚 , 由厚到薄 .馬克思 恩格斯要辨證而又唯物地了解自然 ,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門(mén)科

11、學(xué), 只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步 .第一節(jié) 華羅庚給出了幾何問(wèn)題的統(tǒng)一笛卡兒 (15961650)法國(guó)哲學(xué)家, 數(shù)學(xué)家, 物理學(xué)家, 他 是解析幾何奠基人之一 .1637年他發(fā)表的幾何學(xué)論文分析了幾何學(xué)與 代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn),進(jìn)而提出了 “ 另外 一種包含這兩門(mén)科學(xué)的優(yōu)點(diǎn)而避免其缺點(diǎn)的方法”, 從而提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法, 恩格斯把它稱(chēng)為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn).把幾何問(wèn)題化成代數(shù)問(wèn)題 ,作圖法,華羅庚(19101985)我國(guó)在國(guó)際上享有盛譽(yù)的數(shù)學(xué)家.他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,程,都作出了卓越的貢獻(xiàn) ,發(fā)表專(zhuān)著與學(xué)術(shù)論文近 300 篇.偏微分方多復(fù)變函數(shù)論,矩陣幾何學(xué),典型群,他對(duì)青年學(xué)生的成長(zhǎng)非常關(guān)心, 他提出治學(xué)之道是 “ 寬, 專(zhuān), 漫 ”, 即基礎(chǔ)要寬,專(zhuān)業(yè)要專(zhuān), 要使自己的專(zhuān)業(yè)知識(shí)漫到其他領(lǐng)域.1984年來(lái)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)視察時(shí)給給師生題詞: “ 學(xué)而