1、BD圖1C如圖1所示，做一個任意銳角ABC,分別以AC、AB為對稱軸向外做厶ABC的軸對稱圖形CAN、ABM,G、H分別為D的對稱點，連接G、H，貝l(1)GH=FD+ED+EF(2)GH是BC上別于D點用同樣方法所得的線段中最短的，也即DEF為內(nèi)三個頂點分別在三角形三邊上周長最小的三角形。(3)當AABC為銳角三角形時，ADEF周長為8p(P-a)(P-b)(P-c)(其中p=1(+b+c,)abc2證明(1)首先證明G、F、E、H在一直線上。連接GH，分別與AC、AB交于E、F，VZAEN=AGN=90AZAEGN四點共圓AZ1=Z2，VZBAN=2ZBAC，AB=ANZ.Z1=90-ZB

2、ACoVZHAG=2ZBAC，AH=AGZZAGEZ=90-ZBACoZ.ZAGE=Z2，ZE與E重合。同理F與F重合。所以，G、F、E、H在一直線上。根據(jù)作圖知，F(xiàn)D=FH,ED=EG,ZGH=FD+ED+EF,也即DEF為內(nèi)三個頂點分別在三角形三邊上周長最小的三角形。MANHFGFEHEGBDDC圖2(2)如圖2，D是異于D點(不與B、C重合)的任意一點2be2beG、H分別為D的對稱點，連接G、H，GfH,分別與AC、AB交于E、F,DEF的周長等于GH的長在HAG與HAG中，.ZHAG=ZHAG=2ZBAC,AH=AG=AD,AH=AG=AD，且ADVAD.GHVGH因此GH最短，也即

3、DEF為內(nèi)三個頂點分別在三角形三邊上周長最小的三角形。(3)丁SABC11besinA=a-AD22,beADsinAaGH=2QG過A做AQ與GH交于Q,.AH=AG=AD,ZHAG=2ZBAC,.2be2be在RtAAQG中，GQ=AGsinA=ADsinA=besinAbesinA=sin2Aa2be2be2be2be兩邊平方得：cos2A2be貝Isin2A1一cos2A=1-1-b2，C2-a22be2be2be由余弦定理得：b2,e2a2cosA一2be2be2be2be2be2be+b2+e2-a22be-C2+e2-a22be2be(2be+b2+e2)-a2a2-(b2+e2-2be)b2bc2bcc,a)(b,c-a)(a-b,c)(a,b-c)2bc2bcb+c+ab+c-a、a-b+ca+bcI2丿I2V2丿12丿16x4b2c2(b+c)2-a2a2-(b-c)2b+c+a)a+b+c、a+b+c、a+b+c)a-b-cI2丿I2I2V2丿4xb2c2b2c2令p=a，b，C則sin2A=4卩(p-a)(卩-b)(卩-C)2把式代入得：GQ=比sin2a=比4p(p-a)(p-b)(p-c)aab2c24pp-a)(p-b)(p-c)abc8p(p-a)(p-b)(p-c)GH