1、第 四 章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1微分中值定理1.1羅爾(Rolle)定理21.2拉格朗日(Lagrange)中值定理 1.3柯西(Cauchy)中值定理微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)1.1羅爾(Rolle)定理 使得 圖1在定理的條件下, 區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得曲線在點(diǎn) 具有水平切線 。 幾何意義：定理1 (Rolle)若函數(shù)滿足條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3)則至少存在一點(diǎn)有且僅有兩個實(shí)根，并指出根存在的區(qū)間.例1設(shè)，證明證 方程 有解在區(qū)間和上用定理1，可知 使得 有且僅有兩個根，且分別位于和內(nèi)。又為二次函數(shù)，最多有兩個實(shí)根，故1.2拉格朗日中值定理或

2、寫成 上述公式稱為拉格朗日中值公式。（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ 2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得定理2 (Lagrange)設(shè)函數(shù)滿足條件：也成立. 且對于0ABNM幾何意義:如果連續(xù)曲線上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線,則圖2推論 設(shè)函數(shù)即其中C為常數(shù).在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且為常數(shù).則在內(nèi)例2 驗(yàn)證函數(shù) 在區(qū)間上滿足拉證為二次函數(shù)，故在上連續(xù),滿足定理2的條件，從而 使得由得格朗日中值定理的條件, 并求出定理中的值.在內(nèi)可導(dǎo),例3 證明證令,即所以又證由上式得例4 證明:當(dāng)時,1.3柯西(Cauchy)中值定理定理3(Cauchy) 設(shè)滿足條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ 2）在開區(qū)間

3、內(nèi)可導(dǎo)；且則在，使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)2 洛必達(dá)法則定義函數(shù)之商的極限 導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化( 或 型) 洛必達(dá)法則 本節(jié)研究: 2.1 型未定式 定理1 設(shè)滿足條件:(2)在點(diǎn)內(nèi)可導(dǎo),且的某個去心鄰域(3)存在或?yàn)閯t存在(或?yàn)?,且例1求解例2 求解例3 求解注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !2. 2 型未定式 定理2 設(shè) 滿足條件: (3) 存在或?yàn)?(2)在點(diǎn)內(nèi)可導(dǎo),且的某個去心鄰域則存在(或?yàn)?,且例4 求解例5 求,得解令2. 3其它類型的末定式提示:對型，再利用洛必達(dá)法則求值。 ,先將其轉(zhuǎn)化為解決方法:轉(zhuǎn)化取倒數(shù)即例7 求解若遇有對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù), 取倒數(shù)時一般應(yīng)將對數(shù)函數(shù)或反

4、三角函數(shù)保留在分子.提示例8 求解一般是通過通分或有理化的方法將其化為型 .解決方法:先取對數(shù),將其轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為 型. 解決方法:例9 求解 設(shè)于是,取對數(shù)得10例11 求提示:先作一個等價無窮小代替，再用洛必達(dá)法則. 解例如,而用洛必達(dá)法則1) 在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計算問題 . 說明: 例12極限不存在2) 若 3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)3.1 函數(shù)的單調(diào)性 例1判定函數(shù)解 函數(shù)的定義域?yàn)?又均為弧立點(diǎn), 在 內(nèi),函數(shù)單調(diào)增加 .的單調(diào)性。導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(駐點(diǎn))和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)問題: 如上圖，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個 部分區(qū)間上單調(diào)定

5、義 若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū) 間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.方法: 用方程 f (x) = 0 的根及 f (x) 不存在的點(diǎn)來劃分 函數(shù) f (x) 的定義區(qū)間,然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號。 例 確定函數(shù) f (x) = 2x3 9x2 + 12x 3 的單調(diào)區(qū)間. 解：f (x) = 6x2 18x + 12 = 6(x 1) (x 2) 令 f (x) = 0， 得 x = 1，x = 2， x f (x) f (x) 1 2 (,1) (1, 2) (2,+) + + 0 0 2 1 故 f (x) 的單調(diào)增區(qū)間為 (,1)， (2,+)； 單調(diào)減區(qū)間為 (1, 2) . 列

6、表討論(1) 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外，也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。例如，(2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號， 則不改變函數(shù)的單調(diào)性。例如，說明： 函數(shù)的單調(diào)性在證明中的應(yīng)用1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式例3 證明：當(dāng)證 取在區(qū)間上單調(diào)增加，從而即當(dāng)時,有小結(jié) 利用函數(shù)增減性證明函數(shù)不等式（在某指定區(qū)間內(nèi)）的步驟為:(1)移項(xiàng)，使不等式一邊為0,另一邊設(shè)為函數(shù) ； 作比較即得所證。(2)求在所指定區(qū)間的增減性；,并驗(yàn)證(3)求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后由單調(diào)性2.利用函數(shù)的單調(diào)性證明方程根的唯一性 例4 試證方程有且僅有一個根。 證令,有軸最多有一個交點(diǎn)，即 與在上單調(diào)增加，因此曲線有一個實(shí)根.又

7、最多即c為上方程的根。故方程有且只有一個根. 在由零點(diǎn)定理可知， ,使上連續(xù),3.2 函數(shù)的極值定義1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有定義, 如果存在點(diǎn) 的某個鄰域 ,使得對于 ,有 ,則稱 為的極小值. 稱為 的極小值點(diǎn); ,則稱若對的極大值. 稱為 的極大值點(diǎn). 為極大值和極小值統(tǒng)稱為極值;極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。3.2 函數(shù)的極值 (是極值點(diǎn)情形) (不是極值點(diǎn)情形) + + + + 及不存在的點(diǎn)。解 函數(shù)的定義域?yàn)?令 ,得駐點(diǎn) .例5 求函數(shù)的極值。+00+有極大 值有極小 值1列表討論: 在處取得極大值在處取得極小值解 在 內(nèi)連續(xù).當(dāng) 時,例6 求函數(shù)的極值。當(dāng) 時,不存在.令 ,有

8、 .列表討論如下:不存在0極小值2極大值 0極小值2(0,1)01+0在 處取得極大值 .可知 在 處取得極小值 ,定理4(第二充分條件)設(shè) 在 處具有二階導(dǎo)數(shù),且,那末(3)當(dāng) 時, 可能是極值,也可能不是極值.(2)當(dāng) 時, 函數(shù) 在 處取得極小值. (1)當(dāng) 時, 函數(shù) 在 處取得極大值;解令是函數(shù)的極大值點(diǎn), 為極大值; 是函數(shù)的極小值點(diǎn), 為極小值. 例7求函數(shù)的極值。4.3函數(shù)的最大值和最小值求最值的一般步驟:2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值;設(shè) 在 上連續(xù).1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn):;上的最大值,最小者為最小值.即 3.比較它們的大小,其中最大者為在例8求函數(shù)在 上的最大值、最

9、小值.解不予考慮.又 上的最大值和最小值.故和分別為 在dhb解 由,得及令,得例9 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁,問矩形截面的高h(yuǎn) 和寬d 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大？(抗彎截面模量為由于梁的最大抗彎截面模量一定存在，又在 內(nèi)只有一個根 得的值最大。由時,從而有 ( k 為某一常數(shù) )AC AB ,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價之比為 3:5 ,為使貨D 點(diǎn)應(yīng)如何選取? 20解: 設(shè)則總運(yùn)費(fèi)物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,問km ,公路, 例10 鐵路上 AB 段的距離為120 km , 工廠C 距 A 處20令得 又所以 為唯一的極小點(diǎn) ,故 AD =15 km 時運(yùn)費(fèi)最省 .從而為最小點(diǎn) ,解: