1、第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理最新考綱理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題考向預(yù)測考情分析：分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理、兩個原理的綜合應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，題型以選擇題為主，難度將會變小學(xué)科素養(yǎng)：通過兩個計數(shù)原理的應(yīng)用考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)積 累 必備知識基礎(chǔ)落實贏得良好開端一、必記1個知識點(diǎn)兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理條件完成一件事有_，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不種的方法完成一件事需要_，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有

2、N_種不同的方法完成這件事共有N_種不同的方法提醒分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”；分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步在分類與分步之前要確定題目中是否有特殊條件限制二、必明2個常用結(jié)論1分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類2分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”三、必練3類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1判斷下列說法是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個

3、步驟的方法是各不相同的()(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都能完成這件事()(二)教材改編2選修23P10練習(xí)T4改編已知某公園有4個門，從一個門進(jìn)，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為()A16 B13 C12 D103選修23P12T5改編設(shè)集合A1，3，5，7，9，B2，4，6，8，aA，bB，則直線axby2 021有()條A4 B5 C20 D94選修23P5例3改編書架的第1層放有4本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書從書架中任取1本書，則不同取法的種數(shù)為_(三)易錯易混5(分類分步不清導(dǎo)致出錯)有3女2男共5名

4、志愿者要全部分配到3個社區(qū)去參加志愿服務(wù)，每個社區(qū)1到2人，甲、乙2名女志愿者需到同一社區(qū)，男志愿者到不同社區(qū)，則不同的分法種數(shù)為_6(分類分步不清導(dǎo)致出錯)從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為_提 升 關(guān)鍵能力考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一分類加法計數(shù)原理基礎(chǔ)性、應(yīng)用性 例1(1)橢圓x2m+y2n1(m0，n0)的焦點(diǎn)在x軸上，且m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，則這樣的橢圓的個數(shù)為()A10B12C20D35(2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為_聽課筆記：一題多變1(變條件)在例1(1)中，若m1，

5、2，k，n1，2，k(kN*)，其他條件不變，則這樣的橢圓有多少個？2(變條件)若例1(2)條件變?yōu)椤皞€位數(shù)字不小于十位數(shù)字”，則這樣的兩位數(shù)有多少個？反思感悟應(yīng)用分類加法計數(shù)原理解決問題的三個步驟【對點(diǎn)訓(xùn)練】12022湘贛十四校聯(lián)考有一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5名同學(xué)只會用綜合法證明，有3名同學(xué)只會用分析法證明，現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個問題，不同的選法種數(shù)為()A8 B15C18 D302.如圖，從A到O有_種不同的走法(不重復(fù)過一點(diǎn))3如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為_考

6、點(diǎn)二分步乘法計數(shù)原理基礎(chǔ)性、綜合性 例2(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A24 B18C12 D9(2)有六名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有_種不同的報名方法聽課筆記：一題多變1(變條件)若本例2(2)中將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限”，則有多少種不同的報名方法？2(變條件)若將本例2(2)條件中的“每人至多參加一項”改為“每人參加的項目數(shù)不限”，其他不變，則有多少種不同的報名方法？反思感悟用分步乘法計數(shù)

7、原理解決問題的三個步驟【對點(diǎn)訓(xùn)練】12022蘭州市高三診斷考試2019年9月1日蘭州地鐵1號線啟用新列車運(yùn)行圖，進(jìn)一步增加上線列車數(shù)量、縮短列車運(yùn)行間隔、延長運(yùn)營時間兩位同學(xué)同時去乘坐地鐵，一列地鐵有6節(jié)車廂，兩人進(jìn)入車廂的方法共有()A15種B30種C36種D64種22022東北三校聯(lián)考永定土樓，位于中國東南沿海的福建省龍巖市，是世界上獨(dú)一無二的神奇的山區(qū)居民建筑，是中國古建筑的一朵奇葩.2008年7月，永定土樓成功列入世界遺產(chǎn)名錄它歷史悠久、風(fēng)格獨(dú)特，規(guī)模宏大、結(jié)構(gòu)精巧土樓具體有圓樓、方樓、五角樓、八角樓、日字形樓、回字形樓、吊腳樓等類型現(xiàn)某大學(xué)建筑系學(xué)生要重點(diǎn)對這七種類型的土樓依次進(jìn)行調(diào)

8、查研究要求調(diào)查順序中，圓樓要排在第一個或最后一個，方樓、五角樓相鄰，則不同的排法種數(shù)為()A480 B240 C384 D1 440考點(diǎn)三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用綜合性、應(yīng)用性角度1與數(shù)字有關(guān)的問題例3用0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)字可以組成_個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答)聽課筆記：反思感悟與數(shù)字有關(guān)的問題常見的有以下4類：(1)組成的數(shù)為“奇數(shù)”“偶數(shù)”被某數(shù)整除的數(shù)”；(2)在某范圍內(nèi)的數(shù)；(3)各數(shù)字的和具有某種特征；(4)各數(shù)字滿足某種關(guān)系.角度2與涂色、種植有關(guān)的問題例4現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進(jìn)行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則

9、不同的涂色方法的種數(shù)是()A120 B140C240 D260聽課筆記：反思感悟涂色問題大致有兩種解答方案(1)選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，這時用分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行計數(shù)(2)根據(jù)涂色時所用顏色數(shù)的多少，進(jìn)行分類處理，這時用分類加法計數(shù)原理進(jìn)行計數(shù).角度3與幾何圖形有關(guān)的問題例5如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是()A48 B18C24 D36聽課筆記：反思感悟求解此類問題可借助于空間幾何體，仔細(xì)分析題意中涉及的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，把握好分類的標(biāo)準(zhǔn)和分步的順序是求解的

10、關(guān)鍵.角度4與集合、數(shù)列有關(guān)的問題例6(1)已知集合M1，2，3，4，集合A，B為集合M的非空子集，若對xA，yB，xn.以m的值為標(biāo)準(zhǔn)可分為四類：m5時，n有4種選擇；m4時，n有3種選擇；m3時，n有2種選擇；m2時，n有1種選擇故由分類加法計數(shù)原理可知，符合條件的橢圓共有10個(2)根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5 6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8765432136(個)答案：(1)A(2)36一題多變1解析：因為mn，所以當(dāng)mk時，n1，2，k1；當(dāng)mk1

11、時，n1，2，k2；當(dāng)m3時，n1，2；當(dāng)m2時，n1.所以共有12(k1)kk-12(個)2解析：分兩類：個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)，由例1(2)知共有36個；個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個由分類加法計數(shù)原理知，共有36945(個)對點(diǎn)訓(xùn)練1解析：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題：證明方法分成兩類，一是用綜合法證明，有5種選法，二是用分析法證明，有3種選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有358種選法答案：A2解析：分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個點(diǎn)，有ABO和ACO2種不同的走法；第三類，中間過兩個點(diǎn)，有ABCO

12、和ACBO2種不同的走法由分類加法計數(shù)原理可得共有1225(種)不同的走法答案：53解析：若a22，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120，121，共2個；若a23，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有236(個)；若a24，滿足條件的“凸數(shù)”有3412(個)；若a29，滿足條件的“凸數(shù)”有8972(個)所以所有凸數(shù)共有26122030425672240(個)答案：240考點(diǎn)二例2解析：(1)由題意可知EF共有6種走法，F(xiàn)G共有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有6318(種)走法解析：(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人：第一個項目有6

13、種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，不同的報名方法共有654120(種)答案：(1)B(2)120一題多變1解析：每人都可以從這三個智力項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，不同的報名方法共有36729(種)2解析：每人參加的項目數(shù)不限，因此每一個項目都可以從六人中任選一人，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，不同的報名方法共有63216(種)對點(diǎn)訓(xùn)練1解析：設(shè)這兩位同學(xué)分別為甲、乙，由題意，可分為兩步：第一步，甲同學(xué)從這6節(jié)車廂中選擇一節(jié)進(jìn)入有6種選法，第二步，乙同學(xué)從這6節(jié)車廂中選擇一節(jié)進(jìn)入有6種選法，所以兩人進(jìn)入車廂的方法共有6

14、636(種)答案：C2解析：解決本題分三步，第一步，由于方樓、五角樓相鄰，故先將二者捆綁看成一個整體，有A22種排法；第二步，圓樓要排在第一個或最后一個，有A21種排法；第三步，其余五種(八角樓、日字形樓、回字形樓、吊腳樓、方樓五角樓)全排列，有A55種排法故不同的排法種數(shù)為A22A21 A55225432480.答案：A 考點(diǎn)三例3解析：要完成的“一件事”為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0，個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個數(shù)字不重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步第1類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1，3，5中的任意一個時，個位數(shù)字可取0，2，4，6中的任意一個，百位數(shù)字不能取與這

15、兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3454240(種)取法第2類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2，4，6中的任意一個時，個位數(shù)字可以取除首位數(shù)字的任意一個偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3354180(種)取法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共可以組成240180420(個)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)答案：420例4解析：由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，最后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3

16、種涂法，由此可得不同的涂色方法有54(1433)260(種)答案：D例5解析：第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有21224(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個所以正方體中“正交線面對”共有241236(個)答案：D例6解析：(1)A1時，B有231種情況；A2時，B有221種情況；A3時，B有1種情況；A1，2時，B有221種情況；A1，3，2，3，1，2，3時，B均有1種情況故滿足題意的“子集對”共有7313317(個) (2)根據(jù)題意知a，b，c的取值分別是區(qū)間7，14中的8個整

17、數(shù)之一，故公差d的取值范圍是區(qū)間3，3中的整數(shù)當(dāng)公差d0時，有C818(種)；當(dāng)公差d1時，b不取7和14，有2C6112(種)；當(dāng)公差d2時，b不取7，8，13，14，有2C418(種)；當(dāng)公差d3時，b只能取10或11，有2C214(種)綜上，不同的分珠計數(shù)法有8128432(種)答案：(1)17(2)32對點(diǎn)訓(xùn)練1解析：由題意可得，比40 000大的五位數(shù)萬位只能是4或5，當(dāng)萬位是4時，由于該五位數(shù)是偶數(shù)，個位只能從0或2中任選一個，其余三位數(shù)字從剩下的四個數(shù)中任選三個，有243248(種)情況；當(dāng)萬位是5時，由于該五位數(shù)是偶數(shù)，個位只能從0，2或4中任選一個，其余三位數(shù)字從剩下的四個數(shù)中任選三個，有343272(種)情況；由分類加法計數(shù)原理可得，滿足題意的數(shù)共有4872120(個)答案：B2解析：如圖，設(shè)四個直角三角形順次為A，B，C，D，按ABCD順序涂色，下面分兩種情況：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色)：有432248(種)(2