1、第3講 實(shí)內(nèi)積空間內(nèi)容：1. 實(shí)內(nèi)積空間正交基及正交補(bǔ)與正交投影內(nèi)積空間的同構(gòu)正交變換與對(duì)稱變換在線性空間中，元素(向量)之間的運(yùn)算僅限于元素(向 量)的線性運(yùn)算但是，如果以向量作為線性空間的一個(gè)模 型，則會(huì)發(fā)現(xiàn)向量的度量(即長(zhǎng)度)與向量間的位置關(guān)系在線 性空間的理論中沒(méi)有得到反映，而這些性質(zhì)在許多實(shí)際問(wèn)題 中卻是很關(guān)鍵的因此，將在抽象的線性空間中引進(jìn)內(nèi)積運(yùn) 算，導(dǎo)出內(nèi)積空間，并討論正交變換與正交矩陣及對(duì)稱變換 與對(duì)稱矩陣1 內(nèi)積空間在解析幾何中，向量的長(zhǎng)度與夾角等度量性質(zhì)都可以通 過(guò)向量的數(shù)量積來(lái)表示，而向量的數(shù)量積具有以下的代數(shù)性 質(zhì)：對(duì)稱性(a, p)=( p, a )；可加性(a +

2、d丫 ) = (a方)+ (p, y )；齊次 性 (ka, p ) = k(a, p), Vk g R ；非負(fù)性(a, a) N 0，當(dāng)且僅當(dāng)a二0 時(shí),(a,a) = 0 .以數(shù)量積為基礎(chǔ)，向量的長(zhǎng)度與夾角可表示為：|a| = %. (a,a)， cos =(0包.可見數(shù)量積的概念蘊(yùn)涵著長(zhǎng)度與夾角的概念，將該概念推廣至抽象的線性空間定義1.1設(shè)V是實(shí)線性空間，若對(duì)于V中任意兩個(gè)元素 (向量)a和P，總能對(duì)應(yīng)唯一的實(shí)數(shù)，記作(a, P)，且滿足 以下的性質(zhì)：(1)對(duì)稱性(a, P )二(P ,a)(2)可加性(a + P, y ) = (a, y) + (P, y)(3)齊次性 (ka, P

3、) = k(a, P), Vk g R(4)非負(fù)性(a ,a) 0， 當(dāng)且僅當(dāng)a =0 時(shí)，(a ,a) = 0 則稱該實(shí)數(shù)是v中向量a和p的內(nèi)積稱內(nèi)積為實(shí)數(shù)的實(shí)線性空間v為歐幾里得(Euclid)空間 簡(jiǎn)稱為歐氏空間.稱定義了內(nèi)積的線性空間為內(nèi)積空間例1.1 在n維向量空間Rn中，任意兩個(gè)向量:若規(guī)定:(a,p) = xy + x y + + x y=x y =atp，k=1k 0，同樣可驗(yàn)證，這也則容易驗(yàn)證，這符合內(nèi)積的定義，是Rn中向量a和P的內(nèi) 積.另外，若規(guī)定：(a, p) = Zkx/kk=1是Rn中向量a和P的內(nèi)積.由此可見，在同一個(gè)實(shí)線性空間的元素之間，可以定義 不同的內(nèi)積，即

4、內(nèi)積不是唯一的.從而，同一個(gè)實(shí)線性空間 在不同內(nèi)積下構(gòu)成不同的歐氏空間例1.2在L/上連續(xù)的實(shí)函數(shù)的實(shí)線性空間cL,b中，對(duì)任意函數(shù)f（ x）,式x） e C a, b ，定義：（f, g）“f （x） g （x粒，則可以a證明這是ca ,b 上f（ x）與g（ x）的一種內(nèi)積.歐氏空間v中的內(nèi)積具有如下的性質(zhì)(o,a) = (a, o) = 0, Va e V(2) (a, kP) = k(a, P), Va, 0 e V, Vk e R(a,P+y) = (a,P) + (a,y),Va,p,y eV(4) (Zk xZi.y.) = Ek? (xy) i=1j=1j=1 i=1事實(shí)上，由

5、定義1.1有： (o,a) = (00 ,a) = 0(0 ,a) = 0 ；（a, k 0） = （k 0, a） = k （0 ,a） = k （a, 0）；（a,0 +y） = （0 +y,a） = （0,a） + （y,a） = （a,0） + （a,y）；因此，性質(zhì)至成立，再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法容易驗(yàn)證性質(zhì) 也成立.定義1.2設(shè)a是歐氏空間v中的任一元素（向量），則 非負(fù)實(shí)數(shù)，時(shí)稱為元素（向量）a的長(zhǎng)度或模，記作ai .稱 長(zhǎng)度為1的元素（向量）稱為單位元素（向量），零元素（向 量）的長(zhǎng)度為0由定義1.2易知，元素（向量）的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì)（1）|ka|=|k|-a|,Vk e R, Va

6、 e V（2）當(dāng)a0o時(shí)，-1 a = 1即L a是一個(gè)單位元素（向量）.通N 網(wǎng)常稱此為把非零元素（向量）a單位化定理1.1（Cauchy-Schwarz不等式）.設(shè)a, P是歐氏空間V中 的任意兩個(gè)元素（向量），則不等式（a, P ）|郃|邛|，對(duì)Va, Pe V均 成立，并且當(dāng)且僅當(dāng)a與P線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立證明：當(dāng)a與P至少有一個(gè)是零元素（向量）時(shí)，結(jié)論 顯然成立.現(xiàn)在設(shè)a, p均為非零元素（向量），則(a, B)(P?P)仇a-舒因此有ka, p ）1 （a, a）（p, P），即（a,p）|a.p.而且當(dāng)且僅當(dāng) a =（ r ）p， 即a與p線性相關(guān) （p, p ）時(shí)，等號(hào)成立.定

7、義1.3設(shè)x與y是歐氏空間V中的任意兩個(gè)元素（向量），則稱e= arccos。為,與y的夾角，記作1, y,即lxl |y|=e = arccos（： y） ,（0 K ）同lyl例1.3 試證明歐氏空間-中成立三角不等式證明 因X + y| |x| + |y|, Vx, y e V x + yI2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y)，由Cauchy - Schwarz不等式，有|x + y2 = |x|2 + 2(x, y) + |y|2 |x2 + 2|x| |y| + |y|2 = (|x + y|)2，即有 |x + y| 0，從而

8、有k = 0 (i = 1,2 ,m)， 所以a ,a , ,a線性無(wú)i12m關(guān)推論：在八維歐氏空間中，正交元素（向量）組所含元 素（向量）的個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò)幾個(gè)定義2.3在幾維歐氏空間v中，由幾個(gè)元素（向量）構(gòu) 成的正交元素（向量）組稱為v的正交基；由單位元素（向 量）組成的正交基叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基定理2.2 （Schmidt正交化方法）設(shè) ,an是n維歐氏 空間v的任意一個(gè)基，則總可將其進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算后化為v的 一個(gè)正交基，進(jìn)而將其化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基證明 因?yàn)?,am線性無(wú)關(guān)，所以a產(chǎn)0 （i=1,2, ,n）首先，取P1二a1；其次，令p =a 絲色）p，則可得兩個(gè)正交元素（向量）2（P, pJ1

9、11p1,p2；再次，令p =a 空山P 巴山p，則得到三個(gè)正交元素3 （P , P ）1 （P , P ） 21122（向量）01, p2, p3.依此進(jìn)行下去，一般有o (aP ) o (a.，B)r，(P，P ) 1 (B，B) 21122(a P)r / . 9 q) d i、p ( - 2,355 n)(B ,B )-i-l i-1這樣得到V的一個(gè)正交基.再將其單位化，令y = P (,2,則可得V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基y ,y ,.|P | /1 2例 2.1 在r4中，將基a =(1,1,0,0)t，a =(1,0,1,0)t，a =( 123a = (l,-l,-l,l)r ,用Sc

10、hmidt正交化方法化為標(biāo)準(zhǔn)正交基.4解先正交化P = oc22(a，B)r _1 1Av.(P ,P ) i 2 2 1 1(a , B ) r 31 p (p,p) 11 1(a )n111 nP2=(-3,3,3，)r，-(P,P) 1(a )1 1再單位化43(P ,p)22o (a , B )P -43-2 (P,P)33,0,0)r_ 1 R 112 八、|P2| 2展 46 J6Y = in-r 0=(3 IP3I 3Y = J-P =(4 IP4I 41111- 9， 9 77)，2 2 2 2HL就是所要求的標(biāo)準(zhǔn)正交基.例2.2設(shè)逐是維歐氏空間v的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,12, nX

11、 = X +% HFX 9y = y j s -y 8 9 則有1 12 2n n(x,y) = (xcei,y,ej) =xyi ,i=1j=1i=1在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，v中任意兩個(gè)元素(向量)的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和定義2.4設(shè))e2,e”是n維歐氏空間V的一個(gè)基，x，y在 其基下的坐標(biāo)表示分別為x = (x , x，,x ) t，y = (y , y ,.,y ) t，12 n(x 工xe.，i=1y = ,)，貝1有i =1(羽y) = (xe ,y e ) = x (e ,e )yii jji=1 j=1i=1j=1 其中，G = G(gj)為n階方陣， 矩陣，它為對(duì)稱可逆矩陣i

12、jj= Exgijyj = xTGy -i=1j=1g1(e, e J ij 1,2,n 稱 G 為度量12 n2 正交補(bǔ)與正交投影定義2.5設(shè)可和嗎是歐氏空間V的兩個(gè)子空間，若對(duì) 任意的x e wy e w總有(x, y)= 0成立，則稱%與w正交，記作 卬Iw2 .若對(duì)某個(gè)確定的x及任意的ye W，總有(x, y) = 0成立， 則稱x與w正交，記作x W -例 2.3設(shè)W1= (x,y,0)1x, y e R,w2=(0,0, Z)1Z e R ,則容易得可和嗎均為R 3的子空間，且叫 w2 -定理2.3設(shè)wJw2,.,w是歐氏空間V的子空間，且兩兩 正交，則叫+ w2 +. +卬是直和

13、.證明設(shè)一 W, (i = 1,2,s)且aa2 + a=o，分別用ai在上式兩邊作內(nèi)積，得(a , a ) = 0，即a= 0(i = 1,2,s),即iiiw + W2+w是直和.定義2.6設(shè)可和嗎是歐氏空間v的兩個(gè)子空間，若W 1W，且 W + W = v， 則稱 W與W互為正交補(bǔ)，記作W = W1 或12121212叫W2 = v 定理2.4歐氏空間v的任一個(gè)子空間w，都存在唯一 的正交補(bǔ)w 1.證明 先證存在性.設(shè)） 2., e m是子空間W的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 正交基，則可以擴(kuò)充為v的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基：e ,e ,e ,e ,e，顯然：w 1 = l(e，,e)m+1n12 ,m m +1n再

14、證唯一性.設(shè)w與w都是w的正交補(bǔ)，則v = W W，12v = W W2，令任意的 x e W2, X 豐 o，貝 UX 電 W，且(x, y ) = 0, V ye W，所同理有W1 u W2 .因此得 W1 = W2 定理2.4既證明了歐氏空間中任意子空間的正交補(bǔ)是存 在且唯一的，又給出了正交補(bǔ)的計(jì)算方法.另外，v中的任 一向量X都可唯一地分解為x - y + z, y e W, z e W1 由此可引進(jìn)正投影的概念定義2.7設(shè)x是歐氏空間v中任意的一個(gè)元素（向量），W是v的一個(gè)子空間，且x被分解為x - y + z, y e W, z e W1.，則稱y 元素（向量）為x元素（向量）在子

15、空間W上的正投影（又稱 內(nèi)投影）.顯然（W1） 1-W，故z為元素（向量）x在W1上的正 投影例2.4設(shè)W-（x ,0,0） x e R ，則W 是 R 3的一個(gè)子空間，且它的正交補(bǔ)為W,=(0, y, z)| y, z e R .若a=(,b, c) e R3，a在w上的 正投影為(,0,0)，在w 上的正投影為(0, b, c).3實(shí)內(nèi)積空間的同構(gòu)定義3.1設(shè)v與u是兩個(gè)歐氏空間，若存在v到u的一個(gè) 對(duì)應(yīng)a，使o (a + 0) = o (a) + o (0), Va, 0 e V;o (a),o (0) e Uo (ka) = ko (a), Va e V, Vk e R;ko (a)

16、e U (o (a),o (0 ) = (a, 0), Va, 0 e V;o (a),o (0) e U則稱o為V到U的一個(gè)同構(gòu)映射，并稱歐氏空間V與U同構(gòu)同構(gòu)作為歐氏空間的關(guān)系與線性空間的同構(gòu)相同，因此 有：同構(gòu)的有限維歐氏空間必有相同的維數(shù)；任意一個(gè)維 歐氏空間均與R”同構(gòu)此外，歐氏空間的同構(gòu)還具有以下性質(zhì)：反身性：任意 一個(gè)歐氏空間V均與自己同構(gòu)；對(duì)稱性:若V與V，同構(gòu)，則V，與 V同構(gòu)；傳遞性:若V與V，同構(gòu)，V，與V同構(gòu)，則V與V同構(gòu)事實(shí)上，(1) V到V的恒等映射是一個(gè)同構(gòu)映射；設(shè)o是V到V，的同構(gòu)映射，記。一1為o的逆映射，則對(duì)Va, 0 e V 有g(shù)(o(a) + o(p)

17、= g(o(a + p) = a + 0 =g(o(a) + o-i(o(p)，o-i(ko(a) = o-i(o(ka) = ka = ko-i(o(a)，9 一 19 (a),o - 19 (P) = (a, P) = 9 (a),o (P)， 即。一1是V，到V的一個(gè)同構(gòu)映射.) 傳遞性的證明留作習(xí)題正交變換與對(duì)稱變換正交變換與正交矩陣定義4.1設(shè)V是一個(gè)歐氏空間，a是V上的線性變換， 如果對(duì)任意的元素(向量)a, Pe V，均有(。(a), a (P)二(a, P)成立, 則稱a是V上的一個(gè)正交變換例如，恒等變換是一個(gè)正交變換，坐標(biāo)平面上的旋轉(zhuǎn)變 換也是一個(gè)正交變換正交變換可以從以下幾

18、個(gè)方面來(lái)刻 畫定理4.1設(shè)a是歐氏空間V上的一個(gè)線性變換，則下列 命題是等價(jià)的：a是一個(gè)正交變換；(2)保持元素(向量)的長(zhǎng)度不變，即對(duì)任意的ae V，有a (a)| 二 |a ；v中的任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基在下的象仍是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 正交基；在任一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣，即AAt = At A = E ,證明 采用循環(huán)證法。(1) n (2)若a是一個(gè)正交變換，則對(duì) Va, Pe V，有(。(a ),。(P)二(a, P)，取 Ja，有 (o (a),o (a) = (a, a)即 卜(a)|2 二 |a |2，也即0(a)| = a| ,n設(shè) )2,.是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，貝U(0()，0(

19、 .) = ( , ) = ： . 一 j，即0( ),0( ),.,O( )是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正 TOC o 1-5 h z i J i J 10, I 牛 j12n交基.n（4）及=（1）證明略.推論：正交變換與正交矩陣有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系2 22例4.1V V3，試判斷a是否為正交矩陣?0 - 2 血 13322-26 31 0 0解因?yàn)锳AT = at A10 1 0 I， 所以A是正交矩陣.0 0 1此外,正交矩陣還具有以下性質(zhì)：正交矩陣是可逆矩陣, 且det A二1或-1 ；正交矩陣的逆矩陣仍是正交矩陣；兩個(gè)正交 矩陣的乘積仍是正交矩陣；實(shí)方陣A為正交矩陣的充要條件 是：A的行（或列）向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組2對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣定義4.2設(shè)o是歐氏空間V上的一個(gè)線性變換，若對(duì)Va, Pe V，均有（o （a）, P ）二（a