1、第七章第七章參參 數(shù)數(shù) 估估 計計學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求1 掌握參數(shù)估計的基本原理掌握參數(shù)估計的基本原理2 理解并掌握一個總體參數(shù)的區(qū)間估計理解并掌握一個總體參數(shù)的區(qū)間估計3 理解兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計理解兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4 掌握估計總體均值時樣本容量的確定掌握估計總體均值時樣本容量的確定第一節(jié)第一節(jié) 參數(shù)估計的基本原理參數(shù)估計的基本原理參數(shù)估計參數(shù)估計(parameter estimation)點估計點估計 (point estimate) n 是總體分布的一個待估參數(shù)，根據(jù)隨機樣本X1，X2，Xn，估計 的統(tǒng)計量為：n根據(jù)樣本觀察值x1，x2，xn，得到 的估計值：12()nX ,X ,.

2、,X區(qū)間估計區(qū)間估計（概念要點）（概念要點）n1.根據(jù)一個樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計范根據(jù)一個樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計范圍圍2.例如例如: 總體均值落在總體均值落在5070之間，置信水平為之間，置信水平為 95%n將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平比例稱為置信水平( (置信度置信度) )。 n表示為表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例 n常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相應(yīng)的相應(yīng)的 為為0.01，0

3、.05，0.10置信水平置信水平 (confidence level)置信區(qū)間與置信水平置信區(qū)間與置信水平用某種方法構(gòu)造的所有區(qū)間中，有用某種方法構(gòu)造的所有區(qū)間中，有95%的區(qū)間的區(qū)間包含總體參數(shù)的真值，包含總體參數(shù)的真值，5%的區(qū)間不包含，該的區(qū)間不包含，該區(qū)間稱為置信水平為區(qū)間稱為置信水平為95%的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。根據(jù)樣本得到的多個區(qū)間根據(jù)樣本得到的多個區(qū)間75 % 的區(qū)間包的區(qū)間包含含 . 2525 %的區(qū)間的區(qū)間不包不包含含 .置信區(qū)間的表述置信區(qū)間的表述 (confidence interval)置信區(qū)間的表述置信區(qū)間的表述 (confidence interval)置信區(qū)間的

4、表述置信區(qū)間的表述 (95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間)判斷點估計的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)判斷點估計的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)無偏性無偏性(unbiasedness)n無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)被估計的總體參數(shù). 有效性有效性(efficiency)對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量 ，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計量更有效，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計量更有效一致性一致性(consistency)n一致性：隨著樣本容量的增大，估計量一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的的值越來越接近被估計的總體參數(shù)值越來越接近被估計的總體參數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 一個總體參數(shù)的一個總

5、體參數(shù)的區(qū)區(qū) 間間 估估 計計已知總體方差求總體均值的已知總體方差求總體均值的置信區(qū)間置信區(qū)間總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知，方差已知， (n 30)1 - /2 /2置信區(qū)間隨機變量22P1XZXZnn 確定數(shù)值常用置信水平的常用置信水平的Za/2值值置信水平aa/2Za/290%0.100.051.64595%0.050.0251.9699%0.010.0052.58區(qū)間估計的圖示區(qū)間估計的圖示總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析例題分析) 【例【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)

6、的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10克。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析例題分析) 該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44克109.28克之間解：解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%

7、，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為n假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差() 未知 小樣本n總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為未知總體方差求總體均值的未知總體方差求總體均值的置信區(qū)間置信區(qū)間n使用 t 分布統(tǒng)計量 /2 /21 - 總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析例題分析) 【例【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(小時)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 151015201480150014501480151015201480149015

8、3015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計(例題分析例題分析) 該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時1503.2小時解：解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體分布總體分布樣本量樣本量 已知已知 未知未知大樣本小樣本大樣本總體均值區(qū)間估計與方差未知的置信區(qū)間不一樣總體比例的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似np(成功次數(shù))和n(1-p)(失敗次數(shù))均應(yīng)該大于5總體比例的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計（例題分析）（例題分析）未知總

9、體均值求總體方差的未知總體均值求總體方差的置信區(qū)間置信區(qū)間n估計一個總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差n假設(shè)總體服從正態(tài)分布n總體方差 2 的點估計量為S2,且n 總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計(圖示圖示)未知總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計(例題分析例題分析) 【例【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表7所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.010

10、8.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計(例題分析例題分析) 解解:已知n25，1-95% ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得s2 =93.21 2置信度為95%的置信區(qū)間為401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025. 022n該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7.54克13.43克第三節(jié)第三節(jié) 兩個總體參數(shù)的兩個總體參數(shù)的區(qū)區(qū) 間間 估估 計計兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計兩個樣本均值之

11、差的抽樣分布兩個樣本均值之差的抽樣分布 總體總體1總體總體2抽取簡單隨機樣抽取簡單隨機樣樣本容量樣本容量 n1計算計算X1抽取簡單隨機樣抽取簡單隨機樣樣本容量樣本容量 n2計算計算X2計算每一對樣本計算每一對樣本的的X1-X2所有可能樣本所有可能樣本的的X1-X2 11 2 2兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計 ( 1 12 2、 2 22 2 已知已知)n1.假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個總體都服從正態(tài)分布若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)2.兩個獨立樣本均值之差的抽樣分布服從正態(tài)分布，其期望值為兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計 ( 1

12、12 2、 2 22 2 已知已知)3.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Z兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計（實例）（實例）n【例【例】一個銀行負(fù)責(zé)人想知道儲戶存入兩家銀行的錢數(shù)。他從兩家銀行各抽取了一個由25個儲戶組成的隨機樣本，樣本均值如下：銀行A：4500元；銀行B:3250元。設(shè)已知兩個總體服從方差分別為A2=2500和B2=3600的正態(tài)分布。試求 A- B的區(qū)間估計n（1）置信度為95%n（2）置信度為99%BA兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計（計算結(jié)果（計算結(jié)果） 第三節(jié)第三節(jié) 樣本容量的確定樣本容量的確定估計總體均值時樣本容量的確定估計總體均值時樣本容量的確定 n為什么要確定樣本容量？擴大置信區(qū)間可以提高估計的可靠度，但過寬的置信區(qū)間的實際意義不大；如果既想縮小置信區(qū)間，又想不降低置信程度，就需要增加樣本容量；但樣本容量增加太多，會增加增加調(diào)查工作量；因此需要確定一個適當(dāng)?shù)臉颖救萘?。估計總體均值時樣本容量的確定估計總體均值時樣本容量的確定（已知總體的方差）（已知總體的方差）設(shè) 的最大值為E在大樣本時，