1、2022-5-20說明(shumng)：這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用冪級數(shù)解法解出用冪級數(shù)解法解出所謂冪級數(shù)解法，就是在某個任意點所謂冪級數(shù)解法，就是在某個任意點Z0Z0的鄰域上，把待求的的鄰域上，把待求的解表為系數(shù)待定的冪級數(shù)，代入方程以逐個確定系數(shù)解表為系數(shù)待定的冪級數(shù)，代入方程以逐個確定系數(shù)冪級數(shù)解法是一個比較普遍的方法，適用范圍較廣，可借助冪級數(shù)解法是一個比較普遍的方法，適用范圍較廣，可借助于解析函數(shù)的理論進行討論于解析函數(shù)的理論進行討論求得的解既然是級數(shù)，就有是否收斂以及求得的解既然是級數(shù)，就有是否收斂以及

2、(yj)(yj)收斂范圍收斂范圍的問題的問題. . 盡管冪級數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應用于微分方程的盡管冪級數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應用于微分方程的求解問題中求解問題中第1頁/共47頁第一頁，共48頁。2022-5-20如果(rgu)方程（9.1.1）的系數(shù)函數(shù) 和在選定(xun dn)的點的鄰域(ln y) 中是解析的，則點0z方程（9.1.1）的常點. 如果選定的點 0z)(zp)(zq是或的奇點，則點 0z叫作方程（9.1.1）的奇點 叫作1方程的常點和奇點概念第2頁/共47頁第二頁，共48頁。2022-5-202. 常點鄰域(ln y)上的冪級數(shù)解定理定理9.1.1 若方程(fng

3、chng)（9.1.1）的系數(shù) )(zp)(zq0z和為點的鄰域(ln y)中的解析函數(shù)， 則方程在這圓中存在唯一的解析解 滿足初始條件，其中是任意給定的復常數(shù)，第3頁/共47頁第三頁，共48頁。2022-5-20故可以(ky)把它表示為此鄰域上的泰勒級數(shù). 0zRzz0既然(jrn)線性二階常微分方程在常點的鄰域(ln y)上存在唯一的解析解， （9.1.2）其中為待定系數(shù) 第4頁/共47頁第四頁，共48頁。2022-5-20為了確定(qudng)級數(shù)解（9.1.2）中的系數(shù)，具體的做法是以 （9.1.29.1.2）代入方程（）代入方程（9.1.19.1.1），合并），合并(hbng)(hb

4、ng)同冪項，同冪項，令合并令合并(hbng)(hbng)后的系數(shù)后的系數(shù)分別(fnbi)為零，找出系數(shù)012,ka a aa之間的遞推關(guān)系， 最后用已給的初值，來確定各個系數(shù) 從而求得確定的級數(shù)解 下面以階勒讓德方程為例，具體說明級數(shù)解法的步驟 第5頁/共47頁第五頁，共48頁。2022-5-209.1.29.1.2常點鄰域常點鄰域(ln y)(ln y)上的冪級數(shù)解法上的冪級數(shù)解法 勒讓德方程勒讓德方程的求解的求解注：注： （參考書上（參考書上9.19.1節(jié)內(nèi)容節(jié)內(nèi)容(nirng)(nirng)，特別是書上，特別是書上226-228226-228頁內(nèi)容頁內(nèi)容(nirng)(nirng)由分

5、離變量法得到了勒讓德方程，下面(xi mian)討論在 鄰域上求解l階勒讓德方程 第6頁/共47頁第六頁，共48頁。2022-5-20故方程(fngchng)的系數(shù) 在 00 x，單值函數(shù)(hnsh) ，均為有限值，它們(t men)必然在00 x解析 第7頁/共47頁第七頁，共48頁。2022-5-2000 x是方程的常點根據(jù)(gnj)常點鄰域上解的定理，解具有(jyu)泰勒級數(shù)形式：（9.1.3） 泰勒級數(shù)(j sh)形式的解，將其代入勒氏方程可得系數(shù)間的遞推關(guān)系 （9.1.4）第8頁/共47頁第八頁，共48頁。2022-5-20因此因此(ync)(ync)，由任意常數(shù)，由任意常數(shù) 可計算

6、可計算(j sun)(j sun)出任一系數(shù)出任一系數(shù) 偶次項的系數(shù):20(2)(22)(1)(3)(21)( 1)(2 )!mml llmlllmaam 奇次項的系數(shù) 211(1)(3)(21)(2)(4)(2 )( 1)(21)!mmlllmlllmaam 第9頁/共47頁第九頁，共48頁。2022-5-20將它們(t men)代入解的表達式中，得到勒讓德方程解的形式 (9.1.7)其中(qzhng)分別是偶次項和奇次項組成(z chn)的級數(shù)第10頁/共47頁第十頁，共48頁。2022-5-20不是(b shi)整數(shù)時 ( )lp x( )lq x無窮(wqing)級數(shù)，容易求得其收斂半

7、徑均為1 時， ( )lp x( )lq x發(fā)散(fsn)于無窮 是非負整數(shù) 遞推公式（9.1.4） 是偶數(shù)時， ( )lp x是一個n次多項式，但函數(shù) ( )lq x1x為在 處發(fā)散至無窮的無窮級數(shù) 是奇數(shù)時， ( )lq x( )lp x1x是次多項式，而仍然是在處無界的無窮級數(shù) l 是負整數(shù)時 ( )lp x( )lq x一個是多項式，另一個是無界的無窮級數(shù) 第11頁/共47頁第十一頁，共48頁。2022-5-20所以(suy)不妨設 導出這個(zh ge)多項式的表達式 ,l是非(shfi)負整數(shù)n（因在實際問題中一般總要求有界解） 把系數(shù)遞推公式（9.1.4）改寫成 (9.1.8)于

8、是可由多項式的最高次項系數(shù)來表示其它各低階項系數(shù)第12頁/共47頁第十二頁，共48頁。2022-5-20取多項式最高次項系數(shù)(xsh)為 (9.1.9)第13頁/共47頁第十三頁，共48頁。2022-5-20這樣(zhyng)取主要是為了使所得多項式在 處取值為1，即實現(xiàn)(shxin)歸一化. 可得系數(shù)(xsh)的一般式為 (9.1.10)因此，我們得出結(jié)論：第14頁/共47頁第十四頁，共48頁。2022-5-20是非(shfi)負偶數(shù)時，勒讓德方程有解 （9.1.11）是正奇數(shù)(j sh)時，勒讓德方程有解第15頁/共47頁第十五頁，共48頁。2022-5-20 (9.1.12)對上述(sh

9、ngsh)討論進行綜合，若用 表示(biosh)不大于 的整數(shù)(zhngsh)部分，用大寫字母寫成統(tǒng)一形式解（9.1.13）第16頁/共47頁第十六頁，共48頁。2022-5-20ln是非(shfi)負整數(shù)時，勒讓德方程的基本(jbn)解組 中只有(zhyu)一個多項式，這個多項式勒讓德多項式 ，也稱為第一類勒讓德函數(shù)； 另一個是無窮級數(shù)，這個無窮級數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù)， 記為大寫的 可以得出它們的關(guān)系（9.1.14）第17頁/共47頁第十七頁，共48頁。2022-5-20經(jīng)過(jnggu)計算后， 可以(ky)通過對數(shù)函數(shù)及勒讓德多項式 表示(biosh)出，所以第二類勒讓德函數(shù)的一般表達

10、式為 (9.1.15)特別地第18頁/共47頁第十八頁，共48頁。2022-5-20可以證明這樣(zhyng)定義的 Q ( )lx，其遞推公式(gngsh)和 P ( )lx的遞推公式具有相同(xin tn)的形式而且在一般情況下勒讓德方程的通解為兩個獨立解的線性疊加第19頁/共47頁第十九頁，共48頁。2022-5-20但是在滿足自然邊界(binji)（即要求定解問題在邊界(binji)上有限）Q ( )lx的形式容易看出(kn ch)，它在端點 1x處是無界的，故必須(bx)取常數(shù) 從而勒讓德方程的解就只有 第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式： 第20頁/共47頁第二十頁，共48頁。2022

11、-5-20綜合(zngh)可得如下結(jié)論：（1）當 l不是整數(shù)(zhngsh)時，勒讓德方程在區(qū)間上無有界的解 （2）當 ln為整數(shù)(zhngsh)時，勒讓德方程的通解為 ，其中 P ( )nx稱為第一類勒讓德函數(shù)（即勒讓德多項式）， 稱為第二類勒讓德函數(shù). 第21頁/共47頁第二十一頁，共48頁。2022-5-20ln為整數(shù)(zhngsh)，且要求在自然邊界條件下(即要求在 有界解的情況下)求解，則勒讓德方程(fngchng)的解只有第一 類勒讓德函數(shù)(hnsh)即勒讓德多項式P ( )nx因為第二類勒讓德函數(shù) Q ( )nx在閉區(qū)間 1 , 1上是無界的第22頁/共47頁第二十二頁，共48頁

12、。2022-5-209.1.3 奇點鄰域的級數(shù)解法：貝塞爾方程(fngchng)的求解前一章分離變量法中，我們引出(yn ch)了貝塞爾方程，本節(jié)我我們來討論這個方程的冪級數(shù)解法(ji f)按慣例，仍以 表示自變量，以 表示未知函數(shù)，則 階貝塞爾方程為 (9.1.18)第23頁/共47頁第二十三頁，共48頁。2022-5-20其中(qzhng)， 為任意(rny)復數(shù)，但在本節(jié)中 由于方程的系數(shù)(xsh)中出現(xiàn) 只限于取實數(shù)。 項，不妨暫先假定 故 為 的奇點。 下面介紹奇點鄰域的冪級數(shù)解法：貝塞爾方程的求解第24頁/共47頁第二十四頁，共48頁。2022-5-20設方程（9.1.18）的一個

13、特解具有下列(xili)冪級數(shù)形式： (9.1.19）其中，常數(shù) c和 ), 2 , 1 , 0(kak可以通過把 y和它的導數(shù) yy ,代入（9.1.18）來確定 第25頁/共47頁第二十五頁，共48頁。2022-5-20將（9.1.19）及其導數(shù)(do sh)代入（9.1.18）后，得化簡后寫成要使上式恒成立，必須使得(sh de)各個 x次冪的系數(shù)(xsh)為零， 從而得下列各式： 第26頁/共47頁第二十六頁，共48頁。2022-5-20 (9.1.20) (9.1.21)(9.1.22)由（9.1.20） 得 ；代入（9.1.21），得 現(xiàn)暫取 ，代入（9.1.22）得 第27頁/共

14、47頁第二十七頁，共48頁。2022-5-20 (9.1.23)因為(yn wi) 01a，由（9.1.23）知： 都可以(ky)用 表示(biosh)，即第28頁/共47頁第二十八頁，共48頁。2022-5-20第29頁/共47頁第二十九頁，共48頁。2022-5-20由此知（9.1.19）的一般(ybn)項為0a是一個(y )任意常數(shù)，令 0a取一個(y )確定的值，就得（9.1.18） 的一個特解我們把 0a取作 這樣選取 0a與后面將介紹的貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關(guān)。 第30頁/共47頁第三十頁，共48頁。2022-5-20 運用(ynyng)下列恒等式 使分母簡化，從而(cng r)，使

15、（9.1.19）中一般項的系數(shù)變成 （9.1.24）以（9.1.24）代入（9.1.19）得到貝塞爾方程(fngchng)（9.1.18）的一個特解第31頁/共47頁第三十一頁，共48頁。2022-5-20用級數(shù)的比值判別式（或稱達朗貝爾判別法）可以(ky)判定 這個級數(shù)在整個數(shù)軸上收斂(shulin)這個無窮級數(shù) 所確定的函數(shù)(hnsh)，稱為 階第一類貝塞爾函數(shù)，記作 (9.1.25）第32頁/共47頁第三十二頁，共48頁。2022-5-20至此(zhc)，就求出了貝塞爾方程的一個特解 另外(ln wi)，當 即取負值時，用同樣(tngyng)方法可得貝塞爾方程（9.1.18）的另一特解

16、（9.1.26）比較（9.1.25）與（9.1.26）可見，只需在（9.1.25）的右端把 換成 ，即可得到（9.1.26）故不論 是正 數(shù)還是負數(shù)，總可以用（9.1.25）統(tǒng)一地表達第一類貝塞爾函數(shù)第33頁/共47頁第三十三頁，共48頁。2022-5-20討論(toln)：(1)當 不為整數(shù)(zhngsh)時，例如 為分數(shù)(fnsh)階貝塞爾函數(shù)： 等,當 時， 第34頁/共47頁第三十四頁，共48頁。2022-5-20故這兩個(lin )特解 J ( )x與 是線性無關(guān)(wgun)的，由齊次線性常微分方程的通解構(gòu)成(guchng)法知道，（9.1.18）的通解為 （9.1.28）其中， 為

17、兩個任意常數(shù) 根據(jù)系數(shù)關(guān)系，且由達朗貝爾比值法故級數(shù) J ( )x和 J( )x的收斂范圍為 第35頁/共47頁第三十五頁，共48頁。2022-5-20(2)當 為正整數(shù)或零時（注:以下(yxi)推導凡用 n即表整數(shù)(zhngsh)）， 故有（9.1.27）稱 為整數(shù)(zhngsh)階貝塞爾函數(shù)易得 第36頁/共47頁第三十六頁，共48頁。2022-5-20需注意在取整數(shù)(zhngsh)的情況下， J ( )nx和 線性相關(guān)，這是因為: 可見(kjin)正、負 n階貝塞爾函數(shù)只相差(xin ch)一個常數(shù)因子 這時貝塞爾方程的通解需要求出與之線性無關(guān)的另一個特解 第37頁/共47頁第三十七頁，

18、共48頁。2022-5-20我們(w men)定義第二類貝塞爾函數(shù)（又稱為諾依曼函數(shù)）為 是一個特解，它既滿足(mnz)貝塞爾方程，又與 J ( )nx線性無關(guān)(wgun) 第38頁/共47頁第三十八頁，共48頁。2022-5-20其中(qzhng)， 為歐拉常數(shù)(chngsh)可以(ky)證明是貝塞爾方程的特解， 且與 J ( )nx線性無關(guān)的.第39頁/共47頁第三十九頁，共48頁。2022-5-20綜述(zngsh)：（1）當 ，即不取整數(shù)(zhngsh)時，其貝塞爾方程的通解(tngji)可表示為J ( )J( )yAxBx（2）不論 是否為整數(shù)，貝塞爾方程的通解都可表示為其中 BA,

19、為任意常數(shù)， 為任意實數(shù) 第40頁/共47頁第四十頁，共48頁。2022-5-209.2 施圖姆劉維爾本征值問題(wnt) 從數(shù)學物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程往往還附有邊界條件，這些邊界條件可以是明確寫出來的，也可以是沒有(mi yu)寫出來的所謂自然邊界條件滿足這些邊界條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定值這些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相應的非零解叫做本征函數(shù)（特征函數(shù)、固有函數(shù)求本征值和本征函數(shù)的問題叫做本征值問題. 第41頁/共47頁第四十一頁，共48頁。2022-5-20常見的本征值問題都可以歸結(jié)為施圖姆(J.C.F. Sturm)劉維爾(J.Liouville)本征值問題，本節(jié)就討論(toln)具有普遍意義的施圖姆劉維爾本征值問題1521施圖姆劉維爾本征值問題(wnt)定義(dngy) 9.2.1施圖姆劉維爾型方程 通常把具有形式 （9.2.1）第42頁/共47頁第四十二頁，共48頁。2022-5-20的二階常微分方程叫作施圖姆劉維爾型方程，簡稱施劉型方程 研究二階常微分方程的本征值問題(wnt)時，對于一般的二階常微分方程 通常乘以適當(shdng)的函數(shù) ，就可以(ky)化成施圖姆劉維爾型