1、第一章有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納一、正數(shù)和負(fù)數(shù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念負(fù)數(shù)：比0小的數(shù)；正數(shù)：比0大的數(shù)。0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)注意：字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù) 時(shí)，-a是正數(shù)；當(dāng)a表示0時(shí)，-a仍是0。強(qiáng)調(diào)：帶正號(hào)的數(shù)不一定是正數(shù)， 帶負(fù)號(hào)的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)。具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量。 習(xí)慣把 “前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，“后退、下降、支出、零下溫度” 等規(guī)定為負(fù).二、有理數(shù)有理數(shù)的概念(1)正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)(0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù))(2)正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)(3)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)注意：

2、冗是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。有限小數(shù) 和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。數(shù)軸(1)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7注意：數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的，同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一；(2)數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點(diǎn)來表示， 正有理數(shù)可用原點(diǎn)正方向的點(diǎn)表 示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)負(fù)方向的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。相反數(shù)(1)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)；0的相反數(shù)是0

3、 ;任何一個(gè)有理數(shù)都有相反數(shù)(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為 0,即：若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0 ；互為 相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上分別位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且與原點(diǎn)的距離相等。(3)在一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)“-”，就得到了這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。a的相反數(shù)是-a o(4)多重符號(hào)的化簡多重符號(hào)的化簡規(guī)律：“+”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡的結(jié)果，可以直接省略；“-” 號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡結(jié)果；即：“ -”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)，“ -”的個(gè) 數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正。絕對(duì)值(1)絕對(duì)值的幾何定義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做a的絕對(duì)值,記作：I a |(2)求絕對(duì)值：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身， 0的絕對(duì)值是0,負(fù)數(shù)的

4、絕對(duì)值是它 的相反數(shù)；可用字母表示為：如果a>0 ,那么|a|二a ;如果a<0，那么|a|二-a ； 如果a=0 ,那么|a|=0?？蓺w納為：aR 時(shí)，回二a (非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù) 是非負(fù)數(shù)。) a00時(shí)，|a|=-a (非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于 其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。)(3)若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于 0,則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為 0。即回+|b|=0 ,則 a=0且b=0。(非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0,則有且只有這幾 個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0)有理數(shù)比大小(1)利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在以向右為正方向的數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大

5、；正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)；(2)數(shù)軸上特殊的最大(小)數(shù)最小的自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù);最小的正整數(shù)是1 ,無最大的正整數(shù);最大的負(fù)整數(shù)是-1 .無最小的負(fù)整數(shù)(3)利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。?兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小；(4)大數(shù)-小數(shù)> 0,小數(shù)-大數(shù)< 0o三、有理數(shù)的加、減法運(yùn)算有理數(shù)加法1 ）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同符號(hào)，并且把絕對(duì)值相加（ 2）異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值大的數(shù)的符號(hào)，并且用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值（ 3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0有理數(shù)的加法運(yùn)算定律加法交換律：兩個(gè)有理數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，a+b=b+a加法結(jié)合律：三

6、個(gè)有理數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再把結(jié)果與第三個(gè)數(shù)相加；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再把結(jié)果與第一個(gè)數(shù)相加，和不變，（a+b ）+c=a+ （ b+c ）如何利用加法運(yùn)算定律對(duì)多個(gè)有理數(shù)相加的運(yùn)算進(jìn)行簡化計(jì)算（ 1 ）同號(hào)結(jié)合相加（正數(shù)+ 正數(shù)、負(fù)數(shù)+ 負(fù)數(shù)）（ 2）互為相反數(shù)的兩數(shù)結(jié)合相加（把相加結(jié)果為零的數(shù)結(jié)合相加）（ 3）幾個(gè)分?jǐn)?shù)相加，將同分母的先結(jié)合相加（ 4）將求和后為整數(shù)的數(shù)先結(jié)合相加（ 5）幾個(gè)帶分?jǐn)?shù)相加，可將整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分分別結(jié)合相加在一個(gè)求和的式子中，通?？梢园选? ”省略不寫，同時(shí)去掉加數(shù)的括號(hào)有理數(shù)的減法根據(jù)相反數(shù)的定義，減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，有理數(shù)的減法可以

7、轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行計(jì)算。引入相反數(shù)的之后，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算。四、有理數(shù)的乘、除法運(yùn)算有理數(shù)乘法（ 1 ）異號(hào)兩數(shù)相乘得負(fù)數(shù)，并把絕對(duì)值相乘；同號(hào)兩數(shù)相乘得正數(shù)，并把絕對(duì)值相乘。（ 2）任何數(shù)與0 相乘都得0有理數(shù)的乘法運(yùn)算定律乘法交換律：兩個(gè)有理數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，它們的積不變。a x b=b xa乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再和另外一個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和另外一個(gè)數(shù)相乘，積不變。a x b x c=a x (b x c)乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和(差)同一個(gè)數(shù)相乘，可以先把兩個(gè)加數(shù)(減數(shù))分別同這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加(減)，積不變。 ax (b

8、+c) =a x b+a Xc倒數(shù)(1)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)；注意：0沒有倒數(shù)；(2)若a,b互為倒數(shù)，則ab=1;(3)求倒數(shù)：求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)就是用 1去除以這個(gè)數(shù)。求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不改變這個(gè) 數(shù)的性質(zhì))；倒數(shù)等于它本身的數(shù)是 1或-1 ;有理數(shù)除法(1)除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。(2)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算(1)乘除混合運(yùn)算往

9、往先將除法化成乘法， 然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。(2)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如果有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)里的，如果無括則按 照先乘除，后加減的順序進(jìn)行，同級(jí)運(yùn)算中，按前后順序從左到右依次運(yùn)算, 誰在前先算誰。五、有理數(shù)乘方乘方的概念：求n個(gè)相同因數(shù)的乘積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕。乘方中，相同的因式叫做底數(shù)，相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)。記作：an，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，an叫做幕乘方的性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕的正數(shù)。(2)正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次幕都是00(3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的奇數(shù)次幕仍互為相反數(shù)，偶數(shù)次幕相等。(4)任何一個(gè)數(shù)的偶數(shù)次幕都是非負(fù)數(shù)。有理數(shù)的混合運(yùn)算做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級(jí)運(yùn)算中，按前后順序從左到右依次運(yùn)算，誰在前先算誰。(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按