1、2016年“大夢杯”福建省初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題1 .在平面直角坐標系xOy中，已知點B(0,2),點A在x軸正半軸上且NBAO=30L將OAB沿直線AB折疊得4CAB,則點C的坐標為()a.(1,何b,(73,3)c.(3,73)d.(V3,i)y【答案】b【解答】如圖，設CD_Lx軸于點Do依題意，CA=OA=2&,/CAO=2/BAO=60葭.所以，cd=3,ad=73,od=73。°。Ax因此，點C的坐標為(4,3)。2 .若實數(shù)a,b滿足a2+3a=2,b2+3b=2,且a0b,則(1+a2)(1+b2)=()A.18B.12C.9D.6【答案】A【解答

2、】依題意，a,b為方程x2+3x-2=0的兩個不同實根。因此，由韋達定理得，a+b=-3,ab=-2。(1+a2)(1+b2)=(1+2-3a)(1+2-3b)=9(1-a)(1-b)=911-(a+b)+ab=9(1+3-2)=180或解：(1+a2)(1+b2)=1+a2+b2+a2b2=1+(a+b)22ab+a2b2=1+9+4+4=18。3.若關于x的方程色+江2+4產=0只有一個實數(shù)根，則符合條件的所有實數(shù)a的x-2x2x-4值的總和為()A.-6B.-30C,-32D,-38【答案】D【解答】方程+4：?；癁?x2+4x+a+8=0,x-2x2x2-4若方程有兩個相等實根，則=1

3、6-8(a+8)=0,a=-6。a=-6時，方程的根x1=x2=-1,符合要求。若x=2是方程的根，則8+8+a+8=0,a=-24,此時，方程的另一個根為x=-4,符合要求。若x=-2是方程的根，則8-8+a+8=0,a=與，此時，方程的另一個根為x=0,符合要求。所以，符合條件的a有-6,-24,-8,其總和為-38。4.如圖，在4ABC中，AB=6,BC=3,CA=7,I為4ABC的內心，連接CI并延長交AB于點D。記ACAI的面積為m,DAI的面積為n,則史=()nmICnIDIC由I為AABC的內心知，ACBC所以，由等比定理知,IDADoBDICACBCACBCIDADBDADDB

4、5.已知x,y為實數(shù),且滿足22x-xy4y+xy+4y2的最大值為M,最小64136311515-xy4y2得x2+4y2=xy+4,u/2+xy+4y=2xy+4。25xy=4xy(xy-4)=(x+2y2)4之4當且僅當x=2y,210y心或5x*10時等號成立。xy的最小值為22u二xxy4y.12一=2xy+4的最小值為,即512m=一o5一,22、，一、23xy=4xy_(x4y_4)=4_(x-2y)<4,當且僅當x=2y,即'6中y=或32,6x=3,y=-6時等號成立。3xy的最大值為4,3u=x2+xy+4y2=2xy+4的最大值為個，即M20一2012136

5、Mm二一一二3515或解：由x2xy+4y2=4,得x2+4y2=xy+4,22u二xxy4y=2xy4。設xy=t，若x=0,則N=4；x#0時，x=y,將y=t代入x2-xy+4y2=4x4t2得xt+2-=4,即x(t+4)x+4t=0,x由=(t+4)2-16t220,解得-4<t<453將t=4代入方程，解彳3x23代入方程，解得x2=C,x=±也。55xy的最大值為4,3最小值為136158208122012因此，M=+4=,m=+4=,M+m=+335535、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6.在平面直角坐標系內有兩點A(1,1),B(2,3),若一

6、次函數(shù)y=kx+2的圖像與線段AB有公共點，則k的取值范圍為【答案】-1<k<-（個人覺得還要補充k¥0,因為是一次函數(shù)）2【解答】易得直線AB對應的一次函數(shù)的解析式為y=2x1。y=2x1由丫，得（k.2）x=3,y=kx2依題意，方程有1WxM2的解。一-3一k-2<0,且1<<2,解得-1<kk-211<-o故k的取值范圍為1EkE。22或通過作圖求解7.如圖,在ABC中，D為BC邊上一點,E為線段AD上一點，延長BE交AC于點F。AEAD工，則2AFAC如圖,過點C作CG/BF交AD的延長線于點ntAFAE則=ACAG又由CG/BE,

7、知ADGCDEB。DGDC3-=一。DEDB2-37AG=ADDG=2DE-DE二-DE。G"22AFAEDE2=0ACAGAG78 .設Xi,X2,X3,Xn是n個互不相同的正整數(shù)，且Xi+X2+X3+L+Xn=2017,則n的最大值是?！敬鸢浮?3【解答】依題意，x1>1,x2之2,x3>3,Xn之n。n(n1)2017=x+x2+x3+L+xn21+2+3+L+n=。2n(n1)于是，2017>,n<63O2又當X1=1,X2=2,X3=3,x62=62,x63=64時，,c_6364X+x2+x3+L+x62+x63=1+2+3+L+62+64=+1=

8、2017。2所求n的最大值為63。OA9 .如圖，AB是OO的直徑，AC是OO的切線，BC父OO于E點，若0A=J5,則AEAB0A（第9題）CE【答案】-55【解答】由AB為。0的直徑知，AE_LBC0設CE=y5m,AB=2y5m。由條件易得ACEsABAE,些=生，AE2=CEEB,即AE2=mEB。AEBE結合AB2=AE2+EB2,得(275m)2=mEB+EB2。（或由射影定理得BA2EB2mEB-20m2=BE=0,AE=2m,AE2mAB2*5mBC,即(2>/5m)2=BE(BE+m)解得EB=4m或EB=-5m(舍去)5=o510.若正整數(shù)x，y,z滿足方程組333x

9、-y-z=3xyz2X=7(y'z),則xyz的最大值為【答案】84【解答】由x3y3z3=3xyz,得333c1,、，、2,、2,、2x-y-z一3xyzp-一z).(xy)(xz)()結合x,y,z為正整數(shù)得，(x+y)2+(x+z)2+(zy)2>0,于是x.2x=7x,x=7,y+z=7。當x=7,y=3,z=4或x=7,y=4,z=3時，xyz有最大值三、解答題(共4題，每小題20分，共80分)11.若關于x的方程x2(a-3)x+a-2=0有兩個不相等的整數(shù)根，求【解答】設xi,x2是方程兩個不相等的整數(shù)根，則xi+x2=a-3,xi.a3,a2均為整數(shù)。因此，a為整

10、數(shù)。,.=(a-3)2-4(a-2)=a2-10a+17=(a-5)2-8為完全平方數(shù)設(a5)2-8=t2(t為整數(shù)，且t之0)。則(a5)2t2=8。于是，(a-5-t)(a-5+t)=8o,由于a5t,a5+t奇偶性相同，且a5tMa5+t。a-5-t-43a-5-t=2i或。a-5t=-2a-5t=4a=2解得a=8或<ot=1t=1經(jīng)檢驗a=2,a=8符合要求。a=2或a=8。另解：設m,n(m<n)是方程兩個不相等的整數(shù)根。，m2-(a-3)m+a-2=0LLL則2c。In-(a-3)n+a-2=0LLL兩式相減，得(m-n)(m+n)-(a-3)(m-n)=00由me

11、n,得m+n=a-3,a=m+n+3。a=m+n+3RA®,得mnm-n1=0。(m1)(n1)=2o,m-1=_2,m-1二1由于m,n為整數(shù)，且men,因此，或,m=-1-當W時，a=m+n+3=2n=0m=21時，a=m+n+3=8。n=3y-z=0。84。a的值。(2=a-2°5分10分15分20分5分10分15分a=2或a=8。20分n-1=-1In-1-212.如圖，H為AABC的垂心，圓O為4ABC的外接圓。點E、F為以C為圓心、CH長為半徑的圓與圓O的交點，D為線段EF的垂直平分線與圓O的交點求證：(1)AC垂直平分線段HE;(2) DE=AB?！窘獯稹?1

12、)解法一：如圖，連結AH,AE,EC0由H為4ABC的垂心知，ZAHC十/ABC=180%由A、B、C、E四點共圓，得/AEC+NABC=180。ZAEC=/AHC0,5分又CH=CE,ZCEH=/CHE,NAEH=/AHE,AE=AH。AC垂直平分線段HEo,10分解法二：作點H關于直線AC的對稱點Go連結AH,AG,GC。則CG=CH,點G在以C為圓心、CH長為半徑的圓上。，,，5分又/AGC=/AHC,H為4ABC的垂心，NAGC=/AHC=180J/ABC,A、G、C、B四點共圓。因此，點G也在圓O上。E、G兩點重合。因此，E、H關于直線AC對稱，即AC垂直平分線段HE0,10分(2)

13、連結CF,BHo依題意有CE=CH=CF。結合D為線段EF的垂直平分線與圓O的交點，知CD為圓O的直徑。DA_LAC0又由(1),以及H為4ABC的垂心知，HE_LAC,BH_LAC0因此，B、H、E三點共線。BE_LACo,15分/DCE=90J/CDE=90©-/CBE=2ACB。/DAEWADBDE=AB。,20分或：通過DAEADB,證明DE=AB?；蛲ㄟ^證明四邊形ADBE等腰梯形，證明DE=AB13 .對于整數(shù)n>3,用邛(n)表示所有小于n的素數(shù)的乘積。求滿足條件邛(n)=22n32的所有正整數(shù)n?！窘獯稹拷夥ㄒ唬喝鬾>11,則11整除中(n),但11不能整除

14、22n32。因此，n>11不符合要求。故，n<110,10分若7<nW11,貝U呼(n)=2x3x5x7=210,由210=22n32,得n=11。,15分若5<6E7,貝11cp(n)=2x3x5=30,由30=22n32,得正整數(shù)n不存在。若3<n<5,貝U(n)=2x3=6,由6=22n32,得正整數(shù)n不存在。若n=3,貝U邛(n)=2,由2=22n32,得正整數(shù)n不存在。滿足條件的正整數(shù)n只有1個，n=11。，,，20分解法二：由5(n)=22n32,得邛(n)1024=22(n48)。由于中(n)是偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)，因此，n48是奇數(shù)。,5分若

15、n4823,則n48含有奇數(shù)的素數(shù)因子p,即p為奇素數(shù)，且p整除n48。由n48<n知，p整除中(n)。由止匕p整除1024,矛盾。故，n48<3,即nW49,且n為奇數(shù)。,10分nE49時，22n-32£22父49-32=1046,(n)<1046o又2M3M5M7=210,2M3M5M7M11=210父11>10460n<110即n=3,5,7,9,11。,15分將n=3,5,7,9,11分別代入中(n)=22n-32驗證，n=3時，(3)=2,22n32=34,不符合要求。n=5時，平(5)=2父3=6,22n32=78,不符合要求。n=7時，5(

16、7)=2父3M5=30,22n32=122,不符合要求。n=9時，(9)=2父3M5M7=210,22n32=166,不符合要求。n=11時，(11)=2黑3M5M7=210,22n32=210,符合要求。滿足條件的正整數(shù)n只有1個，n=11。，,，20分14 .在一個mn(m行，n列，m>1)的表格的每個方格內填上適當?shù)恼麛?shù)，使得：(1)每一列所填的數(shù)都是1,2,3,m的一個排列；(即在每一列中，1,2,3,m這m個數(shù)出現(xiàn)且僅出現(xiàn)1次)(2)每一行n個的數(shù)和都是34。當上述的填數(shù)方式存在時，求(m,n)的所有可能取值?！窘獯稹恳李}意，每列m個數(shù)的和為1+2+3+L+m=m(m+1),共n列。又每行m個數(shù)的和為34所以，m(m+1)Mn=34m,(m+1)n=68=22父17。,5分又m>1。所以，(m,n)=(67,1),(33,2),(16,4),(3,17)。當(m,n)=(67,1)時，每一行1個數(shù)的和互不相同，與(2)矛盾，即符合條件的填數(shù)方式不存在。舍去。記a為第i行，第j列所填寫的數(shù)。當(m,n)=(33,2)時，令a=i,ai2=34i。即當?shù)?列自上而下各行所填的數(shù)依次為1,2,3,33;第2列自上而下各行所填的數(shù)依次為33,32,31,1時，符合要求。,10分當(