1、1. 算符、矩陣表示以及密度矩陣在量子力學(xué)中，算符代表對(duì)波函數(shù)的一種運(yùn)算，當(dāng)我們用一組正交完備的基矢(將波函數(shù)進(jìn)行展開(kāi)時(shí)，算符對(duì)應(yīng)的矩陣表示為：Amn(mAri)對(duì)于密度算符，定義為：(t)|(t)選取具體基矢后，其矩陣表示：mn(t)(m|(t(t)|nCm(t)Cn(t)可以看出密度矩陣對(duì)角元上的值，正好對(duì)應(yīng)系統(tǒng)出于該基矢對(duì)應(yīng)態(tài)的概率。由歸一化條件：Tr()CnCn1n算符的平均值可以寫為：Tr(?(3)純態(tài)與混態(tài)：純態(tài)指的是體系處于一個(gè)確定的波函數(shù)所描述的態(tài)，比如：ci)Q)22其中|CiI|C2|1滿足概率幅歸一化條件?；鞈B(tài)指的是有很多個(gè)粒子，我們不確定每個(gè)粒子所處的狀態(tài)，但統(tǒng)計(jì)表明處

2、于某個(gè)態(tài)的比例我們知道，比如:PiP2可以寫成PPP2，但這并不是一個(gè)波函數(shù)，只是表明處于各個(gè)狀態(tài)的概率而已。(這里p1p21滿足概率歸一化條件。)混態(tài)密度矩陣定義為:pkkk吉布斯熵：SkBPiln口Tr(ln)2222波函數(shù)滿足歸一化條件|Ci|c2|1,|di|d211，直積態(tài)就是ABCidi0)|)Gd20)Qdi|l)|)C2d21)仍然是一個(gè)純態(tài)。兩個(gè)體系A(chǔ)和B構(gòu)成的復(fù)合態(tài)，若不是直積態(tài)，則被稱為糾纏態(tài)，例如:AB12f不能寫成兩個(gè)純態(tài)的直積，是一個(gè)糾纏態(tài)(粒子自旋只能朝上，1態(tài)的粒子自旋只能朝下)復(fù)合態(tài)的密度矩陣定義為：ABab)(AB約化密度矩陣：ATrB(AB),BTrA(A

3、B)，這里TrB表示將處于B本征態(tài)的密度矩陣元拿出來(lái)求和。作業(yè)題:a.已知H?世V(x)，求證:2m證：何lp)(T)?1(？)lpl即：t則tp另外：p?不顯含時(shí)間，因此第二項(xiàng)為零，第一項(xiàng)和第三項(xiàng)可以根據(jù)薛定諤方程來(lái)化簡(jiǎn),;H?:,hhH?：hPH?hhih一代入得：xtP；：怖；hh頭：|b?(ihhxV(T)(R(I)(一R)xxxV(x)證畢。b.求證：eABeBA,B期A,Bl證：定義函數(shù)f（）eABeA，在0處進(jìn)行泰勒展開(kāi):令1即得證。c.已知:求證:s(1)證:12寫著玩的），另外:可以證明，函數(shù)s（(1)PjPiPj，f(e?A,BT2（）,Tri(),12s(2）s(12)s

4、()2（這是一個(gè)直積態(tài),S(12)Tr(idjln(12lnidj)i,jTr(s(1)s(s(12)i,j證明如下：引入拉格朗日乘子s()1ln1)Tr(s(2)Tr(In)Tr(12ln12)(i2lnTriIn2)PjInPji,j12)pijInpij在條件Xi,yj,zPijln(pjXi(i,jPijPi)j對(duì)各個(gè)參數(shù)Pij求偏導(dǎo)求零點(diǎn)得：Pijex2“(djlndj)j2)(1)、PiPji,jln(PiPj2Tr()TD（）口（）1Yj(PijiP(2)Yjz1PiP(2)Piji,jz(i,jPijPijPm的條件極值點(diǎn)為1)(1)PiPj(1)PieXiz1eyjjjPji

5、PjPjeyiz1ieXii,jPij11z1ei,jXiyjeejze1(ieXi)(PiP(2)exz1(yj、yej)eiz1eXixieyjz1代入:j于是有:jieyj)z1X1/e(e)(ieyj)Pij即極值點(diǎn)為：pijPi(1)p(2)，注意到這個(gè)極值點(diǎn)在確定的1,2態(tài)下，唯一確定(就是直積態(tài))，j而且s()并不含pj參數(shù)的交叉項(xiàng)，因此二階交叉偏導(dǎo)均為零，二階純偏導(dǎo)均為負(fù)，因此這個(gè)極值點(diǎn)是最大值點(diǎn)，題設(shè)條件要求不是直積態(tài)，則s(1)s(2)s(12)s()。d.如果01,且i2，求證：si(1)2s(1)(1)s(2)1證明：容易證明f(x)xlnx是一個(gè)上凸函數(shù)(f(x)0)

6、x則有f(X1(1)X2)f(X1)(1)f(X2)s1(1)2Tr(1(1)2)(P1i(1)P2i)ln(P1i(1)P2i)i(P1iInP1i)(1)P2iInP2iiis(1)(1)s(2)證畢。2. 路徑積分理論與AB效應(yīng) 傳播子：用來(lái)描述不同時(shí)刻不同狀態(tài)之間的概率聯(lián)系，例如，在坐標(biāo)本征態(tài)下K(rt,rt)表示粒子若在t時(shí)刻處于r則在之后的t時(shí)刻處于r的概率波幅?？紤]到t時(shí)刻粒子不一定百分百在r它有一個(gè)概率分布，概率波幅用波函數(shù)(rt)描述，對(duì)全空間做積分可以得到：(rt)K(rt,rt)(rt)dr從定態(tài)薛定諤方程的解(t)eiH(tt)/h(t，可以得到坐標(biāo)表象下的傳播子表達(dá)式

7、為：K(rt,rt)(r|eiH(t皿|計(jì)傳播子的性質(zhì)：傳播子的組合規(guī)則和傳播子所滿足的方程組合規(guī)則：可以考慮在t與t中加入一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)t1，概率波幅分布(rfj，則(r“)K(rt,rt1)(rf1)dr1K(rt,rt1)KMHt)(rtjdAdrK(rt,rt1)K(rt1,rt)(rt)dr1dr對(duì)比(rt)K(rt,rt)(rt)dr，可以得到:K(rt,rt)K(rt,rt1)K(r|1,rt)dr1也可以進(jìn)一步推廣到n個(gè)節(jié)點(diǎn)上去。所滿足的方程：tt時(shí)，傳播子的物理含義表明，它是一種特殊的波函數(shù)，所以應(yīng)滿足h22薛定諤方程，即：ihK(rt,rt)V(r,t)K(rt,rt)t2m

8、t0)射，求各分波的相粽乳設(shè)柞用勢(shì)校弱妬山搭1*求帽移.敵射波幅和戴面的表達(dá)式.(3用Bom近假計(jì)算散射波幅和截面并與4結(jié)果比較.的根，即iH弓沁一為想川一2爐鑑他利用了唱P3新=M2)具體方法就是對(duì)比有無(wú)中心勢(shì)時(shí)的徑向方程的形式，對(duì)比解趨于無(wú)窮時(shí)的相位。2徑向方程：塑-dRldrrdr(k2|(|1)務(wù))R02其中v(v1)l(l1)h?對(duì)比r的行為：R(kr)十sin(kr|_21l)嚴(yán)krT)下略Born近似Born近似將外勢(shì)場(chǎng)的散射看作是微擾，散射波一級(jí)近似為：帆門expdJtr)-Jd3rXVtr)exp(ifc/)r時(shí)，對(duì)比可以得到：f(伏p)=f(k,kf)=2|da/exp(i

9、g*r)V(r)q=kfkkfk4. 相位與含時(shí)哈密頓量量子絕熱定理及成立條件量子絕熱定理是說(shuō)，如果體系的哈密頓量隨時(shí)間變化的總夠緩慢，初態(tài)為m(0，則體系將會(huì)保持在相應(yīng)的瞬時(shí)本征態(tài)m(t)：上。成立條件為:hm(EnEm)2=1對(duì)所有的nm均成立Berry相位m(C)?Am(R)gdRC其中AR)i；m(R)Rm(R)；：，R為含時(shí)參數(shù)，m(R)為瞬時(shí)本征態(tài)，如果絕熱條件成立，則該相位不依賴于C的路徑。 相互作用圖象對(duì)于力學(xué)量平均值或者說(shuō)概率分布隨時(shí)間的演化，有三種等價(jià)的描述圖像，第一種認(rèn)為體系態(tài)矢(基矢波函數(shù))在演化，而算符沒(méi)有變化，體系態(tài)矢演化遵循薛定諤方程，這被稱為薛定諤圖像；第二種，

10、認(rèn)為態(tài)矢沒(méi)有變化，而力學(xué)量算符在隨時(shí)間演化，演化方程遵循型?包-|?(t),H，被稱為海森堡圖像；第三種叫相互作用dtih圖像，介于前兩者之間，這個(gè)圖像下態(tài)矢和算符都在演化，不過(guò)可以分別對(duì)二者的演化進(jìn)行控制，具體如下:設(shè)HHoH(t),定義算符Fi(t):Fi(t)eiH0hFeiH0t/h定義態(tài)矢：I(t)eiHot/hS(t)態(tài)矢演化方程可以由薛定諤方程推出來(lái)：ihI(t)H|(t)I(t)，其中Hl(t)嚴(yán)如(t)eiHt/h算符隨時(shí)間的演化：Hdtih在相互作用圖像中，算符僅僅隨Ho演化，即只與不含時(shí)部分哈密頓量(一般為初態(tài)bosenkg)2)M)k2(qJk2(q2)k2(q3)k3

11、G)的2)山3)MMMLLLMfermion哈密頓量)有關(guān)，而態(tài)矢只隨Hi(t)演化。這樣對(duì)于微擾(H情況，計(jì)算將會(huì)簡(jiǎn)化很多。5. 二次量子化對(duì)于大量全同粒子構(gòu)成的體系，任何兩個(gè)粒子的交換并不產(chǎn)生新的量子態(tài)，這要求體系波函數(shù)具有相應(yīng)的對(duì)稱性，而簡(jiǎn)單的單粒子本征態(tài)(只于某個(gè)粒子有關(guān)的態(tài))不具備這種對(duì)稱性，因此如果用這樣的單粒子態(tài)基函數(shù)來(lái)描述整個(gè)體系的波函數(shù)，就會(huì)使得波函數(shù)非常復(fù)雜！為了避免這種復(fù)雜性，我們采取另外一種表象一一粒子數(shù)表象，在這個(gè)表象下，我們標(biāo)出所有粒子存在的態(tài)以及態(tài)上的粒子數(shù)，即nknLn-)，其中門嶺表示處于態(tài)的粒子的個(gè)數(shù)。對(duì)應(yīng)于這種表示的滿足交換對(duì)稱性的歸一化波函數(shù)為：Pi4i

12、2qi43LL42(4fe)nkinm其中P為某個(gè)置換操作，在這里對(duì)所有置換求和之后，玻色子波函數(shù)自然滿足玻色子交換對(duì)稱性，而slate行列式自動(dòng)滿足費(fèi)米子交換反對(duì)稱性和泡利不相容原理。產(chǎn)生湮滅算符有好幾種引入方式，結(jié)論是：A. ak門小k?Ln：)卜l|門匕珈?g1)Ln-)aknkink2Lnkm)応|nkink2L(nki1)LrQ這個(gè)對(duì)于玻色子和費(fèi)米子都是成立的，只是對(duì)于費(fèi)米子要考慮nknLnJ)中泡利不相容原理導(dǎo)致的nki只能取0和1，其它值會(huì)導(dǎo)致整個(gè)波函數(shù)為0。B. 對(duì)于玻色子，對(duì)易關(guān)系為：ak,akkk，ak，ak0，ak,ak0對(duì)于費(fèi)米子，對(duì)易關(guān)系為：ak,akkk，ak,a0

13、，ak,ak0C. 粒子數(shù)算符N?kakiaki，且akjnnkzLn-)壓門小k2LnJ許老師講的時(shí)候，給定B和C條件，可以推出A,其實(shí)也可以通過(guò)A和對(duì)稱波函數(shù)推出B和C。下面是部分作業(yè)題(BCA),附在這里：I.證明對(duì)于玻色子：an)Vn|n1),an)JT|n1)證：由對(duì)易關(guān)系：aa,aaaaaaaa,aaaaaaaaaa將粒子數(shù)算符作用到an)這個(gè)態(tài)上：aa(an)(aaaa)n)an)a(nn)(n1)(an)對(duì)比粒子數(shù)算符的含義，知道an)這個(gè)態(tài)的粒子數(shù)應(yīng)該是(n-1),不妨設(shè)：an)cn1)i(nnn)n廠又：(naan)丿*、2cvn(n1ccn1)|c|即：an)Vn|n1)

14、同理可證：an)Jn1|n1)(自己練習(xí)吧。(丿口)o，打的好累。)n.證明對(duì)于費(fèi)米子：a0)1,a1)0,a1)|o),a00aaa1(a0：J則aa(a0；)a0：a(aa0)0的粒子數(shù)為1，不妨設(shè)：a0cl又,0aa0；0(1aa)0.：1c*c1|c|2同理：aT川.寫出一維線性諧振子哈密頓量?21m2x的產(chǎn)生湮滅算符形式。將其它算符化為粒子數(shù)表象下的產(chǎn)生湮滅算符的形式:N單體算符(算符只與一個(gè)粒子相關(guān))：F?(a)a1可以證明：FfkkQak其中fkk:k?kjk,k1N二體算符(算符與兩個(gè)個(gè)粒子相關(guān)):和弘可以證明：2牡2牡26. 角動(dòng)量理論無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)算符：R(n)eingJ/h角

15、動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系：幾山ihjkJk，Ji,J20(J2J2jyJf)對(duì)易關(guān)系對(duì)角動(dòng)量的本征值有很嚴(yán)格的限制，具體說(shuō)來(lái):由于Jz與J2對(duì)易，因此可以定義它們的共同本征態(tài)J2a,b.定義算符：JJxiJy,利用對(duì)易關(guān)系可以證明:J2(Ja,)a(J|a，b)，即Ja,b）是一個(gè)J2本征值為a,b，滿足:Jza,b)bJJxiJyJz(J|a,b)a，Jz本征值為a,b.-(bh)(J|a,b)（bh），可以設(shè)為ca,bh，c是適當(dāng)?shù)臍w一化系數(shù)。J即可以看作Jz的升降算符（總角動(dòng)量不變）11另外，由于j2j2j2j2(jjjj)(Jjjj22）是正定的,本征值非負(fù)，即ab20。這說(shuō)明存在根據(jù)0J0

16、J(J聯(lián)立可得:這意味著2ahl(la,bkh：使得J(Ja,ba,bkh0；a,b*h；使得Ja,bkh；a,bkh：)kh)(J2(J2JzJ；hJz)a,b-khhJz)a,bkha(b*h)2h(bkh)(bkh)2h(bkh)b匕(kk_2,23kkh2()(23k2-1)b只能取h的整數(shù)倍或者半整數(shù)倍，不妨設(shè)為mh，同樣可以設(shè)i），這樣就可以用i,m來(lái)標(biāo)記本征態(tài)。在這個(gè)標(biāo)記下容易驗(yàn)證:J2l,m；h2l(l1)l,m，Jzl,mmhl,m：l,m.h2(lm1)(lm)Jl,m；h.(lm1)(lm)l,m1；|c|2(l,mJJl,mh2(lm1)(lm)Jl,m；仏(|1)(|

17、m)l,m1角動(dòng)量的耦合。OOOOOO我選擇死亡！矢量算符與張量算符矢量算符Vj滿足：D?(R)VjD(R)仆j其中D(R)是轉(zhuǎn)動(dòng)算符，Rj為轉(zhuǎn)動(dòng)的矩陣表示元素。rr.rr考慮無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)：D(n)ejngJ/h1，代入得:hViVj,JenVjRj(4)ihj100得:選擇轉(zhuǎn)軸z,即n(0,0,1)，則R(,z)10，代入并使001Vz,Jz0Vy,JzIhVyVy,JzIhVx同理可選擇x軸和y軸，分別得到對(duì)易關(guān)系，綜合起來(lái)為：Vi,JjIijkVk可以由此驗(yàn)證坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符都是矢量算符。張量算符Tq(k)滿足：(q取值-k到k)D?(R)T,k)D(R)D；qk)(R)Tq(k)qrr

18、irr同樣考慮無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)：D(4)e1ngJ/h1，hD；qk)Dqkq)(R1)(kq(1LrgJ)kqqkqncJkq)hh可以將D?(R)Tq(k)D(R)Dqqk)(R)Tq(k)化為：ngJ,Tq(k)Tq(M：kqngJkqqq經(jīng)過(guò)選擇轉(zhuǎn)軸之后可以得到對(duì)易關(guān)系：(例如對(duì)于z軸，n(0,0,1)，則Jz，Tq(k)Tq(k).；kqJzkqhqTq(k)kqkqhqTq(k)qqJx和jy進(jìn)行組合之后可以得到另外一個(gè)對(duì)易式)(k)(k)Jz,TqhqTqJ,Tq(k)h(kmq)(kq1)Tq畀VxiVy：2VxiVy可以證明矢量算符V的線性組合Vq:VVVoVz滿足t/）的張量算符對(duì)易形式。7. 量子體系的對(duì)稱性Noether定理：連續(xù)的對(duì)稱性變換必定對(duì)應(yīng)某個(gè)守恒量或者運(yùn)動(dòng)常數(shù)。時(shí)間平移不變對(duì)應(yīng)能量守恒