1、返回第八節(jié)第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 一、以一、以2 l 為周期的函數(shù)的為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)傅里葉展開(kāi) 二、典型例題二、典型例題返回一、以一、以2l2l為周期的傅氏級(jí)數(shù)為周期的傅氏級(jí)數(shù)定理定理式式為為則則它它的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)定定理理的的條條件件滿(mǎn)滿(mǎn)足足收收斂斂的的周周期期函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)周周期期為為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 為為其其中中系系數(shù)數(shù)nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln ), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln 證明證明,lxz

2、 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 設(shè)設(shè).2)(為為周周期期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn 返回)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其其中中)()(xfzFlxz ),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn 返回一、以一、以2l2l為周期的傅氏級(jí)數(shù)為周期的傅氏級(jí)數(shù)定理定理式式為為則則它它的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)定定理理的的條條件件滿(mǎn)滿(mǎn)足足收收斂斂的的周周期期函函數(shù)

3、數(shù)設(shè)設(shè)周周期期為為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 為為其其中中系系數(shù)數(shù)nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln ), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln ,)()1(為為奇奇函函數(shù)數(shù)如如果果xf,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 為為其其中中系系數(shù)數(shù)), 2 , 1( n返回,)()2(為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果xf則有則有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2為為其其中中系系數(shù)數(shù)), 2 , 1 , 0( n返回二

4、、典型例題二、典型例題k2 xy2044 例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 4 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在)2 , 2 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 20020)(xkxxf, 將其展將其展成傅氏級(jí)數(shù)成傅氏級(jí)數(shù).解解., 2 滿(mǎn)滿(mǎn)足足狄狄氏氏充充分分條條件件 l 2002021021kdxdxa,k ), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln ), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln 返回 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)

5、)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln ), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln 返回例例 2 2 將將函函數(shù)數(shù) 15510)( xxxf展展開(kāi)開(kāi)成成傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).解解,10 xz作變量代換作變量代換155 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的的定定義義補(bǔ)補(bǔ)充充函函數(shù)數(shù) zzzF, 5)5( F令令)10()( TzF作作周周期期延延拓拓然然后后將將,收斂定理的條件收斂定理的條件這拓廣的周期

6、函數(shù)滿(mǎn)足這拓廣的周期函數(shù)滿(mǎn)足).()5, 5(zF內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于且且展展開(kāi)開(kāi)式式在在 返回x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x返回小結(jié)小結(jié) 求傅氏級(jí)數(shù)的步驟：求傅氏級(jí)數(shù)的步驟：1。畫(huà)圖形，判斷函數(shù)是否滿(mǎn)足狄氏條件；。畫(huà)圖形，判斷函數(shù)是否滿(mǎn)足狄氏條件；2。求出傅氏系數(shù)；。求出傅氏系數(shù)；3。寫(xiě)出傅氏級(jí)數(shù)，并注明它在何處收斂于。寫(xiě)出傅氏級(jí)數(shù)，并注明它在何處收斂于f(x);1. 對(duì)于周期函數(shù)，奇函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù)；偶函數(shù)對(duì)于周期函數(shù)，奇函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù)；偶函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù)。的傅氏級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù)。2。對(duì)于定義在。對(duì)于定義在 上的函數(shù)，展開(kāi)前必須以上的函數(shù)，展開(kāi)前必須以 為周期拓為周期拓廣函數(shù)的定義域；廣函數(shù)的定義域；),(lll 23。對(duì)于定義在。對(duì)于定義在 上的函數(shù)，其拓廣形式及傅里葉級(jí)數(shù)上的函數(shù)，其拓廣形式及傅里葉級(jí)