1、曲率、撓率 Frenet 標(biāo)架與Frenet 公式一撓率分析從法向量 B(s) 對(duì)弧長(zhǎng) s 求導(dǎo)所得向量 B (s) 的行為由于從法向量是單位向量場(chǎng)，易知 B (s)B(s) ；而由 B(s) = T(s)N(s) 對(duì)弧長(zhǎng) s 求導(dǎo)得B = T N TN = TN T 于是，B N 把 B (s) 在Frenet標(biāo)架 r(s); T(s) , N(s) , B(s) 下的分量抽象出來(lái)，將找到所需要的幾何量定義1 對(duì)于無(wú)逗留點(diǎn)的曲線 C ，稱 B N 為曲線的撓率函數(shù)，其中 B 為從法向量對(duì)弧長(zhǎng)的導(dǎo)數(shù)；當(dāng)撓率非零時(shí)，稱其倒數(shù)為撓率半徑可證習(xí)題2.4.1撓率在容許參數(shù)變換下不變一撓率vB N v對(duì)

2、于無(wú)逗留點(diǎn)的曲線對(duì)于無(wú)逗留點(diǎn)的曲線 C ，稱，稱 B N 為曲線為曲線的撓率函數(shù)，其中的撓率函數(shù)，其中 B 為從法向量對(duì)弧長(zhǎng)的導(dǎo)數(shù)為從法向量對(duì)弧長(zhǎng)的導(dǎo)數(shù)v計(jì)算：按撓率定義和Frenet標(biāo)架的單位正交右手性質(zhì)，v(4.1)B (s) N ，v(4.2) (TN)N (TN ) N (T , N , N ) 一撓率定理定理1 對(duì)曲率非零的曲線對(duì)曲率非零的曲線 C 而言，而言，C 為平面曲線的充要為平面曲線的充要條件是其撓率函數(shù)恒等于零條件是其撓率函數(shù)恒等于零證明由上節(jié)例證明由上節(jié)例4的結(jié)論可知，只要證明的結(jié)論可知，只要證明“從法向量恒等從法向量恒等于常向量等價(jià)于于常向量等價(jià)于“撓率函數(shù)恒等于零撓率

3、函數(shù)恒等于零”， 而這由而這由 B (s) N ，即可得證，即可得證定理定理2 設(shè)無(wú)逗留點(diǎn)的弧長(zhǎng)設(shè)無(wú)逗留點(diǎn)的弧長(zhǎng) s 參數(shù)化曲線參數(shù)化曲線 C: r r(s) 與與 C*: r* r*(s) 合同，則兩條曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)合同，則兩條曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn) r(s) 與與 r*(s) 處的撓率處的撓率 (s) 與與 *(s) 總相等總相等證明與上一節(jié)定理證明與上一節(jié)定理2的證明相同，對(duì)曲線的證明相同，對(duì)曲線 C* 各相應(yīng)量各相應(yīng)量的記號(hào)總打星號(hào)表示，并設(shè)矩陣的記號(hào)總打星號(hào)表示，并設(shè)矩陣 ASO(3) 和位置向量和位置向量 OP (b1 , b2 , b3) ，使，使 一撓率v定理定理2 設(shè)無(wú)逗留點(diǎn)的弧長(zhǎng)設(shè)無(wú)逗

4、留點(diǎn)的弧長(zhǎng) s 參數(shù)化曲線參數(shù)化曲線 C: r r(s) 與與 C*: r* r*(s) 合同，則兩條曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)合同，則兩條曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn) r(s) 與與 r*(s) 處的撓率處的撓率 (s) 與與 *(s) 總相等總相等v證明與上一節(jié)定理證明與上一節(jié)定理2的證明相同，對(duì)曲線的證明相同，對(duì)曲線 C* 各相應(yīng)各相應(yīng)量的記號(hào)總打星號(hào)表示，并設(shè)矩陣量的記號(hào)總打星號(hào)表示，并設(shè)矩陣 ASO(3) 和位置和位置向量向量 OP (b1 , b2 , b3) ，使，使 r = OP + r*A ，T = T*A ，T = T*A ， * 將曲率向量用主法向量表示出來(lái)，則進(jìn)一步有將曲率向量用主法向量表示出來(lái)，則

5、進(jìn)一步有N = N*A ，N = N*A 故由故由 (4.2) 式便知有式便知有 (T , N , N ) (T*A , N*A , N*A) (T* , N* , N*) A (T* , N* , N*) * 一撓率v定理定理1對(duì)曲率非零的曲線對(duì)曲率非零的曲線 C 而言，而言，C 為平面曲線的為平面曲線的充要條件是其撓率函數(shù)恒等于零充要條件是其撓率函數(shù)恒等于零v定理定理2設(shè)無(wú)逗留點(diǎn)的弧長(zhǎng)設(shè)無(wú)逗留點(diǎn)的弧長(zhǎng) s 參數(shù)化曲線參數(shù)化曲線 C: r r(s) 與與 C*: r* r*(s) 合同，則兩條曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)合同，則兩條曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn) r(s) 與與 r*(s) 處的撓率處的撓率 (s) 與與 *

6、(s) 總相等總相等v定理意義：定理意義：v 撓率確實(shí)是刻劃曲線彎曲狀況的又一個(gè)重要的幾何撓率確實(shí)是刻劃曲線彎曲狀況的又一個(gè)重要的幾何量，因而又可稱之為曲線的第二曲率；量，因而又可稱之為曲線的第二曲率；v 又由于撓率體現(xiàn)了密切平面的扭轉(zhuǎn)狀況，通常說(shuō)它又由于撓率體現(xiàn)了密切平面的扭轉(zhuǎn)狀況，通常說(shuō)它表示了曲線的扭曲程度表示了曲線的扭曲程度撓率的計(jì)算v在一般參數(shù)下，撓率的用位置向量表示的計(jì)算公式可以利用復(fù)合求導(dǎo)而由弧長(zhǎng)參數(shù)下的計(jì)算公式 (4.2) 式和 (3.9) 式推出參見(jiàn)習(xí)題 4 ），也可以從 (3.8) 式和 (3.9) 式導(dǎo)出 ( dr dt , d2r dt2 , d3r dt3 ) dr

7、dt d2r dt2 2 例例1對(duì)常數(shù)對(duì)常數(shù) a 0 和常數(shù)和常數(shù) b ，計(jì)算曲線，計(jì)算曲線 r(t) = (a cos t , a sin t , b t) 的撓率的撓率.注意解法有多種：注意解法有多種：可先作弧長(zhǎng)參數(shù)化，再用可先作弧長(zhǎng)參數(shù)化，再用定義式計(jì)算；定義式計(jì)算；或先確定參數(shù)與弧長(zhǎng)參數(shù)或先確定參數(shù)與弧長(zhǎng)參數(shù)的關(guān)系，再利用復(fù)合求導(dǎo)的關(guān)系，再利用復(fù)合求導(dǎo)以及定義式計(jì)算；以及定義式計(jì)算；或代入公式或代入公式 (4.3) 計(jì)算計(jì)算這里采用第二種算法，按這里采用第二種算法，按上節(jié)例上節(jié)例5接著計(jì)算接著計(jì)算二Frenet公式v按照標(biāo)架運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律，對(duì)于無(wú)逗留點(diǎn)的曲線 r ，其Frenet標(biāo)架關(guān)

8、于曲線弧長(zhǎng) s 的運(yùn)動(dòng)公式作微小位移時(shí)的變換公式現(xiàn)在已經(jīng)可以確定為(4.4) dr T ds ； d T N B 0 ds 0 ds 0 ds 0 ds 0 T N B v這組公式稱為曲線論基本方程，它包含了曲線幾何的最基本信息：弧長(zhǎng)，曲率，撓率v 在本章的后續(xù)內(nèi)容中，可以進(jìn)一步體會(huì)出這組公式的重要含義二Frenet公式v曲線論基本方程包含了曲線幾何的最基本信息：弧長(zhǎng)，曲線論基本方程包含了曲線幾何的最基本信息：弧長(zhǎng)，曲率，撓率曲率，撓率v鑒于其重要地位，稱為鑒于其重要地位，稱為Frenet-Serret公式，或簡(jiǎn)稱為公式，或簡(jiǎn)稱為Frenet公式，并通常寫為公式，并通常寫為(4.5) dr d

9、s T ； d ds TNB 0 0 0 0 0 TNB (4.4) dr T ds ； d T N B 0 ds 0 ds 0 ds 0 ds 0 T N B 二Frenet公式在明確了Frenet公式之后，F(xiàn)renet標(biāo)架關(guān)于弧長(zhǎng)的各階導(dǎo)向量在Frenet標(biāo)架下的分量就都可以用曲率、撓率以及它們的各階導(dǎo)數(shù)等幾何量具體表示出來(lái)因而，利用Frenet公式和微積分學(xué)的一般知識(shí)，就有求解曲線幾何問(wèn)題的常用一般步驟：將幾何條件表示成解析表達(dá)式；分析條件，合理進(jìn)行求導(dǎo)或積分等等運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算若干次，尋找所求幾何結(jié)論所對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式；從解析式表述幾何結(jié)論在學(xué)習(xí)過(guò)程中，特別需要注意培養(yǎng)和提高恰當(dāng)?shù)厥褂眠@

10、種步驟的能力二Frenet公式不僅僅局限在曲線幾何上，從更為一般的角度講，上述步驟實(shí)際上是“翻譯和“推演這兩類過(guò)程在進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合和互相提示；這種思維方式是重要的， 適用于一般場(chǎng)合下利用已知知識(shí)參與解決問(wèn)題的過(guò)程， 特別適用于理性的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的求解過(guò)程， 當(dāng)然包括適用于對(duì)曲面幾何問(wèn)題的討論具體的例子，讀者可以回頭總結(jié)前面的相關(guān)例題、定理和公式的證明過(guò)程，直至理論框架典型的使用過(guò)程，也可以參閱第七章6中球面曲線的局部特征定理及其證明本章7中也經(jīng)常使用這些步驟三.曲線的曲率和 Frenet 標(biāo)架一曲率考慮單位切向及其方向相對(duì)于弧長(zhǎng)的變化率定義1曲率向量；曲率；曲率半徑曲率和曲率向量的定義不依賴于正則參數(shù)的選取定理2設(shè)弧長(zhǎng) s 參數(shù)化曲線 C: r r(s) 與 C*: r* r*(s) 合同，則兩條曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn) r(s) 與 r*(s) 處的曲率 (s) 與 *(s) 總相等二Frenet 標(biāo)架在曲線上