1、中考數(shù)學(xué)壓軸題在線：等腰三角形的存在性問題一.問題解讀(1)找點(diǎn)：軌跡為兩圓一線(2)求點(diǎn)：根據(jù)線段相等，分三種情況討論進(jìn)行求解.幾何法：解三角形去進(jìn)行求解；解析法：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式或者勾股定理去進(jìn)行求解.(3)定點(diǎn)：注意題目中的條件或問題是在線段、射線或直線上，還是在x軸、y軸或坐標(biāo)軸上，也需要注意三點(diǎn)要能構(gòu)成三角形，三點(diǎn)不共線.二.例題解析例1.如圖，拋物線y=-x22x+3與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，拋物線y=-x22x+3的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M,問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解

2、析:存在符合條件的P點(diǎn)，由C(0,3),M(-1,0),CM=<10當(dāng)CM=CP時(shí)，P(1,6);當(dāng)MC=MP時(shí)，P2(-1,<10),P4(1,50);當(dāng)5P3i.i-PC=PM時(shí)，連接CR,過C作對(duì)稱軸的垂線，由勾股定理可得綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1,6),2(1，聞)，P3'-1,5(,已(_1,聞).,3此題非常簡(jiǎn)單，利用此題帶著學(xué)生回憶等腰三角形存在性問題的軌跡：兩圓一線，以及在拋物線中的算點(diǎn)坐標(biāo)的過程.例2.已知：RtABC的斜邊長(zhǎng)為5,斜邊上的高為2,將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合(其中OA<OB),直角頂點(diǎn)C

3、落在y軸正半軸上.(1)請(qǐng)直接寫出AB的坐標(biāo)：A、B；并求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；(2)如圖，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P(m,n)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中m>0,n>0),連接DP交BC于點(diǎn)E.當(dāng)4BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).又連接CDCP,CDP是否有最大面積？若有，求出4CDP的最大面的最大面(1)由RtaAOCsRtaCOB,易知，CO2=OAOB=OA(ABOA),2OC=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4.A(-1,0),B(4,0),C(0,2)_1可設(shè)解析式為y=a(x+1)(x-4),將點(diǎn)C(0,0)代入，可求a=-_1(2

4、)E1；,2.1提?。褐本€BC的解析式為y=-3+21y=x2c42c22_x!，y=2設(shè)E(x,y),利用勾股定理和點(diǎn)E(x,y)在直線BC上，可得兩個(gè)方程組1+<y2,x2分別可求E2和E3.z224-xy=2過D作x軸的垂線，交PC于M,易求PC的解析式為y二展x+2,且M12，個(gè)+2j,故SLCDP=SACDM'SADMP=3xP-'xCyM-'yD)112n-4二一xPyM=m2=m-n-222m二m-1-m23m2-2=m25m22225故，當(dāng)m7時(shí),_25CDP最大值=pS1I8/在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)本題主要考查點(diǎn)在一般的直線上的等腰三角形存在性問題.例

5、3.已知拋物線y=a(x-m)2+n與y軸交于點(diǎn)A,它的頂點(diǎn)為B,點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)CD.若點(diǎn)A、B、CD中任何三點(diǎn)都不在一直線上，則稱四邊形ABCM拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線.如圖,若拋物線y=a(x-m)2+n的伴隨直線是y=-2x+b(b>0),且伴隨四邊形ABC此矩形.(1)用含b的代數(shù)式表示mn的值;(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得4PBD是一個(gè)等腰三角形？若存P的坐標(biāo)(用含b的代數(shù)式)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解析：(1)如圖，作BE_Lx軸，由題意可得A(0,b),C(0,-b).拋物線的頂點(diǎn)B(m,n)在y=，x+b(bA0)上

6、,.n=_2m+b,B(m,_2m+b)在矩形ABCM,OC=OB,.OC;oB2即：b2=m2(-2mb)2m(5m-4b)=0m23,n=-2mb=-b5-ib;(2)存在，有4個(gè)點(diǎn):),&9b),qb"b.,一5'5'555b15b,15b，547b,-b4.16fb,本題屬于較難的等腰三角形存在問題，此題可以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)于信息的處理能力以及含參的計(jì)算.真題反饋1 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,4)，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果DOF等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).2 .在平面直角坐標(biāo)系中，一塊含60口角的三角板作如圖擺放，斜邊A

7、B在x軸上,直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A(_1,0).(1)請(qǐng)直接寫出BC的坐標(biāo)：B、C;并求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；設(shè)AE=x,當(dāng)X為何值時(shí)，OCEsOBC;在的條件下探究：拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P使4PEM是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.3 .如圖，已知MBC中，AB=AC=6,BC=8，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E在AC邊上，/ADE=/B.設(shè)BD的長(zhǎng)為x,CE的長(zhǎng)為y.(1)當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，求CE的長(zhǎng)；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍;(3)如果MDE為等腰三角形，求x的值.A4 .已知，一條拋物線的頂點(diǎn)為E(_1

8、,4),且過點(diǎn)A(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是這條拋物線上一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m,且4<m<1,過點(diǎn)D作DK_Lx軸，垂足為K,DK分別交線段AE(1)求這條拋物線的解析式;(2)求證：GH=HK(3)當(dāng)iCGH是等腰三角形時(shí)，求5 .如圖，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q,如果APQ1等腰三角6 .如圖，在"BC中，/C=900,BC=3,AB=5.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿B-C-A-B的方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿J2B的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后

9、立即原速返回，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇后同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)t=秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；(2)在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，APCQ為等腰三角形？7 .如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，直線y=kx1與拋物線交于A、C兩點(diǎn),其中A(_1,0),B(3,0)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3(1)求k的值；(2)求拋物線的解析式；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得4ACP是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.8 .如圖，已知在平行四邊形ABCLfr,AB=5,BO8,cosB=，點(diǎn)P是邊BC5上的動(dòng)點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F(點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè))，射線CE與射線BA交于點(diǎn)G.(1)當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)；(2)聯(lián)結(jié)AP,當(dāng)AP/CG時(shí)，求弦EF的長(zhǎng)；(3)當(dāng)AAGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng).9 .如圖，已知ABC中，AB=AO6,BO8,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，/ADE=/B.設(shè)BD的長(zhǎng)為x,如果ADE為等腰三角形，求x的值.10 .已知四邊形ABCD是矩形，AB=16,BC=12.點(diǎn)E在射線B