1、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法揚中市第二高級中學(xué) 季成龍摘要：本文主要研究了三角函數(shù)一章中所滲透的各種數(shù)學(xué)思想。從其涵義出發(fā)，具體介紹了數(shù)形結(jié)合，方程函數(shù)，以及化歸等解決問題的方法，并通過大量習(xí)題詳細(xì)講解了它們在本章知識中的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，提出了運用數(shù)學(xué)思想探究問題規(guī)律的教學(xué)觀點。 關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)形結(jié)合思想；化歸思想；思維能力 三角函數(shù)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)的各個分支都有廣泛的應(yīng)用，同時也是歷年高考的一個熱點。三角函數(shù)問題中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想，更是值得我們在教學(xué)過程中去開發(fā)和領(lǐng)悟。在三角函數(shù)一章的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)中，熟練掌握以下幾種數(shù)學(xué)思想方法，有助于提高同學(xué)們靈活處理問題

2、和解決問題的能力。一、 數(shù)形結(jié)合思想-數(shù)形結(jié)合思想即運用數(shù)與形的關(guān)系來解決數(shù)學(xué)問題?？梢越柚鷶?shù)的精確性來說明形的某些屬性；也可借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系。體現(xiàn)在三角函數(shù)中是利用單位圓中的三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)定義域、解三角不等式、求單調(diào)區(qū)間、討論方程實根的個數(shù)、比較大小等。例1函數(shù)的定義域是解析：該函數(shù)的定義域即不等式組的解集，即的解集若用傳統(tǒng)方法則要求與的交集，比較麻煩，若畫出的圖象如圖2所示，再由，易得例2求方程實根的個數(shù)解析：此方程為超越方程，可通過數(shù)形結(jié)合法求出方程的實根個數(shù)。在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，如圖3所示，兩個圖象有三個交點,即方程有三個實根。 0yx

3、 二、 函數(shù)與方程思想三角函數(shù)本身就一種特殊的函數(shù)，解決三角函數(shù)問題自然離不開函數(shù)與方程的思想。體現(xiàn)在某些三角函數(shù)問題可用函數(shù)的思想求解參數(shù)的值（范圍）問題；有些三角函數(shù)問題可以直接轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，還有一些三角問題，依據(jù)題設(shè)條件和求角結(jié)構(gòu)，適當(dāng)選取三角公式聯(lián)立組成方程組，以達(dá)到消元求值的目的，這是方程的思想在三角求值、證明等問題中的最佳表現(xiàn)。例3求當(dāng)函數(shù)的最大值為1時的值解析：依據(jù)題設(shè)條件，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的方法求解。設(shè)求函數(shù)的最大值為1時的值等價于求閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最大值為1時的值（1）當(dāng)時，即時，有最大值為，由題設(shè)可知（舍去）；（2）當(dāng)時，即

4、時，有最大值為，由題設(shè)可知=1，解得 （正號舍去）（3）當(dāng)時，即時，有最大值為，由題設(shè)可知綜上可得或例4已知，求的值解法1：直接解方程組若，則，即由得解法2：構(gòu)造一般方程由得：又以為兩個根，構(gòu)造一元二次方程，解得，則，從而三、 轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，實質(zhì)就是實現(xiàn)新問題向舊問題轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，未知問題向已知問題的轉(zhuǎn)化，抽象問題向具體問題的轉(zhuǎn)化等，從而便于找出問題的解決方法。體現(xiàn)在三角函數(shù)中是切化弦、統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱、換元等手段處理求值（域）、最值、比較大小等問題。例5設(shè)為第四象限的角，若，則tan2=_。解析：因為 = = =，所以，t

5、an2=。又因為為第四象限的角，所以tan=，從而求得tan2=。四、 分類討論思想分類討論是一種重要解題策略，“分類”，相當(dāng)于縮小討論范圍，故能使復(fù)雜問題簡單化，從而問題化整為零，各個擊破。體現(xiàn)在三角函數(shù)值受角所在象限的影響，在不同的象限有不同的三角函數(shù)值，因此就應(yīng)根據(jù)求值或求角的需要對角的范圍或參數(shù)的范圍展開有序的討論。例6已知，求的值解析：已知，但不知角所在的象限或終邊落在哪個坐標(biāo)軸上；應(yīng)根據(jù)的值來確定角所在的象限或終邊落在哪個坐標(biāo)軸上，然后分不同的情況來求的值。（1）當(dāng)，即（此時角的終邊在軸上）時，（2）當(dāng)，為第一或第三象限角若角在第三象限，則若角在第三象限，則（3）當(dāng)，為第二或第四象

6、限角若角在第二象限，則若角在第四象限，則綜上所述，當(dāng)角在第一象限、軸的正方向及第四象限角時，當(dāng)角在第二象限、軸的負(fù)方向及第三象限角時，五、 整體的思想整體思想方法是一種重要的思想方法，它把研究對象的某一部分（或全體）看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從中找出解決問題的新途徑，往往能起到化繁為簡，化難為易的效果。體現(xiàn)在三角函數(shù)中主要是整體代入、整體變形、整體換元、整體配對、整體構(gòu)造等進(jìn)行化簡求值、研究函數(shù)性質(zhì)等。例7已知為三角形的一個內(nèi)角，且滿足（1）求的值；（2）求的值解析：由條件和問題聯(lián)想到公式，可實施整體代換求值（1）由平方，得，即因為又因為為三角形的一個內(nèi)角，所以，則因此（2）=以上是對三角函數(shù)一章中如何應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的一點總結(jié)，還有一些思想方法，如換元法，逆向思維法，特例（或特殊值法）等。