1、線性代數(shù)線性代數(shù) 第三章第三章第三章第三章 可逆矩陣可逆矩陣 本章教學(xué)內(nèi)容本章教學(xué)內(nèi)容1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算3 矩陣的秩矩陣的秩1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì) 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.1.可逆矩陣的概念可逆矩陣的概念2.2.可逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣的性質(zhì)1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)1.1.可逆矩陣的概念可逆矩陣的概念考察矩陣方程考察矩陣方程 AX= =C, ,問問X=?=?矩陣不存在除法，怎么辦？矩陣不存在除法，怎么辦？我們自然想到，若存在我們自然想到，若存在B, ,使使B

2、A= =E, ,則有則有 BAX= =BC ，即即 X= =BC不用除法，解方程不用除法，解方程 2 2x=4=4 . 2,421221 xx得得解解1.221 注意到注意到的倒數(shù)的倒數(shù)是是221 B叫做叫做A的的逆矩陣逆矩陣1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)定義定義1.1設(shè)設(shè)A為為n階方陣，若存在階方陣，若存在n階方陣階方陣B，使得，使得 AB=BA=E則稱方陣則稱方陣A為為可逆矩陣可逆矩陣，并稱，并稱B是是A的的逆矩陣逆矩陣，簡稱，簡稱A的的逆逆。注注:可逆矩陣與逆矩陣是同階方陣，非方陣不論可逆矩陣與逆矩陣是同階方陣，非方陣不論及可逆性，方陣不一定可逆。及可逆性，方陣不一定可逆。

3、 例例,0001 A 22122111bbbbB對(duì)任意對(duì)任意 000122122111bbbbBA 001211bb.不可逆不可逆A,1001 1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)注注:可逆矩陣也稱可逆矩陣也稱非退化非退化矩陣，矩陣， 不可逆矩陣稱不可逆矩陣稱退化退化矩陣。矩陣。1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)2. 可逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 可逆矩陣的逆矩陣是唯一的可逆矩陣的逆矩陣是唯一的.證證 設(shè)矩陣設(shè)矩陣B,C均為矩陣均為矩陣A的逆矩陣，則的逆矩陣，則 BA=AB=E, CA=AC=E,于是于是 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C. #記號(hào)記號(hào):

4、A的逆矩陣記做的逆矩陣記做A-1.221,1221 1- 注意到注意到1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)例例 證明證明:初等矩陣可逆且初等矩陣可逆且證證所以命題成立所以命題成立. #)0( )1()(1 kkiPkiP),(),(1jiPjiP ),(),(1kjiPkjiP ,)()1()1()(EkiPkiPkiPkiP ,),(),(),(),(EkjiPkjiPkjiPkjiP ,),(),(EjiPjiP 1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)例例,1011 A,1011 B 10111011AB,1001E 10111011BA,1001E , 1BA 于是于是.1

5、AB .)(11AA . 互逆互逆與與即即BA, 1互逆互逆與與換句話說換句話說 AA1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 若若A可逆，則可逆，則A-1可逆，且可逆，且(A-1)-1=A.證證所以所以A-1可逆，且可逆，且(A-1)-1=A. #性質(zhì)性質(zhì)3證證 #,)1)()(1( 11EAAAA 因因.1)( ,A 11 AA 且且可逆可逆故故,1-1EAAAA .1)(,A11 AA 且且可逆可逆則則0, , 數(shù)數(shù)可可逆逆若若A1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)4 若若A可逆，則可逆，則AT可逆，且可逆，且(AT)-1=(A-1)T.證證 故故 AT可逆

6、，且可逆，且(AT)-1=(A-1)T. #性質(zhì)性質(zhì)5 若若A,B同階且都可逆，則同階且都可逆，則AB可逆，且可逆，且 (AB)-1=B-1A-1 證證故故 AB可逆，且可逆，且 (AB)-1=B-1A-1 . #T1TT1)()( AAAAT1T1T)()( AAAA BAABABAB)()( 1111 1111)()( )( ABBAABAB, TEE ,TEE ,1EBB ,1EAA 1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)注注 一般的，一般的， (AB)-1A-1B-1推論推論1 若若A1, A2, , Am,都是都是n階可逆矩陣，則階可逆矩陣，則推論推論2 若若A可逆，可逆，m為

7、正整數(shù)，則為正整數(shù)，則Am可逆，且可逆，且于是，對(duì)一切整數(shù)于是，對(duì)一切整數(shù)k,l，有，有 AkAl =Ak+l， (Ak)l =Akl.) (11121-121 AAAAAAmmmmAA)()(11 ,mA 規(guī)規(guī)定定1 可逆可逆矩陣的定義及性質(zhì)矩陣的定義及性質(zhì)本節(jié)學(xué)習(xí)要求本節(jié)學(xué)習(xí)要求 理解逆矩陣的概念，熟悉逆理解逆矩陣的概念，熟悉逆矩陣的性質(zhì)，會(huì)矩陣的性質(zhì)，會(huì)用定義驗(yàn)證逆矩陣。用定義驗(yàn)證逆矩陣。作業(yè)作業(yè)：習(xí)題：習(xí)題3.1(A) 第第3題題2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.1.伴隨矩陣與伴隨矩陣與逆矩陣的計(jì)算逆矩陣的計(jì)算2.2.用初

8、等變換求逆矩陣用初等變換求逆矩陣3.3.分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算1.1.伴隨矩陣與伴隨矩陣與逆矩陣的計(jì)算逆矩陣的計(jì)算定義定義2.1 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A=(aij), 元素元素aij在在A 中的代數(shù)中的代數(shù)余子式為余子式為Aij，則矩陣，則矩陣稱為稱為A的的伴隨矩陣伴隨矩陣。 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算定理定理2.1 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，階方陣，A*為為A的伴隨矩陣，的伴隨矩陣，則則 AA*=A*A=AE .證證

9、 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211* nknkknkknknkkkkkknkkkkkkAaAaAaAaAaAaAaAaAa2122212121112 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算定理定理2.1 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，階方陣，A*為為A的伴隨矩陣，的伴隨矩陣，則則 AA*=A*A=AE .證證*AA nknkknkknknkkkkkknkkkkkkAaAaAaAaAaAaAaAaAa212221212111.EA AAA000000. *EAAA 同同理理有有2 可逆矩陣的充要條件與

10、逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算定理定理2.2 方陣方陣A可逆可逆 A0，若若A可逆，則可逆，則證證 若若A可逆，則可逆，則A A-1 =AA-1 =E=1， A 0； 若若A0，由定理，由定理2.1有有所以所以A可逆，且可逆，且定理作用定理作用：判斷：判斷方陣方陣可逆性，求逆陣。可逆性，求逆陣。,)1()1(*EAAAAAA .1*1AAA .1*1AAA 2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算例例 設(shè)設(shè)解解二階方陣的逆有規(guī)律嗎？二階方陣的逆有規(guī)律嗎？1 , 0A , AbcaddcbaA求求,11ddA *11AAA ,21bbA ,12ccA ,

11、22aaA acbdbcad1 15231 123523511 12352 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算例例1 設(shè)設(shè)解解所以所以A可逆可逆. ,343122321 A. ,1 AA且且求求可可逆逆驗(yàn)驗(yàn)證證343122321 A620520321 100520321 , 02 2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算例例1 設(shè)設(shè)解解 ,343122321 A. ,1 AA且且求求可可逆逆驗(yàn)驗(yàn)證證, 2341211 A, 6343221 A, 4123231 A, 3331212 A, 6333122 A, 5123132 A, 24

12、32213 A, 2432123 A, 2222133 A 222563462*A2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算例例1 設(shè)設(shè)解解 ,343122321 A. ,1 AA且且求求可可逆逆驗(yàn)驗(yàn)證證*11AAA 222563462*A 22256346221 1112/532/32312 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算定理定理2.3 方陣方陣A可逆可逆 存在方陣存在方陣B，使，使AB=E. A-1=B.證證 ) 由定義知由定義知.) A B =AB =E=1， A0， A可逆，可逆，且且 A-1=A-1E=A-1(AB)=(A-

13、1A)B=EB=B. #推論推論2.1 設(shè)設(shè)A,B均為均為n階方陣，階方陣，若若AB=E，則，則A,B都可逆，且都可逆，且A-1=B, B-1=A. 推論作用推論作用：論證：論證方陣方陣可逆性，及逆陣形式?？赡嫘?，及逆陣形式。2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算例例2 設(shè)方陣設(shè)方陣A，使，使E+A可逆，且可逆，且B=(E+A)-1(E-A),求求 (E+B)-1.解解 由由B=(E+A)-1(E-A)，得，得(E+A)B=E-A,從而從而E+A+(E+A)B=2E, 即即(E+A)(E+B)=2E,)(21EBEAE ).(21)( 1AEBE 2 可逆矩陣的充

14、要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算2.2.用初等變換求逆矩陣用初等變換求逆矩陣定理定理2.4 方陣方陣A可逆可逆 矩陣矩陣A經(jīng)有限次初等變換經(jīng)有限次初等變換可變成單位矩陣可變成單位矩陣. . 證證 設(shè)設(shè)A的標(biāo)準(zhǔn)形為的標(biāo)準(zhǔn)形為B，即存在初等矩陣，即存在初等矩陣tsQQQPPP,;,2121. 2112BQQAQPPPts 使使0 AA可逆可逆0 B . EB ,2112BQQQAPPPts , 0 , 02112 tsQQQPPP2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算定理定理2.5 方陣方陣A可逆可逆 矩陣矩陣A可表示成有限個(gè)初可表示成有限個(gè)初等矩

15、陣的積等矩陣的積. .證證 ) 方陣方陣A可逆，則可逆，則存在初等矩陣存在初等矩陣P1, P2,Ps,Q1,Q2,Qt，使，使PsP2P1AQ1Q2Qt=E .又初等矩陣的逆矩陣是初等矩陣，所以又初等矩陣的逆矩陣是初等矩陣，所以A是有限個(gè)是有限個(gè)初等矩陣的積初等矩陣的積. .) 若若矩陣矩陣A可表示成有限個(gè)初等矩陣的積可表示成有限個(gè)初等矩陣的積. .由初由初等矩陣可逆知等矩陣可逆知A也可逆。也可逆。 # #. 1112111211 QQQPPPAts即即2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算定理定理2.6 方陣方陣A可逆可逆 矩陣矩陣A經(jīng)有限次初等經(jīng)有限次初等行行

16、變變換可變成單位矩陣換可變成單位矩陣. . 證證 ) 由定理由定理2.4 可知；可知；) 方陣方陣A可逆可逆，則，則A-1可逆可逆，即矩陣即矩陣A經(jīng)有限次初等經(jīng)有限次初等行行變換可變成單位矩陣變換可變成單位矩陣. .推論推論 方陣方陣A可逆可逆 矩陣矩陣A經(jīng)有限次初等經(jīng)有限次初等列列變換變換可變成單位矩陣可變成單位矩陣. . , 21lPPP存在初等矩陣存在初等矩陣11 2 lAPPP使使11 2 lPPPAA AE即即2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算用初等用初等行行變換求逆矩的方法變換求逆矩的方法: :設(shè)方陣設(shè)方陣A可逆可逆 ,則則存在初等矩陣存在初等矩陣

17、,21lPPP11 2 lAPPP使使11 2 ( ,)( ,)lPPP A EAA E有有),(),( 1 AEEA初等行變換初等行變換即即),(1 AE2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算例例4 用初等行變換求矩陣用初等行變換求矩陣A可逆可逆 解解 431341331A 100010001431341331),(EA 1010110011000103313121rrrr,101011337100010001131233 rrrr 1010113371A2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算例例5 解矩陣方程解矩陣方程 AXB=C

18、 ，其中，其中解解 X=A-1CB-1，由例，由例4知知,431341331 A,1010113371 A,3512 B.011001 C,25131*1 BBB2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算解解 X=A-1CB-1，由例，由例4知知,1010113371 A,25131*1 BBB 2513011001101011337X 25130211310 263816452 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算用初等用初等列列變換求逆矩的方法變換求逆矩的方法: :設(shè)方陣設(shè)方陣A可逆可逆 ,則則存在初等矩陣存在初等矩陣,21lPPPlP

19、PPA, 211 使使121, AEAPPPEAl有有 1 AEEA初等列變換初等列變換即即 1AE2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算3.3.分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣設(shè)設(shè)分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣 sAAAA210 21 sAAAAA可逆可逆則則. 112111 sAAAA2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算例例6 求矩陣求矩陣A可逆，可逆， 解解 120130005A ; 2 . 0 )5(111 AA，,3211 1213122 AA，.320110002 . 0 1 A2 可逆矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算可逆

20、矩陣的充要條件與逆矩陣的計(jì)算本節(jié)學(xué)習(xí)要求本節(jié)學(xué)習(xí)要求1.1.理解伴隨矩陣與理解伴隨矩陣與逆矩陣的概念，會(huì)用逆矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣伴隨矩陣求低階可逆矩陣的逆；求低階可逆矩陣的逆；2.2.掌握用初等行變換求逆矩陣的方法，會(huì)解矩陣掌握用初等行變換求逆矩陣的方法，會(huì)解矩陣方程；方程；3.3.掌握分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣的求法；掌握分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣的求法；4.4.理解各定理，知道其作用，熟悉矩陣可逆的理解各定理，知道其作用，熟悉矩陣可逆的充充要條件，會(huì)判斷矩陣是否可逆，要條件，會(huì)判斷矩陣是否可逆，熟悉矩陣與其熟悉矩陣與其伴伴隨矩陣的關(guān)系。隨矩陣的關(guān)系。作業(yè)作業(yè)：習(xí)題：習(xí)題3.2(A) 第第2(2),

21、 8, 11題題3 矩陣的秩矩陣的秩 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.1.矩陣矩陣的秩的概念的秩的概念2.2.用初等變換求矩陣的秩用初等變換求矩陣的秩3.3.矩陣的秩的討論矩陣的秩的討論3 矩陣的秩矩陣的秩1.1.矩陣矩陣的秩的概念的秩的概念定義定義3.1 在在nm矩陣矩陣A中，取某中，取某k個(gè)行及某個(gè)行及某k個(gè)列個(gè)列(1kminn,m)，由這些行與列相交處的元素，由這些行與列相交處的元素(其其位置次序不變位置次序不變)構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)k階行列式，叫做階行列式，叫做A的一個(gè)的一個(gè)k階子式階子式。注注：nm矩陣矩陣A的的k階子式共有階子式共有.個(gè)個(gè)knkmCC 3 矩陣的秩矩陣的秩定義定義3.2 若

22、矩陣若矩陣A的一個(gè)的一個(gè)r階子式的值不等于零，階子式的值不等于零，而所有而所有r+1階子式階子式(存在的話存在的話)的值都等于零，則稱的值都等于零，則稱數(shù)數(shù)r為矩陣為矩陣A的的秩秩，記作，記作R(A)，規(guī)定，規(guī)定R(0)=0.性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)A為為nm矩陣，則矩陣，則 R(A)minn,m； R(AT)=R(A).3 矩陣的秩矩陣的秩例例1(1) 求矩陣求矩陣A的秩的秩解解 A的的2階子式階子式A的的3階子式只有階子式只有A, 174532321A32211 A174532321 A, 01 11101110321312142 rrrr, 0 . 2)( AR3 矩陣的秩矩陣的秩例例1(2) 求

23、矩陣求矩陣B的秩的秩解解 B的的3階子式階子式B的的4階子式都等于階子式都等于0， 00000130005232032011B300220211 , 06 . 3)( BR行階梯形矩陣的秩行階梯形矩陣的秩 =非零行的行數(shù)非零行的行數(shù)3 矩陣的秩矩陣的秩2.2.用初等變換求矩陣的秩用初等變換求矩陣的秩定理定理3.1 若矩陣若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換化為經(jīng)過有限次初等變換化為B，則則 R(A)=R(B).證證：(略略)注注：若將：若將A化為行階梯形矩陣化為行階梯形矩陣B，易知，易知A的秩。的秩。推論推論3.1 若若A B，則則 R(A)=R(B).推論推論3.2 設(shè)設(shè)A為為mn矩陣，矩陣，P為為m

24、階可逆矩陣，階可逆矩陣， Q為為n階可逆矩陣，則階可逆矩陣，則 R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)3 矩陣的秩矩陣的秩例例2 求矩陣求矩陣A的秩的秩解解 43333320126624220121A 23690122302600020121413121322 rrrrrrA3 矩陣的秩矩陣的秩所以所以R(A)=3. 23690122302600020121 2369026000122302012132rr 13000260001223020121423rr 000002600012230201214321rr3 矩陣的秩矩陣的秩3.3.矩陣的秩的討論矩陣的秩的討論概念概念 設(shè)設(shè)A為為

25、mn矩陣，當(dāng)矩陣，當(dāng)R(A)=m時(shí)，稱時(shí)，稱A為為行行滿秩矩陣滿秩矩陣；當(dāng)；當(dāng)R(A)=n，稱，稱A為為列滿秩矩陣列滿秩矩陣。 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，當(dāng)階方陣，當(dāng)R(A)=n時(shí)，稱時(shí)，稱A為為滿秩矩陣滿秩矩陣，當(dāng)當(dāng)R(A)n時(shí)，稱時(shí)，稱A為為降秩矩陣降秩矩陣。特征特征 A滿秩滿秩 A 0 A可逆可逆 A非奇異，非奇異， A降秩降秩 A =0 A不可逆不可逆 A奇異奇異.3 矩陣的秩矩陣的秩定理定理3.2 設(shè)設(shè)A為為mn行滿秩矩陣，則存在行滿秩矩陣，則存在nm列滿秩矩陣列滿秩矩陣B，使，使AB=E.證證 R(A)=mminn,m， mn. 若若n=m，則，則A為滿秩矩陣，為滿秩矩陣，A可逆，取可逆

26、，取B=A-1，有有AB=E，B可逆，可逆，B為為nm列滿秩矩陣。列滿秩矩陣。 若若mn，則由，則由R(A)=m知知A有有m階子式階子式 A1 0,A經(jīng)初等列變換可使經(jīng)初等列變換可使A1位于矩陣的前位于矩陣的前m列，列，即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣P使使 AP=(A1, A2) .,0 11 APB令令 ,0 , 1121EAAAAB 則則3 矩陣的秩矩陣的秩由推論由推論3.2知知即即B為為nm列滿秩矩陣。列滿秩矩陣。 # ,)(0)(1111mARARBR 3 矩陣的秩矩陣的秩例例3 設(shè)設(shè)A為為mn矩陣，矩陣， B為為np矩陣，證明矩陣，證明 R(AB) R(A)+R(B)-n.證證 設(shè)設(shè)R(A)=r，則存在，則存在n階可逆矩陣階可逆矩陣P及及m階可逆階可逆矩陣矩陣Q使使,000 rEPAQ , 211 BBBQ令令BPAQQPAB1 則則 ,)( , 21矩陣矩陣為為矩陣矩陣為為其中其中prnBprB )(AB)PABRR 01BR 21000BBEr 01B)(1BR 3 矩陣的秩矩陣的秩注意到注意到B1是是Q-1B去掉去掉n-r行得到的，而矩陣