1、函數(shù)的單調(diào)性習(xí)題課 那么就說(shuō)在那么就說(shuō)在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)減減函數(shù)函數(shù)，D稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 減減 區(qū)間區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,區(qū)間區(qū)間D I. 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間D上上的的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,區(qū)間區(qū)間D I. 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間D上上的的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2， 那么就說(shuō)在那么就說(shuō)在f(

2、x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增增 函數(shù)函數(shù)，D稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 區(qū)間區(qū)間.增增當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有f(x1 ) f(x2 )，單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間注意：注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對(duì)于區(qū)間必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量?jī)?nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)某個(gè)區(qū)間而言，不函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)某個(gè)區(qū)間而言，不能直接說(shuō)某函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)。能直接說(shuō)某函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)。單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間單調(diào)性

3、與單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間區(qū)間D 叫做叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間：的單調(diào)區(qū)間：(1)(1)這個(gè)單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域這個(gè)單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域 如如y=x在定義域上是增函數(shù)在定義域上是增函數(shù), ,y=-=-x是減函數(shù)是減函數(shù)(2) 這個(gè)單調(diào)區(qū)間也可以是定義域的真子集這個(gè)單調(diào)區(qū)間也可以是定義域的真子集 如如y=x2在定義域上沒(méi)有單調(diào)性在定義域上沒(méi)有單調(diào)性,但在但在(-,0是減函數(shù)是減函數(shù),在在 0,+)是增函數(shù)是增

4、函數(shù).(3)有的函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性區(qū)間有的函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性區(qū)間 )( 1)( 0:是是有有理理數(shù)數(shù)是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)思思考考函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)性性xxy 書(shū)寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，注意區(qū)間端點(diǎn)的寫法。書(shū)寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，注意區(qū)間端點(diǎn)的寫法。對(duì)于對(duì)于某一個(gè)點(diǎn)某一個(gè)點(diǎn)而言，由于它的函數(shù)值是一個(gè)確定的而言，由于它的函數(shù)值是一個(gè)確定的常數(shù)，無(wú)單調(diào)性可言常數(shù)，無(wú)單調(diào)性可言，因此在寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，可以，因此在寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)。包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)。但對(duì)于某些不在定義域內(nèi)的區(qū)間端點(diǎn)，書(shū)寫時(shí)就必但對(duì)于某些不在定義域內(nèi)的區(qū)間端點(diǎn)，書(shū)寫時(shí)就必須去掉端點(diǎn)。須去掉端點(diǎn)。單調(diào)區(qū)間之間必須用單調(diào)區(qū)間之間必須用“，

5、”隔開(kāi)，或者用隔開(kāi)，或者用“和和”連接，但千萬(wàn)不能用連接，但千萬(wàn)不能用“”連接，也不能用連接，也不能用“或或”，“且且”連接。連接。例例1. 指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)72yx(2)24yx (1)72yx 的單調(diào)增區(qū)間是 解解：),(無(wú)單調(diào)減區(qū)間無(wú)單調(diào)減區(qū)間(2)24yx 的單調(diào)減區(qū)間是 ),(無(wú)單調(diào)增區(qū)間無(wú)單調(diào)增區(qū)間歸納：函數(shù)歸納：函數(shù) 的單調(diào)性的單調(diào)性(0)ykxb k單調(diào)增區(qū)間單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間單調(diào)減區(qū)間k0bkxy),(k0 a02yaxbxc,2ba,2ba 2(0)y axbx c a的對(duì)稱軸為2bxa ,2ba ,2ba練習(xí)：判斷函數(shù)練習(xí)：判斷函數(shù)

6、的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。2( )2f xxxxxxxf2)(2 y21o單調(diào)遞增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間：1 ,( ), 1 成果運(yùn)用成果運(yùn)用,12( )4f xxax 若若二次函數(shù)二次函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)遞增，求上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。的取值范圍。 oxy1xy1o解：解：二次函數(shù)二次函數(shù) 的對(duì)稱軸為的對(duì)稱軸為 , ,由圖象可知只要由圖象可知只要 ，即，即 即可即可. . 2( )4f xxax2ax 12ax2a討論函數(shù)討論函數(shù) 在在(-2,2)(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性. .322 axxf(x)變式變式解：解：f(x)的開(kāi)頭方向向上，對(duì)稱軸是的開(kāi)頭

7、方向向上，對(duì)稱軸是x=a，（1）當(dāng)當(dāng)a-2時(shí)，時(shí)，f(x)在在(-2,2)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；（2）當(dāng)當(dāng)-2a2時(shí)，時(shí)，f(x)在在(-2,2)單調(diào)遞減。單調(diào)遞減。變式變式討論函數(shù)討論函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間在區(qū)間(a,a+3)上的單調(diào)性。上的單調(diào)性。課堂練習(xí)1、函數(shù)、函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間在區(qū)間(-，6內(nèi)遞減，內(nèi)遞減，則則a的取值范圍是的取值范圍是( )A、a3 B、a3C、a-3 D、a-3D2、在已知函數(shù)、在已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+1,在在(-，-2上上遞減，在遞減，在-2,+)上遞增，則上遞增，則f(x)在在1,2上的上的值域值域_.21,49例例3.

8、指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1yx1(,0)(0,)yx能不能說(shuō)在定義域上是單調(diào)減函數(shù)?x1yxyO思考思考1：思考思考2：函數(shù)函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間是什么？的單調(diào)區(qū)間是什么？1yx1yx 的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)增區(qū)間是), 0(),0 ,( 歸納：歸納： 在在 和和 上的單調(diào)性上的單調(diào)性？0,(0)kykx,01yx 的單調(diào)減區(qū)間是_ (,0)(0,),解：沒(méi)有單調(diào)增區(qū)間沒(méi)有單調(diào)增區(qū)間 單調(diào)增區(qū)間單調(diào)增區(qū)間 單調(diào)減區(qū)間單調(diào)減區(qū)間 (0)kykx的單調(diào)區(qū)間xky 0k0k(,0)(0,)，(,0)(0,)，證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 利用定義證明函數(shù)利用定義證明

9、函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的上的單調(diào)性的一般步驟：一般步驟： 任取任取x1，x2D，且，且x1x2； 作差作差f(x1)f(x2)；變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）；定號(hào)（即判斷差定號(hào)（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）；的正負(fù)）；下結(jié)論（即指出函數(shù)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）上的單調(diào)性）例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(x)是定義在（是定義在（-，+）上的單調(diào)）上的單調(diào)增函數(shù)，增函數(shù)， 解不等式解不等式 f (2x) f (1+x) 的大小關(guān)系是則上是增函數(shù)，且在思考：若2121,),()(R)(xxxfxfxf

10、例：已知函數(shù)例：已知函數(shù)f(x)是定義在（是定義在（-1，1）上的單調(diào)）上的單調(diào)增函數(shù)，增函數(shù)， 解不等式解不等式 f (2x) f(1-3a)，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。的取值范圍。的大小。與比較上是減函數(shù)，在已知函數(shù))43()1()(0)(.22faafxf思考與討論思考與討論f(x)和和g(x)都是區(qū)間都是區(qū)間D D上的單調(diào)函數(shù)，上的單調(diào)函數(shù)，那么那么f(x)和和g(x)四則運(yùn)算后在該區(qū)間四則運(yùn)算后在該區(qū)間D D內(nèi)還具備單調(diào)性嗎？情況如何？?jī)?nèi)還具備單調(diào)性嗎？情況如何？你能證明嗎？能舉例嗎？你能證明嗎？能舉例嗎？1.1.若若f(x)為增函數(shù)，為增函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，為增函數(shù)，則則F(x)=f(x)+g(x)為增函數(shù)。為增函數(shù)。2.2.若若f(x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，則則F(x)=f(x)+g(x)為減函數(shù)。為減函數(shù)。3.3.若若f(x)為增函數(shù)，為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，則則F(x)=f(x)-g(x)為增函數(shù)。為增函數(shù)。4.4.若若f(x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，為增函數(shù)，則則F(x)=f(x)-g(x)為減函數(shù)。為減函數(shù)。1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽 ，且對(duì)任意，且對(duì)任意 ，都有都有f(a+b)=