1、戴濱林：辦公室：數(shù)學系404：65904529辦公室電子課件常微分方程Ordinary differentialequation王高雄周之銘朱思銘王壽松編（第三版）第二章一階微分方程的初等習題課法Integrated Method of First Order ODE一、主要內容高階方程特征方程法待定系數(shù)法7.伯努利方程歐拉方程f(x)的形式及其特解形式二階常系數(shù)線性方程解的結構特征方程的根及其對應項類 型1. 直接法2. 可分離變量3. 齊次方程4. 可化為齊次方程5. 全微分方程6. 線性方程線性方程解的結構定理1;定理2 定理3;定理4可降階方程一階方程基本概念微分方程

2、解題思路作變換一階方程因子作降變換階待定系數(shù)法冪級數(shù)解法高階方程特征方程法常數(shù)變易法全微分方程非 非變全量微可分分方離 程分離變量法1、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解用來確定任意常數(shù)的條件.初始條件初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題2、一階微分方程的解法(1)

3、可分離變量的微分方程g( y)dy =f ( x)dx形如分離變量法ò g( y)dy = ò f ( x)dx解法dy =yf ()(2)形如齊次方程dxxyxu =解法作變量代換(3)可化為齊次的方程ax + by + cdy =f ()形如a1 x + b1 y + c1dx當c = c1 = 0時,齊次方程否則為非齊次方程x = X + h,y = Y + k令解法化為齊次方程（其中h和k是待定的常數(shù)）(4)一階線性微分方程dy + P( x) y = Q( x)形如dx當Q( x) º 0,當Q( x) º 0,上方程稱為齊次的上方程稱為非齊次

4、的.y = Ce-ò P ( x )dx .（使用分離變量法）解法齊次方程的通解為非齊次微分方程的通解為y = ò Q( x)e ò P ( x )dx dx + C e-ò P ( x )dx（常數(shù)變易法）(5)伯努利(Bernoulli)方程dy + P( x) y = Q( x) yn(n ¹ 0,1)形如dx當n = 0,1時當n ¹ 0,1時方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.解法需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程令z = y1-n ,y1-n= z= e-ò(1-n) P ( x )dx (ò Q(

5、x)(1 - n)eò(1-n) P ( x )dxdx + C ).全微分方程(6)P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0形如du( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy其中¶P = ¶Q注意：Û全微分方程¶y¶x解法À應用曲線與路徑無關.xyòòu( x, y) =P( x, y)dx +Q( x0 , y)dyxy00yxòò=Q( x, y)dy +P( x, y0 )dx,yx00u( x, y) = C .通解為Á 用直接

6、湊全微分的方法.(7)可化為全微分方程P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0形如(¶P ¹ ¶Q ).非全微分方程¶y¶x若m ( x, y) ¹ 0連續(xù)可微函數(shù)，且可使方程m ( x, y)P( x, y)dx + m ( x, y)Q( x, y)dy = 0成為全微分方程.則稱m ( x, y)為方程的因子.À公式法:若 1 (¶P - ¶Q) =m ( x) = eòf ( x)f ( x )dx;則Q¶y¶x若 1 (¶Q - ¶

7、P ) = g( y)m ( y) = eò g ( y )dy .則P¶xÁ觀察法:¶y熟記常見函數(shù)的全微分表達式，通過觀察直接找出因子常見的全微分表達式1111xy,等.可選用因子x + yx2x2 y2x2+ y2y2x2æ x 2 + y2 öxdx + ydy = d ç÷è2øxdy - ydx = d æ y öx 2ç x ÷èøxdy - ydx = d æarctan y öx2 + y2

8、1;x ÷èøxdy + ydx = d (ln xy) xyxdx + ydy = d æ 1 ln( x 2 + y2 )öx 2 + y2ç 2÷èøxdy - ydx = d æ 1 ln x + y öx2 - y2ç 2x - y ÷èø本章內容/Main Contents/Ø §2.1Ø §2.2Ø §2.3Ø §2.4變量分離方程與變量變換線性方程與常

9、數(shù)變易法恰當方程與因子一階隱式方程與參數(shù)表示Ch.2 Integrated Method of First Order ODE本章要求/Requirements/熟練掌握一些重要的常見的一階方程的類型及其求解方法。 注意：正確方程的類型變量分離方程與變量變換§2.1Separable First-Order ODE &Transform 內容提要/Main Contents/ìæ·特點ïç變量分離方程 ·解法ïç變量分離方程與變量變換ïç·舉例íè

10、ïì齊次方程ï可化為變量分離的類型íïî 本節(jié)要求/Requirements/1 熟練掌握變量分離方程，齊次方程的求解方法。2 熟練掌握運用變量變換將方程化為熟知類型求解的思想方法，求更廣泛類型方程的解。î可化為齊次方程的類型本節(jié)小結/ì/æ· 特點çïï變量分離方程ç· 解法ç· 舉例變量分離方程ïíè與變量變換ïì齊次方程ï可化為變量分離的類型í

11、9;îî可化為齊次方程的類型注意/Note/：通解的形式及其中任意常數(shù)的意義。 課堂練習/Exercise/dy = ex- ydy =21p(x) ydxdxdy =12x3 + 3xy2+ xdy=dx3x 2 y + 2 y 334(x + y)2dx- y 思考以下方程的求解方法dy =dy =x 22f (xy)f (ax + by + c)1dxdxdy = xf (y )3yf (xy)dx + xg(xy)dy = 04x 2dx§ 2.2線性方程與常數(shù)變易法/Linear ODE and variation of constants Method

12、/內容提要/Constant Abstract/ìì齊次線性方程: 特點× 解法× 舉例ïïì常數(shù)變易法(ï線性方程í因子方法）ï非齊次線性方程íïïïî求解步驟× 舉例×隨堂練習îì伯努利方程線性方程與常數(shù)變易法íì特點ïï可化為線性方程的方程í黎卡提方程íï其他可化為線性方程的方程î解法ïïî&

13、#239;重點與難點ïïî思考本節(jié)要求/Requirements/ØØ熟練掌握線性方程和伯努利方程的求解方法。了解黎卡提方程的簡單性質及其求解方法。§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method思考題(1)æödy- y+1= xexç dx÷eè- exø+ ex+ y= 0y'(2)y ln ydx + (x - ln y)dy = 0(3)§ 2.2 Linear ODE and variation

14、 of constants Method提示: 1dy + e- yæödye- y= xexe- y+ 1= xexç dx÷dxèøde- y= e- y- xe（x線性方程）dx(ey )¢ - exey+ exe2 y= 0- ex+ ex+ y= 0y'2u¢ - exu + exu2= 0（伯努利方程）y ln ydx + (x - ln y)dy = 03dx = - x - ln y = -1x + 1y（線性方程）dyy ln yy ln y§ 2.2 Linear ODE an

15、d variation of constants Methody ln ydx + (x - ln y)dy = 0原方程可改寫為:解dx = - x - ln ydy = -y ln yx - ln ydxdyy ln ydx = -1x + 1P( y) = - 1,y ln yQ( y) = 1ydyy ln yy 1y ln y 1y ln yòò1-dydy(ò故通解為:x = e× e+ c)y= 1 (ò ln y dy + c)ln yy§ 2.2 Linear ODE and variation of constan

16、ts Method= 1 (ò ln y dy + c)ln yy11=(ln y)+ c2ln y 2x = 1 ln y +c即:2ln y或： (2x - ln y)ln y = 2c§2.3恰當方程與因子§2.4 一階隱方程與參數(shù)表示二、典型例題例1求通解y( x cos y + y sin y )dx = x( y sin y -yxx cos)dy.xxx解原方程可化為cos y + y sin ydy = y (xxx ),y sin y - cos ydxxxxxy ,y = ux, y¢ = u + xu¢.u =令代入原方程

17、得xu + xu¢ = u(cos u + usin u),分離變量usin u - cos uusin u - cos udu = dx ,兩邊2ucos uxC , ucos u =ln(ucos u) = ln x-2 + lnC,x2 y cos y =C ,xy cos y = C .所求通解為xxx2x4xy¢ + 2 y = 3 x3 y3 .例2求通解2x4y = 3 x2 y3 ,y¢ +原式可化為伯努利方程解2x- 4-1yy¢ += 3 x2 ,y即332x-1- 3z¢ +z = yz = 3 x2 ,3 ,令原式變?yōu)?

18、即 z¢ -z = - x2 ,一階線性非齊方程3 x2z = Cx 3 ,對應齊方通解為利用常數(shù)變易法2設 z = C( x) x 3 ,2代入非齊方程得377x3C¢(+ C¢,C( x) = -2 ,原方程的通解為= - 3-1723¢+ C xy x 3.37- 3 x2y22 x例3dx +dy = 0.求通解y3y4¶P¶2 x6 xQ ¶y = ¶yy) = -(,解3y4¶Q¶- 3 x2y26 x( y ¹ 0 )=) = -(,¶x¶xy4y4

19、¶P = ¶Q ,方程為全微分方程.¶y¶x(1) 利用原函數(shù)法求解:設原函數(shù)為u( x, y), 則¶u = 2 x ,¶xy3x2+ j ( y), u( x, y) =兩邊對 y 求導,y3¶u13 x23 x21解得j ( y) =¢+ j ¢( y),=-= -,¶yy2y2y4y4j ( y) = - 1 ,y故方程的通解為x21-= C .y3y2(2)利用分項組合法求解:原方程重新組合為3 x22 x1dx -dy) +dy = 0,(y3y4y2x21y) + d (-) =

20、0,d (即得y3x21-= C .故方程的通解為y3y2(3)求解:利用曲線- 3 x2y2( x , y ) 2 xò( 0,1)dx +dy = C ,Qy3y4- 3 x2y2x 2 xyò0dx + ò1dy = C ,即13y4x21x -y+= C .2y1y1y3x21-= C .故方程的通解為y3y2例4求通解( x2 - y2 - 2 y)dx + ( x2- y2 + 2 x)dy = 0.¶PQ= -2 y - 2,¶Q = 2 x + 2,解¶y¶x¶P ¹ ¶Q ,非

21、全微分方程.¶y利用¶x因子法:原方程重新組合為( x2 - y2 )(dx + dy) = 2( ydx - xdy),yd ()xdx + dy = 2 ydx - xdy= 2,- y2yxx21 - ()21 - y x + y = lnx + ln C ,1 + yx= C x - y .ex+ y故方程的通解為x + y測驗題一、選擇題:1、一階線性非齊次微分方程 y¢ = P( x) y + Q( x) 的通解是().(A) y = e -ò P ( x )dx ò Q( x)e ò P ( x )dx dx + C ；

22、(B) y = e -ò P ( x )dx ò Q( x)e ò P ( x )dx dx ；(C) y = e ò P ( x )dx ò Q( x)e -ò P ( x )dx dx + C ；(D) y = ce -ò P ( x )dx .2、方程xy¢ =+ y 2+ y 是(x 2).(A)齊次方程；(C)伯努利方程；(B)一階線性方程；(D)可分離變量方程.3、dy + dx = 0 , y(1) = 2的特解是().y 2(A) x 2x 2+ y 2 = 2 ；+ y3 = 9 ；(B)x 3x

23、 3y 3+ y= 1；33+= 1.(C) x(D)334、方程y¢¢ = sin x 的通解是().(A) y = cos x + 1 C+ Cx + C ；x 21232(B) y = sin x + 1 C+ Cx + C ；x 21232(C) y = cos x + C1 ；(D) y = 2sin 2 x .10、方程y¢ - 3 y¢ + 2 y = e x cos 2 x 的一個特解形式是(A)(B)(C)(D).y = A e x cos 2 x ；1y = A xe x cos 2 x + B xe x sin 2 x ；11y = A e x cos 2 x + B e x sin 2 x ；11y = Acos 2 x + Bx 2 e xx 2 e xsin 2 x .11二、求下列一階微分方程的通解:1、xy¢ ln x + y = ax(ln x + 1)；2、dy + xy -