1、第一章 矩陣代數(shù) 本章先介紹一些矩陣的基本概念，引入矩陣的基本運(yùn)算和一些常見矩陣，然后介紹行列式和矩陣的逆，接著介紹作為特殊矩陣向量的線性相關(guān)性以及矩陣的秩，最后作為補(bǔ)充介紹克羅內(nèi)克乘積和矩陣向量化1.1 基本概念 矩陣是元素的矩形組合。 用大寫字母表示矩形，用下標(biāo)表示其行數(shù)和列數(shù);用小寫字母表示其中元素，用元素的下標(biāo)表示該元素在矩陣中所占據(jù)的位置。 基本矩陣運(yùn)算 1、相等 ， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時， 2、相加 ， ，則 3、系數(shù)相乘 ,其中 為一實(shí)數(shù)。4 矩陣相乘 令 ， ，那么 是一個 的矩陣，其中 第個元素為 。 注意：1、矩陣乘法的相容性 2、矩陣乘法不遵循交換律5 矩陣的跡 只有方陣才有跡

2、，方陣 的跡 為其主對角線元素之和：6 矩陣的轉(zhuǎn)置 ，將 的行與列互換即可得 如果 ，則 是對稱的 轉(zhuǎn)置規(guī)則： （i） （ii） （iii） （iv） 和 是對稱的 特殊矩陣 1、單位矩陣 主對角線上元素為1而其余元素為0的方陣 2、系數(shù)矩陣 系數(shù)矩陣可表示為 ，其中 為系數(shù) 3、對角矩陣 4、零矩陣 所有元素都為零的矩陣，常用一個大寫的零加以表示。 5、冪等矩陣 如果 ，則 為冪等矩陣 6、向量 行向量行向量是一個 的矩陣而列向量列向量是一個 的 矩陣 向量x和向量y間的歐幾里德距離： 第二節(jié) 行列式 引言 行列式 ： ， 1、 情形 2、 情形 利用代數(shù)余子式對行列式進(jìn)行展開 定義 如果去

3、掉 的一行一列，我們可以得到一個 的 階子矩陣子矩陣。取該子矩陣的行列式，我們就得到 的一個子子行列式行列式。 用 表示去除 行 列后矩陣 的子行列式。 的代數(shù)余子代數(shù)余子式記為 ， 。 例 則 定理 令 為 矩陣，有 （1.1） （1.2） 將（1.1）完整的寫出，有： 將（1.2）完整的寫出，有： 例 在上例中 步驟步驟 如果矩陣的某一行或者某一列中有多個零，可以用此行或者此列對行列式進(jìn)行展開。 行列式的性質(zhì) 1、 2、任意兩行或者兩列進(jìn)行交換會使得行列式的符號發(fā)生改變。 有 3、如果 的某行（列）中的每個元素都乘以一個實(shí)數(shù) 而得到 ，有： 有 4、 有 5、 如果 和 都是 階的， 6、

4、將一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）上，行列式不變。 性質(zhì)（6）使得我們能夠回答在本節(jié)前面所提出的問題。 步驟步驟 如果 中沒有零，則用一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）上以使得其出現(xiàn)盡可能多的零。 例1 例2 定理 令 為 矩陣， 為 的代數(shù)余子式，有 該結(jié)論經(jīng)常被稱為“利用異代數(shù)余子式進(jìn)行展開” 1.3 矩陣的逆 在實(shí)數(shù)體系中，對于任意實(shí)數(shù) ，總存在一個數(shù) ，的倒數(shù)，使得 那么這種性質(zhì)在矩陣中是否存在呢？對于給定矩陣 ，是否存在矩陣 使得： 注意注意： （i）如果 是方陣的話，其才可能存在逆 （ii） 定義 令 為 的方陣，如果存在某個 方陣 使得： 則 就是 的逆逆。 例 考慮 則 定理 方

5、陣 有逆的充分必要條件是 。 對于上例中的 ，有因此該矩陣具有逆。 定義 如果方陣 有逆，則其為非奇異非奇異的；如果方陣 沒有逆，則其為奇異奇異的。 逆的性質(zhì) （i）如果 有逆，則其逆唯一。 （ii）如果 和 都是非奇異的， （iii） （iv） 下面證明其唯一性，而其他性質(zhì)可以很容易得出 設(shè) 有兩個逆 和 ，那么 ， 。有 利用代數(shù)余子式求逆。 定義 令 ，我們將 中所有元素用其代數(shù)余子式來代替可得到一個新的矩陣。 的伴隨矩陣，記作 ，是所形成新的矩陣的轉(zhuǎn)置。 即，令 的代數(shù)余子式，有： 例 定理 令 為一非奇異方陣，那么： 證明： 考慮 的第 個元素， 如果 ，其等于 ，而 其等于零，因此

6、 類似的， 從而 利用基本行（列）運(yùn)算求逆 基本行運(yùn)算基本行運(yùn)算包括一下幾種： （i）矩陣的任意兩行互換。 （ii）將矩陣中任意一行乘上一個非零系數(shù)。 （iii）將一行的倍數(shù)加到另一行上。 基本列運(yùn)算基本列運(yùn)算的定義與此類似。 關(guān)于基本行運(yùn)算需要注意的第一件事是每種運(yùn)算都可以通過將所考察矩陣乘上某個特定的矩陣而實(shí)現(xiàn)。而后者被稱為初等矩陣初等矩陣 例 考慮 （i）假設(shè)我們將1，3行交換而得到： 有 （ii）假設(shè)我們將第二行乘上-3而得到： 有： （iii）假設(shè)我們在第二行上加上7倍的第三行而得到： 有 值得我們注意的是所有的初等矩陣本身是非奇異的。 現(xiàn)在假設(shè)我們使用基本行運(yùn)算將一個非奇異矩陣 變

7、換為單位矩陣，并假設(shè)我們需要 步才能達(dá)到目的。假設(shè)第一步可以通過用初等矩陣 前乘而實(shí)現(xiàn)，第二步則用 前乘上一步運(yùn)算所得新的矩陣，如此等等。那么很明顯有 。 現(xiàn)在令 則有 。 由于矩陣逆的唯一性我們有 。但 ,于是有： 后一個等式的語言表述就是我們的方法。我們用對 進(jìn)行基本行運(yùn)算將其轉(zhuǎn)換為單位矩陣，同樣的基本行運(yùn)算將單位矩陣轉(zhuǎn)換為 的逆。 例 找出下列矩陣的逆： 首先應(yīng)該保證 ，下面我們使用標(biāo)記 ，表明 是通過對 施以基本行（列）運(yùn)算而得到的。 那么就有： 需要提醒的是，也可以用基本列運(yùn)算來求逆。假設(shè)要將矩陣 轉(zhuǎn)換為單位矩陣需要 步基本列運(yùn)算?；貞浕玖羞\(yùn)算可以通過將矩陣后乘某個合適的初等矩陣而

8、得到，有： 因此， 即基本列運(yùn)算在將 轉(zhuǎn)換為 的同時也將 轉(zhuǎn)換為 。 最后在使用這種方法時，我們可以選擇使用基本行運(yùn)算還是基本列運(yùn)算，但是我們不能將其混合起來使用。1.4 向量線性關(guān)系和矩陣的秩向量線性關(guān)系和矩陣的秩 定義 個 階的列向量， ，是線性相關(guān)線性相關(guān)的，如果存在不全為零的系數(shù) 使得下式成立： 對于行向量而言，也存在類似的定義。 向量 是向量 的線性組合，如果存在系數(shù) 使得 。 注意注意 向量線性相關(guān)表明這些向量中至少有一個可以寫作其他向量的線性組合。 例 明顯， 因此， 定義定義 個列向量是線性無關(guān)線性無關(guān)的,如果也就是說，這些向量的線性組合得到零向量的唯一情形是所有的系數(shù)等于零。

9、 注意注意 如果向量集合中包括零向量，則該集合中的向量是線性相關(guān)的。 例 有 而 ，從而這些向量是線性相關(guān)的。 矩陣的秩 定義 矩陣 的秩，記作 ，是矩陣中線性無關(guān)行向量的最大數(shù)目。 定理定理 矩陣 的秩同時也是 中線性無關(guān)列向量的最大數(shù)目。 明顯從定理和該定理中可以看出，矩陣的秩小于或等于其行數(shù)和列數(shù)中較小的一個。 即， 。 求矩陣秩的方法 1 利用行列式求秩 定理定理 的秩為 ，當(dāng)且僅當(dāng) 的子矩陣的每個子行列式，只要階等于或高于 都為零，而至少才能存在一個階 的子矩陣，其子行列式不為零。 需要注意的是，如果 為方陣，我們所能得到的最大的子矩陣就是 本身，因此在應(yīng)用這個定理時候我們應(yīng)該從 開

10、始。 例 找出下列矩陣的秩： 但是 因此 2 用基本行運(yùn)算或者列運(yùn)算來求秩 定理定理 對于任意兩個矩陣 和 ， 推論 當(dāng) 前乘或者后乘一個非奇異的矩陣時，其秩不變。 應(yīng)用基本行運(yùn)算或者列運(yùn)算將 簡化至可輕易看出其秩為止。一般而言，對于任意矩陣 ，基本行或者列運(yùn)算會使得矩陣 簡化至如下形式： 從而 例 有 因而 然而在求給定矩陣的秩時我們并不需要做到這樣。我們只需運(yùn)用基本行和/或列運(yùn)算將 簡化到梯陣式即可。 定義定義 矩陣 的梯陣式可以通過運(yùn)用基本行和/或列運(yùn)算將其簡化至一些列階梯而得到，這些階梯從矩陣的左上角延續(xù)至右下角，而每一步下面元素都為零。 例例 如下矩陣就是梯陣式 需要注意的是每步長度

11、并不需要相同. 定理定理 矩陣 的秩就是其梯陣式中非零行的個數(shù)。 例 那么， 。 *1.5 克羅內(nèi)克乘積和矩陣的向量化克羅內(nèi)克乘積和矩陣的向量化 定義定義 令 為一 矩陣，我們將 分為各列： 其中 是 的第 列。 為一 列向量，其定義為：令 為 的矩陣而 為 的矩陣。下面 矩陣就是 和 的克羅內(nèi)克乘積，記作 ： 例 則 則 需要注意的是，在此例中， 也就是說，克羅內(nèi)克乘法并不遵循交換律，即 克羅內(nèi)克乘積的性質(zhì)： （i） （ii） （iii）如果 和 存在， （iv） （v） 另外，如果 是 方陣而 是 方陣，有： （vi） （vii） 如果 和 是非奇異的，那么還有： （viii） 通過這些性

12、質(zhì)我們又可知： 第二章 聯(lián)立線性方程組聯(lián)立線性方程組 在本章中，我們將介紹聯(lián)立線性方程組，介紹其定義并且詳細(xì)介紹其求解方法，分齊次和非齊次兩種情形加以介紹，而在最后介紹方程個數(shù)和求解變量個數(shù)相同時的特殊情形。第一節(jié) 定義 定義定義 元（ ）線性方程是 其中 和 是常數(shù)（給定實(shí)數(shù)）。 例 注意： （i）在線性方程中所有的變量都是一次的。 （ii）我們會關(guān)注 個這樣的 元線性方程。其中 將此系統(tǒng)寫作： 其中所有 和 都是常數(shù)而 為變量。 在矩陣標(biāo)記方法里，記為： 例 有 注意： 下面的運(yùn)算不會影響解： （i）方程之間兩兩交換。 交換 兩行的初等行變換。 （ii）在一個方程兩邊同時乘上一個非零系數(shù)

13、將 中一行乘上一個非零系數(shù)的初等行變換。 （iii）將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上 將 中一行的倍數(shù)加到另一行的初等行變換。 注意注意 的梯陣式中每步下方都為零。如果 為 的梯陣式，那么： 就很容易求解了，如果解存在的話，就跟 具有相同的解。 在下面就利用這一性質(zhì)求線性方程組的解。第二節(jié) 齊次情形 齊次情形的兩個性質(zhì)： （i）總是存在平凡解，令 ，則 。 （ii）如果存在一個非平凡解，則存在無窮多個非平凡解，如果 是解，那么 也是解。 非平凡解是否存在取決于 。 前面說過 ，因此 同時 矩陣 梯陣式 中非零行向量的個數(shù)。 情形1： 此時， 具有 個非零向量， 意味著 個 元方程而 ?？梢詫?

14、個變量設(shè)置為任意值，具有無窮多個解。例 解 此時， 在矩陣標(biāo)記法中，有 對 施行初等行變換將其簡化至其梯陣式。 有 和 上述方程和原方程具有相同的解。有 令 ，為任意實(shí)數(shù)。那么 為方程組的解，其代表了無窮多的解。 情形情形2： 此時， 有 個非零行向量。只有平凡解的存在。 例例 解 令 因此 ，并且 其解和原方程一樣，明顯 小結(jié)小結(jié) 令 為 矩陣。如果 ，其中 為變量的個數(shù)，那么線性方程組 具有非平凡解。在這種情況下存在無窮多個解。 注意注意 如果 ，方程的個數(shù)小于變量的個數(shù)；則 ，總是存在無窮多個解。第三節(jié) 非齊次情形 定義定義 如果解不存在，我們稱該方程組不相容不相容。 相容性檢驗(yàn)相容性檢

15、驗(yàn) 定理 如果 ，方程組不相容。 方程組相容的情形 定理 假設(shè) 有一個特解 ，而 具有一個通解 。那么 的所有解都可以寫作： 小結(jié) （i）如果 ，方程組不相容，無解。 （ii）如果 ，只有一個解。 （iii）如果 ，存在無窮多個解。 例 方程組 在此方程組中， ，而且 因此， ，從而該方程組是相容的，另 和原方程具有相同的解，對此齊次方程組的一個特解是 而 的通解由如下方程組給出： 其通解為 ， 為任意實(shí)數(shù)從而該非齊次方程組的通解為 第四節(jié) 特殊情形 考慮 的情形，此時 從而有 也就是說， 為該方程組的唯一解 注意注意 由于 ，該唯一解可以寫作： 例 求解 在此而 ，故 存在，有唯一解： 則該

16、唯一解為： 表示符號表示符號 令 = 的第 行 = 的第 列 這樣就可以將該唯一解的第 個元素寫作 克拉默法則克拉默法則 解的第 個元素可寫作 （2.1） 在（2.1）式計(jì)算時將 的第 列用向量 代替，然后計(jì)算行列式。 例 解方程組 在我們的標(biāo)記法下，有 從而 存在唯一解，為 理由克拉默法則，有 第3章 線性經(jīng)濟(jì)模型 在本章我們將介紹線性經(jīng)濟(jì)模型的一些基本概念，并用兩個例子來加以說明，在本章的最后將介紹矩陣代數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用第1節(jié) 引言與定義 定義定義 線性經(jīng)濟(jì)模型線性經(jīng)濟(jì)模型就是一個聯(lián)立線性方程組。這些方程可分為兩類：第一類為定義方程定義方程，其所表達(dá)的變量之間的關(guān)系根據(jù)定義而

17、成立。第二類為行為方程行為方程,其旨在告訴我們關(guān)于某些“經(jīng)濟(jì)實(shí)體”行為的某種信息。 兩類變量：內(nèi)生變量和外生變量。內(nèi)生變量內(nèi)生變量是模型的焦點(diǎn)。構(gòu)建模型的全部目的首先是深入了解：內(nèi)生變量值的決定因素以及這些內(nèi)生變量如何隨給定環(huán)境變化而變化；外生外生變量變量則是那些就我們經(jīng)濟(jì)分析目的而言視為給定的變量，其通?？煞譃槿悾阂?，非經(jīng)濟(jì)變量，二，非經(jīng)濟(jì)力量確定的經(jīng)濟(jì)變量，三，不是本模型所決定，而是由其他經(jīng)濟(jì)力量所決定的經(jīng)濟(jì)變量。 模型形式可分為兩類：結(jié)構(gòu)形式和簡化形式。結(jié)構(gòu)形式結(jié)構(gòu)形式是模型的原始形式而簡化形式簡化形式是模型的解，是我們用外生變量求解內(nèi)生變量所得的結(jié)果。 完備模型，如果： （i）結(jié)構(gòu)形

18、式中方程的個數(shù)等于內(nèi)生變量的數(shù)目， （ii）存在唯一解。 簡化形式的解或者所得內(nèi)生變量的值被稱作內(nèi)生變量的均衡值。 比較靜態(tài)分析：當(dāng)外生變量變動時內(nèi)生變量如何發(fā)生變動。 小結(jié)小結(jié) 結(jié)構(gòu)形式：結(jié)構(gòu)形式： 簡化形式：簡化形式： 比較靜態(tài)分析：比較靜態(tài)分析：第2節(jié) 線性經(jīng)濟(jì)模型示例 例例1 簡單供求模型 結(jié)構(gòu)形式： 需求函數(shù)： 供給函數(shù)： 簡化形式： 用外生變量求解內(nèi)生變量有：在經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)課程中 即： 比較靜態(tài)分析 分析政府增加補(bǔ)貼對均衡價格數(shù)量的影響。 此時， 則 變量變化方向： 補(bǔ)貼使得均衡數(shù)量增加而降低了均衡價格 圖解法 克拉默法則克拉默法則 如果只對數(shù)量感興趣，則可以運(yùn)用克拉默法則， 例2

19、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型 結(jié)構(gòu)形式：結(jié)構(gòu)形式： 在此模型中，一個定義方程，兩個行為方程，內(nèi)生變量為 ， ， ，外生變量為 ， ， 。 外生變量分離在方程的右邊可得到： 其中E表示外生支出。 矩陣表示法中 由于存在三個方程和三個內(nèi)生變量，模型完備，且 簡化形式簡化形式: 因 從而 比較靜態(tài)分析比較靜態(tài)分析： 出口增加 對均衡收入、消費(fèi)、進(jìn)口的影響 此時 從而 克拉默法則克拉默法則 政府支出對進(jìn)口的影響 若 增加 ，則 也增加 ，有 第3節(jié) 矩陣代數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量矩陣代數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 個隨機(jī)變量 ，組成的 向量 叫著隨機(jī)向量 令 ， ，A和B都是冪等矩陣，考慮 ，有 那么

20、為樣本均值列向量 則 為樣本均值偏差的列向量 樣本方差 但 由于 為冪等矩陣，有 則可將上述統(tǒng)計(jì)量寫作 假設(shè) 為總體均值，考慮 利用 ， 和矩陣代數(shù)規(guī)則可知，上式可寫作 那么 現(xiàn)在考慮 根據(jù)A的定義和A為冪等矩陣的性質(zhì)，也有 冪等矩陣在線性回歸分析中的應(yīng)用 考慮受控試驗(yàn)的產(chǎn)量方程組 用矩陣表示法寫為 的最小二乘估計(jì)量為 那么 考慮矩陣 為對稱矩陣，因?yàn)?另外， 為冪等矩陣，因?yàn)?為預(yù)測值，則預(yù)測誤差為 其中 而 為 的矩陣，那么 則誤差向量可寫作 另外 誤差平方之和可寫作第四章第四章 二次型和正定矩陣二次型和正定矩陣 在本章中，我們將介紹特征值和特征向量，然后介紹由特征向量組成的矩陣，并且運(yùn)用

21、這些知識來判斷二次型的正定性，與此同時，我們也介紹特征值與行列式、秩、跡的關(guān)系，最后我們介紹用行列式來判斷二次型正定性的方法，作為特征值方法的補(bǔ)充。第一節(jié) 引言 二次型二次型 完整形式： 其中 代表變量而 為常數(shù) 矩陣表示法： 常要求 為對稱矩陣。 例 二次型 用矩陣表示為 問題問題1： 我們能否通過對變量的一些技巧性變換而化簡二次型？ 問題問題2： 是否存在這樣的情況，不論我們?yōu)樽兞抠x以何值，二次型總是取同一個正負(fù)號？ 定義定義 關(guān)于問題2，我們有如下定義： （i）矩陣 為正定正定的，如果對于所有非零實(shí)向量 ， （ii）矩陣 為半正定半正定的，如果對于所有實(shí)向量 ， （iii）矩陣 為負(fù)定負(fù)

22、定的，如果對于所有非零實(shí)向量 ， （iv）矩陣 為半負(fù)定半負(fù)定的，如果對于所有實(shí)向量 ， （v）矩陣 為不定不定的，如果對于某些向量 為正，而對于某些向量 為負(fù)。 第2節(jié) 對稱矩陣的特征值 定義定義 A為 矩陣， 的特征值特征值是一個數(shù) ，對應(yīng)存在著一個非零向量 ，滿足： 該向量 被稱為 的特征向量。有如下定義式： 為保證非平凡解的存在，要求 一般而言，上式表達(dá)的是 的 次多項(xiàng)式方程次多項(xiàng)式方程： 定理定理 如果 為對稱矩陣，那么其所有特征值都為實(shí)數(shù)。 例 則 為二次方程 其兩個特征值為 和 第3節(jié) 特殊矩陣的特征值 相似矩陣 定義令A(yù)和B為nXn矩陣。A和B是相似矩陣，如果存在一非奇異矩陣C

23、使得 定理定理 如果A和B是相似矩陣，其具有相同的特征值。 證明證明 令A(yù)和B相似，考慮 因此 和 是同一方程。 冪等矩陣冪等矩陣 定理定理 冪等矩陣的特征值為1或0。 證明證明 令A(yù)為冪等矩陣，考慮 上下兩式想減可得 由于 ，則 或者第4節(jié) 對稱矩陣的特征向量 定義定義 向量集 （兩兩）正交正交，如果對于 ，有 向量 是標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化的，如果 向量組 為規(guī)范正交的規(guī)范正交的，如果 定理定理 如果A為對稱矩陣，那么對應(yīng)著不同特征值的特征向量正交。 證明 令 和 是兩個不同特征值，分別對應(yīng)于特征向量 和 。那么有 分別左乘 和 ，有 由于 是數(shù)量， ，同理，而A對稱，故 ，則 由于 ，則 定理定理

24、 如果 為K重的特征值，存在著K個對應(yīng)著 的特征向量，它們和其他特征向量一起構(gòu)成一個規(guī)范正交集。 求特征向量求特征向量 求解方法：將下列兩式聯(lián)立求解 例例 求矩陣 特征向量的規(guī)范正交向量組。 已知A的兩特征值為 和 由 得到 即 由方程可得 ，那么 作為特征向量我們?nèi)?由 可得 即 標(biāo)準(zhǔn)化條件要求 ，從而 即 因此我們?nèi)〉诙€特征向量為第5節(jié) 列為對稱矩陣特征向量的矩陣 的列為對稱矩陣A特征向量，A的特征值為 的性質(zhì) 定義 矩陣B是正交的，如果 定理 是正交矩陣 證明 顯然 那么 因此， 定理 矩陣 為對角矩陣，其對角線上的元素為A的特征值。 證明 第6節(jié) 二次型的對角化 引言所提第一個問題：

25、能否對二次型進(jìn)行簡化？ 令 是列為A的特征向量的規(guī)范正交向量組的矩陣?？紤]非奇異替換： 或者 則 其中 為對角矩陣 引言所提第二個問題，我們有如下定理： 定理定理 （i）當(dāng)且僅當(dāng) 的每個特征值都為正（負(fù)）時，二次型 為正（負(fù)）定 （ii）當(dāng)且僅當(dāng) 的所有特征值都非負(fù)（非正）且至少一個為零時，二次型 為半正（半負(fù)）定 （iii）當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?的特征值有正有負(fù)時，二次型 不定 例 的特征值為0和3，故 為半正定的，因此對 于任意 ， ， 第7節(jié) 特征值與 ， 和 因?yàn)?而 故有如下定理： 對于對稱矩陣 ， A的非零特征值的個數(shù) 考慮到一個矩陣左乘或者右乘一個非奇異矩陣時，其秩保持不變，故 定理定理

26、對于對稱矩陣 ， 等于其非零特征值的個數(shù) 而 則有如下定理： 定理 對于對稱矩陣 ，第8節(jié) 另一種方法：運(yùn)用行列式 定義定義 的順序主子式為 ， ， ， ， 。 定理 當(dāng) 為 對稱矩陣，則 （i）當(dāng)且僅當(dāng) 的 個順序主子式都為正時，其為正定矩陣。 （ii）當(dāng)且僅當(dāng) 的順序主子式正負(fù)符號交替變化：第一個為負(fù)，下一個為負(fù)，依此類推，其為負(fù)定矩陣 例 考慮 其順序主子式為 -1， ， 這些順序主子式符號交替變化，其第一個為負(fù)，則 為負(fù)定矩陣。 定義定義 的主子式為 剔除同號行列后形成的子方陣的行列式 定理定理 令 為對稱矩陣，則 （i）當(dāng)且僅當(dāng)所有的主子式大于等于零時，其為半正定。 （ii）當(dāng)且僅當(dāng)

27、所有奇階數(shù)主子式小于等于零而所有的偶階數(shù)主子式大于等于零時，其為半負(fù)定。 例 其主子式為 1，1，3都大于等于零 ， ， 都大于等于零 ， 故 為半負(fù)定第五章 多元函數(shù) 在本章中我們將介紹函數(shù)的一般概念，并介紹一些特殊的函數(shù)，然后介紹導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分，最后講授這些概念的具體應(yīng)用比較靜態(tài)分析和泰勒逼近第1節(jié) 函數(shù)的一般概念 函數(shù)函數(shù) 是一種將一個集合 中元素與另一個集合 中元素對應(yīng)起來的規(guī)則，其使得 中的每個元素有且僅有一個 中元素與之對應(yīng)。 中任一元素 被稱作自變量自變量。如果對應(yīng)著 中的 ，我們寫作 而 被稱作 的映射映射或者因變量因變量。集合 被稱作函數(shù)的定義域定義域而 則被稱作函數(shù)的目

28、標(biāo)空間目標(biāo)空間。這些映射的集合被稱作函數(shù)的值域值域。 表示符號表示符號 或者函數(shù)可用圖形表示為必須適用于S中每個元素，下面這種規(guī)則則不是函數(shù)：T集合中僅有一個元素與S中元素對應(yīng)，下面規(guī)則也不是函數(shù)定義域，目標(biāo)空間與值域 多元（實(shí)）函數(shù)多元（實(shí)）函數(shù)：定義域?yàn)?或者 的一個子集，目標(biāo)空間為實(shí)數(shù)集 ， 常見的二元函數(shù)的經(jīng)濟(jì)例子 柯布道格拉斯函數(shù) 為常數(shù) 不變替代彈性（ ）生產(chǎn)函數(shù) 其定義域?yàn)?（或者 ）的非負(fù)象限非負(fù)象限，即集合第2節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 定義 導(dǎo)數(shù) 一元函數(shù) 偏導(dǎo)數(shù) 多元函數(shù) 表示符號 ， ， ， 。 鏈?zhǔn)椒▌t的推廣 偏導(dǎo)數(shù)的含義 （i）偏導(dǎo)數(shù) 給出了當(dāng) 發(fā)生細(xì)微變動而所有其他變量保持不變時

29、 變化率的近似值。 （ii）如果 為正，其意味著 增加會導(dǎo)致 的增加； 減少會導(dǎo)致 的減少。如果其為負(fù)，這兩個變量變化方向相反。 （iii）用于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析 生產(chǎn)函數(shù) ，投入品1的邊際產(chǎn)品為 效用函數(shù) ，商品2的邊際效用為 二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即為二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)： ，依此類推 楊格定理 如果函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則 例 柯布道格拉斯函數(shù) 一階偏導(dǎo)數(shù)： 二階偏導(dǎo)數(shù)： 梯度向量與海賽矩陣 定義 梯度向量：函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的 向量，記作 ，其中 海賽矩陣：函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)組成的矩陣，記作 注意：根據(jù)楊格定理，海賽矩陣為對稱矩陣 例 則梯度向量為 海賽矩陣為第3節(jié) 函數(shù)中的特殊

30、類 連續(xù)函數(shù) 函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù)：數(shù)列 ， 收斂于 ，這些點(diǎn)的像將就收斂于 的映射。 連續(xù)函數(shù)：函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)。 函數(shù) 為 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,如果 函數(shù) 為有理函數(shù)，如果 其中 和 都是多項(xiàng)式 一元連續(xù)函數(shù) 函數(shù)在某處不連續(xù) 絕對值函數(shù) 連續(xù)函數(shù)之和仍是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)之積也是連續(xù)函數(shù) 復(fù)合函數(shù)： 復(fù)合函數(shù) 定義為 ， 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。 可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。 齊次函數(shù)齊次函數(shù) 定義定義 函數(shù) 為 次齊次函數(shù)次齊次函數(shù)，如果對于所有的 ，有 定理 如果 為 次齊次函數(shù)，其一階偏導(dǎo)數(shù)則為 次齊次函數(shù)。 歐拉定理 如果 為 次齊次函數(shù)且可導(dǎo)，則 例 其為三次其次

31、函數(shù)。 偏導(dǎo)數(shù) 其一階偏導(dǎo)數(shù) 為二次齊次函數(shù) 同時 凸函數(shù)和凹函數(shù)凸函數(shù)和凹函數(shù) 凸集凸集 線段： 為 中兩點(diǎn)，連接 的線段為集合 凸集：對于所有 ， 凸函數(shù) 凸函數(shù)： ， 嚴(yán)格凸函數(shù)： ， 凹函數(shù)： ， 嚴(yán)格凹函數(shù)： ， 非凸集 凸集 二元嚴(yán)格凸函數(shù)與二元凸函數(shù) 嚴(yán)格凹函數(shù)與凹函數(shù) 定理： 函數(shù) 是凸集 上的嚴(yán)格凸（凹）函數(shù)，如果其海賽矩陣 對于所有屬于 的 為正（負(fù)）定。 當(dāng)且僅當(dāng) 對于所有屬于 的 為半正（負(fù)）定時，函數(shù) 為凸集 上的凸（凹）函數(shù)。 例例 證明 為凹函數(shù) ， ， ， ， 。 海賽矩陣一階主子式-2、0小于等于零，二階主子式 故該函數(shù)為凹函數(shù)第4節(jié) 比較靜態(tài)和非線性模型比較

32、靜態(tài)和非線性模型 引言引言 在線性經(jīng)濟(jì)模型中，均衡值 或者 比較靜態(tài)分析結(jié)果 如果在模型方程是非線性的，比較靜態(tài)分析應(yīng)該如何進(jìn)行呢？ 隱函數(shù)定理 隱函數(shù)：由非線性方程 所定義的函數(shù) 隱函數(shù)定理隱函數(shù)定理1 假設(shè)非線性函數(shù) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ，考慮任意滿足方程 的點(diǎn) 。如果偏導(dǎo)數(shù) 在此點(diǎn)不為零，那么至少在此點(diǎn)鄰域存在一個隱函數(shù)。不僅如此，偏導(dǎo)數(shù) 也存在且連續(xù)。 例 在哪些點(diǎn)上方程 存在 關(guān)于 的隱函數(shù) 此時 明顯 存在且連續(xù)， 在任意使得而 的點(diǎn) 上隱函數(shù)都存在。 對原方程兩點(diǎn)同時關(guān)于 求導(dǎo)，有 那么 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 封閉經(jīng)濟(jì)的簡單凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型 均衡條件 或者 根據(jù)隱函數(shù)定理，在 上存在均衡解

33、從而 隱函數(shù)定理的推廣隱函數(shù)定理的推廣 兩非線性方程 什么情況下才能解成 是 函數(shù)的形式？ 定義定義 雅克比行列式： 隱函數(shù)定理隱函數(shù)定理2 假設(shè) 和 關(guān)于 有著連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。那么在滿足該方程組而雅克比行列式不為零的任意點(diǎn)上隱函數(shù) 和 都存在。另外，這些隱函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。 例例 模型 產(chǎn)品市場 貨幣市場 均衡條件 均衡條件可寫作 問題：什么條件下存在隱函數(shù) 和 雅克比行列式為 則在 成立的任何點(diǎn)上都存在 問題：比較靜態(tài)分析求 在均衡條件成立的情況下對其求偏導(dǎo) 用矩陣表示為 利用克拉默法則，有 第5節(jié) 微分和泰勒逼近微分和泰勒逼近 一元函數(shù)的泰勒定理 一元函數(shù) ，定義域內(nèi)一點(diǎn) 其中 為余項(xiàng)

34、 次泰勒近似值 代表 的細(xì)微改變而 ， 越來越小 例 其三次泰勒近似值為 泰勒逼近方法用函數(shù)的梯度向量和海賽矩陣來表示 或者 的微分 定義： 微分是一近似值 的全微分 一元函數(shù) 二元函數(shù) 微分之比即為導(dǎo)數(shù) 一元函數(shù) 二元函數(shù) 后者被稱為全導(dǎo)數(shù) 例 則 作為驗(yàn)證第六章 最優(yōu)化 在本章我們將介紹最優(yōu)化的一些基本概念：無約束最優(yōu)與有約束最優(yōu)；局部最優(yōu)與全局最優(yōu)；有約束局部最優(yōu)與有約束局部最優(yōu)，然后介紹其一般解決思路，在本章的最后將簡單介紹矩陣微積分的一些內(nèi)容第1節(jié) 無約束最優(yōu)化 局部最優(yōu)與全局最優(yōu) 定義 鄰域：點(diǎn) 的 鄰域?yàn)槿缦曼c(diǎn)集 函數(shù) 在 取得局部最大點(diǎn)，局部最大點(diǎn)，如果在 的某個鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)

35、上都有 。 函數(shù) 在 取得局部最小點(diǎn)，局部最小點(diǎn)，如果在 的某個鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)上都有 。 函數(shù) 在 取得全局最大點(diǎn)，全局最大點(diǎn)，如果在定義域內(nèi)所有點(diǎn)上都有 。 函數(shù) 在 取得全局最小點(diǎn)，全局最小點(diǎn)，如果在定義域內(nèi)所有點(diǎn)上都有 。鄰域 要得到嚴(yán)格最優(yōu)的相關(guān)概念，只需將上述最優(yōu)概念中的不等號變?yōu)閲?yán)格不等號即可 臨界點(diǎn)：任意滿足 的點(diǎn)都叫做函數(shù) 的臨界點(diǎn) 定理定理 如果 為 的局部最大點(diǎn)或最小點(diǎn)，那么 為臨界點(diǎn) 鞍點(diǎn) 嚴(yán)格局部最大點(diǎn)與嚴(yán)格全局最大點(diǎn) 臨界點(diǎn)與鞍點(diǎn) 定理定理1 令 為 的臨界點(diǎn) （i）如果海賽矩陣 在 取值時為負(fù)定矩陣，則 為 的嚴(yán)格局部最大點(diǎn)。 （ii）如果海賽矩陣 在 取值時為正定

36、矩陣，則 為 的嚴(yán)格局部最小 點(diǎn)。 定理定理2 如果 為 的臨界點(diǎn)而 在 為不定的，則 為鞍點(diǎn)。 例 其一階條件為 臨界點(diǎn)為 海賽矩陣為 臨界點(diǎn)臨界點(diǎn) ，此處 其主子式為0，0，81，故 為不定的而點(diǎn) 為鞍點(diǎn)。 臨界點(diǎn)臨界點(diǎn) ，此處 其順序主子式為18，243，故 為正定矩陣而點(diǎn) 為嚴(yán)格局部最小點(diǎn)第2節(jié) 局部最優(yōu)與全局最優(yōu) 定理3：全局性定理I 令 以及 為 的一凸子集 （i）如果 為 上的凹函數(shù)而 為一臨界點(diǎn)，則 為全局最大 （ii）如果 為 上的凸函數(shù)而 為一臨界點(diǎn)，則 為全局最小點(diǎn)。 例例 生產(chǎn)函數(shù) 總利潤函數(shù) 一階條件 臨界點(diǎn) 海賽矩陣 利潤函數(shù)定義域 的一次主子數(shù)為 在定義域內(nèi)兩者都

37、小于等于零，二次主子式為 在定義域內(nèi)其大于等于零，故海賽矩陣為半負(fù)定的，那么，該兩臨界點(diǎn)為全局最大點(diǎn)，廠商的投入品需求函數(shù)為第3節(jié) 有約束最優(yōu)化 目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù) 最優(yōu)化 約束條件 或者 optimize 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法 拉格朗日函數(shù)： 其中 為拉格朗日乘子 有約束最大值點(diǎn)與無約束最大值點(diǎn) 定理 設(shè) 為下面問題的解 則存在一個數(shù) 使得 為拉格朗日函數(shù)的臨界點(diǎn)，而最優(yōu)化的一階條件可寫作 二階條件二階條件 定義 拉格朗日函數(shù)相關(guān)的加邊海賽矩陣為 的順序主子式為： 定理4 令 為拉格朗日函數(shù)的臨界點(diǎn)，則 （i） 為該有約束問題的局部最大點(diǎn)，如果在此點(diǎn)取值時 （ii） 為該有約束問題的

38、局部最小點(diǎn)，如果在此點(diǎn)取值時 例例 拉格朗日函數(shù)為 一階條件： 臨界點(diǎn)： 加邊海賽矩陣 順序主子式 故 為其有約束局部最大點(diǎn)。第4節(jié) 有約束局部最優(yōu)和有約束全局最優(yōu) 定理定理4 II 如果可行解集為凸集而目標(biāo)函數(shù)在此集合上為連續(xù)凹（凸）函數(shù)，則任意局部最大點(diǎn)（最小點(diǎn)）也是全局最大點(diǎn)（最小點(diǎn)）。如果目標(biāo)函數(shù)在此可行集上為嚴(yán)格凹（凸）函數(shù)，則該全局最大點(diǎn)（最小點(diǎn)）只有一個。 定義 閉集閉集：所有邊界點(diǎn)都包含在集合中的集合。 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)：集合 中的一點(diǎn) 為的邊界點(diǎn)，如果 的任意 鄰域中既有屬于 的點(diǎn)也有不屬于 的點(diǎn)。 超平面： 例 消費(fèi)用效用函數(shù) 預(yù)算約束 拉格朗日函數(shù) 一階條件 臨界點(diǎn) 加邊海賽

39、矩陣 對于所有正的 ，都有 ，故該兩臨界點(diǎn)為局部最大點(diǎn)和全局最大點(diǎn)，也為消費(fèi)者的需求函數(shù)第5節(jié) 矩陣微積分簡介 定義 向量函數(shù) ： 為 向量，其元素為 向量 元素的可微函數(shù) 關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)， ： 為 矩陣： 而規(guī)定 例 則 定理 令 為 向量而 為一常數(shù)矩陣，則 為 矩陣 為 矩陣 為 矩陣 定理：后向鏈?zhǔn)椒▌t定理：后向鏈?zhǔn)椒▌t 令 ， 和 分別為 ， 和 的向量 設(shè) 為 的向量函數(shù)而 為 的向量函數(shù)，則 推廣鏈?zhǔn)椒▌t推廣鏈?zhǔn)椒▌t 令 為 向量 和 向量 的 向量函數(shù)。設(shè) 和 又都是 向量 的向量函數(shù)，有 。那么 定理：乘法原則定理：乘法原則 令 為 矩陣而 為 矩陣，假設(shè)兩矩陣的元素都是向

40、量 的系數(shù)矩陣。 那么 矩陣計(jì)算在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 模型 對數(shù)似然函數(shù) 其中 等于 ， 。 而 綜合起來，則 將這兩個導(dǎo)數(shù)等于0矩陣即可得極大似然估計(jì)第七章 最優(yōu)化問題中的比較靜態(tài)分析第1節(jié) 引言 在最優(yōu)化問題中，最優(yōu)解為參數(shù)的函數(shù)，在經(jīng)濟(jì)模型中，參數(shù)常常是外生變量而最優(yōu)解為內(nèi)生變量，在最優(yōu)化問題相關(guān)聯(lián)的比較靜態(tài)分析中我們感興趣的是：一，當(dāng)某一個參數(shù)或者外生變量變化時，最優(yōu)解或者均衡值如何發(fā)生變動？二，當(dāng)某一個參數(shù)變動時，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值如何變動？ 本章在無約束最優(yōu)化和有約束最優(yōu)化框架下對其進(jìn)行探討第2節(jié) 無約束最優(yōu)化 為最優(yōu)（最大或者最?。┲岛瘮?shù) 定理：包絡(luò)定理定理：包絡(luò)定理 I 變動對

41、產(chǎn)生影響的兩種途徑： （i）直接影響，由于 是 的一個元素而 包含在 中， （ii）間接影響，通過 包絡(luò)定理： 證明： 而由最優(yōu)化一階條件可知 那么 例 廠商利潤函數(shù) 最優(yōu)點(diǎn) 最大值函數(shù) 對其關(guān)于 求導(dǎo) 而利用包絡(luò)定理 第3節(jié) 有約束最優(yōu)化 有約束最優(yōu)化問題 拉格朗日函數(shù) 最優(yōu)解 最優(yōu)值函數(shù) 包絡(luò)定理包絡(luò)定理 II 其中 和 為拉格朗日函數(shù)的臨界點(diǎn) 證明 將最優(yōu)點(diǎn)代入拉格朗日函數(shù) 由于最優(yōu)解滿足約束條件從而 以及 求導(dǎo)可得 由一階條件可知 另外 從而得證 作為影子價格的拉格朗日乘子 故 告訴我們的是參數(shù) 增加一單位對目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值所產(chǎn)生的影響，經(jīng)濟(jì)學(xué)上將其稱作該參數(shù)的影子價格。第4節(jié) 斯拉斯基

42、方程 消費(fèi)者面臨的效用最大化問題 拉格朗日函數(shù) 一階條件 馬歇爾需求函數(shù) 拉格朗日乘子 對一階條件關(guān)于 求導(dǎo) 用矩陣表示為 也即 為加邊海賽矩陣 由克拉默法則可得 若對一階條件等式兩邊取微分，則 整理可得 1、 變化而變化而 和和 保持不變保持不變 利用克拉默法則求 從而 這就是斯拉斯基方程，第一部分為“替代效應(yīng)”而第二部分為“收入效應(yīng)” 2、收入效應(yīng) 價格不變而收入變動 利用克拉默法則 那么 3、替代效應(yīng) 收入隨價格變化而變化使得消費(fèi)者的效用水平保持不變 或者 有一階條件可知，均衡時 那么 或者 前面已知 則外生變量的變化必須使得 只有商品1價格變化時，有 由克拉默法則 則 就有 替代效應(yīng)和

43、收入效應(yīng)的正負(fù)符號 替代效應(yīng) 由二階條件可知 ，而 由一階條件可知 在非飽和假定下 從而 收入效應(yīng) ， ，但 可正可負(fù)，分三種情況分析替代效應(yīng) 情形情形1：正常物品：正常物品 此時， ，從而 情形情形2：低檔物品：低檔物品 此時， ，從而 情形情形3：吉芬物品：吉芬物品 此時， ，從而 正常物品 低檔物品 吉芬物品第5節(jié) 包絡(luò)定理在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 馬歇爾需求函數(shù) 間接效用函數(shù) 定理：羅伊等式 如果 為馬歇爾需求函數(shù)，那么 證明 效用最大化問題的拉格朗日函數(shù)為 由包絡(luò)定理可知 兩式相除即可得欲證結(jié)論 支出最小化問題支出最小化問題 所得最優(yōu)點(diǎn) 為?？怂剐枨蠛瘮?shù)，?？怂剐枨蠛瘮?shù)，代入目標(biāo)函數(shù)所得最小

44、值函數(shù)為支出函數(shù) 例 拉格朗日函數(shù)為 一階條件 最優(yōu)點(diǎn)（?？怂剐枨蠛瘮?shù)） 代入目標(biāo)函數(shù)可得支出函數(shù) 謝潑德引理 令 為商品 的?？怂剐枨蠛瘮?shù)，則 證明 支出最小化問題的拉格朗日函數(shù)為 由包絡(luò)定理可得 例 支出函數(shù)為 ，求?？怂剐枨蠛瘮?shù) 由謝潑德引理可知 與上例吻合 一致性 例 間接效用函數(shù)為 一致性 求支出函數(shù) 由一致性 可知 解之得 其為欲求的支出函數(shù)。 斯拉斯基方程再討論 由一致性可知 令 ，則 對其求導(dǎo)可得 而根據(jù)謝潑德引理 則 或者 成本最小化問題成本最小化問題 所得最優(yōu)點(diǎn) 為廠商的條件需求函數(shù)條件需求函數(shù)，代入目標(biāo)函數(shù)所得最小值函數(shù)則為廠商的成本函數(shù)成本函數(shù) 謝潑德引理謝潑德引理 令

45、 為廠商投入品的條件需求函數(shù)而 為廠商的成本函數(shù)，有 證明 成本最小化問題的拉格朗日函數(shù)為 由包絡(luò)定理可知 例 成本最小化問題 拉格朗日函數(shù) 一階條件 最優(yōu)點(diǎn) 成本函數(shù) 成本函數(shù)關(guān)于要素價格求導(dǎo)并加以整理可得 利潤最大化問題 最優(yōu)點(diǎn) 這被稱作廠商的供給函數(shù)供給函數(shù)，代入目標(biāo)函數(shù)可得利潤函數(shù) 定理：霍特林引理定理：霍特林引理 令 為競爭性廠商的供給函數(shù)， 為廠商對投入品的需求函數(shù)而 為廠商的總利潤函數(shù)。 有 證明 利潤最大化問題 拉格朗日函數(shù)好 由包絡(luò)定理可得 例 競爭性廠商成本函數(shù)為 令 ，則總利潤函數(shù)為 一階條件 供給函數(shù) 總利潤函數(shù) 總利潤函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量和要素價格求導(dǎo)，整理可得第八章 積分第

46、1節(jié) 引言 連續(xù)時間與離散時間 連續(xù)時間：經(jīng)濟(jì)變量連續(xù)變動 研究方法為積分和微分方程 離散時間：經(jīng)濟(jì)變量只在時間離散區(qū)間的終點(diǎn)才發(fā)生變化 研究方法為差分方程第2節(jié) 定積分 單調(diào)遞增函數(shù) 閉區(qū)間 的分割 第 個子區(qū)間圖形下方的面積明顯介于 和 之間： 當(dāng)分割無窮細(xì)時 由夾逼定理可知 如果 ， 則有 該公共極限被稱為 在界限 和 之間關(guān)于 的定積分。 如果該極限存在，則稱其在該區(qū)間黎曼可積性質(zhì)：第3節(jié) 作為微分逆過程的積分 均值定理均值定理 令 為定義在閉區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)。那么存在一點(diǎn) 使得 微積分基本定理微積分基本定理 令 ，并設(shè) 是一個連續(xù)一元函數(shù)，則 標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式： ，其中 求定積分在

47、本質(zhì)上是求導(dǎo)的逆過程：我們需要找到使得 的 表示符號表示符號第4節(jié) 不定積分 定義定義 不定積分不定積分： ， 為任意常數(shù)，記作 不定積分法則不定積分法則 . 換元積分法和分部積分法 換元積分法： ， ，由鏈?zhǔn)椒▌t有 兩邊取不定積分： 例 令 ，則 ， 分部積分法：乘積法則， ，兩邊 同時求不定積分有 或者 例 令 ， 則 第5節(jié) 進(jìn)一步的思考 反常積分： 積分區(qū)域由 擴(kuò)展到積分上限為 或者積分下限為 的情形 當(dāng)極限存在時，該反常積分為收斂的，否則其為發(fā)散的。 反常函數(shù)的另一種類型：被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)趨于無窮 如 在 上連續(xù)而在 處趨于無窮，則當(dāng)且僅當(dāng) 存在時，其為收斂，否則為發(fā)散； 如果

48、在 上連續(xù)而在 處趨于無窮，那么當(dāng)且僅當(dāng) 存在時，我們稱反常積分收斂，否則其為發(fā)散 最后，如果 在閉區(qū)間 上連續(xù)，而在 處趨于無窮，其中 ，考慮 當(dāng)右邊的兩個積分都收斂時我們稱積分收斂。 例 考慮 因此 該積分發(fā)散 多重積分 對多遠(yuǎn)函數(shù)進(jìn)行積分的情形，如 處理方法：先將函數(shù) 關(guān)于 積分而將 看作一個常數(shù)，然后將該積分在 和 間取值。這就得到了一個 的函數(shù)。又將該函數(shù)關(guān)于 積分而在 和 間對其取值。 例第6節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用 價格變化引起的消費(fèi)者福利變化的側(cè)定 消費(fèi)者福利損失消費(fèi)者福利損失： 補(bǔ)償變動補(bǔ)償變動 為消費(fèi)者福利保持和價格上漲之前一樣所需要的額外收入 等價變動 為要使消費(fèi)者在初始價格水平下

49、福利水平和新價格水平下保持一致時，我們需要從消費(fèi)者身上取走的收入數(shù)額。 三種測量方法之間的比較 由一致性可知 從而 由謝潑德引理可知 兩邊取定積分有 類似的 即消費(fèi)者剩余測量的是馬歇爾需求函數(shù)下方區(qū)域的面積。補(bǔ)償變量和等價變量測量的是希克斯需求函數(shù)下方區(qū)域的面積，不過它們曲線之間效用水平不同。 由斯拉斯基方程可知 對于正常品，馬歇爾需求函數(shù)的斜率小于?？怂剐枨蠛瘮?shù)的斜率，有 補(bǔ)償變量是要使在新的較低價格下消費(fèi)者的效用保持在原先最大效用水平而需要從消費(fèi)者收入中扣除的數(shù)額，而等價變量為要使消費(fèi)者在之前價格水平下達(dá)到新的最大化效用水平需要增加的收入數(shù)額。 洛倫茲曲線和基尼系數(shù) 洛倫茲曲線 基尼系數(shù)：

50、 洛倫茲曲線 現(xiàn)值 離散情形 計(jì)算可得 則 時期 現(xiàn)值為 整個項(xiàng)目現(xiàn)值為 連續(xù)情形 指數(shù)增長 積分可得（初始條件 ） 項(xiàng)目 時收入流現(xiàn)值為 整個項(xiàng)目現(xiàn)值為第九章 連續(xù)時間：微分方程第1節(jié) 定義 微分方程就是涉及導(dǎo)數(shù)的方程 偏微分方程，常微分方程 階線性常微分方程階線性常微分方程 常系數(shù)微分方程 齊次形式 定理 階線性常微分方程（線性或者非線性）的通解是 的函數(shù) ，其中剛好有個任意常數(shù)。 ，其中 為任意常數(shù) 初始條件與特解第2節(jié) 線性微分方程 求導(dǎo)數(shù)學(xué)算子 線性算子 則一般 階線性常微分方程可寫作 也可寫作 線性算子性質(zhì)： （i） （ii） 定理 令 為線性微分方程 的特解而 為相應(yīng)齊次形式 的

51、通解則非齊次方程 的通解為 。第3節(jié) 一階常系數(shù)線性微分方程 最簡單形式 定理定理 其非齊次方程的特解為 特殊情形特殊情形 其一個特解（潛在均衡點(diǎn)）為 該非齊次方程的通解為 定義定義 ， 收斂于 ， 的時間路徑是穩(wěn)定的 在上例中，當(dāng)且僅當(dāng) 時， 伯努利方程 其中 和 為常數(shù)或者 的函數(shù)， 為任意除0和1之外的實(shí)數(shù)，兩邊同除 可得 令 從而 則微分方程可寫為 例 同除 令 ，從而 ，則 其解為 原方程的解為第4節(jié) 利用一階微分方程進(jìn)行動態(tài)經(jīng)濟(jì)分析 在供求模型背后的動態(tài)變化 瓦爾拉斯供求模型 需求函數(shù)： 供給函數(shù)： 動態(tài)假設(shè)：價格隨著剩余需求的變化而變化 馬歇爾供求模型 需求函數(shù)： 供給函數(shù)： 動

52、態(tài)假設(shè)：數(shù)量會隨著購買者愿意支付的價格與供給者愿意接受價格之間的差異變化而變化 瓦爾拉斯均衡 馬歇爾 瓦爾拉斯線性模型： 動態(tài)調(diào)整過程 代入可得 為常系數(shù)的一階線性微分方程，一特解（潛在均衡點(diǎn)）為 通解為 其中 為任意常數(shù)而 當(dāng)且僅當(dāng) 時 ，因 條件即為 在正常商品時，供給曲線不后仰，條件滿足 馬歇爾供求函數(shù)： 動態(tài)調(diào)整過程： 代入可得 一特解（潛在均衡點(diǎn)）： 通解為 其中 為任意常數(shù)而 當(dāng)且僅當(dāng) 時 ，因 ，條件也即 在通常情況下這一條件也滿足 但在吉芬物品與正斜率供給曲線，或者后仰供給曲線與正常物品相聯(lián)系時，兩動態(tài)假設(shè)沖突，一方認(rèn)為價格和數(shù)量時間路徑穩(wěn)定，而另一方認(rèn)為其不穩(wěn)定。 索羅斯旺新

53、古典增長模型 新古典生產(chǎn)函數(shù) 邊際產(chǎn)品為正但遞減 一次齊次（規(guī)模報酬不變）性 人均項(xiàng)目表示為 凈投資： 同除 可得 而 那么 即 潛在均衡（穩(wěn)態(tài)）處 穩(wěn)態(tài)人均消費(fèi) 為 的函數(shù)，有 則 求最大化穩(wěn)態(tài)消費(fèi)水平的儲蓄水平 穩(wěn)態(tài) 令其等于零，可得 資本積累的黃金律水平第5節(jié) 二階線性常系數(shù)微分方程 齊次方程的通解齊次方程的通解 定理定理 令 為如下齊次方程的特解其中 不是 的常數(shù)倍，則該方程的通解為 ，其中 為任意常數(shù) 定義 輔助方程: 情形1：不等實(shí)根 定理 輔助方程根為不等實(shí)根 和 ，則該齊次方程的通解為 情形2：相等實(shí)根 輔助方程有相等實(shí)根 ，則該齊次方程的通解為 情形3：共軛復(fù)根 輔助方程根為

54、共軛復(fù)根 和 ，齊次方程的通解為 非齊次方程的特解 待定系數(shù)法實(shí)質(zhì)上是根據(jù)函數(shù)對特解進(jìn)行有依據(jù)的猜測。 待試特解 . 待試特解 . 或者 或者 使用規(guī)則： （i）如果 為幾個不同函數(shù)的和，應(yīng)該分別處理這些函數(shù)然后將所得到的特解相加。 （ii）如果待試特解中包含的函數(shù)為齊次方程的通解，則該待試特解需要乘上 后再試，如果仍然存在這個問題，則再乘 。 例 輔助方程為 重根 ，通解為 對于右邊的 ，先嘗試特解 ，已出現(xiàn)在通解中， 而 也出現(xiàn)在通解中，嘗試 可得 此部分的特解為 對于 ，嘗試 可得 ， ，此部分特解為 ，該非齊次方程所求特解為 此方程的通解為 特殊情形 特解（潛在均衡點(diǎn)） 情形1： 不等

55、實(shí)根， 當(dāng)且僅當(dāng)兩根都小于零時， 收斂于 ，時間路徑穩(wěn)定，否則爆炸式，無循環(huán)和波動 情形2： 相等實(shí)根， 通解為 當(dāng)且僅當(dāng) ， 收斂于 ，否則時間路徑發(fā)散，都無循環(huán) 情形3： 共軛復(fù)根， ， ，通解為 存在循環(huán)，若 ，逐漸衰減的循環(huán)收斂于 ，若 不變振蕩的循環(huán)而不收斂，若 ，則不斷擴(kuò)張的循環(huán)而發(fā)散。第6節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用：動態(tài)供求模型 供求相等可得 特解（潛在均衡值） 輔助方程 輔助方程的根為 若 為正，則平方根符號下部分正負(fù)符號為 從而具有不同實(shí)根，其中一個根大于零，則價格的時間路徑是發(fā)散。 若 為負(fù)，不能判斷根的情況，若為不同實(shí)根而 ，那么 兩根都為負(fù)，時間路徑收斂，若兩根相等， 都小于零，其

56、時間路徑也為收斂的。最后，如果為共軛復(fù)數(shù)，其實(shí)數(shù)部分 小于零， 的時間路徑同樣為收斂的，盡管此時帶有不斷衰減的循環(huán)。第7節(jié) 高階線性微分方程 高階微分方程 輔助方程 當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)所有的實(shí)根或者所有根的實(shí)數(shù)部分都為負(fù)時其時間路徑收斂。 Routh定理定理 次多項(xiàng)式方程的所有根和所有根的實(shí)數(shù)部分都為負(fù)的充分必要條件為下列行列式的前 個都為正： ， ， ， ，第8節(jié) 非線性微分方程的定性分析 一階微分方程組： 自治方程組 相圖分析 暫設(shè) 和 ，畫出 和 的圖像在 的右邊，有 在 的左邊，有 在 的上方，有 在 的下方，有 在每個區(qū)域的兩個變量的運(yùn)動方向，方向箭頭若條件變?yōu)椋涸?的上方，有 在 的下

57、方，有 ，則 方向箭頭第十章 離散時間：差分方程第1節(jié) 引言和定義 變量只在離散時間區(qū)間的結(jié)尾處才發(fā)生變化，而時間變量只能取非負(fù)的整數(shù) 差分算子 定義定義 的一階向前差分一階向前差分為 其二階向前差分二階向前差分為 階差分方程會涉及 ， 其一階向后差分一階向后差分為 二階向后差分二階向后差分為 階向后差分方程會涉及 帕斯卡（楊輝）三角形帕斯卡（楊輝）三角形 差分方程的表達(dá)式 階差分階差分方程 或者 階線性差分方程為 或者 若系數(shù)為常數(shù)，則差分方程具有不變系數(shù)不變系數(shù)，若其等于零，則差分方程為齊次方程齊次方程 定理 階差分方程的通解中包括 個任意常數(shù)。 如果 為非齊次線性常系數(shù)差分方程的特解而

58、為對應(yīng)齊次方程的通解，則 為該非齊次方程的通解。 如果 和 為二階線性常系數(shù)齊次方程的特解，那么該方程的通解為 ，其中 和 為任意常數(shù)。第2節(jié) 一階線性常系數(shù)差分方程 方程 直接代入可知 為該方程齊次形式的通解，而 為該非齊次方程的特解，則方程通解為 當(dāng) 時， ，為 的潛在均衡點(diǎn)第3節(jié) 二階線性常系數(shù)差分方程 二階線性常系數(shù)方程 齊次方程的通解 輔助方程： 情形情形1：輔助方程不同實(shí)根：輔助方程不同實(shí)根 定理定理 此時齊次方程的通解為 情形情形2：輔助方程具有相同實(shí)根：輔助方程具有相同實(shí)根 定理 此時通解為 情形情形3：輔助方程具有共軛復(fù)根：輔助方程具有共軛復(fù)根 , 定理 此時通解為 其中 ，

59、 由 定義 非齊次方程的特解 待定系數(shù)法 例 差分方程 代入向前差分算子 輔助方程為 其根為重根 ，對應(yīng)齊次方程的通解為 對于方程右邊的 ，待試特解為 代入可得 對于 ，先試解 ，但在齊次方程通解中已經(jīng)出現(xiàn)，也是這樣，則試解 ，代入可得 整個部分的特解為 非齊次差分方程的通解為 特殊情形 其一個特解（潛在均衡點(diǎn)）為 輔助方程 情形情形1：輔助方程具有不等實(shí)根：輔助方程具有不等實(shí)根 此時通解為 當(dāng)且僅當(dāng)兩根絕對值都小于1，時間路徑收斂 若兩根均為負(fù)或者為負(fù)根絕對值較大，則時間路徑存在振蕩 情形情形2：相等實(shí)根：相等實(shí)根， 此時通解為 當(dāng)且僅當(dāng)該重根絕對值小于1時，時間路徑收斂 若該重根為負(fù)，則時

60、間路徑存在振蕩 情形情形3：共軛復(fù)根：共軛復(fù)根， 此時通解為 必存在振蕩，若 ，為爆炸式的振蕩，若 ，所得時間路徑為不斷衰減的振蕩且收斂于 。 定義定義 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 或或 的絕對值為的絕對值為 三種情形都可能存在振蕩，當(dāng)且僅當(dāng)每個根的絕對值都小于1時，所得時間路徑收斂。第4節(jié) 考察二次方程根的性質(zhì) 二次方程 其根為 有 有如下關(guān)系： （i）若 ，則兩根符號相同，若同時 ，則為兩正根，若 ，則為兩負(fù)根 （ii）若 ，則一根為負(fù)而另一根為正。 輔助方程 其兩根絕對值小于1的充分必要條件為： （i） （ii） （iii）第5節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用 蛛網(wǎng)模型 基本蛛網(wǎng)模型 需求： 供給： 供求相等可得一階常系數(shù)