1、第一章空間幾何體1.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)1. 多面體與旋轉(zhuǎn)體：（ 1）由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面.相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).（ 2）由一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.2. 棱柱：（ 1）有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面（簡(jiǎn)稱底），其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).

2、（ 2）側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否則斜棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。（ 3）棱柱的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按側(cè)棱與底面的關(guān)系分為直棱柱和斜棱柱。（ 4）底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體；底面為矩形的直平行六面體叫長(zhǎng)方體；底面為正方形的長(zhǎng)方體叫正四棱柱；棱長(zhǎng)都相等的正四棱柱叫正方體。（ 5）棱柱的性質(zhì)：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。3. 棱錐：（ 1）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一公共點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何

3、體叫做棱錐.棱錐中，這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面，各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.（ 2）底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是正多邊形的中心的棱錐叫正棱柱。正棱柱頂點(diǎn)與底面中心的連線段叫正棱錐的高；正棱錐側(cè)面等腰三角形底邊上的高叫正棱錐的斜高。（ 3）棱錐的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等.（ 4）棱錐的性質(zhì)：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方.（ 5）正棱錐的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱都相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。正棱錐的高，斜高和斜高在底面

4、上的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高，側(cè)棱，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形。正棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等。正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等。4. 圓柱與圓錐：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱；以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.在圓柱中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線5. 棱臺(tái)與圓臺(tái)：(1)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)；用一個(gè)平行

5、于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺(tái)(2)棱臺(tái)的性質(zhì)：兩底面所在平面互相平行；兩底面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的相似多邊形；側(cè)面是梯形；側(cè)棱的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn).(3)圓臺(tái)的性質(zhì)：兩底面是兩個(gè)半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；任意兩條母線的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)；母線長(zhǎng)都相等.(4)棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.6 .球：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫球體，簡(jiǎn)稱球.在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑7 .簡(jiǎn)單組合體：由簡(jiǎn)單幾何體(如柱、錐、臺(tái)、球等)組合而成的幾何體叫簡(jiǎn)單組合體【常見題型】1 .如下四個(gè)命題：棱柱的側(cè)面都是平行四邊形

6、；棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)共同的公共點(diǎn)；多面體至少有四個(gè)面；棱臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn).其中正確的命題有(D)個(gè)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2 .圓錐底面半徑為1cm,高為s/2cm,其中有一個(gè)內(nèi)接正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng).【解】分析：回出軸截面圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x,利用相似列關(guān)系求解過(guò)圓錐的頂點(diǎn)S和正方體底面的一條對(duì)角線CD作圓錐的截面，得圓錐的軸截面SEF,正方體對(duì)角面CDDiCi,如圖所示.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x,則CCi=x,C1D1=2x.作SO_LEF于O,貝USO=vE,OE=1,AECC1AEOS,.-=EC1,即關(guān)=12/.SOEO212r一、-，2

7、l-x=(cm),即內(nèi)接正萬(wàn)體棱長(zhǎng)為cm221.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1 .中心投影與平行投影：(1)光由一點(diǎn)向外散射形成的投影稱為中心投影(2)在一束平行光線照射下形成的投影，稱為平行投影(3)平行投影按照投射方向是否正對(duì)著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種2 .柱、錐、臺(tái)、球的三視圖：(1)三視圖的定義：正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖.幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.(2)三視圖的幾何作用：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的

8、高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度.3 .直觀圖：直觀圖”最常用的畫法是斜二測(cè)畫法，由其規(guī)則能畫出水平放置的直觀圖，其實(shí)質(zhì)就是在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的位置的畫法.基本步驟如下：(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，得到直角坐標(biāo)系xoy,直觀圖中畫成斜坐標(biāo)系xoy,兩軸夾角為45.(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x或y軸的線段.(3)長(zhǎng)度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.注息：1 .視圖”

9、是將物體按正投影法向投影面投射時(shí)所得到的投影圖.光線自物體的前面向后投影所得的投影圖成為正視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為側(cè)視圖”，自上向下投影所得的圖形稱為俯視圖”.用這三種視圖即可刻劃空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，稱為主視圖”.2 .畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個(gè)正前方，從幾何體的正前方、左側(cè)(和右側(cè))、正上方三個(gè)不同的方向看幾何體，畫出所得到的三個(gè)平面圖形，并發(fā)揮空間想象能力.在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來(lái).3 .三視圖中反應(yīng)的長(zhǎng)、寬、高的特點(diǎn)：長(zhǎng)對(duì)正“，高平齊”，寬相等4 .空間幾何體的三視圖與直觀圖有密切聯(lián)系.三視圖從細(xì)節(jié)上刻畫了

10、空間幾何體的結(jié)構(gòu)，根據(jù)三視圖可以得到一個(gè)精確的空間幾何體，得到廣泛應(yīng)用(零件圖紙、建筑圖紙).直觀圖是對(duì)空間幾何體的整體刻畫，根據(jù)直觀圖的結(jié)構(gòu)想象實(shí)物的形象.正槿圈 到視圖 俯視即(1)【常見題型】1 .如圖，圖（1）是常見的六角螺帽，試畫出它的三視圖【解】分析：畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個(gè)正前方，從三個(gè)不同的角度進(jìn)行觀察.在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來(lái).圖（1）為圓柱和正六棱柱的組合體.從三個(gè)方向觀察，得到三個(gè)平面圖形，繪制的三視圖如下圖所示.2 .畫棱長(zhǎng)為4cm的正方體的直觀圖【解】分析：按照斜二測(cè)畫法的步驟畫正方體的直觀圖，先

11、畫下底面，再畫棱，再畫上底面.（1）畫法：如圖，按如下步驟完成.第一步，在已知的直角三角形ABC中取直角邊CB所在的直線為x軸，與BC垂直的直線為y軸，畫出對(duì)應(yīng)的x軸和y軸，使/xOy=45.第二步，在x軸上取OC=BC，過(guò)C作y軸的平行線，取八1八CACA.2第三步，連接AO,即得到該直角三角形的直觀圖（2）畫法：如圖，按如下步驟完成第一步，作水平放置的正方形的直觀圖ABCD,使NBAD=453，AB=4cm,AD=2cm.z ,軸及這組平行線上分別截第二步，過(guò)A作z軸，使ZBAz90.分別過(guò)點(diǎn)B,C,D作z軸的平行線，在取AA=BB=CC=DD=4cm.第三步，連接AB；BC,CD；DA,

12、所得圖形就是正方體的直觀圖1.3空間幾何體的表面積與體積1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積1 .圓柱：側(cè)面展開圖是矩形，長(zhǎng)是圓柱底面圓周長(zhǎng)，寬是圓柱的高（母線），S圓柱側(cè)=2nrl,2.S圓柱表=2nr（r+l）,其中為r圓枉底面半徑，l為母線長(zhǎng)；V圓柱=Sh=nrh.2.圓錐：側(cè)面展開圖為一個(gè)扇形，半徑是圓錐的母線，弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，側(cè)面展開圖扇形中心角為r01日=一父360,S圓錐側(cè)二叫，S圓錐表=M（r+l）,其中為r圓錐底面半徑，l為母線長(zhǎng).V=-ShS為底面l3面積，h為高）3.圓臺(tái)：側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，側(cè)面展開圖扇環(huán)中心角為日

13、=Rr父3600,S圓臺(tái)側(cè)=n(r+R)l,S圓臺(tái)表=兀(2+rl+Rl+R2).V臺(tái)=1(S+SS+S)h(S,Sl311分別上、下底面積，h為局)一V圓臺(tái)=(S+JSS+S)h=冗“2+rR+R2)h(r、R分別為圓臺(tái)上底、33下底半徑)4 .柱、錐、臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式的關(guān)系表面積相關(guān)公式表面積相關(guān)公式棱柱S全=SW*2S底，其中S側(cè)1側(cè)棱長(zhǎng)Lc直截面周長(zhǎng)圓柱2%=2nr+2nrh(r：底面半徑，h：局)棱錐s全=Sw+S底圓錐2、.，,一S全=nr+nr1(r：底面半徑，1：母線長(zhǎng))棱臺(tái)S全=麗+S上底+S下底圓臺(tái)&=n(r2+r2+r1+r1)(r：下底半徑，r：上底半徑，1：

14、母線長(zhǎng))體積公式體積公式棱柱V=$底h圓柱V=nr2h棱臺(tái)V=1(S+VS，S+S)h棱錐1一V=3s底h圓錐12V=nrh3圓臺(tái)12,2V=n(r+rr+r)h35 .柱、椎、臺(tái)之間，可以看成一個(gè)臺(tái)體進(jìn)行變化，當(dāng)臺(tái)體的上底面逐漸收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，它就成了錐體；當(dāng)臺(tái)體的上底面逐漸擴(kuò)展到與下底面全等時(shí)，它就成了柱體.因而體積會(huì)有以下的關(guān)系：v錐=：S|hS-V=1(S+ZS7S+S)h工=V柱=S_h.【常見題型】1 .已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是2,5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)【解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l,則，圓臺(tái)的上底面面積為S上=冗，22=4幾，圓臺(tái)的上底面面積為1=兀52

15、=25幾，所以圓臺(tái)的底面面積為S=S上十=29n.又圓臺(tái)的側(cè)面積母=U(2+5)1=血1,于是r29，7m=29n，即1=29為所求.72 .一個(gè)長(zhǎng)方體的相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是2,3,6,則長(zhǎng)方體的體積是【解】解析：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,求出a,b,c的值，再求體積.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,則ab=2,ac=3,bc=6,三式相乘得(abc)2=36.所以，長(zhǎng)方體的體積為61.3.2球的體積和表面積1.球的體積是對(duì)球體所占空間大小的度量,43它是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為R,則球的體積丫球=nR332.球的表面積是對(duì)球的表面大小的度量，它也是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的

16、半徑為R,則球的表面積為S求面=4nR2,它是球的大圓面積的4倍3.用一個(gè)平面去截球，所得到的截面是一個(gè)圓【常見題型】1 .如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D在千O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)16在球面上，如果Vp上BCD=-6,則球。的表面積是一3A.4二B.8二C.12二D.16二【解】如圖，正四棱錐PABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D在千。的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，PO與平面ABCD垂直，是棱錐的高，PO=R,Sabcd=2R2,Vpabcd=16,所以12R2R=,解得R=2,一333則球O的表面積是16n,選D.2.半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓

17、內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為體積.【解】分析：作出軸截面，利用勾股定理求解.作軸截面如圖所示，CC=J6,AC=&，V6=2j3,設(shè)球半徑為R,則R2=OC2+CC2=（76）2+（J3）2=9R=3,.S球=4nR2=36n，V球=4nR3=36n.練習(xí)題一、選擇題-有一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)（）A棱臺(tái)B棱錐C棱柱2棱長(zhǎng)都是1的三棱錐的表面積為（）A、3B23C3.3D4.33長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是3,4,5,它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是（）A25二B50二C125nD都不對(duì)4正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（A .3 : 1 B ,3:2C 2 :

18、13D ,3 : 35一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)為2cm,則球的表面積是（22A 8ncmB 12ncm22C 16ncm D 20ncm6圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3,圓臺(tái)的側(cè)面積為 84n ,則圓臺(tái)較小底面的半徑為（）A 7B 6C 5D 38 在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方形，則截去 下的幾何體的體積是（）A 2B 7C , D 936568個(gè)三棱錐后，剩9 已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1 和 V2,則 M、2=()A1:3B1:110 如果兩個(gè)球的體積之比為A8:27B2:3C 2:1 D 3

19、:18:27,那么兩個(gè)球的表面積之比為 （）C 4:9 D 2:911 有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位 cm）,則該幾何體表面積及體積為：（）2215n cm , 12n cm以上都不正確22A24ncm,12ncmb22C24ncm,36ncmD12正方體的全面積為18cm2,則它的體積是（）A4cm3；B8cm3;C-cm3；D3M3cm3。72二、填空題13若三個(gè)球的表面積之比是1:2:3,則它們的體積之比是14已知一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是尬、哀、J6,這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角長(zhǎng)是;若長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為3,5,15,則它的體積為15RtAABC,AB=3,B

20、C=4,AC=5,將三角形繞直角邊AB旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為16等體積的球和正方體，它們的表面積的大小關(guān)系是S球S正方體17圖（1）為長(zhǎng)方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由塊木塊堆成；圖（2）中的三俯圖（1）18若圓錐的表面積為a平方米，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面的直徑為19球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，它的體積擴(kuò)大為原來(lái)的倍20、一個(gè)直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒(méi)入水中后，水面升高9厘米則此球的半徑為厘米.21已知棱臺(tái)的上下底面面積分別為4、16,高為3,則該棱臺(tái)的體積為三、解答題022將圓心角為120,面積為3n的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐

21、的表面積和體積23有一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的油槽，可以裝油190L,假如它的兩底面邊長(zhǎng)分別等于60cm和40cm,求它的深度為多少cm24已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是2,5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)25如圖，在四邊形ABCD中，/DAB=900,NADC=1350,AB=5,CD=2,AD=2,求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積參考答案、選擇題1A從俯視圖來(lái)看，上、下底面都是正方形，但是大小不一樣，可以判斷是棱臺(tái)2 A 因?yàn)樗膫€(gè)面是全等的正三角形，則務(wù)面積二4s底面積”?-33B長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑,l=.3242-52=5、.2,2R=5.2,R=51-2,S=4二R2=50二2 一 a_ 2 r切球 外接球- M 3D正方體的棱長(zhǎng)是內(nèi)切球的直徑，正方體的對(duì)角線是外接球的直徑，設(shè)棱長(zhǎng)是aa=2r內(nèi)切球，r內(nèi)切球=萬(wàn),Ja=琢接球，r外接球5B正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球?yàn)檎襟w的外接球，則2j3=2R,R=,3,S=4二R2=12二6AS側(cè)面積=：(r3r)1=84二，r=7幾何體是圓臺(tái)上加了個(gè)圓錐，分別由直角梯形和直角三角形旋轉(zhuǎn)而得V正方體一 8V三棱錐C1cV1M=(Sh):(Sh)=3:1310CMM=8:27,r1：r2=2:3,