1、 2檢驗(yàn)(Chi-square test)是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的創(chuàng)始人之一，英國人K . Pearson（1857-1936）于1900年提出的一種具有廣泛用途的統(tǒng)計(jì)方法，可用于適合性、獨(dú)立性檢驗(yàn)等等。 Karl Pearson卡爾皮爾森 (1857-1936)：英國生物學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家，舊數(shù)理學(xué)派和描述統(tǒng)計(jì)學(xué)派的代表人物，現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)科學(xué)的創(chuàng)立者，被公認(rèn)為統(tǒng)計(jì)學(xué)之父。他是個(gè)社會(huì)主義者。出于對(duì)馬克思的敬仰，他在二十三歲那年，把名字從英文的習(xí)慣寫法Carl改為與馬克思相同的Karl 。K. Pearson 22歲畢業(yè)于劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)系；曾參與激進(jìn)的政治活動(dòng)。出版幾本文學(xué)作品，并且作了三年的律師實(shí)習(xí)。27歲進(jìn)入倫

2、敦大學(xué)學(xué)院 (University College, London)，教授數(shù)學(xué)與力學(xué)，從此待在該校一直到1933年。 K. Pearson是活躍在19世紀(jì)末葉和20世紀(jì)初葉的罕見的百科全書式的學(xué)者。他是應(yīng)用數(shù)學(xué)家、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家和優(yōu)生學(xué)家，也是天文學(xué)、彈性和工程問題專家，又是名副其實(shí)的科學(xué)哲學(xué)家、歷史學(xué)家、民俗學(xué)家、宗教學(xué)家、人類學(xué)家、語言學(xué)家、倫理學(xué)家，還是律師、教育改革者、社會(huì)主義者、人道主義者、婦女解放的鼓吹者，同時(shí)還是受歡迎的教師、編輯、文學(xué)作品和人物傳記的作者。 K. Pearson 最重要的學(xué)術(shù)成就，是為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)打下基礎(chǔ)。許多熟悉的統(tǒng)計(jì)名詞如標(biāo)準(zhǔn)差，成分分析，卡方檢驗(yàn)都是他提出的。

3、 K. Pearson、Galton 與 Weldon 為了推廣統(tǒng)計(jì)在生物上的應(yīng)用，于1901年創(chuàng)立統(tǒng)計(jì)的元老期刊Biometrika， 由 K. Pearson 主編至死，但是 K. Pearson 的主觀強(qiáng)，經(jīng)常對(duì)他本人認(rèn)為有“爭議”的文章， 刪改或退稿，并因此與英國二十世紀(jì)最有才華的統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Fisher 結(jié)下梁子。 K. Pearson在統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的主要貢獻(xiàn)：1.推導(dǎo)出 分布，提出 檢驗(yàn)（1900年）。2.發(fā)展了回歸和相關(guān)理論。 22概念：概念：通過計(jì)算通過計(jì)算2統(tǒng)計(jì)量進(jìn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行差異顯著性檢驗(yàn)的方法稱行差異顯著性檢驗(yàn)的方法稱為為2檢驗(yàn)檢驗(yàn)。 介紹對(duì)次數(shù)資料、等級(jí)資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析介紹對(duì)

4、次數(shù)資料、等級(jí)資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。的方法。在醫(yī)學(xué)資料中，特別是臨床醫(yī)學(xué)資料中，常常遇到在醫(yī)學(xué)資料中，特別是臨床醫(yī)學(xué)資料中，常常遇到一些定性指標(biāo)，如臨床療效的評(píng)價(jià)、疾病的臨床分期、一些定性指標(biāo)，如臨床療效的評(píng)價(jià)、疾病的臨床分期、癥狀嚴(yán)重程度的臨床分級(jí)、中醫(yī)診斷的一些臨床癥狀癥狀嚴(yán)重程度的臨床分級(jí)、中醫(yī)診斷的一些臨床癥狀等，等，對(duì)這些指標(biāo)常采用分成若干等級(jí)然后分類計(jì)數(shù)的對(duì)這些指標(biāo)常采用分成若干等級(jí)然后分類計(jì)數(shù)的辦法來解決它的量化問題辦法來解決它的量化問題，這樣的資料我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)學(xué)，這樣的資料我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為有序變量（上稱為有序變量（ordered variableordered variabl

5、e）或半定量資料，）或半定量資料，也稱為等級(jí)資料（也稱為等級(jí)資料（ranked dataranked data）。）。 等級(jí)資料定義：等級(jí)資料定義： 等級(jí)資料劃分的兩種情況：等級(jí)資料劃分的兩種情況：特點(diǎn)：特點(diǎn)：觀察結(jié)果具有等級(jí)差別觀察結(jié)果具有等級(jí)差別v按性質(zhì)劃分：按性質(zhì)劃分：如藥物療效分為痊愈、顯效、好轉(zhuǎn)如藥物療效分為痊愈、顯效、好轉(zhuǎn)、無效；麻醉效果分為、無效；麻醉效果分為、級(jí)等。級(jí)等。v按數(shù)量分組：按數(shù)量分組：數(shù)據(jù)兩端不能確切測定的計(jì)量資料數(shù)據(jù)兩端不能確切測定的計(jì)量資料。如抗體滴度分為。如抗體滴度分為1:20,1:20,1:40,1:80,1:20,1:20,1:40,1:80,1:80；年

6、齡分為年齡分為10,1010,10, 20, 20,40,40,60,60等。等。？等級(jí)資料的分析方法是否和等級(jí)資料的分析方法是否和一般計(jì)數(shù)資料的檢驗(yàn)方法相同呢？一般計(jì)數(shù)資料的檢驗(yàn)方法相同呢？ 等級(jí)資料的分析應(yīng)該選用什么方法？等級(jí)資料的分析應(yīng)該選用什么方法？等級(jí)資料正確的統(tǒng)計(jì)分析方法：等級(jí)資料正確的統(tǒng)計(jì)分析方法： CMH CMH卡方檢驗(yàn)卡方檢驗(yàn) 非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的秩和檢驗(yàn)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的秩和檢驗(yàn) Kendall Kendall 、spearmanspearman等級(jí)相關(guān)等級(jí)相關(guān) RiditRidit分析分析 線性趨勢卡方檢驗(yàn)線性趨勢卡方檢驗(yàn) 有序變量的有序變量的LogisticLogistic回歸分析回

7、歸分析 一、一、 2 2統(tǒng)計(jì)量的意義統(tǒng)計(jì)量的意義 為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合一實(shí)例說明為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合一實(shí)例說明 2 2統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量的意義。根據(jù)遺傳學(xué)理論，動(dòng)物的性別比量的意義。根據(jù)遺傳學(xué)理論，動(dòng)物的性別比例是例是1:11:1。統(tǒng)計(jì)某羊場一年所產(chǎn)的。統(tǒng)計(jì)某羊場一年所產(chǎn)的876876只羔羊只羔羊中，有公羔中，有公羔428428只，母羔只，母羔448448只。按只。按1:11:1的性別的性別比例計(jì)算，公、母羔均應(yīng)為比例計(jì)算，公、母羔均應(yīng)為438438只。以只。以A A表示表示實(shí)際觀察次數(shù)，實(shí)際觀察次數(shù)，T T 表表 示示 理理 論次數(shù)，可將上論次數(shù)，可將上述情況列成表述情況列成表6-16-1。 表表6

8、-1 羔羊性別實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)羔羊性別實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù) 原理原理：判斷樣本觀察頻數(shù)（判斷樣本觀察頻數(shù)（Observed frequency）與理論）與理論(期期望望)頻數(shù)（頻數(shù)（Expected frequency ）之差是否由抽樣誤差所引起。）之差是否由抽樣誤差所引起。 從表從表6-16-1看到看到 ，實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)，實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)存在一定的差異，這里公、母各相差存在一定的差異，這里公、母各相差1010只。只。 這個(gè)差異是屬于抽樣誤差這個(gè)差異是屬于抽樣誤差( (把對(duì)該羊場一年所把對(duì)該羊場一年所生羔羊的性別統(tǒng)計(jì)當(dāng)作是一次抽樣調(diào)查生羔羊的性別統(tǒng)計(jì)當(dāng)作是一次抽樣調(diào)查)

9、)、還、還是羔羊性別比例發(fā)生了實(shí)質(zhì)性的變化是羔羊性別比例發(fā)生了實(shí)質(zhì)性的變化? ? 要回答這個(gè)問題，首先需要確定一個(gè)統(tǒng)計(jì)要回答這個(gè)問題，首先需要確定一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，用以表示實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的量，用以表示實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度；然后判斷這一偏離程度是否屬于抽樣誤程度；然后判斷這一偏離程度是否屬于抽樣誤差，即進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。差，即進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。 為了度量實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度，最簡單為了度量實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度，最簡單的辦法是求出實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差數(shù)。從表的辦法是求出實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差數(shù)。從表7-17-1看出：看出：A A1 1- -T T1

10、1 =-10 =-10，A A2 2- -T T2 2=10=10，由于這兩個(gè)差數(shù)之和為，由于這兩個(gè)差數(shù)之和為0 0，顯然不能，顯然不能用這兩個(gè)差數(shù)之和來表示實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程用這兩個(gè)差數(shù)之和來表示實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度。為了避免正、負(fù)抵消，可將兩個(gè)差數(shù)度。為了避免正、負(fù)抵消，可將兩個(gè)差數(shù)A A1 1- -T T1 1、A A2 2- -T T2 2 平平 方方后再相加，即計(jì)算后再相加，即計(jì)算(A A- -T T) )2 2，其值越大，其值越大 ，實(shí)際觀察次數(shù)與理，實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)相差亦越大，反之則越小論次數(shù)相差亦越大，反之則越小 。但利用。但利用(A A- -T

11、T) )2 2表示實(shí)際表示實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度尚有不足觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度尚有不足 。例如，某一組實(shí)際觀察次數(shù)為例如，某一組實(shí)際觀察次數(shù)為505505、理論次數(shù)為、理論次數(shù)為500500，相差相差5 5；而另一組實(shí)際觀察次數(shù)為；而另一組實(shí)際觀察次數(shù)為2626、 理論次數(shù)為理論次數(shù)為2121，相差亦為相差亦為5 5。顯然這兩組實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的。顯然這兩組實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度是不同的。因?yàn)榍罢呤窍鄬?duì)于理論次數(shù)偏離程度是不同的。因?yàn)榍罢呤窍鄬?duì)于理論次數(shù)500500相差相差5 5，后者是相對(duì)于理論次數(shù)，后者是相對(duì)于理論次數(shù)2121相差相差5 5。為了彌補(bǔ)這。為了

12、彌補(bǔ)這一不足，可先將各差數(shù)平方除以相應(yīng)的理論次數(shù)后再一不足，可先將各差數(shù)平方除以相應(yīng)的理論次數(shù)后再相加，并記之為相加，并記之為 2 2 ，即，即 (6-1) TTA22)( 也就是說也就是說 2是度量實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)是度量實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量偏離程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量， 2越小越小，表明實(shí)際觀表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)越接近察次數(shù)與理論次數(shù)越接近； 2 =0，表示兩者完表示兩者完全吻合全吻合； 2越大越大，表示兩者相差越大表示兩者相差越大。 對(duì)于表對(duì)于表7-1的資料的資料，可計(jì)算得可計(jì)算得 我們就是要確定這個(gè)我們就是要確定這個(gè) 2是否顯著是否顯著4566. 0438104

13、38)10()(2222TTAx(6-2)計(jì)算步驟計(jì)算步驟二、二、 2分布分布（P43） 上面在屬于離散型隨機(jī)變量的次數(shù)資料的基上面在屬于離散型隨機(jī)變量的次數(shù)資料的基礎(chǔ)上引入了統(tǒng)計(jì)量礎(chǔ)上引入了統(tǒng)計(jì)量 2， 它近似地服從統(tǒng)計(jì)學(xué)中一它近似地服從統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 2分布。下面分布。下面對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的 2分布作一簡略分布作一簡略回顧回顧。 設(shè)有一平均數(shù)為設(shè)有一平均數(shù)為，方差為方差為 的正態(tài)總體?，F(xiàn)的正態(tài)總體?，F(xiàn)從此總體中獨(dú)立隨機(jī)抽取從此總體中獨(dú)立隨機(jī)抽取n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量：x1，x2，xn，并求出其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差并求出其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差：2 記這記

14、這n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差的平方和個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差的平方和為為 2：(6-3)(6-2)三、三、 2 2的連續(xù)性矯正的連續(xù)性矯正 由由(6-1)(6-1)式計(jì)算的式計(jì)算的 2 2只是近似地服從連續(xù)型只是近似地服從連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量 2 2分布。在對(duì)次數(shù)資料進(jìn)行分布。在對(duì)次數(shù)資料進(jìn)行 2 2檢驗(yàn)利檢驗(yàn)利用連續(xù)型隨機(jī)變量用連續(xù)型隨機(jī)變量 2 2分布計(jì)算概率時(shí)，常常偏分布計(jì)算概率時(shí)，常常偏低，特別是當(dāng)自由度為低，特別是當(dāng)自由度為1 1時(shí)偏差較大。時(shí)偏差較大。 Yates(1934)Yates(1934)提出了一個(gè)矯正公式，矯正后提出了一個(gè)矯正公式，矯正后的的 2 2值記為：值記為：2c

15、(6-4) 當(dāng)自由度大于當(dāng)自由度大于1 1時(shí)，時(shí)，(6-1)(6-1)式的式的 2 2分布與連續(xù)分布與連續(xù)型隨機(jī)變量型隨機(jī)變量 2 2分布相近似分布相近似 ，這時(shí)，可不作連續(xù)，這時(shí)，可不作連續(xù)性矯正，但要求各組內(nèi)的理論次數(shù)不小于性矯正，但要求各組內(nèi)的理論次數(shù)不小于5 5。若。若某組的理論次數(shù)小于某組的理論次數(shù)小于5 5，則應(yīng)把它與其相鄰的一，則應(yīng)把它與其相鄰的一組或幾組合并，直到理論次數(shù)大于組或幾組合并，直到理論次數(shù)大于5 5為止。為止。 一、適合性檢驗(yàn)的意義一、適合性檢驗(yàn)的意義 判斷實(shí)際觀察的屬性類別分配是否符合判斷實(shí)際觀察的屬性類別分配是否符合已知屬性類別分配理論或?qū)W說的假設(shè)檢驗(yàn)稱已知屬性

16、類別分配理論或?qū)W說的假設(shè)檢驗(yàn)稱為適合性檢驗(yàn)。為適合性檢驗(yàn)。無效假設(shè)為無效假設(shè)為H H0 0：實(shí)際觀察的屬性類別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說；：實(shí)際觀察的屬性類別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說；備擇假設(shè)為備擇假設(shè)為H HA A：實(shí)際觀察的屬性類別分配不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說。：實(shí)際觀察的屬性類別分配不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說。具體計(jì)算步驟具體計(jì)算步驟作出假設(shè)作出假設(shè)在無效假設(shè)成立的條件下，按已知屬性類別分配的理論或?qū)W說計(jì)算各屬性類在無效假設(shè)成立的條件下，按已知屬性類別分配的理論或?qū)W說計(jì)算各屬性類別的理論次數(shù)。別的理論次數(shù)。適合性檢驗(yàn)的自由度等于屬性類別分類數(shù)減適合

17、性檢驗(yàn)的自由度等于屬性類別分類數(shù)減 1 ；若屬性類別分類數(shù)為；若屬性類別分類數(shù)為k ，則，則適合性檢驗(yàn)的自由度為適合性檢驗(yàn)的自由度為 k-1 。實(shí)際次數(shù)與理論次數(shù)實(shí)際次數(shù)與理論次數(shù)根據(jù)根據(jù)(6-1)或或(6-4)式計(jì)算出式計(jì)算出 2或或 2c。計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量 將所計(jì)算得的將所計(jì)算得的 2或或 2c值與根據(jù)自由度值與根據(jù)自由度k-1查查 2值表所得的臨界值表所得的臨界 2值：值： 20.05、 20.01比較：比較： 若若 2 (或或 2c) 20.05，P0.05，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為實(shí)際觀察的屬性類別分配符合已知屬性差異不顯

18、著，可以認(rèn)為實(shí)際觀察的屬性類別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說；類別分配的理論或?qū)W說； 若若 20.05 2 (或或 2c) 20.01，0.01P0.05，表明實(shí)際觀察次數(shù)，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異顯著，實(shí)際觀察的屬性類別分配顯著不符合已與理論次數(shù)差異顯著，實(shí)際觀察的屬性類別分配顯著不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說；知屬性類別分配的理論或?qū)W說； 若若 2 ( 或或 2c) 20.01，P0.01，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異極顯著差異極顯著 ，實(shí)際觀察的屬性類別分配極顯著不符合已知，實(shí)際觀察的屬性類別分配極顯著不符合已知 屬屬性類別分配的理論或?qū)W說。

19、性類別分配的理論或?qū)W說。 作出統(tǒng)計(jì)推斷作出統(tǒng)計(jì)推斷二、適合性檢驗(yàn)的方法二、適合性檢驗(yàn)的方法 下面結(jié)合實(shí)例說明適合性檢驗(yàn)方法。下面結(jié)合實(shí)例說明適合性檢驗(yàn)方法。 【例【例6.1】 在進(jìn)行山羊群體遺傳檢測時(shí)，在進(jìn)行山羊群體遺傳檢測時(shí)，觀察了觀察了 260只白色羊與黑色羊雜交的子二代毛只白色羊與黑色羊雜交的子二代毛色，其中色，其中181只為白色，只為白色，79只為黑色，問此毛只為黑色，問此毛色的比率是否符合孟德爾遺傳分離定律的色的比率是否符合孟德爾遺傳分離定律的3 1比例比例? 檢驗(yàn)步驟如下：檢驗(yàn)步驟如下： （一）提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)（一）提出無效假設(shè)與備擇假設(shè) H0：子二代分離現(xiàn)象符合：子二代分離

20、現(xiàn)象符合3 1的理論比例。的理論比例。 HA：子二代分離現(xiàn)象不符合：子二代分離現(xiàn)象不符合3 1的理論比例。的理論比例。 （二）選擇計(jì)算公式（二）選擇計(jì)算公式 由于本例是涉及到兩組毛色（白色與黑色），屬由于本例是涉及到兩組毛色（白色與黑色），屬性類別分類數(shù)性類別分類數(shù)k=2，自由度，自由度df=k-1=2-1=1，須使用，須使用（6-4）式來計(jì)算）式來計(jì)算 。2c （三）計(jì)算理論次數(shù)（三）計(jì)算理論次數(shù) 根據(jù)理論比率根據(jù)理論比率3 1求理論次數(shù)：求理論次數(shù)： 白色理論次數(shù)：白色理論次數(shù)：T1=260 3/4=195 黑色理論次數(shù)：黑色理論次數(shù)：T2=260 1/4=65 或或 T2=260-T1=

21、260-195=65 （四）計(jì)算（四）計(jì)算 2c表表6-2 2c計(jì)算表計(jì)算表 739. 365)5 . 0|6579(|195)5 . 0|195181(|)5 . 0|(|2222TTAC (五五)查臨界查臨界 2值，作出統(tǒng)計(jì)推斷值，作出統(tǒng)計(jì)推斷 當(dāng)自由度當(dāng)自由度 df=1 時(shí)，時(shí)， 查查 得得 20.05（1） =3.84，計(jì)算的計(jì)算的 2c0.05，不能否定，不能否定H0，表，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為白色羊與黑色羊的比率符合孟德爾遺傳分認(rèn)為白色羊與黑色羊的比率符合孟德爾遺傳分離定律離定律3 1的理論比例。的理論比例。 【例【例

22、6.26.2】 在研究牛的毛色和角的有無兩在研究牛的毛色和角的有無兩對(duì)相對(duì)性狀分離現(xiàn)象時(shí)，用黑色無角牛和紅色對(duì)相對(duì)性狀分離現(xiàn)象時(shí)，用黑色無角牛和紅色有角牛雜交有角牛雜交 ，子二代出現(xiàn)黑色無角牛，子二代出現(xiàn)黑色無角牛192192頭，頭，黑色有角牛黑色有角牛7878頭，紅色無角牛頭，紅色無角牛7272頭，紅色有角頭，紅色有角牛牛1818頭，共頭，共360360頭。試頭。試 問這兩對(duì)性狀是否符合問這兩對(duì)性狀是否符合孟德爾遺傳規(guī)律中孟德爾遺傳規(guī)律中93319331的遺傳比例？的遺傳比例？ 檢驗(yàn)步驟：檢驗(yàn)步驟： （一）提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)（一）提出無效假設(shè)與備擇假設(shè) H0：實(shí)際觀察次數(shù)之比符合：實(shí)際觀

23、察次數(shù)之比符合9 3 3 1的理的理論比例。論比例。 HA：實(shí)際觀察次數(shù)之比不符合：實(shí)際觀察次數(shù)之比不符合9 3 3 1的的理論比例。理論比例。 （二）選擇計(jì)算公式（二）選擇計(jì)算公式 由于本例的屬性類別分類數(shù)由于本例的屬性類別分類數(shù) k=4：自由：自由 度度df=k-1=4-1=31，故利用（，故利用（6-1）式計(jì)算）式計(jì)算 2。 （三）計(jì)算理論次數(shù)（三）計(jì)算理論次數(shù) 依據(jù)各理論比例依據(jù)各理論比例9:3:3:1計(jì)算理論次數(shù)：計(jì)算理論次數(shù)： 黑色無角牛的理論次數(shù)黑色無角牛的理論次數(shù)T1：3609/16=202.5； 黑色有角牛的理論次數(shù)黑色有角牛的理論次數(shù)T2：3603/16=67.5； 紅色無

24、角牛的理論次數(shù)紅色無角牛的理論次數(shù)T3：3603/16=67.5； 紅色有角牛的理論次數(shù)紅色有角牛的理論次數(shù)T4：3601/16=22.5。 或或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5 表表6-3 2計(jì)算表計(jì)算表 （四）列表計(jì)算（四）列表計(jì)算 2 =0.5444+1.6333+1.6333+0.9 =4.711 （五）查臨界（五）查臨界 2值，作出統(tǒng)計(jì)推斷值，作出統(tǒng)計(jì)推斷 當(dāng)當(dāng)df=3時(shí)，時(shí)， 20.05(3)=7.81，因，因 20.05，不，不能否定能否定H0 ，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯，表明實(shí)際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為毛色與角的有無兩對(duì)性狀雜交二

25、代的分著，可以認(rèn)為毛色與角的有無兩對(duì)性狀雜交二代的分離現(xiàn)象符合孟德爾遺傳規(guī)律中離現(xiàn)象符合孟德爾遺傳規(guī)律中9 3 3 1的遺傳比例。的遺傳比例。 TTAx22)( 一、獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義一、獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義 對(duì)次數(shù)資料，除進(jìn)行適合性檢驗(yàn)外，有對(duì)次數(shù)資料，除進(jìn)行適合性檢驗(yàn)外，有時(shí)需要分析兩類因子是相互獨(dú)立還是彼此相時(shí)需要分析兩類因子是相互獨(dú)立還是彼此相關(guān)。如研究兩類藥物對(duì)家畜某種疾病治療效關(guān)。如研究兩類藥物對(duì)家畜某種疾病治療效果的好壞，先將病畜分為兩組，一組用第一果的好壞，先將病畜分為兩組，一組用第一種藥物治療，另一組用第二種藥物治療，然種藥物治療，另一組用第二種藥物治療，然后統(tǒng)計(jì)每種藥物的治愈頭數(shù)

26、和未治愈頭數(shù)。后統(tǒng)計(jì)每種藥物的治愈頭數(shù)和未治愈頭數(shù)。 這時(shí)需要分析藥物種類與療效是否相關(guān)，若兩者彼這時(shí)需要分析藥物種類與療效是否相關(guān)，若兩者彼此相關(guān)，表明療效因藥物不同而異，即兩種藥物療此相關(guān)，表明療效因藥物不同而異，即兩種藥物療效不相同；若兩者相互獨(dú)立，表明兩種藥物療效相效不相同；若兩者相互獨(dú)立，表明兩種藥物療效相同。這種同。這種根據(jù)次數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相根據(jù)次數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相互獨(dú)立的假設(shè)檢驗(yàn)就是獨(dú)立性檢驗(yàn)互獨(dú)立的假設(shè)檢驗(yàn)就是獨(dú)立性檢驗(yàn)。獨(dú)立性檢驗(yàn)實(shí)。獨(dú)立性檢驗(yàn)實(shí)際上是基于次數(shù)資料對(duì)際上是基于次數(shù)資料對(duì)2因子間相關(guān)性的研究。因子間相關(guān)性的研究。 （一）（一） 獨(dú)立性檢

27、驗(yàn)的次數(shù)資料是按兩因子獨(dú)立性檢驗(yàn)的次數(shù)資料是按兩因子屬性類別進(jìn)行歸組。根據(jù)兩因子屬性類別數(shù)屬性類別進(jìn)行歸組。根據(jù)兩因子屬性類別數(shù)的不同而構(gòu)成的不同而構(gòu)成22、2c、rc列聯(lián)表（列聯(lián)表（r 為為行因子的屬性類別數(shù)，行因子的屬性類別數(shù)， c 為為 列列 因子的屬性類因子的屬性類別數(shù)）。而適合性檢驗(yàn)只按某一因子的屬性別數(shù)）。而適合性檢驗(yàn)只按某一因子的屬性類別將如性別、表現(xiàn)型等次數(shù)資料歸組。類別將如性別、表現(xiàn)型等次數(shù)資料歸組。二、獨(dú)立性檢驗(yàn)與適合性檢驗(yàn)區(qū)別二、獨(dú)立性檢驗(yàn)與適合性檢驗(yàn)區(qū)別 （二）（二）適合性檢驗(yàn)按已知的屬性分類理論或?qū)W說計(jì)適合性檢驗(yàn)按已知的屬性分類理論或?qū)W說計(jì)算理論次數(shù)。獨(dú)立性檢驗(yàn)在計(jì)算

28、理論次數(shù)時(shí)沒有現(xiàn)成算理論次數(shù)。獨(dú)立性檢驗(yàn)在計(jì)算理論次數(shù)時(shí)沒有現(xiàn)成的理論或?qū)W說可資利用，理論次數(shù)是在兩因子相互獨(dú)的理論或?qū)W說可資利用，理論次數(shù)是在兩因子相互獨(dú)立的假設(shè)下進(jìn)行計(jì)算。立的假設(shè)下進(jìn)行計(jì)算。 （三）（三）自由度問題：在適合性檢驗(yàn)中確定自由度時(shí)，自由度問題：在適合性檢驗(yàn)中確定自由度時(shí)，只有一個(gè)約束條件，自由度為屬性類別數(shù)減只有一個(gè)約束條件，自由度為屬性類別數(shù)減1。而在。而在rc列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，自由度為列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，自由度為rc-1-(r-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)，即等于（橫行屬性類別數(shù)，即等于（橫行屬性類別數(shù)-1）（直列（直列屬性類別數(shù)屬性類別數(shù)-1）。）。 用

29、于兩個(gè)因素多項(xiàng)分類的計(jì)數(shù)資料分析，即研究變量之間的關(guān)聯(lián)性和依存性問題。 往往將兩個(gè)變量的各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)排列成R行（Row）、C列（Column）的表格形式，稱之為列聯(lián)表。因素B水平1水平2水平c行的和因素A水平1f1,1f1,2f1,cm1水平2f2,1f2,2f2,cm2水平rfr,1fr,2fr,cmr列的和n1n2ncN(1)(1)dfRC （一）（一）22列聯(lián)表列聯(lián)表資料資料的獨(dú)立性檢驗(yàn)的獨(dú)立性檢驗(yàn) 22列聯(lián)表的一般形式如表列聯(lián)表的一般形式如表6-10所示，其所示，其自由度自由度 df=( c -1) (r-1)=(2-1) (2-1)=1，在進(jìn)行，在進(jìn)行 2檢驗(yàn)時(shí)，需作連續(xù)性矯正，應(yīng)計(jì)

30、算檢驗(yàn)時(shí)，需作連續(xù)性矯正，應(yīng)計(jì)算 值。值。 2c四、獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法四、獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法表表6-10 2 2列聯(lián)表的一般形式列聯(lián)表的一般形式 【例【例6.76.7】 某豬場用某豬場用8080頭豬檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗是否有頭豬檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗是否有預(yù)防效果。結(jié)果是注射疫苗的預(yù)防效果。結(jié)果是注射疫苗的4444頭中有頭中有 12 12 頭發(fā)病，頭發(fā)病，3232頭未發(fā)病；未注射的頭未發(fā)?。晃醋⑸涞?636頭中有頭中有2222頭發(fā)病，頭發(fā)病，1414頭未發(fā)頭未發(fā)病，問該疫苗是否有預(yù)防效果？病，問該疫苗是否有預(yù)防效果？ 表表6-11 2 2列聯(lián)表列聯(lián)表 1 1、先將資料整理成列聯(lián)表、先將資料整理成列聯(lián)表表中這四個(gè)表中

31、這四個(gè)格子的數(shù)據(jù)是整個(gè)表的基本數(shù)據(jù)，其余數(shù)據(jù)都是從這四個(gè)基本格子的數(shù)據(jù)是整個(gè)表的基本數(shù)據(jù)，其余數(shù)據(jù)都是從這四個(gè)基本數(shù)據(jù)推算出來的，數(shù)據(jù)推算出來的，故上表稱為四格表。故上表稱為四格表。12 32 22 14 H H0 0：發(fā)病與否和注射疫苗無關(guān)，即二因子相互獨(dú)立。：發(fā)病與否和注射疫苗無關(guān)，即二因子相互獨(dú)立。 H HA A：發(fā)病與否和注射疫苗有關(guān)，即二因子彼此相關(guān)。：發(fā)病與否和注射疫苗有關(guān)，即二因子彼此相關(guān)。 根據(jù)二因子相互獨(dú)立的假設(shè)，由樣本數(shù)據(jù)計(jì)根據(jù)二因子相互獨(dú)立的假設(shè)，由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出各個(gè)理論次數(shù)。二因子相互獨(dú)立，就是說算出各個(gè)理論次數(shù)。二因子相互獨(dú)立，就是說注射疫苗與否不影響發(fā)病率。也就是說

32、注射組注射疫苗與否不影響發(fā)病率。也就是說注射組與未注射組的理論發(fā)病率應(yīng)當(dāng)相同，均應(yīng)等于與未注射組的理論發(fā)病率應(yīng)當(dāng)相同，均應(yīng)等于總發(fā)病率總發(fā)病率34/80=0.425=42.5%34/80=0.425=42.5%。依此計(jì)算出各個(gè)。依此計(jì)算出各個(gè)理論次數(shù)如下：理論次數(shù)如下：2 2、提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)、提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)3 3、計(jì)算理論次數(shù)、計(jì)算理論次數(shù) 未注射組的理論發(fā)病數(shù)：未注射組的理論發(fā)病數(shù)： T21=3634/80=15.3， 或或 T21=34-18.7=15.3； 未注射組的理論未發(fā)病數(shù)：未注射組的理論未發(fā)病數(shù)： T22=3646/80=20.7， 或或 T22=36-15.3=

33、20.7。 從上述各理論次數(shù)從上述各理論次數(shù)Tij的計(jì)算可以得到各理論次數(shù)，表的計(jì)算可以得到各理論次數(shù)，表6-11括括號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)為相應(yīng)的理論次數(shù)。號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)為相應(yīng)的理論次數(shù)。4、計(jì)算、計(jì)算 值值2c 將表將表6-11中的實(shí)際次數(shù)、理論次數(shù)代入中的實(shí)際次數(shù)、理論次數(shù)代入(6-4)式得：式得： 3 .15) 5 . 0| 3 .1522(|3 .25) 5 . 0| 3 .2532(|7 .18) 5 . 0| 7 .1812(|2222c944. 77 .20) 5 . 0|7 .2014(|22c 因?yàn)橐驗(yàn)?20.01（1） = 6 . 6 3 ，而，而 =7.944 20.01（1），P0.

34、01，否定，否定H0，接受，接受HA，表明發(fā)病率與是否注射疫，表明發(fā)病率與是否注射疫苗極顯著相關(guān)，這里表現(xiàn)為注射組發(fā)病率極顯著低于苗極顯著相關(guān)，這里表現(xiàn)為注射組發(fā)病率極顯著低于未注射組，說明該疫苗是有預(yù)防效果的。未注射組，說明該疫苗是有預(yù)防效果的。 在進(jìn)行在進(jìn)行2 2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，還可利用下述簡列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，還可利用下述簡化公式（化公式（6-6）計(jì)算）計(jì)算 ：2c2c 5、由自由度、由自由度df=1查臨界查臨界 2值，作出統(tǒng)計(jì)推斷值，作出統(tǒng)計(jì)推斷 （6-6） 在（在（6-6）式中，）式中， 不需要先計(jì)算理論次數(shù)，不需要先計(jì)算理論次數(shù)，直接利用實(shí)際觀察次數(shù)直接利用實(shí)際觀察次數(shù)Aij，

35、行、列總和，行、列總和Ti.、T.j和總總和和總總和T.進(jìn)行計(jì)算進(jìn)行計(jì)算 ，比利用公式（，比利用公式（6-4）計(jì)）計(jì)算簡便，且舍入誤差小。算簡便，且舍入誤差小。 對(duì)于【例對(duì)于【例6.7】，利用（】，利用（6-6）式可得：）式可得： .)2/.(21212211222112TTTTTTAAAAc944. 74436463480)280|22321412(|22c所得結(jié)果與前面計(jì)算計(jì)算的相同。所得結(jié)果與前面計(jì)算計(jì)算的相同。a b c d 簡便記憶法簡便記憶法經(jīng)驗(yàn)公式法（經(jīng)驗(yàn)公式法（abcdabcd法）法） 甲、乙兩藥療效比較甲、乙兩藥療效比較 處理處理 有效人數(shù)有效人數(shù) 無效人數(shù)無效人數(shù) 合計(jì)合計(jì)

36、 有效率（有效率（%）甲藥甲藥 2323 8 8 3131 74.1974.19 乙藥乙藥 4646 2 2 4848 95.8395.83. . 合計(jì)合計(jì) 6969 1010 7979 87.3487.34 1 1、資料整理得下表、資料整理得下表2 2、無效假設(shè)與備擇假設(shè)、無效假設(shè)與備擇假設(shè)3、計(jì)算、計(jì)算 值值2c4、由自由度、由自由度df=1查臨界查臨界 2值，作出統(tǒng)計(jì)推斷值，作出統(tǒng)計(jì)推斷（二）（二）2c列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn) 2c列聯(lián)表是行因子的屬性類別數(shù)為列聯(lián)表是行因子的屬性類別數(shù)為2，列因子，列因子的屬性類別數(shù)為的屬性類別數(shù)為c（c 3）的列聯(lián)表。其自由度）的列聯(lián)表。其

37、自由度d f = (2-1) (c -1) = (c-1)，因?yàn)?，因?yàn)閏 3，所以自由度大于，所以自由度大于2，在，在進(jìn)行進(jìn)行 2檢驗(yàn)時(shí)，不需作連續(xù)性矯正。檢驗(yàn)時(shí)，不需作連續(xù)性矯正。2c表的一般表的一般形式見表形式見表6-12。 表表6-12 2 c聯(lián)列表一般形式聯(lián)列表一般形式其中其中Aij （i=1，2；j=1，2，c）為）為實(shí)際觀察次數(shù)。實(shí)際觀察次數(shù)。 【例【例6.8】 在甲、乙兩地進(jìn)行水牛體型調(diào)在甲、乙兩地進(jìn)行水牛體型調(diào)查，將體型按優(yōu)、良、中、劣查，將體型按優(yōu)、良、中、劣 四個(gè)等級(jí)分類，四個(gè)等級(jí)分類，其結(jié)果見表其結(jié)果見表6-13，問兩地水牛體型構(gòu)成比是否，問兩地水牛體型構(gòu)成比是否相同。相

38、同。 這是一個(gè)這是一個(gè)24列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題，列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題，檢驗(yàn)步驟如下：檢驗(yàn)步驟如下： 表表6-13 兩地水牛體型分類統(tǒng)計(jì)兩地水牛體型分類統(tǒng)計(jì)1 1、先將資料整理成列聯(lián)表、先將資料整理成列聯(lián)表 H0：水牛體型構(gòu)成比與地區(qū)無關(guān)，即兩地：水牛體型構(gòu)成比與地區(qū)無關(guān)，即兩地水牛體型構(gòu)成比相同。水牛體型構(gòu)成比相同。 HA：水牛體型構(gòu)成比與地區(qū)有關(guān)，即兩地：水牛體型構(gòu)成比與地區(qū)有關(guān)，即兩地水牛體型構(gòu)成比不同。水牛體型構(gòu)成比不同。2 2、提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)、提出無效假設(shè)與備擇假設(shè) 計(jì)算方法與計(jì)算方法與22表類似，即根據(jù)兩地水牛體型構(gòu)表類似，即根據(jù)兩地水牛體型構(gòu)成比相同的假設(shè)計(jì)算。成比相同

39、的假設(shè)計(jì)算。 如優(yōu)等組中，甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率如優(yōu)等組中，甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率20/135計(jì)算；良等組中計(jì)算；良等組中,甲地、乙地的理論次數(shù)按理論甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率比率15/135計(jì)算；中等、劣等組中計(jì)算；中等、劣等組中,甲地、乙地的理論甲地、乙地的理論次數(shù)分別按理論比率次數(shù)分別按理論比率80/135和和20/135計(jì)算。計(jì)算。3 3、計(jì)算理論次數(shù)、計(jì)算理論次數(shù) 甲地優(yōu)等組理論次數(shù)：甲地優(yōu)等組理論次數(shù)： T11=9020/135=13.3， 乙地優(yōu)等組理論次數(shù)：乙地優(yōu)等組理論次數(shù)： T21=4520/135=6.7， 或或T21=20-13.3=6.7； 其余各個(gè)理論次數(shù)的計(jì)算類似。其余各個(gè)理論次數(shù)的計(jì)算類似。582. 76 . 6) 6 . 610(7 .26) 7 .2620(10)1010(3 .13) 3 .1310(222224、計(jì)算、計(jì)算 2值值 因?yàn)橐驗(yàn)?20.05（3） = 7 . 8 1 ，而，而 2=7.5820.05，不能否定，不能否定H0,可以認(rèn)為甲、乙兩地水牛體可以認(rèn)為甲、乙兩地水牛體型構(gòu)成比相同。型構(gòu)成比相同。 在進(jìn)行在進(jìn)行2c列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，還可利用下列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，還可利用下述簡化公式