1、微積分方法及應(yīng)用(部分）. 1.求導(dǎo)公式 【應(yīng)用】求的導(dǎo)數(shù). 解：由公式知，. 2.鏈法則與導(dǎo)數(shù)法則運(yùn)算鏈法則： 二次復(fù)合：三次復(fù)合：運(yùn)算法則：加法減法： 乘法： 除法： 【應(yīng)用】求y=的導(dǎo)數(shù)解：設(shè)為，則原式為：，對(duì)其求導(dǎo)，有獨(dú)求，再將 隱函數(shù)求導(dǎo) 隱函數(shù)是隱藏的函數(shù)，不易求出，其導(dǎo)數(shù)卻較易求出.在求導(dǎo)時(shí)，只需將y看作含x的式子，求導(dǎo)時(shí)寫(xiě)作y即可例如:. 3.極限公式與用法注：以下可任意替換成含 極限四則運(yùn)算 無(wú)窮小代換：. 特殊求法：,洛必達(dá)法則：如果函數(shù)：則有：.【應(yīng)用】求 . 4.極限求法匯總1.直接代入法 適用于簡(jiǎn)單的在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)極限. 例1:求f(x)=x3一x在x=1處的極限

2、解:f(X)在點(diǎn)x=1處連續(xù)，故直接代入得，limx1f(x)=13一1=0.2.約式法(去零因子法） 適用于有公因式的分式型。 例2:求f(X)=(x2一1)/(x+1)在點(diǎn)x=-1處的極限. 解:f(x)在x=-1處無(wú)定義，不能直接代入，當(dāng)x-1時(shí)，x2一1 0，x+10，兩式相除，無(wú)法直接得出，若將上下共約去(x+1)， 得(X一1)，-1代入，得出極限-2.3.公式法 上面已介紹，不贅述。4. 觀(guān)察法 就是小小分析推理一下， 例3： 5. 解決此問(wèn)題，關(guān)鍵在上下同除最大次方。 例4: 6. 夾逼法 在運(yùn)用時(shí)，找到夾的兩邊是關(guān)鍵，有一定難度， 例5：7，換元法 此法主要作用是簡(jiǎn)化運(yùn)算.

3、例6： 8.裂項(xiàng)消除法 主要針對(duì)數(shù)列極限而言. 例7：. 5.難題實(shí)析1.2.3.注：以上內(nèi)容僅供參考.有關(guān)更多隱函數(shù)、微分及多元函數(shù)部分待續(xù).微積分之積分部分1 不定積分1.概念 不定積分實(shí)際上是求導(dǎo)的逆運(yùn)算。設(shè)有這時(shí)，稱(chēng)2.特征 因?yàn)槌?shù)C求導(dǎo)后為0，所以每個(gè)原函數(shù)都是最后帶個(gè)常數(shù)C的。舉例說(shuō)明，2x的原函數(shù)可能是，無(wú)法確定常數(shù)，故用C統(tǒng)一表示。3.表示【例1】 4.性質(zhì) a. b.5. 基本積分公式 6.拓展積分公式7.積分方法直接積分法就是直接利用公式去套，其他的積分法，最終目的也是化為這種形式，再直接積分.【例2】【例3】換元積分法顧名思義，就是將某一部分看做一個(gè)整體，再換元積分。這

4、需要一定的觀(guān)察力。I.湊微分法（第一換元積分法）類(lèi)似于在湊出某個(gè)形式，在已知的所求式子中，湊出一個(gè)如： 注意：d（f（x）=f（x）【例4】【例5】2. 替換法（第二換元積分法）【例6】注:常用的替換有：根式替換與三角函數(shù)替換，詳見(jiàn)書(shū)本例題.3. 分部積分法（第二換元積分法）【例7】注:定積分與不定積分相似，僅是將中a，b作為變量x代入積分結(jié)果后相減，故不再贅述；關(guān)于定積分求面積，體積問(wèn)題，詳見(jiàn)書(shū)本.2 二重積分 1.概念表示： 2.積分方法類(lèi)似一元積分，僅是分別對(duì)x，y積分，在積分時(shí)不用理會(huì)另一個(gè)變量?！纠?】 解： 【例9】 = 注意：當(dāng)a，b,c,d中至少有一個(gè)不是常數(shù)時(shí)， 3.交換積分

5、次序圖1【例10】 4.極坐標(biāo)下的二重積分 注意：當(dāng)積分區(qū)域是圓形區(qū)域或積分函數(shù)是等形式時(shí)，用極坐標(biāo)計(jì)算較為簡(jiǎn)便. 【例11】圖2 極坐標(biāo)系下;3 微分方程1.概念定義：未知函數(shù)為一元函數(shù)的方程為常微分方程，書(shū)中所涉及的全為常微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)微分方程.方程階：未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)（或微分）的階數(shù)為微分方程的階.如：就是一個(gè)三階的微分方程.解：如果某個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足代入某個(gè)方程后使其恒等，則此函數(shù)為其解.而微分方程的解常常不止一個(gè)，而是以通解來(lái)表示的.如：2.一階微分方程1. 可分離變量方程即：可將在積分時(shí)兩邊分別積分即可，得出：2.其解為:【例12】求微分方程的通解解： (套公式）3.高階常系數(shù)（二階

6、）微分方程形如：的微分方程被稱(chēng)為二階常系數(shù)微分方程，其中若為0，則被稱(chēng)為二階常系數(shù)齊次微分方程.1. 二階常系數(shù)齊次微分方程特征方程：求解方法：依據(jù)特征根求出再依據(jù)書(shū)本關(guān)于其解的情況表格寫(xiě)出即可.2. 二階常系數(shù)非齊次微分方程求解方法：先不用管，依據(jù)齊次情況寫(xiě)出通解，接下來(lái)求一個(gè)特解即可.詳見(jiàn)書(shū)本相關(guān)表格.4 無(wú)窮級(jí)數(shù)1.概念無(wú)窮序列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：顧名思義，就是每一項(xiàng)都是數(shù)的序列，如：1+數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)類(lèi)似于數(shù)列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：以某個(gè)原型函數(shù)展開(kāi)的無(wú)窮式，如的級(jí)數(shù)可以表示為無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性：若n時(shí)，級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)性質(zhì)：2.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判定：2.判別法：A.小發(fā)散，大發(fā)散；大收斂，小收斂.（在判定一個(gè)級(jí)數(shù)時(shí)，可將其擴(kuò)大或縮小，若縮小后仍發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散，擴(kuò)大后收斂，原級(jí)數(shù)收斂）【例13】B.C.根值判別法（詳見(jiàn)書(shū)本）3. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法：（萊布尼茨判別法）見(jiàn)書(shū)本.4. 條件收斂與絕對(duì)收斂：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂必定絕對(duì)收斂；3.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般考查收斂域與收斂半徑