1、東南大學(xué)(20122013)年第一學(xué)期橋梁動力分析與抗震設(shè)計結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究報告成 績：姓 名：張永超學(xué) 號：122561專 業(yè)：橋梁與隧道工程授課教師：萬 水日 期：2013年1月目錄目錄1 概述111 模態(tài)分析研究背景112 模態(tài)分析的基本概念113 模態(tài)分析理論的基本假設(shè)214 模態(tài)分析的方法215 模態(tài)分析的主要過程22 多自由度系統(tǒng)實模態(tài)分析321 引言322 無阻尼多自由度系統(tǒng)的實模態(tài)323 無阻尼振動系統(tǒng)頻響函數(shù)724 粘性比例阻尼系統(tǒng)自由振動925 粘性比例阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)1126 結(jié)構(gòu)比例阻尼系統(tǒng)123 多自由度系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)分析1431 一般阻尼振動系統(tǒng)的狀態(tài)方程1442 自由

2、振動下的復(fù)模態(tài)1543 復(fù)特征矢量正交性1644 一般粘性阻尼系統(tǒng)復(fù)頻率1745 復(fù)模態(tài)坐標系中的自由響應(yīng)1846 一般粘性阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)2047 一般結(jié)構(gòu)阻尼振動系統(tǒng)的頻響函數(shù)2148 多自由度系統(tǒng)的傳遞矩陣及留數(shù)矩陣234 模態(tài)分析實例261 概述 11 模態(tài)分析研究背景工程結(jié)構(gòu)跨度變得越來越大 ，結(jié)構(gòu)的動力特性也就顯得越來越重要 因此結(jié)構(gòu)設(shè)計師和工程技術(shù)人員也對它更加重視。一方面，通過對結(jié)構(gòu)動力特性優(yōu)化設(shè)計，使結(jié)構(gòu)處于良好的工作狀態(tài)，保證了結(jié)構(gòu)的安全可靠性，延長了結(jié)構(gòu)的使用周期和減少了對環(huán)境的干擾；另一方面，通過結(jié)構(gòu)的動力特性可了解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)性能和技術(shù)性能，從而作出科

3、學(xué)的技術(shù)評定。模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動力特性分析的一種手段，通過分析工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性可建立結(jié)構(gòu)在動態(tài)激勵條件下的響應(yīng)，預(yù)測結(jié)構(gòu)在實際工作狀態(tài)下的工作行為及其對環(huán)境的影響。從20世紀40年代至今，模態(tài)分析技術(shù)的研究取得了一定進展。模態(tài)分析最初用于航天器動態(tài)特性研究，主要是在機械阻抗的概念上提出。由于當時模態(tài)測試技術(shù)依賴于昂貴笨重的窄帶模擬譜分析儀，嚴重限制了模態(tài)分析技術(shù)的發(fā)展，以致此后的40年基本處于沉寂狀態(tài)。20世紀70年代早期，快速傅里葉（FFT）譜分析儀的商業(yè)化、離散數(shù)據(jù)采集器及便攜高效且相對低成本的電子計算機的出現(xiàn)，為模態(tài)測試手段提供了便利條件，模態(tài)分析的發(fā)展和應(yīng)用從此產(chǎn)生飛躍形成了今天這樣一

4、套較為完整的獨特理論和方法。 12 模態(tài)分析的基本概念 簡單地說，模態(tài)分析是一種分析方法，是根據(jù)結(jié)構(gòu)的固有特性（包括頻率、阻尼和模態(tài)振型）這些動力學(xué)屬性去描述結(jié)構(gòu)的過程。嚴格從數(shù)學(xué)意義上定義是指將線性定常系統(tǒng)振動微分方程組中的物理坐標變換為模態(tài)坐標，對方程解耦使之成為一組以模態(tài)坐標及模態(tài)參數(shù)描述的獨立方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。坐標變換的變換矩陣為模態(tài)矩陣，其每列為模態(tài)振型。因此，模態(tài)變換是將方程從物理空間通過模態(tài)變換方程變換到模態(tài)空間的過程；是將一組復(fù)雜的、耦合的物理方程變換成一組單自由度系統(tǒng)的、解的方程的過程。模態(tài)分析的最終目標是在識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)、為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動特性分析、振動故障

5、診斷和預(yù)報以及結(jié)構(gòu)動力特性的優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。因此，從根上講，模態(tài)分析主要研究結(jié)構(gòu)的固有特征，理解固有頻率和模態(tài)振型有助于設(shè)計噪聲和振動應(yīng)用方面的系統(tǒng)。模態(tài)分析主要用于：評價現(xiàn)有結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性；振動故障診斷和預(yù)報；深入洞察振動發(fā)生的根本原因；有助于識別出設(shè)計中的薄弱環(huán)節(jié)；結(jié)構(gòu)動力學(xué)修改（SMD）；監(jiān)測結(jié)構(gòu)漸變；結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測（SHM）；檢驗產(chǎn)品質(zhì)量；驗證有限元模型等。目前，模態(tài)分析作為一種分析手段，廣泛用于航空航天、船舶、汽車、土木、橋梁、機械等行業(yè)。 13 模態(tài)分析理論的基本假設(shè)模態(tài)分析理論的基本假設(shè)是：1、線性假設(shè)：結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性是線性的，就是說任何輸入組合引起的輸出等于各自輸出的組合，其動

6、力學(xué)特性可以用一組線性二階微分方程來描述。每次進行模態(tài)測試時，應(yīng)當首先檢查結(jié)構(gòu)的線性動態(tài)特性。2、時不變性假設(shè)：結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性不隨時間變化，因而微分方程的系數(shù)是與時間無關(guān)的常數(shù)。由于不得不在結(jié)構(gòu)上安裝振動傳感器的附加質(zhì)量，可能出現(xiàn)典型的時不變性問題。3、可觀測性假設(shè)：這意味著用以確定我們所關(guān)心的系統(tǒng)動態(tài)特性所需要的全部數(shù)據(jù)都是可以測量的。為了避免出現(xiàn)可觀測性問題，合理地選擇響應(yīng)自由度是非常重要的。4、互易性假設(shè)：結(jié)構(gòu)應(yīng)該遵從Maxwell互易性原理，即在q點輸入所引起的p點響應(yīng)，等于在p點的相同輸入所引起的q點響應(yīng)。此假設(shè)使得質(zhì)量矩陣、剛體矩陣、阻尼矩陣和頻響函數(shù)都成了對稱矩陣。 14 模態(tài)分

7、析的方法研究結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性有兩種方法，一種是試驗法、與試驗法相對應(yīng)的模型稱為模態(tài)模型，另一種是數(shù)值計算法、與數(shù)值計算方法相對應(yīng)的模型稱為直接模型。如果模態(tài)分析過程是由有限元計算的方法取得的，則稱為計算模態(tài)分析。如果是通過試驗采集系統(tǒng)輸入與輸出信號經(jīng)過參數(shù)識別而獲得模態(tài)參數(shù)，則稱為試驗?zāi)B(tài)分析。數(shù)值計算法（使用有限元軟件計算），即根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何形狀、邊界條件和材料屬性，將結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布、剛度分布和阻尼分布分別用質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣表示出來，通過質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣確定結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。試驗法是通過數(shù)據(jù)采集設(shè)備測量結(jié)構(gòu)上一些測點位置的輸入輸出，然后將時域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到頻域，得到頻響函數(shù)

8、，再由模態(tài)參數(shù)估計算法估算結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。試驗方法僅僅測量結(jié)構(gòu)的輸入和輸出，不測量結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度。兩種方法之間是相互聯(lián)系的，通過數(shù)值計算可以指導(dǎo)試驗，而通過試驗又可以修正數(shù)值計算結(jié)果，以及作相關(guān)性檢查等。工程結(jié)構(gòu)可視一系統(tǒng)，系統(tǒng)的動態(tài)特性是指系統(tǒng)隨頻率、剛度、阻尼變化的特性。它既可用頻域的頻響函數(shù)描述，也可用時域的脈沖響應(yīng)函數(shù)描述。建立頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系，以便識別模態(tài)參數(shù)，是模態(tài)分析理論的一項重要內(nèi)容。 15 模態(tài)分析的主要過程1、動態(tài)數(shù)據(jù)的采集及頻響函數(shù)或脈沖響應(yīng)函數(shù)的分析；（1）激勵方法。試驗?zāi)B(tài)分析是人為地對結(jié)構(gòu)物施加一定動態(tài)激勵，采集各點的振動響應(yīng)信號及激振力信號，根據(jù)力及

9、響應(yīng)信號，用各種參數(shù)識別方法獲取模態(tài)參數(shù)。激勵方法不同，相應(yīng)識別方法也不同。目前主要由單輸入單輸出(SISO)、單輸入多輸出(SIMO)多輸入多輸出(MIMO)三種方法。以輸入力的信號特征還可分為正弦慢掃描、正弦快掃描、穩(wěn)態(tài)隨機(包括白噪聲、寬帶噪聲或偽隨機)、瞬態(tài)激勵(包括隨機脈沖激勵)等。（2）數(shù)據(jù)采集。SISO方法要求同時高速采集輸入與輸出兩個點的信號，用不斷移動激勵點位置或響應(yīng)點位置的辦法取得振形數(shù)據(jù)。SIMO及MIMO的方法則要求大量通道數(shù)據(jù)的高速并行采集，因此要求大量的振動測量傳感器或激振器，試驗成本較高。（3）時域或頻域信號處理。例如譜分析、傳遞函數(shù)估計、脈沖響應(yīng)測量以及濾波、相

10、關(guān)分析等。2、建立結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型；根據(jù)已知條件，建立一種描述結(jié)構(gòu)狀態(tài)及特性的模型，作為計算及識別參數(shù)依據(jù)。目前一般假定系統(tǒng)為線性的。由于采用的識別方法不同，也分為頻域建模和時域建模。根據(jù)阻尼特性及頻率耦合程度分為實模態(tài)或復(fù)模態(tài)模型等。3、參數(shù)識別；按識別域的不同可分為頻域法、時域法和混合域法，后者是指在時域識別復(fù)特征值，再回到頻域中識別振型，激勵方式不同(SlSO、SIMO、MIMO)，相應(yīng)的參數(shù)識別方法也不盡相同。并非越復(fù)雜的方法識別的結(jié)果越可靠。對于目前能夠進行的大多數(shù)不是十分復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，只要取得了可靠的頻響數(shù)據(jù)，即使用較簡單的識別方法也可能獲得良好的模態(tài)參數(shù)；反之，即使用最復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型、

11、最高級的擬合方法，如果頻響測量數(shù)據(jù)不可靠，則識別的結(jié)果一定不會理想。 4、振型動畫；參數(shù)識別的結(jié)果得到了結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)模型，即一組固有頻率、模態(tài)阻尼以及相應(yīng)各階模態(tài)的振形。由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，由許多自由度組成的振形也相當復(fù)雜，必須采用動畫的方法，將放大了的振形疊加到原始的幾何形狀上。以上四個步驟是模態(tài)試驗及分析的主要過程。而支持這個過程的除了激振拾振裝置、雙通道FFT分析儀、臺式或便攜式計算機等硬件外，還要有一個完善的模態(tài)分析軟件包。通用的模態(tài)分析軟件包必須適合各種結(jié)構(gòu)物的幾何物征，設(shè)置多種坐標系，劃分多個子結(jié)構(gòu)，具有多種擬合方法，并能將結(jié)構(gòu)的模態(tài)振動在屏幕上三維實時動畫顯示。2 多自由度系統(tǒng)實模態(tài)

12、分析 21 引言坐標變換和模態(tài)疊加原理是多自由度系統(tǒng)響應(yīng)分析的模態(tài)模型法的基礎(chǔ)。模態(tài)分析的關(guān)鍵在于找到模態(tài)振型矩陣，將其作為一種新的坐標系統(tǒng)的向量基以構(gòu)成模態(tài)坐標系統(tǒng)，并求得響應(yīng)量在這一坐標系統(tǒng)中的坐標，稱之為模態(tài)坐標。模態(tài)坐標除了與激振力有關(guān)外，它是若干參數(shù)(稱為模態(tài)參數(shù))的函數(shù)。因而，求取模態(tài)參數(shù)也是模態(tài)分析的內(nèi)容。求得模態(tài)坐標及模態(tài)參數(shù)后，根據(jù)模態(tài)疊加原理，便可得到響應(yīng)的計算模型一模態(tài)模型；運用模態(tài)模型，便可計算實際激勵作用下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，包括位移、速度、加速度，乃至應(yīng)力、應(yīng)變。絕大多數(shù)振動結(jié)構(gòu)可離散成為有限n個自由度的多自由度系統(tǒng)。對n一個有個自由度的振動系統(tǒng)，需用n個獨立的物理坐標描述

13、其物理參數(shù)模型。在線性范圍內(nèi)，物理坐標系中的自由振動響應(yīng)為每個振動的線性疊加，每個主振動都是一種特定形態(tài)的自由振動（簡諧振動或衰減振動），振動頻率即系統(tǒng)的主頻率（固有頻率或阻尼固有頻率），振動形態(tài)即系統(tǒng)的主振型（模態(tài)），對應(yīng)每個阻尼系統(tǒng)的主振動有相應(yīng)的模態(tài)阻尼。 22 無阻尼多自由度系統(tǒng)的實模態(tài)一般的，n個自由度系統(tǒng)有n個主頻率和個n主振型以及n個模態(tài)阻尼。多自由度系統(tǒng)具有多個主振型是區(qū)別于單自由度系統(tǒng)的最本質(zhì)之處。此外，還需討論多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)，即系統(tǒng)的非參數(shù)模型。下面假設(shè)系統(tǒng)受簡諧激勵，用坐標變換法研究模態(tài)參數(shù)模型和非參數(shù)模型。坐標變換法的基礎(chǔ)是求解系統(tǒng)特征值問題。在系

14、統(tǒng)強迫振動微分方程中令激勵為零，得齊次方程，求解歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的一個特征值問題。這一特征值問題與一個特定的振動系統(tǒng)相聯(lián)系，反映了系統(tǒng)的固有特性。特征值（不一定就是模態(tài)頻率）與模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼相聯(lián)系，特征矢量（不一定就是模態(tài)矢量）與模態(tài)矢量相聯(lián)系。所有獨立的特征矢量構(gòu)成一矢量空間的完備正交基，這一矢量空間稱為模態(tài)空間，特征矢量具有特定的加權(quán)正交性，以其按列組合構(gòu)成的特征矢量矩陣為變換矩陣，可將物理空間和模態(tài)空間相聯(lián)系。在模態(tài)坐標系中將系統(tǒng)的振動方程解耦，進而求得物理坐標中的響應(yīng)，頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)也隨之而得。對無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)，表示系統(tǒng)主振型的模態(tài)矢量是實數(shù)矢量，故稱實模態(tài)系統(tǒng)，相應(yīng)的模

15、態(tài)分析過程稱為實模態(tài)分析。下面首先介紹實模態(tài)分析的基本理論。具有n個自由度的無阻尼系統(tǒng)振動微分方程為：M、K為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，它們均為階實對稱矩陣；x,為位移列陣和加速度列陣，階；f(t)為激振力列陣，階。質(zhì)量矩陣M為正定矩陣，剛度矩陣K為半正定矩陣。對任何非零的x,，系統(tǒng)的動能T和勢能U：若K是正定矩陣，則U>0，系統(tǒng)沒有剛體位移，稱為正定振動系統(tǒng)；若是半正定矩陣，則U0，系統(tǒng)將出現(xiàn)剛體位移，稱為半正定振動系統(tǒng)。一個振動系統(tǒng)是正定或半正定，與結(jié)構(gòu)的邊界條件有關(guān)。自由振動時，令f(t)=0，則。（1）特征值問題設(shè)特解系統(tǒng)自由響應(yīng)幅值陣列。 將代入式，得到，當為零時，這是一個廣義

16、特征值問題，為特征值，為特征矢量。上式也是以中元素為變量的n階代數(shù)齊次方程組，為其系數(shù)矩陣，該方程有非零解的充要條件是其系數(shù)矩陣行列式為零，即。式成為特征方程，它是關(guān)于的n次代數(shù)方程。設(shè)無重根，解此方程得的n個互異正根,通常按升序排列成，式中，為振動系統(tǒng)第i階主頻率(模態(tài)頻率)，對應(yīng)無阻尼振動系統(tǒng)，主頻率即為固有頻率。將每一個代入式，得到關(guān)于中元素的具有n-1個獨立方程的代數(shù)方程組。由，共解得n個線性無關(guān)非零矢量的比例解，通常選擇一定方法進行歸一化，稱為主振型(模態(tài)振型、模態(tài)矢量或模態(tài))。無阻尼振動系統(tǒng)主振型為固有振型，此時為實矢量。特征值與特征矢量稱為系統(tǒng)的特征。對n個特征矢量按列排成一個階

17、矩陣稱為系統(tǒng)特征矢量矩陣，此時特征矢量即為模態(tài)矢量，故又稱為模態(tài)矩陣。（2）特征矢量正交性任一特征對均滿足式。將，代入上式并左乘，得到（a)再將，代入轉(zhuǎn)置后右乘，（b）其中:;（a）-（b）得（c）系統(tǒng)無重根: ; 當i=j時，定義模態(tài)質(zhì)量（主質(zhì)量）（d）M正定。將式子（c）代入式子（a），得（e）當i=j時，定義模態(tài)剛度（主剛度）（f）K正定或半正定，所以。式子（d）、（f）代入式子（a），有，式（c）、（d）、（e）、（f）可表示為上式表明，第j階模態(tài)慣性力在第i階模態(tài)運動中做的功為零；第j階模態(tài)彈性力在第i階模態(tài)運動中做的功為零。即各階模態(tài)運動之間不發(fā)生能量交換，但每階模態(tài)運動的能量（動

18、能+勢能）是守恒的，這一性質(zhì)稱為特征矢量關(guān)于M，K加權(quán)正交。模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度均與的大小有關(guān)。而個元素比例固定、大小不定。歸一化方法不同，大小不同，得到的、值也不同。所以，僅討論、的數(shù)值大小無直接意義，其比值關(guān)系是確定的，即。（3）實模態(tài)坐標系中的自由響應(yīng)根據(jù)特征矢量正交性，n個線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成一個n維矢量空間的完備正交基，稱這一n維空間為模態(tài)空間或模態(tài)坐標系。對于實模態(tài)系統(tǒng)，以n個模態(tài)矢量構(gòu)造的模態(tài)空間為實線性空間。設(shè)物理坐標系中矢量x的模態(tài)坐標為，則以上式為變換矩陣的線性變換，反映了物理坐標系與模態(tài)坐標系間的關(guān)系，也稱為模態(tài)展開定理。將式代入，左乘，利用模態(tài)矢量的正交性，得式中dia

19、g對角矩陣。上式表明，在模態(tài)坐標系中，無阻尼自由振動方程變成一組解耦的振動微分方程。正則形式為根據(jù)初始條件，有下式成立模態(tài)坐標系中的自由響應(yīng)其中,是與初始條件有關(guān)的常量。（4）物理坐標系中的自由響應(yīng)將式代入式 ，得物理坐標系中的自由響應(yīng)其中。 如果系統(tǒng)以某階固有頻率振動，則振動規(guī)律即為無阻尼系統(tǒng)的主振動。根據(jù)式可知，是與初始條件相關(guān)的常量，則?？梢?，系統(tǒng)以某階固有頻率作自由振動時，振動形態(tài)與主振型完全相同。這就是主振型的物理意義?？疾熘髡駝酉赂鱾€物理坐標的振動情況，由式，知中，每個元素，在第i個主振型中，為與初始條件有關(guān)的常量，與物理坐標無關(guān)。所以，在每個主振動中各物理坐標的初始相位角相同。各

20、物理坐標振動的相位角不是同相（相差0度）就是反相（相差180度），即同時達到平衡位置和最大位置。這說明，無阻尼振動系統(tǒng)的主振型具有模態(tài)（振型）保持性，或“駐波形式”。這是實模態(tài)系統(tǒng)的模態(tài)特征。 23 無阻尼振動系統(tǒng)頻響函數(shù)設(shè)無阻尼振動系統(tǒng)受簡諧激勵，F(xiàn)為激勵幅值列陣，階。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)，X為穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)幅值列陣，階。將它們代入式，得，解得，其中，稱為無阻尼振動系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，階，是實對稱矩陣。將坐標變換式代入，左乘，并結(jié)合模態(tài)矢量正交性，得模態(tài)坐標系下的強迫振動方程。設(shè)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)，將它代入強迫振動方程，并考慮式，得，則。將式、代入式，并利用，有，即稱為無阻尼振動系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展

21、式可以直接寫出頻響函數(shù)矩陣的模態(tài)展式，即頻響函數(shù)模態(tài)展式中顯含各種模態(tài)參數(shù)，它是頻域法參數(shù)識別的基礎(chǔ)。系統(tǒng)在單位脈沖力作用下的自由響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。單位脈沖力對于單自由度系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)函數(shù)為脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)是一對Fourier變換對，即脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)都能反映振動系統(tǒng)動態(tài)特性。頻響函數(shù)在頻域內(nèi)描述系統(tǒng)固有特性，脈沖函數(shù)在時域內(nèi)描述系統(tǒng)的固有特性。脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)均構(gòu)成系統(tǒng)的非參數(shù)模型，是系統(tǒng)識別的基礎(chǔ)。系統(tǒng)的自由響應(yīng)與脈沖響應(yīng)函數(shù)只相差一個常數(shù)因子。頻響函數(shù)矩陣模態(tài)展式其傅氏逆變換為脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣，為階實對稱矩陣，即其中，第j行第l列元素表示僅在第l個物理坐標作用單

22、位脈沖力對第j個物理坐標產(chǎn)生的脈沖響應(yīng)，即 24 粘性比例阻尼系統(tǒng)自由振動具有粘性阻尼的自由度系統(tǒng)振動微分方程為式中C為粘性阻尼矩陣，階，正定或半正定對稱矩陣；為速度列陣，n階。粘性阻尼矩陣一般不能利用模態(tài)矢量的正交性對角化，故不能應(yīng)用坐標變換直接將上式解耦。在特殊情況下可利用正交性對角化，如Rayleigh提出的粘性比例阻尼模型、分別為與系統(tǒng)外、內(nèi)阻尼有關(guān)的常數(shù)。此式可對角化。對某些小阻尼振動系統(tǒng)，這一模型是有效的。令，設(shè)特解，代入上式有特征值問題。特征方程這是的2n次實系數(shù)代數(shù)方程。設(shè)無重根，解得2n個共軛對形式的互異特征值且式中衰減系數(shù)；第i階阻尼固有頻率。的模等于無阻尼固有頻率，可見，

23、反映了系統(tǒng)的固有特性，且具有頻率量綱，稱為復(fù)頻率。將2n個特征值、代入式，解得2n個共軛特征矢量、。可以證明，它們?yōu)閷嵤噶浚遗c無阻尼振動系統(tǒng)的特征矢量相等，則=,故獨立的特征矢量只有n個。將這n個特征矢量按列排列，的特征矢量矩陣即模態(tài)矩陣，階。特征矢量或模態(tài)矩陣不僅具有關(guān)于M、K的正交性，還具有關(guān)于粘性比例阻尼矩陣C加權(quán)正交，即式中模態(tài)粘性比例阻尼系數(shù)，；模態(tài)粘性比例阻尼矩陣。將坐標變換式代入式并考慮特征矢量的正交性，得一組解耦方程，正則形式為其中根據(jù)初始條件式得上式解耦方程的解其中為與初始條件有關(guān)的常量。將式代入式得物理坐標系中的自由響應(yīng)式中。如果系統(tǒng)以某階阻尼固有頻率振動，則振動規(guī)律此即

24、粘性比例阻尼系統(tǒng)的主振動，振動形態(tài)為；所以，主振型反映了系統(tǒng)主振動的形態(tài)式中的每個元素在第i 階主振動下各個物理坐標的自由響應(yīng)為 25 粘性比例阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)設(shè)受簡諧激勵，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)，將它們代入式，若寫成，則頻響函數(shù)矩陣為復(fù)對稱矩陣，階。將坐標變換式代入式，左乘，并結(jié)合模態(tài)矢量正交性，得解耦方程組將穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)式代入上式，并考慮，得將式、式代入式并利用，有得頻響函數(shù)的模態(tài)展式,將該矩陣表示為進行傅氏逆變換，得脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣 26 結(jié)構(gòu)比例阻尼系統(tǒng)只有結(jié)構(gòu)阻尼的n個自由度系統(tǒng)振動微分方程式中G結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，為正定或半正定實對稱矩陣，階。稱為（K+jG）復(fù)剛度矩陣。若，則稱為結(jié)構(gòu)比例阻尼

25、。設(shè)F=0，則上式為，設(shè)特解仍為，將其代入上式，得上式是以為特征值、為特征矢量的廣義特征值問題。特征方程為可得n個互異復(fù)特征值?？砂礋o阻尼振動系統(tǒng)特征值求法求出。將式代入上式得到參考無阻尼系統(tǒng)特征值問題的求解，有即其中。定義為無量綱模態(tài)阻尼比，可見，特征值反映了系統(tǒng)固有頻率與模態(tài)阻尼的特性。將每個逐一代入式，得n個實特征矢量，與無阻尼振動系統(tǒng)特征矢量相同。將按列排列成模態(tài)矩陣，可證或具有正交性，且其中，為模態(tài)結(jié)構(gòu)比例阻尼系數(shù)；diag為結(jié)構(gòu)比例阻尼矩陣。設(shè)式，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)，將此式代入上式，得將此式寫成,則頻響函數(shù)矩陣為，為復(fù)對稱矩陣，階。將坐標變換式代入，左乘，結(jié)合模態(tài)矢量正交性，得解耦方程組

26、將穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)式代入上式得則對比粘性比例阻尼系統(tǒng)的頻響函數(shù)將式、式代入式，并利用有得頻響函數(shù)的模態(tài)展式3 多自由度系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)分析 31 一般阻尼振動系統(tǒng)的狀態(tài)方程一般粘性阻尼和一般結(jié)構(gòu)阻尼振動系統(tǒng)的模態(tài)矢量是復(fù)矢量，故稱該系統(tǒng)為復(fù)模態(tài)系統(tǒng)，其基本理論稱為復(fù)模態(tài)分析。一般粘性阻尼系統(tǒng)的振動微分方程： （3-1）為一般粘性阻尼矩陣，設(shè)為正定對稱矩陣，但不滿足對角化條件式： （3-2）引入輔助方程： （3-3）與振動微分方程合寫所得到的方程，即為系統(tǒng)的狀態(tài)方程： （3-4）其中,為對稱正定矩陣；,為對稱矩陣，正定或半正定；，為狀態(tài)空間矢量，。 32 自由振動下的復(fù)模態(tài)由于前提條件為自由振動，所以令

27、，則 （3-5）下面解此方程。設(shè)特解為：式中表示的幅值列陣。代入（3-5）得廣義特征值問題 (3-6)特征值方程為： （3-7）式（3-7）為的2n次實系數(shù)代數(shù)方程。由于式（3-1）與（3-4）所表示的系統(tǒng)為同一系統(tǒng)，故應(yīng)有相同的特征值，所以式（3-7）應(yīng)有2n個共軛對形式的互異復(fù)特征值，即： 式中一般粘性阻尼系統(tǒng)的衰減系數(shù)； 一般粘性阻尼系統(tǒng)第階阻尼固有頻率。將2n個特征值代入式（3-6），得2n個共軛復(fù)特征矢量，記為： 式中系統(tǒng)的模態(tài)矢量，是n維復(fù)矢量； 狀態(tài)方程的特征矢量。只能稱為特征矢量，不能稱為模態(tài)矢量；而既可稱為特征矢量，又可稱為模態(tài)矢量。復(fù)模態(tài)矢量不具備關(guān)于M、K、C加權(quán)正交性，

28、所以，不以它們構(gòu)造特征矢量矩陣做坐標變換矩陣，而是以來構(gòu)造。按列排列得：其中復(fù)模態(tài)矩陣，階， 特征矢量矩陣，階， 譜矩陣或復(fù)頻率矩陣，階， 33 復(fù)特征矢量正交性設(shè)特征值無重根，將兩組特征對代入式（3-5），整理得： （3-8）且， ，由于為正定矩陣，所以，式（3-8）說明特征矢量關(guān)于加權(quán)正交，不過此時無明確物理意義。寫成矩陣形式為： (3-9a) （3-9b）式中對角陣中，前n個對角元素為，后n個對角元素為；對角陣中，前n個對角元素為，后n個對角元素為。將（3-8）展開得: （3-10）由此可見，復(fù)模態(tài)矢量不具備實模態(tài)矢量關(guān)于的正交性。將(3-9a)分塊展開，得： （3-11a） （3-11

29、b） （3-11c）將(3-9b)分塊展開，得： (3-12a) (3-12b) (3-12c)其中以上各式均是用模態(tài)矩陣表示正交性。 34 一般粘性阻尼系統(tǒng)復(fù)頻率定義復(fù)模態(tài)質(zhì)量分別如下： 再根據(jù)式（3-11c）、（3-12c）對角線元素可得： （3-13a） (3-13b)式中定義復(fù)模態(tài)阻尼衰減系數(shù)為，則 （3-14）由（3-13b）及，定義復(fù)模態(tài)固有頻率為，則 （3-15）由（3-14），（3-15）可得： （3-16）定義復(fù)模態(tài)阻尼固有頻率（特征頻率）及復(fù)模態(tài)阻尼比分別為阻尼比：則復(fù)頻率 （3-17）這就是一般粘性阻尼系統(tǒng)復(fù)頻率的物理意義。上面定義的復(fù)模態(tài)參數(shù)均為實數(shù)，它們與實模態(tài)系統(tǒng)中

30、的并不相等。當為粘性比例阻尼時，復(fù)模態(tài)參數(shù)退化為實模態(tài)參數(shù)。 35 復(fù)模態(tài)坐標系中的自由響應(yīng)根據(jù)一般粘性阻尼系統(tǒng)復(fù)特征矢量的正交性，這2n個線性無關(guān)的復(fù)矢量構(gòu)成了一個2n維復(fù)矢量空間的完備正交基。該復(fù)矢量空間與狀態(tài)空間的變換式為 （3-18）式中在這一復(fù)矢量空間中的坐標矢量，2n維；n維列陣。將（3-18）代入（3-5）左乘，并利用復(fù)特征矢量正交性式（3-9）得解耦方程組： （3-19）式（3-19）是一個2n階方程組，前n個方程與后n個方程是共軛關(guān)系。解之得： （3-20） 式中初始條件將解代入式（3-18），取前n個元素，得物理坐標中的位移自由響應(yīng)為： （3-21）設(shè) 利用（3-17），則

31、（3-21）可化成： （3-22）當系統(tǒng)以某階復(fù)模態(tài)頻率做主振動時，振動規(guī)律為： （3-23）每個物理坐標點的振動規(guī)律為： 設(shè) 則 一般粘性阻尼系統(tǒng)以某階主振動作自由振動時，每個物理坐標的初相位不僅與該階主振動有關(guān)，還與物理坐標有關(guān)，即各物理坐標量初相位不同。每個物理坐標振動時并不同時達到平衡位置和最大位置，即主振動節(jié)點（線）是變化的，由式（3-23）得出，的幅值或振動形態(tài)與實模態(tài)系統(tǒng)不同，它不能保持與模態(tài)矢量相同的狀態(tài)，不具有的關(guān)系，既不具備模態(tài)保持性，主振型不再是駐波形式，而是行波形式，這就是復(fù)模態(tài)系統(tǒng)的特點。簡支梁實、復(fù)模態(tài)系統(tǒng)二階模態(tài)半個周期內(nèi)的變化如圖3-1所示。圖3-1 a）為實模

32、態(tài)系統(tǒng)，b）為虛模態(tài)系統(tǒng) 36 一般粘性阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)頻響函數(shù)矩陣如下式：將坐標變換式（3-18）代入一般粘性阻尼系統(tǒng)的振動微分方程式（3-4），左乘，并結(jié)合特征矢量正交性式（3-9）得到解耦方程組 （3-24）設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 （3-25）式中n階列陣。將（3-25）代入（3-24）并利用，則可得： （3-26）式中 （3-27）下面進行頻響函數(shù)的模態(tài)展開，將式，式（3-25）代入（3-18），并利用式（3-27），有 （3-28）所以于是得頻響函數(shù)模態(tài)展開為 （3-29）又可寫為 （3-30）對其做傅氏逆變換，得脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣為： （3-31） 37 一般結(jié)構(gòu)阻尼振動系統(tǒng)的頻

33、響函數(shù)一般結(jié)構(gòu)阻尼振動系統(tǒng)的振動微分方程為： （3-32）一般結(jié)構(gòu)阻尼矩陣是正定或半正定實對稱矩陣，不滿足比例阻尼的條件式：，故不能在模態(tài)坐標系中對角化。由下面的推導(dǎo)可以看出，復(fù)剛度矩陣是可對角化的。所以可直接由坐標變換解耦振動微分方程。和結(jié)構(gòu)比例阻尼系統(tǒng)推導(dǎo)相似，有特征值問題和特征方程式： （3-33） （3-34）將n個互異特征值逐一代入（3-33），得n個復(fù)特征矢量，按列排列成復(fù)特征矢量矩陣（模態(tài)矩陣），即。將兩組特征對分別代入式（3-33），得： （3-35） （3-36）式中復(fù)特征質(zhì)量，為復(fù)數(shù)；分別為復(fù)特征剛度、復(fù)特征阻尼，均為實數(shù)。（3-35）、（3-36）即為結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)特征矢量

34、的正交性。將（3-35）、（3-36）寫成矩陣形式得： （3-37）將代入式（3-33），左乘，結(jié)合（3-37）得： （3-38）若定義復(fù)模態(tài)參數(shù)為 （3-39）式中，分別為結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)質(zhì)量、復(fù)模態(tài)剛度、復(fù)模態(tài)結(jié)構(gòu)阻尼、復(fù)模態(tài)頻率、復(fù)模態(tài)結(jié)構(gòu)阻尼比，均為實數(shù)。將代入式（3-33），（3-39）左乘，則： （3-40）式（3-40）即為結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)特征值的物理意義，反映了系統(tǒng)的固有特性。結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣與結(jié)構(gòu)比例阻尼系統(tǒng)相同，即上述求得的n個復(fù)特征矢量構(gòu)成的復(fù)矢量空間完備正交基。這一復(fù)矢量空間稱為復(fù)模態(tài)空間或復(fù)模態(tài)坐標系。式代入式（3-32），左乘并結(jié)合式（3-37）得解耦方程組

35、為： （3-41）設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為，代入式（3-41）得： （3-42） 則 （3-43）將式、式代入式，并利用式（3-43）得： （3-44）由式（3-44）得頻響函數(shù)模態(tài)展開式為： （3-45）利用式（3-39）、（3-40），（3-45）可轉(zhuǎn)化為： （3-46）當為結(jié)構(gòu)比例阻尼系統(tǒng)時，則（3-46）可化為： （3-47） 這就是一般結(jié)構(gòu)阻尼振動系統(tǒng)的頻響函數(shù)。 38 多自由度系統(tǒng)的傳遞矩陣及留數(shù)矩陣前面討論了多自由度系統(tǒng)的三種參數(shù)模型，給出模態(tài)分析有關(guān)的基本概念和基本理論，特別是頻響函數(shù)的模態(tài)展式。但在求頻響函數(shù)表達式時均假設(shè)系統(tǒng)受簡諧激勵。積分變換（傅氏變換和拉氏變換）是求系統(tǒng)頻響函數(shù)的重要方法。只要系統(tǒng)激勵和響應(yīng)滿足積分變換條件，就可應(yīng)用積分變換求頻響函數(shù)。其中拉氏變換比傅氏變換成立的條件要低得多，且時，在虛數(shù)軸（頻率軸）上拉氏變換即為傅氏變換，而實際振動問題