1、復(fù)變函數(shù)與積分變換總復(fù)習(xí)題一、填空1. 。2. 。3. 已知虛數(shù)，則 。4. ， 。5. 。6. 區(qū)域就是 。7. 函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是：和在D內(nèi)任一點(diǎn)可微，而且滿足柯西黎曼方程即 。8. 如果函數(shù)在及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在 。9. 沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C，稱為 曲線（或若爾當(dāng)曲線）。10. 復(fù)平面加上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)稱為 。11. 若在不解析，則稱為的 。12. 如果函數(shù)在單連通域D內(nèi)處處解析，那么沿D內(nèi)的任意一條封閉曲線C的積分 。13. 。14. 如果二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足二維拉普拉斯方程，則稱為區(qū)域D內(nèi)的 。15. 復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為：在區(qū)域

2、D內(nèi)，的虛部是實(shí)部的 。16. 的輻角主值為 。17. 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在 上的平均值。18. 如果函數(shù)在單連通域B內(nèi)處處解析，那么函數(shù)沿B內(nèi)的任何一條封閉曲線C的積分為_。19. 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，且不是常數(shù)，則在D內(nèi) 最大值。20. 在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，若其模在D的內(nèi)點(diǎn)達(dá)到最大值，則此函數(shù)必恒為 。21. 若在區(qū)域D內(nèi)處處解析，C為D內(nèi)的任意一條封閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，為C內(nèi)任一點(diǎn)，則有柯西積分公式= 。22. 若函數(shù)在單連通域B內(nèi)連續(xù)，且對于B內(nèi)任意一條簡單閉曲線c，都有，則函數(shù)在B內(nèi) 。23. 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值，即 。24. 如果

3、冪級數(shù)在點(diǎn)收斂，則級數(shù)在圓域內(nèi) 。25. 在的鄰域內(nèi)的泰勒級數(shù)展開式為 。26. 孤立奇點(diǎn)可以分為三類，分別是可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)和 。 27. 若收斂，則稱級數(shù)為 。28. 解析函數(shù)的虛部是實(shí)部的 調(diào)和函數(shù)。29. 函數(shù)在一點(diǎn)解析的充要條件是它在這一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可以展開為 。30. 點(diǎn)0是函數(shù)的 。31. 如果在的去心鄰域內(nèi)的羅朗級數(shù)有的無限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則孤立奇點(diǎn)稱為的 。32. 如果為的一階極點(diǎn)，則 。33. 如果級數(shù)在（）收斂，則對滿足的z，級數(shù)必_。34. 設(shè)是的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則是的可去奇點(diǎn)的充分必要條件是在的一個(gè)鄰域內(nèi)_。35. 設(shè)是解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，把在處的洛朗展開式中負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)稱

4、為在處的 。36. 若函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，且在具有 ，則稱映射在是共形的。 37. 實(shí)二元函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程 ，則稱 為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。38. 如果在的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)只有的有限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則孤立奇點(diǎn)稱為的 。39. 任何解析函數(shù)的泰勒展開式是 。40. 設(shè)是區(qū)域D內(nèi)的第一類保角映射，如果當(dāng)時(shí)，有，則稱為 。41. 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，且不恒為常數(shù)，則像集合是 。42. 若函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，則 。 43. 稱的輻角為曲線C經(jīng)過映射后在處的 。44. 傅氏變換具有位移性質(zhì)，即設(shè)為函數(shù)的傅

5、氏變換，則的傅氏變換為 。45. 傅氏變換具有相似性質(zhì)，即設(shè)為函數(shù)的傅氏變換，則的傅氏變換為 ，其中a是非零常數(shù)。46. 函數(shù)的傅里葉變換的定義為= 。47. 分別為函數(shù)的拉普拉斯變換，則的拉普拉斯變換為 。48. 若，則 。49. 設(shè)函數(shù)是定義在上的實(shí)值函數(shù)，如果對于復(fù)參數(shù)，積分 在復(fù)平面的某一域內(nèi)收斂，則稱為的拉普拉斯變換。50. 拉氏變換具有延遲性質(zhì)，即設(shè)為函數(shù)的拉氏變換，當(dāng)時(shí)，則對任一非負(fù)實(shí)數(shù)，的拉氏變換為 。二、選擇題1. 函數(shù)的奇點(diǎn)為（ ）A：0, ；B：0，；C：0，i；D：。2. Ln（1+=（ ） A：； B：；C：； D： 。3. （ ）A：； B：i； C：； D：i。4

6、. 將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù)化為一對二元實(shí)變函數(shù)為（ ）A：；B：；C：；D：。5. 在復(fù)平面內(nèi)（ ） A：處處解析；B：處處可導(dǎo)但不解析；C：對于解析；D：處處不解析。6. 解析函數(shù)的n 階導(dǎo)數(shù)為（ ）A：；B：；C：；D：。7. 在孤立奇點(diǎn)0處的留數(shù)為（ ）A：1；B：2；C：0；D：。8. 函數(shù)滿足柯西黎曼方程是指（ ）A：； B：；C：；D：。9. （ ），n=0，1，2，a，b均為有限復(fù)數(shù)。A：； B：；C：； D：。10. 設(shè)函數(shù)在全平面為解析，又對任意，令，則是的（ ）A：單調(diào)上升函數(shù)；B：單調(diào)下降函數(shù)；C：常數(shù)函數(shù)；D：非單調(diào)函數(shù)。11. 函數(shù)在的留數(shù)為（ ） A： ； B：

7、； C：； D：。12. 的收斂半徑為（ ）A：2；B：；C：0；D：1。13. 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，且不是常數(shù)，則在D內(nèi)（ ）A：能取到最大值；B：是常數(shù)；C：沒有最大值；D：無界。14. 的收斂半徑為（ ）A：1； B：0； C：； D：2。15. 如果是的m階極點(diǎn)，那么就是的m階（ ）A：可去奇點(diǎn)；B：零點(diǎn)；C：極點(diǎn)；D：本性奇點(diǎn)。16. =（ ）A：； B：； C： ； D：。17. 所有使點(diǎn)保持不動（即點(diǎn)映成）的分式線性映射的表達(dá)式為（ ）A：； B：；C：； D：。18. 是（ ）級數(shù)。A：絕對收斂；B：條件收斂；C：不確定；D：發(fā)散。19. 是函數(shù)的（ ）A：本性奇點(diǎn)；B：可去

8、奇點(diǎn)；C：極點(diǎn)；D：重點(diǎn)。20. 在擴(kuò)充復(fù)平面上，分式線性映射能把圓變?yōu)椋?）A：拋物線；B：橢圓；C：圓；D：雙曲線。21. 函數(shù)的拉氏變換為（ ） A：； B：； C：； D：。22. 在處的泰勒展開式為（ ） A：； B：； C：； D：。23. 函數(shù)的拉氏變換為（ ）A：；B：；C：；D：。24. 設(shè)，則A：；B：；C：；D：25. 設(shè)，則有（ ）A：；B：；C：；D：。三、計(jì)算題1. ；2. ， C為從到i的右半圓周。3. ，其中C是從點(diǎn)1到i的直線段。4. 計(jì)算，其中C是從點(diǎn)1到0的直線段，再從點(diǎn)0到點(diǎn)i的直線段所連接成的折線段。5. 計(jì)算。6. 計(jì)算，其中n 為任何整數(shù)，C為以為

9、中心，r為半徑的圓周。7. 計(jì)算。8. 計(jì)算積分，其中C是圓周的上半周，走向從0到2 。9. 計(jì)算。10. 將在內(nèi)展開為冪級數(shù)。11. 計(jì)算；12. 討論級數(shù)的斂散性。13. 計(jì)算。14. 求在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)。15. 計(jì)算。16. 求的拉氏變換；17. 計(jì)算在點(diǎn)ai處的留數(shù)。18. 是單位階躍函數(shù)，求的傅氏變換。19. 求把，分別映照成，的分式線性映射。20. 求的傅氏積分變換。21. 求矩形脈沖函數(shù) 的傅氏變換。 22. 求函數(shù)與的卷積。23. 利用拉氏變換的性質(zhì)，求的拉氏變換。24. 已知，求。25. 利用延遲性質(zhì)，求的拉氏逆變換。四、證明題1. 若函數(shù)在的鄰域內(nèi)連續(xù)，則 2. 證明一對共軛調(diào)和函數(shù)的乘積仍為調(diào)和函數(shù)。3. 設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條正向簡單閉曲線，證明對在D內(nèi)，但不在C上的任一點(diǎn)，下面等式成立： 4. 設(shè)與在區(qū)域D內(nèi)處處解析，C為D內(nèi)的任何一條簡單閉曲線，它的內(nèi)部全含于D。如果=在C上的所有點(diǎn)處成立，試證在C內(nèi)的所有點(diǎn)處=也成立。5. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，又，則成立著 （）題目中的映射的內(nèi)容也要求，不難，看看書和教案就可以知道怎樣求解。五、解答題1. 求的拉氏變換；2. 解微分