1、目 錄摘 要 1關(guān)鍵詞 1Abstract 1Keywords10 前 言 11反常積分的定義 11.1無(wú)窮積分的定義 11.2 瑕積分的定義 . 22 反常積分的計(jì)算方法 32.1利用NewtonLeibniz公式計(jì)算反常積分 32.2利用變量替換法計(jì)算反常積分 32.3利用分部積分法計(jì)算反常積分 52.4利用分段積分自我消去法計(jì)算反常積分 72.5利用方程法計(jì)算反常積分 72.6利用級(jí)數(shù)法計(jì)算反常積分 92.7利用待定系數(shù)法計(jì)算反常積分10結(jié)束語(yǔ) 11參考文獻(xiàn).11 反常積分的幾種計(jì)算方法摘要:該文主要對(duì)反常積分的計(jì)算方法進(jìn)行歸納、總結(jié).重點(diǎn)描述了在進(jìn)行計(jì)算時(shí)各種方法的靈活使用.關(guān)鍵詞:反

2、常積分;變量替換;分部積分;級(jí)數(shù)法;待定系數(shù)法Several calculation methods of abnormal integralAbstract: This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation.Keywords: Abnormal integral; Variable substitution; subs

3、ection integral; Series method; the method of undetermined coefficient 0前言反常積分是微積分學(xué)中一類(lèi)重要的積分，反常積分的計(jì)算是學(xué)習(xí)積分計(jì)算中的重難點(diǎn)。本文不僅介紹了常見(jiàn)的三大基本方法：NewtonLeibniz公式、利用變量替換、利用分部積分法，還介紹了分段積分自我消去法、方程法、級(jí)數(shù)法和待定系數(shù)法等一些在解決問(wèn)題時(shí)較適用的方法，通過(guò)引用一些經(jīng)典例題使我們對(duì)這些方法有更加深刻的認(rèn)識(shí)。但是在解決具體問(wèn)題時(shí)要求我們注意各種方法的靈活性與相互滲透，這樣可以簡(jiǎn)便計(jì)算。1反常積分的定義1.1無(wú)窮積分的定義定義1設(shè)函數(shù)定義在無(wú)窮區(qū)間

4、上,且在任何有限區(qū)間上可積,如果存在極限, 則稱(chēng)此極限為函數(shù)在上的無(wú)窮限反常積分(簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮積分)，記作, 并稱(chēng)收斂.如果極限不存在,為方便起見(jiàn),亦稱(chēng)發(fā)散.類(lèi)似地,可定義在上的無(wú)窮積分：. 對(duì)于在上的無(wú)窮積分,它用前面兩種無(wú)窮積分來(lái)定義：. 1.2瑕積分的定義定義2設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上,在點(diǎn)的任一右領(lǐng)域上無(wú)界,但在任何內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積.如果存在極限, 則稱(chēng)此極限為無(wú)界函數(shù)在上的反常積分,記作, 并稱(chēng)反常積分收斂.如果極限不存在,這時(shí)也說(shuō)反常積分發(fā)散.在定義中,被積函數(shù)在點(diǎn)近旁是無(wú)界的,這時(shí)點(diǎn)稱(chēng)為的瑕點(diǎn),而無(wú)界函數(shù)反常積分又稱(chēng)為瑕積分.類(lèi)似地,可定義瑕點(diǎn)為時(shí)的瑕積分：. 其中在有定義,在點(diǎn)的任一

5、左領(lǐng)域上無(wú)界,但在任何上可積.若的瑕點(diǎn),則定義瑕積分 =. 其中在上有定義,在點(diǎn)的任一領(lǐng)域上無(wú)界,但在任何和上都可積.當(dāng)且僅當(dāng)式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí),左邊的瑕積分才是收斂的.又若兩點(diǎn)都是的瑕點(diǎn),而在任何上可積,這時(shí)定義瑕積分 =, 其中為上任一實(shí)數(shù).同樣地,當(dāng)且僅當(dāng)式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí),左邊的瑕積分才是收斂的.2反常積分的計(jì)算方法在計(jì)算反常積分時(shí)有三大基本方法：NewtonLeibniz公式、利用變量替換、利用分部積分法.設(shè)是反常積分, 為唯一的奇點(diǎn)(為有限數(shù),或),計(jì)算：2.1利用NewtonLeibniz公式計(jì)算反常積分 若在連續(xù),且為的原函數(shù),則. 例1 計(jì)算的值.解： 在上連續(xù),

6、從而在任何上可積, 為其瑕點(diǎn)，故2.2利用變量替換法計(jì)算反常積分若在上單調(diào),有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),(為有限數(shù)或無(wú)窮大),則. (9)例2 計(jì)算的值.解：令則, .例3 證明等式,其中(假設(shè)二積分有意義).分析:比較該等式的兩邊,我們必須使得,因,此即要求,亦即.因此我們選取的變換如下：證明：令,此時(shí)成立,因此可得，.于是,在上式的右邊的第一個(gè)積分里,令,再將改寫(xiě)成,二積分合并,得.因此該式得證.2.3利用分部積分法計(jì)算反常積分設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則. (10)例4 計(jì)算的值.解： 例5 計(jì)算積分.解：(困難在于被積函數(shù)中有對(duì)數(shù)符號(hào),用分部積分法消去)原式 (我們看到,這里如果被積函數(shù)沒(méi)有分母的,用積化

7、和差公式,立即可以算出積分值.因此,我們希望設(shè)法應(yīng)用公式將被積函數(shù)拆開(kāi)).因?yàn)?第一個(gè)積分為0，第二個(gè)積分令,.例6 計(jì)算.解： ,分部積分可建立的遞推公式: ,即.,.在計(jì)算時(shí)我們也可以利用變量替換法進(jìn)行求解,令,再直接引用公式.利用分部積分法我們常?？梢缘玫竭f推公式從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.除了上述的三種基本方法外，根據(jù)具體情況，經(jīng)常用的還有下列幾種方法：2.4利用分段積分自我消去法計(jì)算反常積分在這種方法的計(jì)算中主要分為兩步：第一步：將所需計(jì)算的積分區(qū)間進(jìn)行分段；第二步：進(jìn)行變量替換,通過(guò)變量替換可以將分段后的某些積分區(qū)間與其中的某些區(qū)間相抵消或者合并.例7 計(jì)算的值.解：=0通過(guò)上述計(jì)算我們可以發(fā)現(xiàn)

8、這種方法可以省略很多計(jì)算,關(guān)鍵在于對(duì)積分區(qū)間的分段和變量替換要找到最合適的,否則適得其反.2.5利用方程法計(jì)算反常積分使用方程法計(jì)算反常積分是分為兩步：第一步：通過(guò)變量替換,將原積分進(jìn)行變形;第二步：將原積分與變形后的積分相加,通過(guò)計(jì)算相加后的積分從而求出原積分.例8 計(jì)算積分.解：=通過(guò)解方程得：.例9 計(jì)算積分.解：則.2.6利用級(jí)數(shù)法計(jì)算反常積分在運(yùn)用級(jí)數(shù)法求反常積分時(shí),關(guān)鍵在于積分區(qū)間進(jìn)行分段,使所求的反常積分可以表示成級(jí)數(shù)的求和運(yùn)算,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.例10 證明.證明: (1) 當(dāng)時(shí), ,由于積分收斂,故收斂.(2) .因此：.2.7利用待定系數(shù)法計(jì)算反常積分在使用待定系數(shù)法時(shí)通常先將

9、有理分式化為部分分式,再通過(guò)待定系數(shù)求解,在使用這種方法時(shí)通常結(jié)合多種方法求解.例11 計(jì)算積分.解：(拆為部分分式)設(shè)(為待定系數(shù)).將同乘等式兩邊.然后,得 ,其中于是 .注意到 (當(dāng)時(shí)),因此 .結(jié)束語(yǔ)反常積分的計(jì)算方法靈活多變,對(duì)于任一問(wèn)題都存在多種計(jì)算方法,我們?cè)谟?jì)算時(shí)要提取最簡(jiǎn)便的方法,除了上述的幾種計(jì)算方法還有很多的計(jì)算方法需要我們?nèi)ヌ骄?、歸納、總結(jié),更重要的是我們要學(xué)會(huì)這些方法的靈活使用.參考文獻(xiàn):1 費(fèi)定輝等,基米多繼奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題M,山東:山東科技出版社,1990.2 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,高等數(shù)學(xué)M,北京:高等教育出版社，2002.3 劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義M.第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47.4 周建瑩,李正元.高等數(shù)學(xué)解題指南M.北京:北京大學(xué)出版社,2002.212-214.