1、北師大九年級數(shù)學(xué)上冊教案匯總第一章證明（二）5三角形有關(guān)性質(zhì)、定理及反證法5知識要點(diǎn)5易錯易混點(diǎn)7典型例題8學(xué)習(xí)自評9線段的垂直平分線與角平分線13知識要點(diǎn)13易錯易混點(diǎn)14典型例題15學(xué)習(xí)自評16第二章一元二次方程23一元二次方程23知識要點(diǎn)23易錯易混點(diǎn)24典型例題24學(xué)習(xí)自評26解一元二次方程的方法29知識要點(diǎn)29易錯易混點(diǎn)31典型例題31學(xué)習(xí)自評32一元二次方程的應(yīng)用34知識要點(diǎn)34易錯易混點(diǎn)35典型例題35學(xué)習(xí)自評37第三章證明（三）41平行四邊形41知識要點(diǎn)41易錯易混點(diǎn)42典型例題42學(xué)習(xí)自評43特殊平行四邊形47知識要點(diǎn)47易錯易混點(diǎn)48典型例題49學(xué)習(xí)自評51第四章試圖與投影

2、57視圖的特點(diǎn)與畫法錯.誤!未定義書簽。知識要點(diǎn)57易錯易混點(diǎn)58典型例題59學(xué)習(xí)自評61平行投影與中心投影知識要點(diǎn)錯誤!未定義書簽。易錯易混點(diǎn)錯誤!未定義書簽。典型例題錯誤!未定義書簽。學(xué)習(xí)自評錯誤!未定義書簽。第五章反比例函數(shù)67反比例函數(shù)及其圖像與性質(zhì)67知識要點(diǎn)67易錯易混點(diǎn)69典型例題69學(xué)習(xí)自評69反比例函數(shù)的應(yīng)用75知識要點(diǎn)75易錯易混點(diǎn)76典型例題76學(xué)習(xí)自評76第六章頻率與概率84頻率與概率的關(guān)系84知識要點(diǎn)84易錯易混點(diǎn)84典型例題84學(xué)習(xí)自評84用試驗(yàn)的方法求概率85知識要點(diǎn)85易錯易混點(diǎn)85典型例題85學(xué)習(xí)自評8552第一章證明（二）三角形有關(guān)性質(zhì)、定理及反證法知識要點(diǎn)

3、三角形的性質(zhì)與判定:序號必記項目必記知識必記內(nèi)容巧記方法1公理三角形全等的判定公理三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角及具夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等SSSSASASA2定埋三角形全等的判7E7E埋兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等AAS3公理三角形全等的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等4定埋等腰三角形的性質(zhì)的推論等腰三角形的兩個底角相等等邊對等角5定埋等腰三角形的判7E7E埋等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線底邊上的局互相重合“三線合一”6士7E理等邊三角形的判7E7E埋有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形7定埋有一個角等于3

4、0的直角三角在直角二角形中，如果有一個銳角等于30。，那么它所對的直角形的性質(zhì)邊等于斜邊的一半8定埋等邊三角形的判7E7E埋三個角都相等的三角形是等邊三角形等角對等邊9定理勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方符號語言：若/C=90,則c2=a2+b210概念互逆定埋如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定埋，這兩個定理稱為互逆定理11定理勾股定理的逆定理如果三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形為直角三角形符號語言若，則a2+b2=c2,/C=90。12定埋直角三角形全等的判定定埋斜邊和直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等HL證明方法：綜合法、反證法綜合

5、法：審題：找出已知、求證的各量之間的關(guān)系；分析解題思路：一般采用逆向思考，即從結(jié)論入手，追溯結(jié)論成立的理由。書寫推理過程，從已知入手，將分析過程倒著寫出來反證法：在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立的方法稱為反證法。（步驟：提假設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，推矛盾：從假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推論方法，得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果；得結(jié)論：從而肯定命題的結(jié)論）a> b”幾種常見的結(jié)論和它的否定形式:a<b"a=b”“a?b” 或 “ a< b, a> b”“a/ b”“a

6、與b相交”“點(diǎn)在直線上”“點(diǎn)在直線外”“至少有一個，“一個都沒有”“至少有兩個”“至多有一個”互逆命題：如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題。（“條件”與“結(jié)論”交換）互逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理。易錯易混點(diǎn)B DZM02E1 .如圖Z01,AABC為AD為中線，/BAD=/DAC,求證：AB=AC。2 .如圖Z02所示，在ABC中，AD是它的角平分線，且AB=AC,DE、DF分別是垂直于AB、AC,垂足為E、F,求證BE=CF。典型例題1 .在ABC中，AB=2,AC=22,/B=30,

7、則/BAC的度數(shù)是ZM032 .已知：如圖Z03所示，ABC中AB=AC,D是AB上一點(diǎn)，過D作DEXBC于E,并與CA的延長線相交于F。求證：AD=AF。3 .已知：如圖Z04,在RtzABC中，/C=90°,ZBAC=30,求證:AB=2BC。變形題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30.已知：求證：4 .如圖Z05所示，在ABC中，/1=/2,/ABC=2/C。求證:AB+BD=AC。5 .如圖Z06,在ABC中，/CAB=90,/C=30,AD是BC邊上的高，BE是/ABC的平分線，AD與BE交于點(diǎn)F,求證：AEF是等邊三角形。6 .

8、折疊矩形紙ABCD,先折出折痕（對角線）BD,再折疊使AD邊與對角線BD重合，得折痕DG,如圖Z07,若AB=2,BC=1，求AG的長。學(xué)習(xí)自評1 .AABC中，AD、BE分別是邊BC、AC上的高，若/EBC=/BAD,則ABC一定是（）A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2 .一個三角形三邊之比為3:4:5,則此三角形三邊上的高之比為（）A.3:4:5B.5:4:3C.20:15:12D.9:8:73 .三角形三邊長分別為6,8,10,那么它的最短邊上的高為（）A.4B.5C.6D.84 .直角三角形的斜邊長為13cm,面積為30cm2,另兩邊分別為（）A.5cm,6

9、cmB.7.5cm,8cmC.5cm,12cmD.4%0cm,5 3cm5.兩個直角三角形中，如果有一條直角邊對應(yīng)相等，則（）若斜邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等； 若直角的平分線對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等； 若斜邊上的中線對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等； 兩個直角三角形都有一個銳角是30°,那么這兩個直角三角形全等。其中正確的命題有（）A.1個B.2個C.3個D.4個6.已知直角三角形一銳角是30,斜邊長是1,那么這個三角形的周長是（ ）A. 5 B. 3 C. 227 .已知直角三角形兩直角邊之和是積等于（）A. 2 3 B. 1 C.- 28 . 一個等腰

10、三角形的頂角是cm9 .等腰三角形的兩條邊長分別為D.三法 ,斜邊長為2,則這個三角形的面D.14,面積是4cm,則它的腰長是6cm和8cm,那么這個三角形的周長是15010 .等腰ABC中，腰AB上的中垂線與AC所在直線相交所得銳角為50°,則底角B的大小是o11 .在RtAABC中，/C=90,/A=30,AB+BC=12cm,則AB=cm。12 .“正方形是矩形”，它的逆命題是o13.等腰三角形底邊長6cm,腰為5,則它的面積為14.一個三角形的三條邊長分別是 20, 15, 25,那么它的最長邊上的高是15.命題“一個三角形中至少有一個角大于 60?！?，用反證法證時，應(yīng)假設(shè)1

11、6.已知a, b, c為三角形ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,則三角形ABC的形狀為17.命題“對頂角的平分線成一直線”的題設(shè)是論是18.19.用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角。已知直角三角形斜邊上的中線為1,周長為2蕊，求三角形的面積。20.在4ABC中，a,b,c分別是/A、/B、/C的對邊，c-a=-1b,c+a=2b,判斷ABC的形狀。21.如圖ZM08,在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上,B DZM 08AEF BZM09EAD=CE ; (2)求/ DFC 的且BD=AE,AD與CE交于點(diǎn)F。(1)求證:度數(shù)。22.如圖ZM09,/AOB

12、是一鋼梁，且/AOB=10,為了使鋼架更加牢固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF、FG、GH添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能加多少根？23 .已知如圖ZM10,在RtzABC中，AB=AC,/A=90，點(diǎn)D為BC上任意一點(diǎn)，DFXAB于F,DEXAC于E,M為BC的中點(diǎn)，試判斷MEF的形狀，并證明你的結(jié)論。24 .求證：以m2+n2,m2-n2,2mn為邊的三角形為直角三角形。25 .已知等邊ABC和點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P到4ABC的三邊的距離為hi、h2、h3,ABC的高為h?！叭酎c(diǎn)P在AABC的一邊BC上（圖ZM11），此時h3=0,可得結(jié)論hi+h2+h3=h”請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題。當(dāng)P點(diǎn)

13、在ABC內(nèi)（圖ZM11），P點(diǎn)在4ABC外（圖ZM11）這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明，若不成立，“、h2、h3與h之間有怎樣的關(guān)系，請寫出你的猜想，不需證明。ZM11線段的垂直平分線與角平分線知識要點(diǎn)序號必記項目必記知識必記內(nèi)容巧記方法1定埋線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等有了中垂線，就有了相等的線段2定埋線段垂直平分線的判定到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上聯(lián)想等腰三角形的“三線合一”3定埋三角形的三條邊上的垂直平分線的性質(zhì)三角形的三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等三邊中垂線共點(diǎn)提示有線段垂直平分線時，

14、通常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段的兩端點(diǎn)連接起來，利用等腰三角形的性質(zhì)來解決問題4定埋角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等圖形與符號結(jié)合記憶5定埋角平分線的判斷在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上6定埋三角形的三條角平分線的性質(zhì)二角形的二條角平分線相交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到二條邊的距離相等三條角平分線共點(diǎn)易錯易混點(diǎn)ZM12ZM13ZM141 .已知：如圖ZM12,DEXAB,DFXAC,垂足分別為E、F,DE=DF,求證：AD垂直平分EF。2 .如圖ZM13,P是/AOB的平分線上的一點(diǎn)，OC=OD,PC=2cm,求PD的長。3 .現(xiàn)有不在一條直線上的A、B、C三城

15、.wcmo ,lRud,ljJ J 與r 口口口nH QL 匚n.1 巴nil(1)在A、B城間建一果品批發(fā)市場，使其到A、B兩城距離相等，此市場位置惟一么？它們的位置有什么關(guān)系？(2)在B、C兩城間建一水果倉庫，使其到B、C兩城距離相等.倉庫位置惟一么？它們的位置有什么關(guān)系？(3)為減少運(yùn)費(fèi)，現(xiàn)將果品批發(fā)市場與倉庫建在同一位置，并分別到兩城距離相等.應(yīng)如何選址？畫圖說明.典型例題1 .已知，如圖ZM14,在4ABC中，/B=70°,DE是AC的垂直平分線，且/BAD:/BAC=1:3,則/C=?2 .到三角形三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是()A.三條中線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三條

16、高線的交點(diǎn)D.三條中垂線的交點(diǎn)3 .如圖ZM15,已知ABC中，AD平分/BAC,EF垂直平分線AD交BC的延長線于E,求證：(1)/EAC=/B;(2)DE2=CE-BE.4.如圖ZM16,已知ABC中，/A的平分線與BC的垂直平分線MD交于點(diǎn)D,DELAB于E,DFAC交AC的延長線于F。求:CF=：（ABAC）.5.如圖ZM17所示，在ABC中，/B=22.5°,ZC=60,AB的垂直平分線交BC于D,交AB于F,BD=672,AE，BC于E,求EC的長。學(xué)習(xí)自評1.等腰三角形頂角為100°,兩腰的垂直平分線交于P,則P點(diǎn)在（）A.在三角形內(nèi)B.在三角形的底邊上C.在

17、三角形外D.與三角形的邊長有關(guān)2.在4ABC中，AB=AC,BC=5cm,作AB的垂直平分線交另一腰AC于點(diǎn)D,連接EZM18若4BCD的周長是17cm,則腰長為（A.12cmB.6cmC.7cmD.5cm3 .如圖所示ZM18,AABC中，/BAC=118°,若DE、FG分別垂直平分AB和AC,則/EAF等于（）A. 68B. 56C. 48D. 344 .如圖ZM19,直線li、12、I3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A.一處B.兩處C.三處D.四處5 .在4ABC中，。是A的平分線與B的平分線的交點(diǎn)，ZM-19有

18、如下結(jié)論：點(diǎn)。到AC邊，AB邊的距離相等；點(diǎn)。到AB邊，BC邊距離相等；點(diǎn)。到AC邊，BC邊的距離相等；點(diǎn)。到AB,AC,BC邊的距離都相等。其中正確的結(jié)論有（）A.一個B.二個C.三個D.四個6 .如圖ZM20所示，在等腰直角三角形ABC中，/C=90°,AC=6,D是AC上一點(diǎn)，DE，AB于E,5DE=BE,則AD的長度是（）A.2B.1C.22D.27 .等腰三角形底邊長為5cm,一腰上的中線把其周長分為兩部分，其差為3cm,則腰長為（）A.2cmB.8cmC.8cm或2cmD.7cm8 .下列命題中真命題的個數(shù)是（）（1）如果等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)的距離相等，那么過這點(diǎn)

19、與頂點(diǎn)的直線必垂直于底邊(2)如果把等腰三角形的底邊向兩個方向延長相等的線段，那么延長線段的兩個點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離相等(3)等腰三角形底邊中線上一點(diǎn)到兩腰的距離相等(4)等腰三角形高上一點(diǎn)到底邊的兩端點(diǎn)的距離相等A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個9 .等腰三角形的底邊長為a,其腰上的高是(A.&21-a2頂角是底角的C. -a610 .如圖ZM21,已知在 ABC中，/ACB=90°，點(diǎn)。為 ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，ODBC, OE± AC, OFLAB,點(diǎn)D、E、F是垂足,且AB=10 , BC=8,貝U點(diǎn)O至U三邊AB、AC和BC的距離分別是()A.

20、 2, 2, 2B. 3, 3, 3C. 4, 4, 4 D. 2, 3, 411 .如圖 ZM22,已知 BD 是/ ABC 的平分線，DELAB 于E, SaABC=36cm2, AB=18cm,BC=12cm,貝U DE的長為ZM22ZM2312 .如圖ZM23,在zABC中，/B=115°,AC邊的垂直平分線DE與AB邊交于點(diǎn)D,且/ACD:/BCD=5:3,則/ACB=。13 .如圖ZM24,在4ABC中，/C=90,AC=BC,AD平分/BAC交BC于D,DELAB于E,且AB=10cm,則DEB的周長是cmajN14 .在AABC中，AB=AC,/A=90°,

21、斜邊BC的中線ZM25與AB的垂直平分線交于點(diǎn)P,若BC=16cm,則點(diǎn)P的三個頂點(diǎn)的距離之和為?15 .如圖ZM25所示，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線l與AC成60°的角，在直線l上取一點(diǎn)P,使得/APB=30°,則滿足條件的點(diǎn)P有（）A.3個B.2個C.1個D.不存在16 .命題“線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等”的逆，/ B= / D=90命題是17 .如圖ZM26,在四邊形ABCD中，/A=135BC=2由，AD=2,則四邊形ABCD的面積是18 .點(diǎn)P是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，作P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)Pi、P2,連接P1P2交OA于M,交OB于N

22、,若RP2=5cm,則4PMN的周長是。19 .已知在ABC中，/A=40°,/B、/C的平分線BE、CF,交于點(diǎn)O,則/BOF=,20 .如圖ZM27,在zABC中，/C=90°,B=15,AB的垂直平分線交BC于D,交AB于E,DB=10,則AC=21 .如圖ZM28,/BAC=30°,P為/BAC的平分線上任意一點(diǎn)，PD±AC于D,PE/AC交AB于E,求空的值A(chǔ)E22 .如圖ZM29,在4ABC中，AB、AC的垂直平分線交BC于E、F,垂足分別為M、N,(1)若4ABC的周長為18cm,且AB:CA=2:3,求AEF的周長；(2)若/BAC+/E

23、AF=150,求/BAC。23 .已知ZM-30:如圖所示，E,D分別是AB,AC上的點(diǎn)，/EBC與/BCD的平分線交于點(diǎn)M,/BED,/DEC的平分線交于點(diǎn)N,那么A、M、 N三點(diǎn)能否在同一條直線上？給出判斷并證明你的結(jié)論中,24.已知：如圖 ZM31,在4ABC/ ACB=90 , / BAC=30 , ABD和4ACE都是等邊三角形,F是AB的中點(diǎn)，DE交AB于點(diǎn)M,求證：(1)DF=AC;(2)MD=ME。25 .臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)為12級，

24、每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)在正以15千米/時的速度沿北偏東30方向往C移動，且臺風(fēng)中心，風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過4級，則稱為受臺風(fēng)影響。(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響？請說明理由。(2)若會受到影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長？(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？ZM 33，求證：CD=AB+BD 。26.如圖 ZM32, A ABC 中，/ B=2/C,AD，BC 于 DZM35ZM 36一變：ABC中，/ABC=2/C,AD±BC于D,延長CB至UN,使BN=AB,連接AN,如圖ZM一33,求證：CD=AB+BD。二變：A

25、BC中，/B=2/C,ADLBC于D,作AC的中垂線分別交AC于G,交CD于H,連接AH,如圖ZM34求證:CD=AB+BD。27 .(1)如圖ZM35,在ABC中，/ACB是直角，/B=60,AD、CE分別是/BAC、/BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請你寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。(2)如圖ZM36,在4ABC中，如果/ACB不是直角，而以上中其他條件不變，請問，你在(1)中所的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明;若不成立，請說明理由28 .如圖ZM37所示，ABC中，AC=BC=2,/ACB=90,D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動點(diǎn),ZM 23ZM 37貝UEC+ED的最

26、小值是第二章一元二次方程一元二次方程知識要點(diǎn)一元二次方程概念：含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程。經(jīng)過整理后，一個一元二次方程可化簡為ax2+bx+c=0(a?0),即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a?0)。應(yīng)從兩方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，則有a#0;(2)若a#0(b、c可以為零)，則ax2+bx+c=0是一元二次方程。判斷一個方程是不是一元二次方程，滿足三個條件：含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2;必須是整式方程；二次項系數(shù)不能為零。簡而言之是指經(jīng)化簡后，若符合ax2+bx+c=0(a?0),則為一元二次方程，否則不

27、是。估計一元二次方程的解：能使一元二次方程兩邊相等的x的值是一元二次方程的解，估計一元二次方程的解，只是估計“解”的取值范圍，比如在哪兩個數(shù)之間。方法：當(dāng)相鄰兩個整數(shù)，一個使ax2+bx+c>0,一個使ax2+bx+c<0,則一元二次方程的解就介于這兩個數(shù)之間。認(rèn)真觀察代數(shù)式的特點(diǎn)和取值走向，才能很快找到這樣的兩個相鄰整數(shù)。易錯易混點(diǎn)1 .下列關(guān)于x的方程：(1)ax2+bx+c=0；(2)a235；(3)2x2x30;a(4)x32xx20中，一元二次方程的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個2 .判斷方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是關(guān)于x的一元二次方程

28、。(1)一變：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是關(guān)于x的一元二次方程，則m應(yīng)滿足o(2)二變：若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是關(guān)于x的一元一次方程,則m的值為。3 .m為何值時，關(guān)于x的方程m1xm2 2m 1 x2 m 1 x 5 ；(2) m 1 x14m 2某城市2003年底已有綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化，綠化面積逐3mx20是一元二次方程？典型例題1.F列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是(A. ax2+bx+c=0B. k2x+5k+6=02.C. 33 二 *34若下列方程是關(guān)于0D. (m2+3)x2+2x-2=0x的一元二次方程，求出m的取值

29、范圍。27mx 3 03.年增加，到2005年底增加到363公頃，設(shè)綠化面積平均每年的增長率為x,由題意，所列方程正確的是()A.300(1+x)=363B.300(1+x)cm和 cm ,根據(jù)題意，可得方程整理成一月S形式得=363C.300(1+2x)=363D.363(1-x)2=3004 .某種產(chǎn)品，原來每件產(chǎn)品成本是700元，由于連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在成本為448元，如果每次降低成本的百分?jǐn)?shù)相同，求每次降低成本百分之多少？若設(shè)每次降低成本的百分?jǐn)?shù)為x,則第一次降低成本后的成本為,第二次降低成本后的成本為?這樣可列方程得5 .已知：直角三角形的周長為2疾,斜邊上的中線長為1,試求這個直角三

30、角形的面積。6 .如圖Y201所示，用一塊長80cm,寬60cm的薄鋼片，在四個角上截去四個相同的小正方形，然后做成如圖Y201所示的底面積為1500cm2的沒蓋的長方體盒子。想一想：應(yīng)怎樣求出截去的小正方形的邊長?若設(shè)小正方形的邊長為xcm,那么這個盒子的底部的長及寬分別為學(xué)習(xí)自評1 .下列方程中是一元二次方程的是()ax2=bx；3x22x1；x22x10；x2120；23xy26y1；x3x1x28A.B.C.D.2 .某學(xué)校計劃在一塊長8米，寬6米的矩形草坪的中央劃出面積為16平方米的矩形地塊栽花，使矩形四周的草地的寬度都一樣，求四周草地的寬度應(yīng)為多少？設(shè)矩形四周留下草地的寬為x米，根

31、據(jù)題意下列方程不正確的是()A.48-(16x+12x-4x2)=16B.16x+2x(6-2x)=32C.(8-x)(6-x)=16D.(8-2x)(6-2x)=163 .若關(guān)于x的一元二次方程a1x2xa210的一個根是0,則a的值為()A.1B.-1C.1或-1D.-24 .某地2004年外貿(mào)收入為2.5億元，2006年外貿(mào)收入達(dá)到了4億元，若平均每年的增長率為x,則可列出方程為()A.2.5(1+x)2=4B.(2.5+x%)2=4C.2.5(1+x)(1+2x)=4D.2.5(1+x%)2=45 .若關(guān)于x的方程m2xm2x30是一元二次方程，則m=o6 .方程x2-2x-1=0的近

32、似解是.(吉果精確到十分位)7 .當(dāng)x時、代數(shù)式x2-4x+3的值等于0.8 .某高新技術(shù)生產(chǎn)的生產(chǎn)總值，兩年內(nèi)由50萬元增加到75萬元。若每年產(chǎn)值的增長率相同，設(shè)增長率為x,則可列方程為?2h29 .已知a#0,a?b,且x=1是方程ax2+bx-10=0的一個解，則的值2a2b10 .已知：方程m24x26m2x3m40,當(dāng)m時，它是一兀二次方程，當(dāng)m時，它是一元一次方程Y20311 .一口井直徑為1.5米，用一根竹竿直插入井底，竹竿高出井口半米，如果把竹竿斜插入井口，竹竿剛好與井口平。(如圖Y202所示)求竹竿的長度，設(shè)竹竿長x米，則井深為米，可列方程為212 .如圖Y203,相框長為1

33、0cm,寬為6cm,內(nèi)有寬度相同的邊緣木板，里面用來夾照片的面積為32cm,則相框的邊緣寬為多少cm?(1)若設(shè)相框的邊緣寬為xcm,可得方程。般形式);(2)分析x的取值范圍；(3)完成表格01234(1)中ax2+bx+c(4)根據(jù)上表判斷相框的邊緣寬是多少厘米？13 .已知x=1是關(guān)于x的方程x2-ax+1=0的根，化簡：v'a22a1V96aa214 .一個長方形的周長是30cm,面積是54cm2,求這個長方形的長和寬。15 .若x2ab2xab30是關(guān)于x的一元二次方程，則a、b的值各是多少?甲同學(xué)的解答結(jié)果是:由題意，得:2ab 2乙同學(xué)的解答結(jié)果是:由題意，得:2a b

34、2a b 1你認(rèn)為他們的解答正確嗎？如果不正確，請說明理由，并給出正確答案。16.在寬20m,長32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路。（如圖Y204所示）把耕地分成大小相等的六塊試驗(yàn)地， 要使試驗(yàn)地總面積變?yōu)?70m2,那么道路的寬應(yīng)為多少米？（道路寬取整數(shù)）17.如圖 Y205,在AABC 中，/ B=90 , AB=6cm,AB邊向B點(diǎn)以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向C點(diǎn)以2cm/s的速度移動，設(shè)P、Q到各邊端點(diǎn)處即Y204Y205停止運(yùn)動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘， PBQ的面積等于8cm2?根據(jù)這一問題列出方程。解一元二次方程的方法知識要點(diǎn)直接開平

35、方法：對于形式如xm2n(n>0)的方程，根據(jù)平方根的意義，即兩邊同時開平方，變形為xm品,得到兩個一次方程，解一次方程得到未知數(shù)的值。配方法：把一元二次方程通過配成完全平方式的方法轉(zhuǎn)化為xm2n的形式，從而得到這個一元二次方程的根。步驟如下：(1)把常數(shù)項移到方程的右邊；(2)把二次項系數(shù)化為1,(如果二次項系數(shù)不是1,給方程兩邊同除以二次項系數(shù))(3)給方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方(4)方程左邊是一個完全平方式，將方程變形為xm2n的形式在xm2n中，當(dāng)n0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1m4n,x2m7n。當(dāng)n0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根xx2mo當(dāng)n0時，方程有兩個相等的

36、實(shí)數(shù)根。公式法：一元二次方程的求根公式：xb4ac(b2-4acn0),步驟如下：(1)把方程化為一般形式，進(jìn)而確定a、b、c的值(注意符號)求出b2-4ac的值，(先判別方程是否有根)4ac在b2-4acn 0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入求根公式，求出2a的值，最后寫出方程的根。分解因式法：當(dāng)一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個因式的乘積時，令每個因式分別為0,得到兩個一元一次方程，分別解之，得到的解就是原方程的解，這種解方程的方法稱為分解因式法。一般步驟如下：(1)把方程整理使其右邊化為0；(2)把方程左邊分解成兩個一次因式的乘積；(3)令每個因式分別等于零，得到兩個一元一次方

37、程；(4)解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。提示：分解因式法應(yīng)用面廣，它不僅可以解一元二次方程，對高次的求解更有獨(dú)到之處。根的判別式：b2-4ac=A,當(dāng)b2-4ao0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac<0時，方程無實(shí)數(shù)根。即不解方程就可判斷方程解的情況。根與系數(shù)的關(guān)系：由求根公式可知，入X2b,xiX2c,即不解方程可知方程的兩根之和aa與兩根之積，利用此可解決一些關(guān)于兩根之和、之積、兩根的倒數(shù)和、兩根平方和等一類的問題。利用一元二次方程解決實(shí)際問題時，一元二次方程有兩個根，這些根雖然滿足所列的一元二次方程，但未必符合

38、實(shí)際問題，因此，解完一元二次方程，要按題意檢驗(yàn)這些根是不是符合實(shí)際問題的解。易錯易混點(diǎn)(1)用配方法解一元二次方程時，二次項系數(shù)化1時易錯；(2)不能確定a、b、c的值，代入公式時，代入不準(zhǔn)確；(3)方程兩邊同除以一個含有未知數(shù)的式子。1 .用配方法解方程：2x2-4x-10=02 .解方程：8x2+10x=33 .用分解因式法解一元二次方程：X222x2典型例題1 .當(dāng)x取時，x2-5x+7有最小值，最小值是2 .已知是方程2x2-x-7=0的兩根，則=。3 .已知一三角形的兩邊長分別為1和2,第三邊的長是方程2x2-5x+3=0的根，則該三角形的周長為?4 .已知方程x22axa2a10有

39、兩個實(shí)數(shù)根，化簡：Va22a12a。5 .已知a2-3a=1,b2-3b=1,并且a?b,那么1口=?ab6 .一元二次方程x2-px+q=0的兩個根為3,-4,那么二次三項式x2-px+q可分解為()A.(x-3)(x+4)B.(x+3)(x-4)C.(x-3)(x-4)D.(x+3)(x+4)7 .若方程x22«x1。有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()A.k>-1B.k"C.k>1D.k>08 .用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1) 9x1225;(2)3x26x120；（3）92x3242x52;（4）X2-4x-6=09.按要求解下列方程：（1）x2

40、-3x=5（用公式法解）（2）8x2+10x=3（用公式法解）（3）2（x-2）2=x2-4（用因式分解法解）（4）（2x-1）（x+3）=4（用因式分解法解）學(xué)習(xí)自評1 .方程4x2+5=0的根是（）A.YB.yC.yD.無實(shí)根2 .用配方法將方程a24a50變形得（）2222A.a29B.a29C.a29D.a293.已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程2x2-8x+7=0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是（）A.3B.3C.6D.94.三角形的兩邊長分別是8和6,第三邊的長是一元二次方程x2-16x+60=0的一個實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是（）A.24B.24或8而C.48D.

41、8n5 .已知xyxy215,則x+y的值為（）A.3或5B.3或-5C.-3或5D.-3或-56 .x2-+9=（x-）2;x2-5x+6=（）（）.7 .若x2+4x+m2是一個完全平方式，則m的值為?8 .把方程2y1222x 1 x x 81 x14.(1)用配方法證明-10x2+7x-4的值恒小于0;(2)由第(1)題，你能否得到啟發(fā)而寫出三個值恒大于 0的二次三項式。15.三角形兩邊長分別是2和3,第三邊是方程3xx 2 3x 6的解，求這個 三角形的周長16.在寬為20m,長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的 道路，余下的部分作為耕地，要使耕地的面積為540m2,道

42、路的寬為多少？17.某電腦公司今年每個月的銷售量都比上個月增長相同的百分?jǐn)?shù)，已知該公司今年4月份的電腦銷售量為500臺，6月份比5月份多售出120臺, 求該公司今年銷售量的月增長率是多少？3y22化成一般形式為29 .若a+b+c=0,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0必有一根為。10 .完成下列配方過程：x2+2px+1=x2+2px+()+()=(x+)2+().11 .已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足等式Ja1b22abc20,則方程ax2+bx+c=0的根是。12 .若X1,X2是方程x2-3x-2=0的兩個根，則X1+X2=X1+X2=, X12+X22=11X1X213 .用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?/p>

43、：(1) x2+2x=2;(2)4x2-7x+2=0;(3)x2+3x-4=0(5)2x2-3x+1=0;(5)2x(x+1)=3(x+1);(6)8一元二次方程的應(yīng)用知識要點(diǎn)黃金分割點(diǎn)：線段上一個點(diǎn)將線段分成兩部分，如果較長線段是較短線段和原線段的比例中項，那么該點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)。（一條線段有兩個黃金分割點(diǎn)）黃金比：如果一條線段與另一條線段的比等于0.618,那么稱這兩條線段的比為黃金比。如圖 Y2 18點(diǎn)C、D分別是線段AB的黃金分割點(diǎn)Al黑0 0.618,因此較長線段、較短線段、原線段有如下關(guān)系:A«,*BD CY2 18一 5 1AC BD AB2BCAD3 . 5AB

44、2CD 5 2 AB列一元二次方程解應(yīng)用題:一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的有效數(shù)學(xué)模型。列一元二次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵在于審題，要善于理解題意，分析題目中的數(shù)量關(guān)系，可采用列表、畫圖等分析方法，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)，準(zhǔn)確找出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，正確列出方程，求得問題的正確答案，同時要注意根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。一般步驟為：|（1）審題；（2）設(shè)元；（3）列方程；（4）解方程；（5）檢驗(yàn)；（6）寫出答案。注意：尋找等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵也是難點(diǎn)；一元二次方程不僅能解決實(shí)際應(yīng)用題，也可用來解決一些理論應(yīng)用題，比如幾何中的計算問題、數(shù)字問題等。易錯易混點(diǎn)不檢驗(yàn)方程的解1. 某商店從

45、廠家以每件21元的價格購進(jìn)一批商品，若每件商品的售價為x元，則每天可賣出（350-10X）,但物價局限定每件商品加價不能超過20%，商店要想每天賺400元，需要賣出多少件商品，每件商品的售價應(yīng)是多少？2. 某水果批發(fā)商經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克?，F(xiàn)該批發(fā)商要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？典型例題1. 兩個連續(xù)偶數(shù)的積為440，那么這兩個數(shù)的和等于（）A.42B.-42C.42或-42D.43或-432. 某種藥品的零售價經(jīng)過兩次降價后的價格

46、為降價前的81%，則平均每次降價的百分率為（）A.10%B.19%C.9.5%D.20%3. 設(shè)點(diǎn)C是長為10cm的線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC,則AC與BC的長分別是（）A. -AJcm, qcmB. 15 5.5 cm, 5.5 5 cm4.5.C.5M5cm,1555cmD.以上均不對一個兩位數(shù)兩個數(shù)字之和是9，把個位數(shù)字與十位數(shù)字互換后得數(shù)與原數(shù)相乘，積為1458,求這個兩位數(shù)。某商場有一批名牌襯衣，平均每天可售出20件,每件盈利40元，為擴(kuò)大銷售、增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衣降價1元，商場平均每天可多售出2件，若使商場每天盈

47、利1200元，每件襯衣應(yīng)降價多少元？6 .如圖，在寬為20m,長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路(一條橫向，兩條縱向，且橫向與縱向垂直)，把耕地分成大小不等的方塊作為水稻試驗(yàn)田，假如試驗(yàn)田的總面積為570m2,道路的寬應(yīng)為多少？7 .汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，有效促進(jìn)我國現(xiàn)代化建設(shè)，某汽車銷售公司2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長率相同。(1)該公司2006年盈利多少萬元？(2)若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預(yù)計2008年盈利多少萬元？Y2 D1學(xué)習(xí)自評1 .兩數(shù)差是3,這兩數(shù)的平方和是117,那么這兩個數(shù)分別為（）-9

48、C.-6、-9 D.不存在A.9、6B.9、6或-6、2 .兩個連續(xù)奇數(shù)的積為255,則這兩個數(shù)的和為（）A.31B.32C.±31D.±32那么這個方程（）3 .已知一元二次方程中a和c異號A.無實(shí)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個相等的實(shí)數(shù)根D.根的情況不能確定4 .有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人o患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳染的AIT人數(shù)為（）A.8人B.9人C.10人D.11人cY2215 .某地區(qū)開展“科技下鄉(xiāng)”活動三年來，接受科技培訓(xùn)的人員累計達(dá)95萬人次，其中第一年培訓(xùn)了20萬人次，設(shè)每年接受科技培訓(xùn)的人次的平均增長率都為x,根據(jù)題意列出

49、的方程是6 .如圖Y219是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個顏色不同的正方形組成，設(shè)中間最小的一個正方形邊長為1,則這個矩形色塊圖的面積為。7 .某公司今年的產(chǎn)值是1000萬元，若以后每年的平均增長率為20%,則兩年后該公司的年產(chǎn)值是萬元。8 .如圖Y220,4ABC中，AB=AC,/A=36,BD是/ABC的平分線，若BC=5cm,貝UAB=cm。變形：如圖Y220,已知在ABC中，AB=AC=2,ZA=36,BD是/ABC的平分線，且BC2=CDAC,求BC的長。9 .有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與各位數(shù)字之和是5,把這個數(shù)的十位，個位數(shù)字對換后，所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)之積為736,求

50、原兩位數(shù)。10 .某城市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是3km內(nèi)為N元，超過3km的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表。某人乘出租車去某公司辦事，停車后，打出的電子收費(fèi)單上寫里科主三立&工單價(元)22k-25N著“里程為11km,應(yīng)收29.1元，請付29元，謝謝！”，求出租車的基本價N(N12).11 .如圖Y221,AO=OB=50cm,OC是一條射線，OCLAB,一只螞蟻由A以2cm/s的速度向B爬行；同時另一只螞蟻由。點(diǎn)以3cm/s的速度沿OC方向爬行，問是否存在這樣的時刻，使兩只螞蟻與O點(diǎn)組成的三角形的面積為450cm2?12 .將進(jìn)價為40元、個的商品按50元/個的價格出售時，能賣出500個，已知該商品單價

51、每漲1元，其銷售量就減少10個，為了賺取8000元利潤，售價應(yīng)定為多少？這時的進(jìn)貨量應(yīng)為多少？13 .某燈具店購進(jìn)一批某種型號的節(jié)能燈，共用去400元，在搬運(yùn)過程中不慎打碎5盞，該店把余下的燈每盞加價4元全部售出，然后用所得錢又采購了一批這種節(jié)能燈，且進(jìn)價與上次相同，但購買的數(shù)量比上次多了9盞，求每盞燈的進(jìn)價。14 .某工廠十月份生產(chǎn)零件1000件，這樣一月份至十月份的總產(chǎn)量恰好完成全年計劃，若在年底以前再生產(chǎn)2310個零件就超額完成計劃的21%,問十一月份，十二月份月平均增長率是多少？15 .閱讀下面的例題：解方程x2x|20解：（1）當(dāng)xA0時，原方程化為x2-x-2=0,解得：X1=2,

52、X2=-1（不合題意，舍去）當(dāng)x<0時，原方程化為x2+x2=0,解得：x1=1,（不合題意，舍去）x2=-2：原方程的根是x1=2,x2=-2.請參照例題解方程x2|x11016 .某容器盛滿純酒精25升，第一次倒出若干開后，用水加滿，第二次倒出相同升數(shù)的酒精溶液后，再用水加滿，這是容器里只剩下純酒精16升，求每次倒出的酒精溶液的升數(shù)。17 .如圖Y222所示，在4ABC中，/B=90,AB=6cm,BC=3cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿著AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，到達(dá)ABC的頂點(diǎn)后即停止運(yùn)動，經(jīng)過多長時間后，PQ間的距離等于4V2cm?Y20118.某科技公司研制成功一種新產(chǎn)品，決定向PY222銀行貸款200萬元，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品,簽訂的合同上約定，兩年到期時一次性還本付息，利息為本金的8%,該產(chǎn)品投入市場后，由于產(chǎn)銷對路，使公司在兩年到期時除還清貸款的本金和利息外，還盈利72萬元，若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分?jǐn)?shù)相同，試求這個百分?jǐn)?shù)。證明（三）平行四邊形知識要點(diǎn)序號必t己項目必記知識必記內(nèi)容巧記方法1定埋平行四邊形的性質(zhì)定埋平行四邊形的對邊相等，對角