1、教學(xué)案設(shè)計(jì)圓的一般方程 單位：夏官營(yíng)高中姓名：馬麗偉任教學(xué)科：數(shù)學(xué)1 / 8圓的一般方程教學(xué)目標(biāo)：1、教學(xué)知識(shí)點(diǎn)：圓的一般方程2、能力訓(xùn)練要求（1）掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)（2）能將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心和半徑（3）能用待定系數(shù)法，由已知條件求出圓的一般方程（4）通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，進(jìn)一步掌握配方法和待定系數(shù)法3、德育滲透目標(biāo)（1）滲透數(shù)形結(jié)合思想 （2）提高學(xué)生的思維素質(zhì)和解題能力教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):(1)用配方法，把圓的一般方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑(2)用待定系數(shù)法求圓的方程教學(xué)難點(diǎn)：圓的一般方程特點(diǎn)的研究教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)法、討論法，從而使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)

2、律. 二、 教學(xué)方法： 根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和直觀演示法相結(jié)合及形數(shù)結(jié)合的教學(xué)方法。在教學(xué)中，啟發(fā)、誘導(dǎo)貫穿于始終，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，發(fā)揮學(xué)生主體作用，利用電教媒體，使學(xué)生在獲得感性知識(shí)的同時(shí)，為掌握理性知識(shí)創(chuàng)設(shè)條件。采用動(dòng)畫演示手段，將橢圓的生成過程表示出來，變抽象為具體，變復(fù)雜為簡(jiǎn)單，同時(shí)還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。用字幕把概念和例題顯示出來拓寬課堂的時(shí)間和空間，增大課容量。教學(xué)設(shè)想：教學(xué)過程：【課題導(dǎo)入】（大約5分鐘）上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下：學(xué)生以(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為教師圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)是很直觀地能求出圓心坐標(biāo)和

3、半徑.那么我們?nèi)绻麑⑺归_來又會(huì)怎樣呢？（請(qǐng)學(xué)生上黑板去做）學(xué)生展開式為教師由于a,b,r都為常數(shù)，不妨設(shè)那么它又可以化成下面的形式： 那么，是不是形如式的方程表示的曲線也是圓呢？【新課講解】（大約10分鐘）師生共同討論分析：如果表示圓，那么它一定是某個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開整理得到的我們把它再寫成原來的形式不就可以看出來了嗎？誰(shuí)愿意上來運(yùn)用配方法做做，學(xué)生配方后整理得 教師顯然方程是不是圓的方程與是什么樣的數(shù)密切相關(guān).具體如下：教師打開事先準(zhǔn)備的第一張幻燈片對(duì)方程: 配方后得:（1）當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心、以為半徑的圓；（2）當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形教師總結(jié)：任意形如的

4、方程可能表示一個(gè)圓，也可能表示一個(gè)點(diǎn)，還有可能什么也不表示教師打開事先準(zhǔn)備的第二張幻燈片:圓的一般方程的定義：當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心、以為半徑的圓.此時(shí)方程稱作圓的一般方程即稱形如 ()的方程為圓的一般方程圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，它們各有千秋：第一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子，優(yōu)點(diǎn)在于圓心和半徑一目了然第二、圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)形式與結(jié)構(gòu)，更適合方程理論的運(yùn)用條件：（1）的系數(shù)相同，且都不為0 （2）沒有這樣的二次項(xiàng)注意：以上兩點(diǎn)是二元二次方程表示圓的必要條件，而不是充分條件或充要條件.（想一想：再加上什么條件就可表示圓的充要條件了呢？）下面舉一些例題來加以分析（大約10分鐘

5、）例1：求過三點(diǎn)O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)圓的方程，并求出圓心坐標(biāo)和半徑分析：由于學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程，那么本題既可以用標(biāo)準(zhǔn)方程求解，也可以用一般方程求解(先讓學(xué)生自已討論,然后教師打開第三張課件出示本題答案)解：設(shè)圓的方程為因?yàn)镺、M、N三點(diǎn)在圓上，則有 解得:所求圓的方程為所以半徑為,圓心坐標(biāo)為(4,-3).題后反思：請(qǐng)同學(xué)們?cè)儆脴?biāo)準(zhǔn)方程求解，比較兩種解法的區(qū)別小結(jié):通過學(xué)生討論，師生共同總結(jié)：（1）求圓的方程多用待定系數(shù)法步驟為：由題意設(shè)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程）；根據(jù)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組；解方程組求出系數(shù)，寫出方程（2）如何選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方

6、程一般地，易求圓心和半徑時(shí)，選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果給出圓上已知點(diǎn)，可選用一般方程下面再看一個(gè)問題：例2：已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)距離的比為的點(diǎn)的軌跡,求此曲線的方程,并畫出曲線.分析:在求出曲線方程之前,很難確定曲線類型,所以應(yīng)按照求曲線方程的一般步驟先將曲線方程求出.(教師先讓學(xué)生回顧以前學(xué)過的求曲線軌跡的步驟,再討論本題的解法,最后出示課件四)解:在給定的坐標(biāo)系里,設(shè)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn),也就是點(diǎn)屬于集合 由兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)所適合的條件可以表示為 兩邊平方得 整理得,這就是所求曲線的方程.把該方程左邊配方,得,所以此曲線是以為圓心,2為半徑的圓,它的圖形如下圖所示:

7、 y M C O A x設(shè)計(jì)意圖：我在新知識(shí)點(diǎn)講解時(shí)采用了啟發(fā)式、師生互動(dòng)的教學(xué)，其目的是讓學(xué)生更能深入的理解圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系及與為下節(jié)課圓的參數(shù)方程的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)；在例題教學(xué)時(shí)沒有采用新的例題，僅講解了課本上的兩個(gè)例題，其目的是教師少講，為了節(jié)約更多的時(shí)間讓學(xué)生能自己練習(xí)，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性作用，當(dāng)然在下面的練習(xí)題中我準(zhǔn)備了三道課外例題用來拓展課堂知識(shí).【課堂練習(xí)】（大約18分鐘）1.課本練習(xí)第79頁(yè)1，2 請(qǐng)學(xué)生回答(用課件五出示下面的習(xí)題)2.求過兩點(diǎn)P(5,-3),Q(0,6),并且圓心在直線上的圓方程.3.(2004重慶)圓的圓心到直線的距離為( ) A.2 B.

8、 C.1 D. 4.(2004全國(guó)) 圓在點(diǎn)P(1, )處的切線方程是( )A. B. C. D. （教學(xué)設(shè)計(jì)：以上三題先讓學(xué)生做，然而出示學(xué)生的答案在大屏幕上，讓學(xué)生自己修改，最后后出示標(biāo)準(zhǔn)答案供學(xué)生參考）【課堂小結(jié)】師生共同總結(jié)：(約2分鐘) (答案: )（1）圓的一般方程及其特點(diǎn)（2）用配方法化圓的一般方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求圓心坐標(biāo)和半徑（3）用待定系數(shù)法求圓的方程.在解題過程中應(yīng)根據(jù)已知條件與圓的兩種形式的方程的不同特點(diǎn)靈活的選取恰當(dāng)?shù)姆匠?以便快捷解決相關(guān)問題.鞏固作業(yè)：課本習(xí)題5（2），6（2），7，8板書設(shè)計(jì)§7.6圓的方程（2） 圓的一般方程一.圓的一般方程: 當(dāng)時(shí)，

9、表示以為圓心、以為半徑的圓.二.例題講解例1 例2課時(shí)小結(jié)教學(xué)反思首先,這節(jié)課是圓的方程的第2個(gè)課時(shí)圓的一般方程,(共分3個(gè)課時(shí)) 主要是要讓學(xué)生掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)、圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，從而求出圓心和半徑以及能用待定系數(shù)法，由已知條件求出圓的一般方程，在圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化過程中要用到以前學(xué)過的配方法、所以在教學(xué)中我先讓學(xué)生自己動(dòng)手，通過他們的切身體驗(yàn)，來完成這一過程從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，這樣不僅調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,激發(fā)學(xué)生自主探究,而且有效地幫助學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí),使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解進(jìn)一步加深.在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生觀察圓的一般方程與二元二次方程的異同點(diǎn)從而找

10、到二元二次方程表示圓的必要條件甚至充要條件. 其次,例題教學(xué)的設(shè)計(jì),主要讓學(xué)生掌握用待定系數(shù)法求圓的方程和進(jìn)一步加深求曲線方程的基本步驟和方法,例題安排不多且簡(jiǎn)單，其目的:一是接受起來比較容易;二是教師少講,為節(jié)約更多的時(shí)間讓學(xué)生自己練習(xí)，充分發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)性作用，當(dāng)然在后面的練習(xí)題中我準(zhǔn)備了三道課外例題用來拓展課堂知識(shí).課堂練習(xí)，是對(duì)本節(jié)課目標(biāo)落實(shí)情況的檢測(cè)，讓學(xué)生明確本節(jié)課應(yīng)達(dá)到什么樣的目標(biāo)。總之,這節(jié)課我采用多媒體教學(xué)和傳統(tǒng)粉筆教學(xué)相結(jié)合,覺得在學(xué)生動(dòng)手，雙基落實(shí)方面還不錯(cuò)，學(xué)生的活動(dòng)也比較充分，教師僅是及時(shí)的引導(dǎo)和點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生的主體性得到了較為充分的體現(xiàn)。另外，在教學(xué)中不斷的滲透數(shù)學(xué)思想

11、和方法，讓學(xué)生思維得到提升。當(dāng)然也有不足：比如對(duì)學(xué)情分析有所不足，例題的教學(xué)分析對(duì)差生來說有些倉(cāng)促，對(duì)優(yōu)等生來說過于簡(jiǎn)單，有太過多的依賴多媒體教學(xué)等. 教學(xué)說明一、教學(xué)準(zhǔn)備：教學(xué)用具：教具準(zhǔn)備投影片三張第一張：課本P106例3（記作§8.3.2 A）第二張：本課時(shí)教案的例4、例5（或上節(jié)課后的思考題）（記作§8.3.2 B）第三張：本課時(shí)教案后面的預(yù)習(xí)內(nèi)容及預(yù)習(xí)提綱（記作§8.3.2 C）教材分析：高 考 資 源 網(wǎng)w w w.k s 5 u.c o m1、知識(shí)結(jié)構(gòu) 曲線的方程 圓的一般方程 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓方程的應(yīng)用求曲線方程 圓的參數(shù)方程2、地位、作

12、用及教法建議 （1）圓是最簡(jiǎn)單的曲線，也是學(xué)生比較熟悉的曲線.這節(jié)教材安排在學(xué)習(xí)了曲線方程概念和求曲線方程之后，學(xué)習(xí)三大圓錐曲線之前，目的在于熟悉曲線和方程的理論，為后繼學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備同時(shí)，有關(guān)圓的問題，特別是直線與圓的位置關(guān)系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法因此教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，使學(xué)生確實(shí)掌握這一單元的知識(shí)和方法（2）在解決有關(guān)圓的問題的過程中多次用到配方法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等思想方法，教學(xué)中應(yīng)多總結(jié)（3）解決有關(guān)圓的問題，要經(jīng)常用到一元二次方程的理論、平面幾何知識(shí)和前邊學(xué)過的解析幾何的基本知識(shí)，教師在教學(xué)中要注意多復(fù)習(xí)、多運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和簡(jiǎn)化運(yùn)算過程的意識(shí)（4）有關(guān)圓的內(nèi)容非常豐富，比如直線和圓、圓與圓的關(guān)系、還有圓系方程等問題都值得拿來研究.學(xué)生分析：二、個(gè)方面內(nèi)容的設(shè)計(jì)理由：三、各個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)理由：四、教法學(xué)法：(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，并會(huì)推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生利用求曲線