1、 1n階行列式的定義 2行列式的性質(zhì)與計算 3 行列式與矩陣的逆 4 行列式的應(yīng)用（求矩陣的秩）1 二階與三階行列式二階與三階行列式提示:a11a22x1+a12a22x2=b1a22 a22a11x1+a12x2=b1a12a12a21x1+a12a22x2=a12b2 a21x1+a22x2=b2(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2 二元線性方程組與二階行列式 用消元法解二元線性方程組a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= b1b2a12a22a11a21a12a22 x1=a11a21 b1

2、b2a11a21a12a22 x2=a11a21a12a22 我們用符號 表示代數(shù)和a11a22-a12a21 這樣就有211222112122211aaaabaabx-= 211222112112112aaaaabbax-= 用消元法解二元線性方程組a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= 二元線性方程組與二階行列式 a11a21a12a22行列式中的相關(guān)術(shù)語 我們用 表示代數(shù)和a11a22-a12a21 并稱它為二階行a11a21a12a22列式 行列式的元素、行、列、行標(biāo)、列標(biāo)、主對角線、副對角線 對角線法則 -a1

3、2a21=a11a22 二階行列式是主對角線上兩元素之積減去副對角線上二元素之積所得的差 例1 求解二元線性方程組 =+=-1212232121xxxx 解 由于 07) 4(31223=-=-=D 14) 2(12112121=-=-=D 21243121232-=-=D因此 271411=DDx 07)4(31223=-=-=D 14) 2(12112121=-=-=D 21243121232-=-=D 271411=DDx 372122-=-=DDx a11a21a12a22-a12a21=a11a22 為了便于記憶和計算 我們用符號 表示代數(shù)和a11a21a31a12a22a32a13

4、a23a33 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 其中 方程組 a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3的解為DDx11=DDx22=DDx33= D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 三階行列式 D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23

5、a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31 我們用符號 表示代數(shù)和a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并稱它為三階行列式 行列式中的相關(guān)術(shù)語 對角線法則 行列式的元素、行、列、行標(biāo)、列標(biāo)、主對角線、副對角線 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-

6、a13a22a31三階行列式 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 例2 計算三階行列式 1-2-3224-41-2D= 按對角線法則 有 解 =-4-6+32-4-8-24-(-4)2(-3)+(-4)(-2)4D=12(-2)+21(-3)-114-2(-2)(-2)=-14 采用先選定百位數(shù) 再選定十位數(shù) 最后選定個位數(shù)的步驟 全排列及其逆序數(shù) 引例 用1、2、3三個數(shù)字 可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 解 百位數(shù)有3種選法 十位數(shù)有2種選法 個位數(shù)有1種選法 因為321=6 所以可以組成6個沒有重

7、復(fù)數(shù)字的三位數(shù)321 這6個三位數(shù)是123132231213312 我們把n個不同的對象(稱為元素)排成一列 叫做這n個元素的全排列(也簡稱排列) 全排列 n個不同元素的所有排列的總數(shù) 通常用Pn表示 Pn的計算公式 Pn=n(n-1)(n-2) 321=n! 在一個排列中 如果某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)排列的次序不同 就說有1個逆序 一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)排列 在n個自然數(shù)的全排列中排列123 n稱為標(biāo)準(zhǔn)排列 逆序與逆序數(shù) 逆序數(shù)的計算 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti個大于pi的數(shù) 就說元素pi的逆序數(shù)是ti 排列的逆序數(shù)為t=t1+t2+ +tn

8、奇排列與偶排列 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列 n 階行列式的定義一、二階行列式和三階行列式的結(jié)構(gòu) 二、n階行列式的定義 三、幾種特殊的行列式 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31a11a21a12a22=a11a22-a12a21一、二階行列式和三階行列式的共同結(jié)構(gòu)一、二階行列式和三階行列式的共同結(jié)構(gòu) (1)行列式右邊任一項除正負(fù)號外可以寫成例如三階行列式的結(jié)構(gòu)可歸納如下： 321321pppaaa 其中p1 p2 p3是1、2、3的某個排列 (2)各項所帶的正負(fù)號可以表示為(-

9、1)t 其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù)（3）總共有P3=3!項，即項數(shù)等于1、2、3三個數(shù)構(gòu)成的排列總數(shù)。 三階行列式可以寫成 -=321321333231232221131211) 1(ppptaaaaaaaaaaaa 其中t為排列p1 p2 p3的逆序數(shù) 表示對1、2、3三個數(shù)的所有排列p1 p2 p3取和 二、二、n階行列式的定義階行列式的定義 特別規(guī)定一階行列式|a|的值就是a 由矩陣A= (aij) 中的n2個數(shù)aij (i j=1 2 n)構(gòu)成的代數(shù)和 -nnppptaaa ) 1(2121 稱為n階行列式 記為nnnnnnaaaaaaaaaD = 212222111211 簡記為det

10、(aij) 其中p1p2 pn為自然數(shù)1 2 n的一個排列 t為這個排列的逆序數(shù) 表示對所有排列p1p2 pn取和 在n階行列式D中 數(shù)aij為行列式D的(i j)元 注：注：（1）n階行列式是所有取自不同行、不同列的n個數(shù)的乘積 的代數(shù)和。其中 構(gòu)成一個n級排列，當(dāng) 為偶排列時， 取正號，當(dāng) 為奇排列時， 取負(fù)號。共有n!項。(2)4階及4階以上的行列式無對角線法則可言。 nnpppaaa.2121nppp.21nnpppaaa.2121nppp.21nppp.21nnpppaaa.2121三、幾種特殊的行列式三、幾種特殊的行列式 1.對角行列式對角行列式(1)主對角行列式 n.21321=

11、 證明：若記i=ai n-i+1 則依行列式定義 =(-1)ta1na2 n-1 an1其中t為排列n(n-1) 21的逆序數(shù) 故 t=0+1+2+ +(n-1) 2) 1( -=nn nnnnD ) 1( 212) 1(21 -=- 11, 21 nnnaaaD=- nnnD ) 1(212) 1( -=- 因此 =(-1)t12 n (2)次對角行列式nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD 0 0 00 002211321333231222111 = = （1）下三角行列式 證明： 因為它的列標(biāo)排列為標(biāo)準(zhǔn)排列 其逆序數(shù)為0 所以在它前面帶有正號 要使取自不同行不同列的n個元素的乘積不為

12、零第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 這樣的乘積項只有一個 即a11a22a33 ann因此D=a11a22a33 ann2.三角行列式三角行列式（2）上三角行列式nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa.000.00.0.2211333223221131211=（3） 次下三角行列式1 ,1, 2, 12) 1(,1,1 , 21, 2, 1.) 1(.00.0nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa-=（4） 次上三角行列式1 ,1, 2, 12) 1(1 ,1, 221, 11, 111.) 1(00.0.nnnnnnnnnaaaaaaaa

13、a-=nnnnnnaaaaaaaaaD =212222111211jiijaa =jiijaa-=若若則稱D為對稱行列式則稱D為反對稱行列式.定義：設(shè)3.對稱行列式與反對稱行列式對稱行列式與反對稱行列式 例1 在6階行列式det(aij)中 元素乘積a15a23a32a44a51a66前應(yīng)取什么符號? 解 列標(biāo)排列532416 它的逆序數(shù)為t=0+1+2+1+4+0=8 它是偶排列 所以在該乘積項的前面應(yīng)取正號 補充例題補充例題 例2 用行列式定義計算行列式 1100001001011010=D 為使取自不同行不同列的元素的乘積不為0 第1列只能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14

14、 第2列只能取a32 四個元素的乘積為a21a43a14a32 即a14a21a32a43其列標(biāo)排列為4123 它的逆序數(shù)為3 是奇排列 所以D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1 解 排列的對換 在排列中 將任意兩個元素對調(diào) 其余的元素不動 就得到另一個排列 這種對排列的變換方法稱為對換 將相鄰兩個元素對換 叫做相鄰對換v對換舉例 在排列21354中 對換1與4 排列21354的逆序數(shù)是2 經(jīng)過對換 排列的奇偶性發(fā)生了變化得到的排列是24351 排列24351的逆序數(shù)是5 v性質(zhì)1 一個排列中的任意兩個元素對換 排列改變奇偶性其中t為行標(biāo)排列p1p2 pn的

15、逆序數(shù) n階行列式也可定義為v定義1的等價定義 -nppptnaaa ) 1(2121 v性質(zhì)2 在行列式的每項乘積中交換兩元素的位置，行標(biāo)和列標(biāo)同時變換，行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和保持奇偶性。v定義定義1的另一個等價定義的另一個等價定義n階行列式也可定義為的逆序數(shù)。為排列的逆序數(shù)為排列級排列。均為與其中nnnnqpqpqpstqqqsppptnqqqpppaaann.,.) 1(212121212211+-二、行列式按行二、行列式按行(列列)展開展開一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式 二、行列式按行二、行列式按行(列列)展開法則展開法則（1）、余子式與代數(shù)余子式 在n n階行列式D=

16、=det(aij)中中 把元素把元素aij所在的第i i行和第j j列劃去后 剩下來的n n- -1 1階行列式叫做元素aij的余子式 記作Mij 記 Aij= =(- -1)i+ + jMij Aij叫做元素aij的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式 55453525155444342414534333231352423222125141312111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD= 5545351554443414524232125141311123aaaaaaaaaaaaaaaaM= A23= =(- -1)2+ +3M23=-=-M23 例如 已知 則a23的余子式和代數(shù)余子式為 v引理 在在n n階行列式階行列式D D中中 如果第如果第i i行元素除行元素除aij外都為零外都為零 那那么這行列式等于么這行列式等于aij與它的代數(shù)余子式與它的代數(shù)余子式Aij的乘積的乘積 即即D D= =aij Aij（2）、行列式按行行列式按行( (列列) )展開法則展開法則v定理1(行列式按行(列)展開法則)