1、第二章第二章 誤差實際與最小二乘原理誤差實際與最小二乘原理Error Theory and The Least Squares PrincipleError Theory and The Least Squares Principle第二講第二講 誤差分類及其特性復習誤差分類及其特性復習思索題思索題 1 1、什么是真值和估值？哪些量是估值？、什么是真值和估值？哪些量是估值？2 2、什么是真誤差？丈量條件一樣，真誤差能否一樣？、什么是真誤差？丈量條件一樣，真誤差能否一樣？3 3、丈量誤差可分為幾類？各類誤差處置方法有何不同？、丈量誤差可分為幾類？各類誤差處置方法有何不同？4 4、偶爾誤差的概率特

2、性是什么、偶爾誤差的概率特性是什么? ?它服從什么分布它服從什么分布? ?5 5、真值的統(tǒng)計學意義是什么、真值的統(tǒng)計學意義是什么? ?No.2 Classes of Errors and Its Characteristics1 1、真值和真誤差、真值和真誤差上節(jié)課內容回想：上節(jié)課內容回想：2 2、誤差分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶爾誤差三類、誤差分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶爾誤差三類3 3、偶爾誤差特性：有界性、聚中性、對稱性、偶爾誤差特性：有界性、聚中性、對稱性4 4、偶爾誤差的數學期望等于零、偶爾誤差的數學期望等于零5 5、僅含偶爾誤差的觀測值與其偶爾誤差同分布、僅含偶爾誤差的觀測值與其偶爾誤差同分布

3、6 6、僅含偶爾誤差的觀測值的數學期望是真值、僅含偶爾誤差的觀測值的數學期望是真值 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估計Standard of Precision and Parameters Estimation1 1、Whats The Precision?Whats The Precision?2 2、Variance and Standard ErrorVariance and Standard Error3 3、Average ErrorAverage Error4 4、Probable ErrorProbable Error6 6、Bound of Error

4、sBound of Errors7 7、Parameters Estimation (self-Parameters Estimation (self-study)study)5 5、Relative ErrorRelative ErrorNo.3 Standard of Precision and Parameters Estimation Meaning of PrecisionMeaning of Precision1 1、WhatWhats The Precision?s The Precision?Example:Example:測區(qū)測區(qū)A: A: 落于落于-0.60-0.60+ 0

5、.60+ 0.60的比例的比例 66.5% 66.5% 測區(qū)測區(qū)B: B: 落于落于-0.60-0.60+ 0.60+ 0.60的比例的比例 49.2% 49.2% Analyze:Analyze:1 1、A A較較B B誤差更集中在零的附近誤差更集中在零的附近2 2、A A誤差分布較密集，離散度?。徽`差分布較密集，離散度小；B B誤差分布較誤差分布較分散，離散度大分散，離散度大No.3 Standard of Precision and Parameters EstimationProbability Distribution Histogram(PDH)Probability Distri

6、bution Histogram(PDH)1 1、WhatWhats The Precision?s The Precision?oA A：頂峰高而且峻峭：頂峰高而且峻峭B B：頂峰低而且平緩：頂峰低而且平緩No.3 Standard of Precision and Parameters EstimationProbability Distribution Function(PDF)Probability Distribution Function(PDF)1 1、WhatWhats The Precision?s The Precision?A A：亦高亦陡：亦高亦陡B B：亦低亦緩：亦低

7、亦緩Conclusions:Conclusions:一定丈量條件下的一組觀測值，它對應一種確定的分一定丈量條件下的一組觀測值，它對應一種確定的分布；布；假設誤差分布較為密集，亦即離散度較小時，闡明該假設誤差分布較為密集，亦即離散度較小時，闡明該組觀測值質量較好，精度較高；組觀測值質量較好，精度較高；假設誤差分布較為分散，亦即離散度較大時，闡明該假設誤差分布較為分散，亦即離散度較大時，闡明該組觀測值質量較差，精度較低組觀測值質量較差，精度較低. .No.3 Standard of Precision and Parameters EstimationNo.3 Standard of Precis

8、ion and Parameters Estimation2) Definition of Precision(2) Definition of Precision(精精細細度度) )1 1、WhatWhats The Precision?s The Precision? The degree of closeness of repeated The degree of closeness of repeated measurements made under certain measurements made under certain conditions to each other (R

9、andom conditions to each other (Random error). error). ExpectationExpectationNo.3 Standard of Precision and Parameters Estimation1 1、WhatWhats The Precision?s The Precision?3) Definition of Exactness(3) Definition of Exactness(準確度準確度) ) The degree of closeness of a measurements The degree of closene

10、ss of a measurements expectation to true value. (Systematic error) expectation to true value. (Systematic error) True valueTrue valueNo.3 Standard of Precision and Parameters Estimation4) Definition of Accuracy4) Definition of Accuracy準確度準確度1 1、WhatWhats The Precision?s The Precision? The degree of

11、closeness of a The degree of closeness of a measurement to the true value. measurement to the true value. The relations of three definitions ?No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation1 1、WhatWhats The Precision?s The Precision?Precise butPrecise but not exact not exactNot PreciseNot Preci

12、se but exact but exactNot Precise &Not Precise & not exact not exact Precise and Precise and exact (accurate) exact (accurate)Precision Precision Accuracy Accuracy Internal Reliability Internal Reliability External External Reliability Reliability No.3 Standard of Precision and Parameters Es

13、timation5) Notes5) Notes1 1、WhatWhats The Precision?s The Precision?1. 1.精細度通常說的精度反映偶爾誤差的影響，準確度精細度通常說的精度反映偶爾誤差的影響，準確度反映系統(tǒng)誤差的影響，準確度反映二者的綜合影響；反映系統(tǒng)誤差的影響，準確度反映二者的綜合影響；2. 2.一組觀測值能夠很精細，即精度很高，但能夠極不準確一組觀測值能夠很精細，即精度很高，但能夠極不準確含有較大的系統(tǒng)誤差或者粗差；只需當觀測值僅含含有較大的系統(tǒng)誤差或者粗差；只需當觀測值僅含有偶爾誤差時，精度、準確度和準確度才是一致的；有偶爾誤差時，精度、準確度和準確度

14、才是一致的；3.3.今后如無特別聲明，我們所說的精度就是指沒有系統(tǒng)今后如無特別聲明，我們所說的精度就是指沒有系統(tǒng)誤差的情況。誤差的情況。 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估計Standard of Precision and Parameters Estimation2 2、Variance and Standard ErrorVariance and Standard Error1) Definition of Variance1) Definition of Variance描畫隨機變量離散程度的特征值，是隨機變描畫隨機變量離散程度的特征值，是隨機變量與其數學期望之差

15、的平方的數學期望量與其數學期望之差的平方的數學期望 dLLfLELLELELD222 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估計Standard of Precision and Parameters Estimation2 2、Variance and Standard ErrorVariance and Standard ErrorNoteNote1. 1.方差反映了隨機變量總體的離散程度，稱總體方差或方差反映了隨機變量總體的離散程度，稱總體方差或實際方差。實際方差。2.2.方差大小反映了總體觀測結果接近真值的程度，也就方差大小反映了總體觀測結果接近真值的程度，也就是代表了

16、精度的高低。是代表了精度的高低。3.3.觀測值與其真誤差偶爾誤差有一樣的方差，精度觀測值與其真誤差偶爾誤差有一樣的方差，精度一樣。一樣。 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估計Standard of Precision and Parameters Estimation2 2、Variance and Standard ErrorVariance and Standard Error1) Definition of Variance1) Definition of Variance均方差均方差(Standard deviation )(2E 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數

17、精度估計規(guī)范，參數估計估計Standard of Precision and Parameters EstimationWhy do we estimate the precision Why do we estimate the precision of observations? of observations? 精度目的精度目的應統(tǒng)計得出應統(tǒng)計得出觀測值的總體分布是反映測觀測值的總體分布是反映測量條件下觀測精度的真實數據量條件下觀測精度的真實數據總體無總體無法得到法得到 子樣子樣樣本樣本精度目的精度目的的估值的估值精度精度估計估計 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估

18、計Standard of Precision and Parameters Estimation2 2、Variance and Standard ErrorVariance and Standard Error2) Definition of Standard Error2) Definition of Standard Error在一樣丈量條件下，一組真誤在一樣丈量條件下，一組真誤差平方中數的平方根差平方中數的平方根nmnii12 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估計Standard of Precision and Parameters Estimation2 2、

19、Variance and Standard ErrorVariance and Standard Error2) Definition of Standard Error2) Definition of Standard Error1m21m2是方差的無偏估值，而中誤差本身不是方差的無偏估值，而中誤差本身不是均方差的無偏估值證明見第是均方差的無偏估值證明見第4 4節(jié)節(jié)22中誤差是衡量精度高低的一個目的，不中誤差是衡量精度高低的一個目的，不代表真正誤差的大小代表真正誤差的大小33中誤差前的中誤差前的“是中誤差的標志，是中誤差的標志，不代表誤差的范圍不代表誤差的范圍No.3 Standard of

20、 Precision and Parameters Estimation 1 1DefinitionDefinition3 3、Average ErrorAverage Error The expectation of the absolute value of The expectation of the absolute value of true errors.true errors. dfE nt 2 2EstimationEstimation The arithmetic mean of the absolute The arithmetic mean of the absolute

21、 value of errors.value of errors.No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation 3 3Relations with variance and mRelations with variance and m3 3、Average ErrorAverage Error 2mt 2mt541 1 反映誤差分布的離散程度反映誤差分布的離散程度2 2 從量值上小于均方差中誤差從量值上小于均方差中誤差No.3 Standard of Precision and Parameters Estimation4 4、Pro

22、bable ErrorProbable Error 1) Definition 1) Definition Half the resulting errors are smaller in Half the resulting errors are smaller in magnitude than PE and the other half magnitude than PE and the other half larger than PE.(C)larger than PE.(C) CCdf21No.3 Standard of Precision and Parameters Estim

23、ation4 4、Probable ErrorProbable Error 1) Definition 1) Definition 2) PDF of the PE 2) PDF of the PENo.3 Standard of Precision and Parameters Estimation4 4、Probable ErrorProbable Error 1) Definition 1) Definition 2) PDF of the PE 2) PDF of the PE 3) Estimation 3) Estimationmedian 4) Relations 4) Rela

24、tionsm32 32CNo.3 Standard of Precision and Parameters Estimation4 4、Probable ErrorProbable Error Example Example 1. 1. 1 1， 2 2， 3 3， 4 4， 5 5。 3 3 2. 2. 1 1， 2 2， 3 3， 4 4， 5 5， 6 6。 ( (3+ 3+ 4)4) 3. 1, 1, 3, 5, 6, 7, 1 3. 1, 1, 3, 5, 6, 7, 1。 ？ 4. 1, 1, 3, 5, 6, 7, 100 4. 1, 1, 3, 5, 6, 7, 100。 ？

25、is the same although we have gross error is the same although we have gross error in the 4th case.in the 4th case.Some Useful Conclusions:Some Useful Conclusions:無論無論m m、t t、 ，只需，只需n n較大時，結果才可靠；較大時，結果才可靠；觀測個數有限時，中誤差更能客觀的反映觀測條觀測個數有限時，中誤差更能客觀的反映觀測條件，由于其對大誤差較敏感，而大誤差對觀測結件，由于其對大誤差較敏感，而大誤差對觀測結果影響較大；果影響較大；

26、0 . 2 4 . 1 , 3 . 1 1 . 1 , 9 . 0 5 . 0，2 . 1w2 . 1wt3 . 1wm0 . 4添加一個誤差之后：添加一個誤差之后：9 . 1wm6 . 1wt3 . 1wSome Useful Conclusions:Some Useful Conclusions:一定的丈量條件對應一定的方差中誤差，一一定的丈量條件對應一定的方差中誤差，一定的方差中誤差也對應一定的丈量條件；定的方差中誤差也對應一定的丈量條件；等精度觀測是指中誤差一樣，而非真誤差一樣；等精度觀測是指中誤差一樣，而非真誤差一樣；Some Useful Conclusions:Some Usef

27、ul Conclusions:一系列觀測結果求得的中誤差，反映了觀測時一系列觀測結果求得的中誤差，反映了觀測時所處的丈量條件，標志的是這一系列觀測值的所處的丈量條件，標志的是這一系列觀測值的精度，也是其中每一個觀測值得精度；亦可引精度，也是其中每一個觀測值得精度；亦可引申為在上述丈量條件下，另一系列觀測結果的申為在上述丈量條件下，另一系列觀測結果的精度。雖然其真誤差不同，但其中誤差、平均精度。雖然其真誤差不同，但其中誤差、平均誤差、或然誤差在實際上應該是一樣的；誤差、或然誤差在實際上應該是一樣的；我國采用中誤差作為衡量精度的規(guī)范。我國采用中誤差作為衡量精度的規(guī)范。 第三講第三講 精度估計規(guī)范，

28、參數精度估計規(guī)范，參數估計估計 Standard of Precision and Parameters Estimation5 5、Relative ErrorRelative Error1) Definition1) Definition例如：間隔丈量例如：間隔丈量S1=1000mS1=1000m0.2m ,s2=50m0.2m ,s2=50m0.2m0.2m誤差值與其相應觀測值的比；誤差值與其相應觀測值的比；一個量中誤差與此量本身大小之比，稱相對中誤差一個量中誤差與此量本身大小之比，稱相對中誤差 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估計 Standard of Prec

29、ision and Parameters Estimation5 5、Relative ErrorRelative Error2) Property2) Property3) Application in Traverse Survey3) Application in Traverse Survey1 1 相對中誤差是無名數，分子化成相對中誤差是無名數，分子化成1 12 2 普通只用于間隔丈量，測角誤差大小普通只用于間隔丈量，測角誤差大小與角度大小無關與角度大小無關點位誤差分析：點位誤差分析：uPP橫向誤差：橫向誤差：SPP 縱向誤差：縱向誤差：縱向中誤差：縱向中誤差：um橫向中誤差：橫向中

30、誤差：Sm206265 SmmS 縱橫向精度一致，就是以弧度為單位的測角中誤差與邊長縱橫向精度一致，就是以弧度為單位的測角中誤差與邊長的相對中誤差相等例題。的相對中誤差相等例題。丈量中，常要求縱橫向精度一致，丈量中，常要求縱橫向精度一致，uSmm SmSmSumSmu SuPPPP解解：以以弧弧度度為為單單位位的的測測角角中中誤誤差差為為 2060001 m SmmS 縱縱橫橫向向精精度度是是一一致致的的。 邊長的相對中誤差為邊長的相對中誤差為 2000001SmS 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估計 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估計Stand

31、ard of Precision and Parameters Estimation6 6、Bound of ErrorsBound of Errors1) 1) 定義：一定丈量條件下，偶爾誤差的最大允許值定義：一定丈量條件下，偶爾誤差的最大允許值2) 2) 極限誤差的表示方法極限誤差的表示方法mk限？k 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估計Standard of Precision and Parameters Estimation6 6、Bound of ErrorsBound of Errors2) 2) 極限誤差的表示方法極限誤差的表示方法 第三講第三講 精度估計規(guī)范，參數精度估計規(guī)范，參數估計估計Standard of Precision and Parameters Est